dấu của tam thức bậc hai

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
A. MỤC TIÊU BÀI HỌC:
A1: Kiến Thức:
 Nắm vững định lí về dấu của tam thức bậc hai.
 Vận dụng một cách linh hoạt định lí về dấu của tam thức bậc hai trong việc xét dấu
các biểu thức đại số khác.
 Biết liên hệ giữa bài toán xét dấu và bài toán về giải bất pương trình và hệ bất phương
trình.
 Vận dụng được định lí trong việc giải bất phương trình bậc hai và một số bất phương
trình khác.
A2: Kĩ Năng:
 Biết sử dụng phương pháp bảng và phương pháp khoảng trong giải toán.
 Biết phát hiện và giải các bài toán về xét dấu của tam thức bậc hai.
 Quan sát và liên hệ với việc giải bất phương trình.
A3: Tư Duy & Thái Độ:
 Tích cực, chủ động, tự giác trong học tập.
 Rèn luyện tư duy lôgic và tính hệ thống.
 Cẩn thận chính xác trong tính toán và lập luận.
B. TIẾN TRÌNH TIẾT HỌC:
Hoạt Động I
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hãy nêu phương pháp giải phương trình
bậc hai một ẩn ax
2
+bx + c = 0?
Nếu a + b + c = 0 thì nghiệm của
phương trình là gì?
Nếu a – b + c = 0 thì nghiệm của
phương trình là gì?
Cho biểu thức f(x) = (x – 2)(3 – 2x)
Hãy khai triển biểu thức trên?

Hãy xác định nghiệm của các nhị thức
trên?
Hãy lập bảng xét dấu biểu thức trên?
Tính
∆
=
acb 4
2
−
Nếu
∆
<0 thi phương trình vô nghiệm.
Nếu
∆
=0 thì phương trình có nghiệm kép x=
a
b
2
−
.
Nếu
∆
>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 =
a
b
2
∆+−
; x2 =
a

b
2
∆−−
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1;
x2 =
a
c
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm
x1 = – 1 ; x2 =
a
c
−
f(x) = – 2x
2
+ 7x – 6
x =
2
3
; x = 2
x
∞−

2
3
2 +
∞
x – 2 – l – 0 +
3 – 2x + 0 – l –
f(x) – 0 + 0 –
ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI:

1. Tam Thức Bậc Hai:
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hãy cho một ví dụ về tam thức bậc hai có hệ
số a > 0, và một ví dụ về tam thức bậc hai có
hệ số a <0?
Cho biểu thức f(x) = 2x
2
+ 5x + 3
Hãy phân tích biểu thức trên thành tích?
Hãy xác định nghiệm của biểu thức trên?
Hãy lập bảng xét dấu biểu thức trên?
Hãy dựa vào 2 ví dụ em có nhận xét gì về dấu
của tam thức bậc hai khi tam thức bậc hai có
hai nghiệm phân biệt?
Cho biểu thức g
1
(x) = x
2
+ 4x + 4; g
2
(x)=
2
x−
+6x – 9 em hãy nhận xét về dấu của hai
biểu thức trên?

Khi tam thức bậc hai có nghiệm kép em hãy
nhận xét về dấu của tam thức bậc hai?
Cho biểu thức h
1
(x)= x
2
+ 2x + 3 và h
2
(x)=
2
x−
+ 4x – 5 em hãy nhận xét về dấu của hai
biểu thức trên?
Khi tam thức vô nghiệm em hãy nhận xét về
dấu của tam thức?
f(x) = 2x
2
+5x + 3
g(x) =
2
x−
+ x – 6
f(x) = 2x
2
+ 2x + 3x + 3 = 2x(x + 1) + 3(x+1)
= (x +1)(2x + 3)
x = – 1 và x =
2
3
−

x
∞−

2
3
−

1
−
+
∞
x +1 – l – 0 +
2x +3 – 0 + l +
f(x) + 0 – 0 +
Nếu tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt
x1;x2(x1<x2) thì f(x) cùng dấu với a khi
x
∈
(
∞−
;x1)
∪
(x2; +
∞
); f(x) trái dấu với a
khi x
∈
(x1;x2)
g
1

(x) = (x + 2)
2
> 0
∀
x
≠
2
−
g
2
(x) = – (x – 3)
2
<0
3≠∀x
Nếu tam thức bậc hai có nghiệm kép thì dấu
của tam thức cùng dấu với hệ số a
a
b
x
2
−≠∀
h
1
(x) = x
2
+ 2x + 1 + 2 = (x +1)
2
+ 2 > 2
x∀
h

2
(x) = – x
2
+4x–4 –1 = –(x – 2)
2
– 1<0
x∀

Nếu tam thức bậc hai vô nghiệm thì dấu của
tam thức cùng dấu với hệ số a.
2. Dấu Của Tam Thức Bậc Hai:
Định Lí: Cho f(x) = ax
2
+ bx + c (a
≠
0),
acb 4
2
−=∆
Nếu
∆
<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x
ℜ∈
.
Nếu
∆
= 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x =
a
b
2

−
.
∆
= 0
x
∞−

a
b
2
−
+
∞
f(x) Cùng dấu a 0 Cùng dấu a
Nếu
∆
>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x <x1 hoặc x>x2, trái dấu với hệ số a
khi x1 < x < x2 trong đó x1; x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của f(x)
∆
>0
x
∞−
x1 x2 +
∞
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
Chú Ý: Định lí trên có thể thay biệt thức
∆
= b
ac4
2

