ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Một số khái niệm và các kết quả cơ bản về ứng dụng của tích phân
1. Diện tích hình phẳng xác định bởi đường cong y = f(x)
Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường
y = f(x) ;
y = 0
x = a; x = b (a < b)
Công thức tổng quát:
( )
b
a
S f x dx=
∫
(1)
Từ (1) suy ra các công thức hay dùng sau đây
a) Nếu
( ) 0, [a,b]f x x≥ ∀ ∈
, ta có
( )
b
a
S f x dx=
∫
b) Nếu
( ) 0, [a,b]f x x≤ ∀ ∈
, ta có
( )
b
a
S f x dx= −
∫
c) Nếu f(x) tùy ý, khi đó…trong thí dụ sau, ta có

( ) ( ) ( )
b d b
a c d
S f x dx f x dx f x dx= − +
∫ ∫ ∫
2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
y = f(x)
y = g(x)
x = a; x = b (a < b)
Công thức tổng quát:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
(1)
Từ (1) suy ra các công thức hay dùng sau đây
a) Nếu
( ) ( ), [a,b]f x g x x≥ ∀ ∈
, ta có
( )
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
b) Nếu
( ) ( ), [a,b]f x g x x≤ ∀ ∈
, ta có

( )
( ) ( )
b
a
S g x f x dx= −
∫
c) Trong trường hợp chung, giả sử trong thí dụ sau, ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
c b
a c
S f x g x dx g x f x dx= − + −
∫ ∫
Trang 1
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự khép kín
Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tự khép kín.
Giả sử y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm A, B có hoành độ tương ứng a, b. Khi đó
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
4. Thể tích của vật thể
- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi
y = f(x)
S: y = 0
x = a; x = b (a < b)
Công thức tính
b
2

a
V= f (x)dx
π
∫
- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi
y = f(x)
S: y = g(x)
x = a; x = b
( )
0 ( ) ( )g x f x≤ ≤
Công thức tính
b
2 2
a
V= f (x)-g (x) dx
π
 
 
∫
- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi
hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tự cắt. Giả sử y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là a, b
( )
a b≤
. Giả sử
0 ( ) ( )g x f x≤ ≤

[a,b]x∀ ∈
. Khi đó
b

2 2
a
V= f (x)-g (x) dx
π
 
 
∫
- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Oy, ở đây S được cho bởi
Trang 2
y = f(x)
S: y = f(a)
x = 0
y = f(b)
Giả sử
-1
y = f(x) x = f (y)⇒
, khi đó
f(b)
2
-1
f(a)
V= f (y) dy
π
 
 
∫
5. Sơ lược về bất đẳng thức tích phân
- Giả sử f(x) và g(x) xác định và liên tục trên [a,b] sao cho
( ) ( ), [a,b]f x g x x≤ ∀ ∈
Khi đó ta có

( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≤
∫ ∫
- Nói riêng, nếu gọi
ax f(x), [a,b]; m = min f(x), [a,b]M m x x= ∈ ∈
, khi đó ta có
( ) ( ) ( )
b
a
M b a f x dx m b a− ≤ ≤ −
∫
Trang 3