toan hoc nguyen ham va tich phan 12 rat hay

Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
Nguyªn Hµm vµ tÝch ph©n
A. Vi ph©n
I. Mét sè vÝ dô ®¸ng chó ý.
1.
( ) ( )
dxdxaxaxd =
′
+=+

2.
( ) ( )
adxdxbaxbaxd
=
′
+=+
,
( )
0≠a
.
3.
( ) ( )
( )
dxbaxdxcbxaxcbxaxd
+=
′
++=++
2
22

( )
xdxxd 2
2
=⇒
4.
( ) ( )
dxxdxxxd .cossinsin =
′
=

5.
( ) ( )
( )
dxx
x
dx
dxxxd
2
2
tan1
cos
tantan
+==
′
=

6.
( ) ( )
x
dx

dxxxd
2
=
′
=
7.
2
.
11
x
dx
dx
xx
d
−=
′






=







8.
dx
x
dx
x
x
x
xd






−=
′






+=






+

2
1
1.
11
II. Mét sè tÝnh chÊt cña vi ph©n.
1.
( )
dvduvud
±=±

2.
( )
vduudvvud +=.


( )
vduvududv −=⇒ .


( )
kdukud =⇒
víi
constk =

3.
2
v
vduudv
v
u

d
−
=







⇒

2
u
kdu
u
k
d −=






, víi
constk =
.
4. NÕu
( )
[ ]

xufy
=
th×
dxufdufdy
xuu

′′
=
′
=

 VÝ dô.
Vd1. TÝnh vi ph©n cña c¸c hµm sè sau

( )
xy
x
x
y
xy
tanln.3
1cos
sin
ln.2
12009sin.1
=
+
=
+=

1.6
cossin
sin2cos
.5
.4
sin
++=
+
+
=
=
xxy
xx
xx
y
ey
x

( )
1
12
.9
2sin.8
1.7
2
12
−
+
=
+=

+=
−
x
x
y
xy
xy
x

VD2. TÝnh vi ph©n cña hµm sè
x
x
y
+
−
=
1
1
ln
.
B. Nguyªn hµm
 Mét sè VÝ dô.
Nguyªn hµm va TÝch ph©n toan hoc
giai tich 12 1 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
1.

+= Cxxdx
2
2

3.

+=
Cxxdx sincos
5.
Cxdxx
+=

cossin
2.
Cx
x
dx
+=

2
4.
Cx
x
dx
+=

tan
cos
2
6.
Cx
x
dx
+=

ln

I. Các tính chất của nguyên hàm
1.
( )
( )
( )
xfdxxf
=



2.
( ) ( ) ( )
0.
=

adxxfadxxaf

3.
( ) ( )
[ ]
( ) ( )

=
dxxgdxxfdxxgxf

4.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

+=

+=
CxuFdxxuxufCtFdttf
Chú ý : Vì
( )
dudxxu =

nên tính chất 4 có thể viết dới dạng

( ) ( ) ( ) ( )

+=+=
CuFduufCtFdttf
, với
( )
xuu =


Ví dụ. Một số bài toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm.
VD1. Kiểm tra xem hàm
( )
xF
có phải là một nguyên hàm của hàm
( )
xf
không?
a.
( ) ( )

[ ]
xxF lnlnln
=
và
( )
( )
xxx
xf
lnln.ln.
1
=

b.
( ) ( )
[ ]
xxF sinlnln
=
và
( )
( )
x
x
xf
sinln
cot
=

Chú ý :
( )
xF

không là một nguyên hàm
( )
xf
vì
( )
0sinln1sin xx

( )
[ ]
xsinlnln

không tồn tại, tức là
( )
xF
không tồn tại.
c.
( )
( )
2
1ln xxxF ++=
và
( )
2
1
1
x
xf
+
=
VD2. Chứng minh rằng

( )
xF
là một nguyên hàm của
( )
xf
trên R, với :
a.
( )
( )
22
ln axxxF ++=
và
( )
22
1
ax
xf
+
=
b.
( )
( )





<+
+
=

11
11
2
1
2
1
2
xnếuxx
xnếue
xF
x
và
( )