−
bằng
acb −=∆
2
)
'
(
'
Hoạt Động II
3. Áp Dụng:
Hãy xác định hệ số a của tam thức?
Hãy tính
∆
?
Áp dụng định lí và kết luận?
Cho h(x) = x
2
+ x – 6
Hãy xác định hệ số a của tam thức?
Hãy tính
∆
?
Hãy tính các nghiệm của tam thức?
Hãy lập bảng xét dấu để xét dấu biểu thức
trên?
Hãy kết luận về dấu của biểu thức trên?
Xét dấu biểu thức f (x) =
4
2
97

2
2
−
++−
x
xx
Hãy xác định nghiệm cả các tam thức bậc hai?
Hãy lập bảng xét dấu biểu thức trên?
Hãy kết luận về dấu của biểu thức trên?
'
∆
= 12
2
)16(*)9( −−−
= 0
Do
'
∆
= 0 nên g(x) < 0,
3
4
−≠∀x
a = 1>0
∆
= 1
2
)6(*1*4 −−
= 25>0
x1=
2

2
51
=
+−
; x2 =
3
2
51
−=
−−
x
∞−

3−
2 +
∞
h(x) + 0 – 0 +
h(x) > 0
∈∀x
(
∞−
;– 3)
∪
(2;+
∞
)
h(x) < 0
∈∀x
( – 3;2)
x1 =– 1;x2 =

2
9
; x3 = 2; x = – 2
x
∞−
–2 –1 2
2
9
+
∞
–2x
2
+7x+9
– l – 0 + l + 0 –
x
2
– 4
+ 0 – l – 0 + 0 +
f(x) – ll + 0 – ll + 0 –
f(x) >0
x∀
∈
(–2;–1)
∪
(2;
2
9
)
f(x) <0
x∀

∈
(
∞−
;–2)
∪
(–1;2)
∪
(
2
9
;+
∞
)
Hoạt Động III
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN:
1. Bất Phương Trình Bậc Hai:
Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình có dạng ax
2
+ bx + c <0
(hoặc ax
2
+ bx + c
≤
0; ax
2
+ bx + c >0; ax
2
+ bx + c
≥
0) a; b ; c

ℜ∈
(a
≠
0)
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hãy cho một ví dụ về bất phương trình bậc hai
có dạng ax
2
+ bx + c <0?
Hãy cho một ví dụ về bất phương trình bậc hai
có dạng ax
2
+ bx + c
≥
0
2x
2
– 3x + 4 <0
2
3x−
+ 7x – 8
≥
0
2. Giải Bất Phương Trình Bậc Hai:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Cho bất phương trình 3x
2
+ 5x – 8
≤
0

Tam thức có hai nghiệm x1= 1, x2 =
3
8
−
Hãy xác định nghiệm của tam thức
f(x) = 3x
2
+ 5x – 8?
Hãy xét dấu biểu thức f(x)= 3x
2
+ 5x – 8
Hãy xác định nghiệm của bất phương trình?
Cho bất phương trình
2
x−
+ 5x – 9 < 0
Hãy tính
∆
của tam thức f(x) =
2
x−
+ 5x – 9?
Hãy xác định nghiệm của bất phương trình
trên?
Cho bất phương trình
6
)23
2
)(1
2

(
2
−−
+−−
xx
xxx
≤
0
Hãy xác định nghiệm của các tam thức?
Hãy xét dấu biểu thức
f(x) =
6
)23
2
)(1
2
(
2
−−
+−−
xx
xxx
?
Hãy xác định nghiệm của bất phương trình
trên?
Cho phương trình:
2x
2
– (m
2

– m + 1)x + 2m
2
– 3m – 5 = 0
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi nào?
Hãy xác định m để phương trình trên có hai
nghiệm trái dấu?
Hãy xét dấu tam thức f(m)= 2m
2
– 3m – 5
Kết luận?
Cho bất phương trình ax
2
+ bx + c <0, bất
phương trình có nghiệm với mọi x khi nào?
Cho bất phương trình ax
2
+ bx + c >0, bất
phương trình có nghiệm với mọi x khi nào?
Với giá trị nào thì bất phương trình sau có
nghiệm với mọi x
(m – 1)x
2
+ 2mx + 2m – 1 < 0
x
∞−

3
8
−
1 +

∞
f(x) + 0 – 0 +
T=
[ ]
1;
3
8
−
∆
= 5
2
)9)(1(4 −−−
= 25 – 36 = – 11 <0
Do
∆
< 0 và a < 0 nên T =
ℜ
Ta có: x
2
– 1 =0



=
−=
⇔
1
1
x
x

x
2
– 3x + 2 = 0



=
=
⇔
1
2
x
x
x
2
– x – 6 = 0



−=
=
⇔
2
3
x
x
x
∞−
–2 –1 1 2 3 +
∞

x
2
– 1
+ l + 0 – 0 + l + l +
x
2
–3x+ 2
+ l + l + 0 – 0 + l +
x
2
– x – 6
+ 0 – l – l – l – 0 +
f(x) + ll – 0 + 0 + 0 – ll +
T=
(
]
1;2 −−
∪
[
)
3;2
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi a và c
trái dấu.
2(2m
2
– 3m – 5)<0
⇔
2m
2
– 3m – 5 < 0

m
∞−
–1
2
5
+
∞
f(m) + 0 – 0 +
Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi
và chỉ khi –1<m<
2
5

ax
2
+ bx + c <0, có nghiệm với mọi x khi và
chỉ khí
{
0
0
<
<∆
a

ax
2
+ bx + c >0, có nghiệm với mọi x khi và
chỉ khí
{
0

0
>
<∆
a
Bất phương trình có nghiệm với mọi x khi và
chỉ khi



<−
<−−−
01
0)12)(1(
2
m
mmm



<
<−+−
⇔
1
013
2
m
mm
⇔
m < 1
C. TÓM TẮT BÀI HỌC:

 Định lí về dấu của tam thức bậc hai.
 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn.
D. HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ:
Làm các bài tập SGK.