<

=

112
1
1
2
xnếux
xnếuxe
xf
x
VD4. Cho

( )
( )
x
edcxbxaxxF .
23
+++=
và
( )
( )
x
exxxxf .5292
23
++=
Tìm
dcba ,,,
để
( )
xF
là nguyên hàm của
( )
xf
trên R.
II. Bảng các nguyên hàm
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 2 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
Các ví dụ. Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm.
VD1. Tính các họ nguyên hàm sau

( )

dxxxx
dxxx
dxxx



+
+
+
)13(.3
)1(1.2
)(.1
32
2
2
2
3

( )
( )
dxxx
dxx
dxmx



+

6
2

8
12.6
1.5
sin.4

VD2. Tính


xdx9cos.1

( )

dxxx
20072
1.2
tính tích nguyên hàm
bằng phơng pháp đổi biến số
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 3 of 59
Nguyên hàm của các hàm số sơ
cấp thờng gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
( )( )
xuu
=

Cxdx +=

( )
1

1
1
+
+
=

+




C
x
dxx
( )
0ln +=

xCx
x
dx
Cedxe
xx
+=

( )
10
ln
<+=

aC

a
a
dxa
x
x

+= Cxxdx sincos

+= Cxxdx cossin
Cx
x
dx
+=

tan
cos
2
Cx
x
dx
+=

cot
sin
2
Cudu +=

( )
1
1

1
+
+
=

+




C
u
duu
( )( )
0ln =+=

xuuCu
u
du
Cedue
uu
+=

( )
10
ln
<+=

aC
a

a
dua
u
u

+= Cuudu sincos

+= Cuudu cossin
Cu
u
du
+=

tan
cos
2
Cu
u
du
+=

cot
sin
2
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
Ta phải tính tích phân bất định dạng :
( )

= dxxfI
Có hai cách đổi biến số.

Dạng 1.
B1: Chọn hàm
( )
tu
và đặt
( )
tux =
. Tính
( )
dttudx

=

B2: Khi đó
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
dttgdttutufdxxfI
=

==

B3: Tính tích phân bất định
( )

dttg

B4: Thay lại biến cũ
Chú ý : Một số dấu hiệu để chọn hàm
( )

tu
Dấu hiệu Cách chọn
22
xa






=
=


tvớitax
tvớitax
0
22
cos
sin
22
ax

{ }
[ ]

=






=
2
0
0
22



\;
cos
\;
sin
tvới
t
a
x

tvới
t
a
x
22
xa
+





<<=
<<=


tvớitax
tvớitax
0cot
22
tan
xa
xa

+
hoặc
xa
xa
+

tax 2cos=
))(( xbax
tabax
2
sin)(
+=
Dạng 2.
B1: Chọn hàm
( )
xv
và đặt
( )
xvt =
. Tính
( )
dxxvdt

=
B2: Biểu thị
( )
dxxf
theo
dtt,
. Giả sử
( ) ( )
dttgdxxf =
B3: Tính tích phân bất định
( )

= dttgI

B4: Thay lại biến cũ.
Các ví dụ.
VD1. Tìm họ nguyên hàm

=
dxxI
2
1
.
HD. Đặt
tx sin=
,







2
;
2

t
,
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 4 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri

tdtdx cos=
vµ
tttx coscossin11
222
==−=−
Ta ®îc :

∫ ∫ ∫
=
+
=== dt
t
tdttdttI
2
2cos1
coscos.cos
2

( )
CxxxCttx
Cttdttdt
+−+=++=
=+






+=+=

∫∫
2
1
2
1
arcsin
2
1
cos.sin
2
1
arcsin
2
1
2sin
2
1
2
1
2cos
2
1

VD 2. CMR :
Cxdx
x
I
+=
−
=

∫
arcsin
1
1
2
.
HD. §Æt
tx sin=
,






−∈
2
;
2
ππ
t
;

tdtdx cos=
vµ
tttx coscossin11
222
==−=−
Ta ®îc :
CxCtdt

t
dtt
I +=+===
∫∫
arcsin
cos
cos
(®pcm).
TQ :
C
a
x
dx
xa
+=
−
∫
arcsin
1
22
, víi
0>a
.
HD. §Æt
tax sin=
,







−∈
2
;
2
ππ
t
.
VD3. T×m hä nguyªn hµm
( )
∫
−
=
dx
x
I
3
2
1
1
.
HD. §Æt
tx sin=
,







−∈
2
;
2
ππ
t
;

tdtdx cos=
vµ
tttx coscossin11
222
==−=−
Ta ®îc :
C
x
x
C
t
t
Ct
t
dt
t
dtt
I
+
−
=+=+===

∫∫
2
23
1
cos
sin
tan
coscos
cos
VËy :
C
x
x
I +
−
=
2
1
VD4. CMR :
Cx
x
dx
I
+=
+
=
∫
arctan
1
2

;
HD. §Æt
tx tan
=
,






−∈
2
;
2
ππ
t
.
( )
dtt
t
dt
dx
2
2
tan1
cos
+==
Nguyªn hµm va TÝch ph©n toan hoc
giai tich 12 5 of 59

Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri

CxCtdtdt
t
t
I +=+==
+
+
=

arctan
tan1
tan1
2
2
(đpcm)
Tổng quát :

C
a
x
axa
dx
I
+=
+
=

arctan
1

22
, với
0>a
;
HD. Đặt
tax tan
=
,







2
;
2

t
).
VD5. Tính tích phân bất định

( )

+
=
3
2
1 x

dx
I
.
HD. Đặt
tx tan=
,







2
;
2

t
;
( )
dtt
t
dt
dx
2
2
tan1
cos
+==
và

( )
( )
tt
tx
3
3
2
3
2
3
2
cos
1
cos
1
tan11 =








=+=+
Ta đợc :
Ctdtt
t
dt
t

I +===

sincos
cos
cos
1
1
2
3
Do
tx tan
=
và
t
t
ttt
2
tan1
tan
cos.tansin
+
==
2
1
sin
x
x
t
+
=

Do đó :
C
x
x
I +
+
=
2
1
VD6. Tìm họ nguyên hàm
( )

+
=
x
dxx
I
40
2009ln49
.
HD. Đặt
49
.49
2009ln49
du
x
dx
x
dx
duxu ==+=

( )
C
x
C
u
duu
du
uI +
+
=+===

2009
2009ln49
4149
1
49
1
49
41
41
4040

Vậy :
( )
C
x
I +
+
=

2009
2009ln49
41
VD7. Tính tích phân bất định


+
=
x
dxx
I
1
2
.
HD. Đặt
11
2
=+=
uxxu
và
ududx 2=
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 6 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri

( )
( )
=++−=+−=
−
=

∫∫
Cuuuduuu
u
uduu
I 2
3
4
5
2
122
2.1
3524
2
2

( ) ( )
Cxxx ++++−+= 121
3
4
1
5
2
35
VD8. TÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh

( )
( )
( )
( )
∫∫

+
+
=
+
+
=
xx
x
x
exex
dxxe
exx
dxx
I
.1
.1
.1.
.1
;
HD. §Æt
x
exu .=

( )
( )
dxexdxexedu
xxx
1+=+=⇒

( )

( )
( )
=
+
−=






+
−=
+
−+
=
+
=
∫∫∫∫∫
11
11
1
1
1 u
du
u
du
du
uu
du

uu
uu
uu
du
I

C
e
e
C
u
u
Cuu
x
x
+
+
=+
+
=++−=
1
ln
1
ln1lnln
.
VD9. T×m hä nguyªn hµm :
∫
=
x
dx

I
sin
.
HD. §Æt
2
tan
x
t =

( )
2
22
1
2
2
1
2
1
.
2
tan1
t
dt
dx
dx
tdx
x
dt
+
=⇒+=







+=⇒
Ta l¹i cã :
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
Do ®ã :
C
x
Ct
t
dt
t
dt
t
t
I +=+==
+
+

=
∫∫
2
tanlnln
1
2
1
2
1
2
2
.
VD10. T×m hä nguyªn hµm :
( )
∫
+= dxxxI
x
ln1
.
HD. §Æt
x
xu =

( )
xxxu
x
lnlnln ==⇒

( ) ( )
dxxxdxxududx

x
xx
u
du
x
ln1ln1
1
ln +=+=⇒






+=⇒
Tõ ®ã :
CxCuduI
x
+=+==
∫

VD11. T×m hä nguyªn hµm :
dx
x
xx
I
∫
+
=
2

3
cos1
sin.cos
.
HD. §Æt
xu
2
cos1 +=

( )
2
cossinsincos2
du
xdxxdxxxdu −=⇒−=⇒

=
+
−
=
+
=
∫∫
dxxx
x
x
x
dxxxx
I cossin
cos1
cos1

cos1
.cossin.sin
2
2
2
2
Nguyªn hµm va TÝch ph©n toan hoc
giai tich 12 7 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri

( )
Cxx
Cuudu
u
du
du
u
u
du
u
u
++=
=+==

=

=

22
cos1cos1ln2

ln22
211
VD12. Tính tích phân bất định :
( )( )

++
=
21 xx
dx
I
.
Nếu
1
02
01
>



>+
>+
x
x
x
, Đặt
21
+++=
xxt

=

++
+++
=






+
+
+
= dx
xx
xx
dx
xx
dt
2.12
21
22
1
12
1

( )( ) ( )( )
t
dt
xx
dx

dx
xx
t 2
21212
=
++

++
=
Ta đợc :
CxxCt
t
dt
I ++++=+==

21ln2ln2
2
Nếu
2
02
01
<



<+
<+
x
x
x

, Đặt
( ) ( )
21
+++=
xxt

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
++
+++
=








+

+
+

= dx
xx
xx
dx

xx
dt
2.12
21
22
1
12
1

( )( ) ( )( )
t
dt
xx
dx
dx
xx
t 2
21212
=
++

++
=
Ta đợc :
CxxCt
t
dt
I ++=+==

21ln2ln22

Tính nguyên hàm
Bằng Phơng pháp nguyên hàm từng phần
Công thức nguyên hàm từng phần :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dxxuxvxvxudxxvxu


=


Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 8 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
Hay dới dạng thu gọn :

=
duvvudvu

áp dụng.
VD1. Tìm họ nguyên hàm

= xdxxI sin.
VD2. Tìm họ nguyên hàm

= dxxeI
x

VD3. Tính tích phân bất định sau :

+
+
= dxe
x
x
I
x
.
cos1
sin1

Giải : Đặt
( )





=
+
++
=






=
+

+
=
x
x
ev
dx
x
xx
du
dxedv
x
x
u
2
cos1
cossin1
cos1
sin1
Ta đợc
( )
=
+
++

+
+
=

dx
x

xx
ee
x
x
I
xx
2
cos1
cossin1
.
cos1
sin1

( )
=
+
+

+

+
+
=

dx
x
x
edx
x
e

e
x
x
x
x
x
2
cos1
sin1
cos1
.
cos1
sin1

( )
dx
x
x
eJe
x
x
xx

+
+

+
+
=
2

cos1
sin1
.
cos1
sin1
, với
dx
x
e
J
x

+
=
cos1
Xét
dx
x
e
J
x

+
=
cos1
, ta có
Đặt
( )

=
+
=






=
+
=
x
x
ev
dx
x
x
du
dxedv
x
u
2
cos1
sin
cos1
1

Do đó :
( )
dx
x
x
ee
x
J
xx

+

+
=
2
cos1
sin
.
cos1
1
Từ đó :
( )

+

+

+
+
=

dx
x
x
ee
x
e
x
x
I
xxx
2
cos1
sin
.
cos1
1
.
cos1
sin1

( )

Ce
x
x
dx
x
x
e
xx
+
+
=
+
+


.
cos1
sin
cos1
sin1
2
VD4. Tính

= dxxxI .ln
2
; (ĐS :
C
x
x
x

I +=
9
ln
3
33
)
VD5. Tính

= xdxxI sin
2
; (ĐS :
CxxxxxI +++= cos2sin2cos
2
)
VD6. Tính
( )
dx
x
x
I

=
2
cos
cosln
.
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 9 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
HD. Đặt

( )





=
==






=
=
xv
xdxdx
x
x
du
x
dx
dv
xu
tan
tan
cos
sin
cos

cosln
2
Ta đợc :

( ) ( ) ( )
=+==

dxxxxdxxxxxI
2
tancosln.tan.tantancosln.tan

( )
( )
[ ]
( )
( )
Cxxxx
dx
x
dx
xx
dxxxx
++=
=+=
=++=


tancosln.tan
cos
cosln.tan

1tan1cosln.tan
2
2
VD7. Tính
( )
dxeeI
xx

+= 1ln
; (ĐS :
( ) ( )
CeeeI
xxx
+++= 1ln.1
).
HD : Đặt
( )
( )





=
+
=
+

+
=

=
+=
x
x
x
x
x
x
x
ev
e
dxe
dx
e
e
du
dxedv
eu
1
.
1
1
1ln
VD8. Tính
( )
dxxI

= lnsin

HD : Đặt
( )
( )





=
=




=
=
xv
dx
x
x
du
dxdv
xu
lncos
lnsin
ĐS :
( ) ( )

[ ]
Cx
x
Cxx
x
I +






=+=
4
lnsin
2
2
lncoslnsin
2

).
VD9. Tìm họ nguyên hàm
( )

+
=
2
2
2x
dxex

I
x

Đặt
( )
( )
( )
( )
( )
( )





+
=
+
+
=
+
=
+=+=






+

=
=

2
1
2
2
2
.2.2
2
.
22
2
2
2
x
x
xd
x
dx
v
dxexxdxexxedu
x
dx
dv
exu
xxxx
ĐS :
( )
Ce

x
x
C
x
ex
exI
x
x
x
+






+

=+
+
= .
2
2
2
1
2
.
Nguyên hàm các hàm hữu tỉ
I. Một số nguyên hàm cơ bản

( )
0arctan
1
.1
22
>+=
+

aC
a
x
a
ax
dx

Cbax
abax
dx
++=
+

ln
1
.2

Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 10 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri

( )

0ln
2
1
.3
22
>+
+

=


aC
ax
ax
a
ax
dx

II. Nguyên hàm dạng :
( )
( )

dx
xQ
xP
. Trong đó
( )
xP
,
( )

xQ
là các đa thức của biến
x. Nếu bậc của
( )
xP
lớn hơn hoặc bằng bậc của
( )
xQ
thì ta chia
( )
xP
cho
( )
xQ
. Giả sử
( ) ( ) ( ) ( )
xRxQxAxP
+=
.
, trong đó
( )
xA
,
( )
xR
là các đa thức,
( )
xR
có bậc nhỏ hơn bậc của
( )

xQ
.
Khi đó :
( )
( )
( )
( )
( )
xQ
xR
xA
xQ
xP
+=

( )
( )
( )
( )
( )

+=
dx
xQ
xR
dxxAdx
xQ
xP
.
Do vậy ta xét tích phân bất định

( )
( )

dx
xQ
xR
, bậc của
( )
xR
nhỏ hơn bậc của
( )
xQ
.
1. Nguyên hàm dạng :
( )
( )

dx
xQ
xR
với
( )
cbxaxxQ ++=
2
.
Ta xét 3 trờng hợp sau
TH1:
( )
cbxaxxQ ++=
2

không có nghiệm thực, ta xét hai dạng sau :
Nếu nguyên hàm có dạng :

++
=
cbxax
dx
I
2

Ta viết
( )
a
acb
a
b
xacbxaxxQ
4
4
2
2
2
2

+=++=

Từ đó

=








+
=
++
=

a
acb
a
b
xa
dx
cbxax
dx
I
4
4

2
2
22



+






+
=








+
=
2
2
2
2
2

1
42
1

a
b
x
dx
a
aa
b
x
dx
a
với
0
4
2
2
>

=
a


Sau đó thực hiện phép đổi biến
u
a
b
x tan

2

=+
.
VD1. Tính các tích phân bất định sau


++
=
1
.1
2
xx
dx
I


+
=
22
.2
2
xx
dx
I


+ 544
.3
2

xx
dx

Nếu nguyên hàm có dạng :

++
+
= dx
cbxax
nmx
I
2

Trớc tiên ta tìm
BA,
sao cho
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 11 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri


++
+
++
+
=
++
+
= dx
cbxax

Bdx
cbxax
bax
Adx
cbxax
nmx
I
222
12
Tức là tìm
BA,
sao cho :
( )
( )
BbaxABcbxaxAnmx ++=+

++=+ 2
2

cbxaxAdx
cbxax
bax
AI
++=
++
+
=

2
2

1
ln
2
.


++
= dx
cbxax
I
2
2
1
đợc tính nh trên.
VD2. Tính các tích phân bất định


+
+
dx
xx
x
54
2
.1
2


+
dx

xx
x
1
.2
2


+

dx
xx
x
22
22
.3
2

TH2 :
( )
cbxaxxQ
++=
2
có một nghiệm thực (nghiệm kép) :
a
b
x
2
==

Khi đó

( ) ( )
2
2
2
2

=






+=++= xa
a
b
xacbxaxxQ

Ta sẽ tìm
BA,
sao cho :

( )
( )
( )



+

=
++
+
=
x
B
x
A
cbxax
nmx
xQ
xR
22

VD3. Tính các tích phân bất định sau :
1.

+ 144
2
xx
dx
2.

+
+
dx
xx
x
12
24

2

( )
dx
x
x



2
2
52
.3

TH3 :
( )
cbxaxxQ ++=
2
có hai nghiệm thực phân biệt
21
, xx
.
Khi đó
( ) ( )( )
21
xxxxaxQ
=
. Ta tìm
BA,
sao cho :

( )
( ) ( )( )
2121
xx
B
xx
A
xxxxa
nmx
xQ
xR

+

=

+
=

Từ đó tính đợc tích phân.
VD4. Tính các tích phân bất định sau

( )
0,.1
22
>

=

a
ax
dx
I


+

=
dx
xx
x
J
65
135
.2
2

dx
xx
x
K

+

=
34
5
.3
2

VD5. Tính các tích phân bất định sau

( )



+
94
.2
2009
.1
2
x
dx
xx
dx



+
+
+
+
dx
xx
x
dx
xx
xxxx

232
34
.4
12
13
.3
2
2
234
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 12 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
2. Nguyên hàm dạng :
( )
( )

dx
xQ
xR
với
( )
dcxbxaxxQ +++=
23
,
Ta xét ba trờng hợp sau
TH1 :
( )
xQ
có ba nghịêm phân biệt
( ) ( )( )( )

321
xxxxxxaxQ =

Ta tìm
CBA ,,
sao cho :

( )
( )
321
xx
C
xx
B
xx
A
xQ
xR

+

+

=

TH2 :
( ) ( )( )
2
21
xxxxaxQ =

Ta tìm
CBA ,,
sao cho :

( )
( )
( )
2
2
21
xx
C
xx
B
xx
A
xQ
xR

+

+

=

TH3 :
( ) ( )
( )
nmxxxxaxQ ++=

2
0
với
nmxx ++
2
là tam thức bậc 2
không có nghiệm thực. Ta tìm
CBA ,,
sao cho :

( )
( )
nmxx
CBx
xx
A
xQ
xR
++
+
+

=
2
0

VD6. Tính các tích phân bất định sau

( )
dx

x
x
xx
dx



+

1
12
.2
1
.1
3
2
2






xx
dx
dx
xx
x
3
3

4
.4
2
.3

( )
( )
( )


+
+
++
++
23
.15
.6
21
345
.5
3
2
2
xx
dxx
dx
xx
xx
4. Nếu
( )

xQ
là hàm bậc cao .
Thờng xét các đa thức đơn giản hoặc có dạng đặc biệt
VD7. Tính các tích phân bất định sau

( )
( )


+

+
dx
xx
x
x
dxx
32
62
.2
1
.1
45
4
2
9
8

( )
( )

+
+
3
6
11
78
1
.4
1
.3
x
dxx
xx
dx

( )


+
++
1
.6
34
.5
2009
10052010
1004
xx

dx
xx
dxx
HD.
VD7. 2. Xét tích phân bất định
( )

+

= dx
xx
x
I
32
62
45
4
Ta có
( )
( )
( )

+

=
+

= dxx
xx
x

dx
xx
x
I
3
48
4
45
4
32
62
32
62
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 13 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
Đặt
4
4
334
du
dxxdxxduxu ===

( )
du
uu
u
I

+

=
32
62
4
1
2
Ta tìm A, B, C, D sao cho :
( )
=
+
++=
+

3232
62
22
u
C
u
B
u
A
uu
u

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )

32
3322
32
3232
2
2
2
2
+
++++
=
+
++++
=
uu
AuBAuCB
uu
CuuBuuA






=
=
=

=+
=+
=

4
2
2
02
232
63
C
B
A
CB
BA
A
Do đó :
=






+
+=

32
422
4
1
2
u
du
u
du
u
du
I

C
x
x
x
Cuu
u
+
+
+=+






++=
32

ln2
2
1
32ln2ln2
2
4
1
4
4
4
VD8. Tính
( )

+
=
1006
2
2009
1
.
x
dxx
I

HD : Đặt
22
2
1
1
1

1 xx
x
t
+
=
+
=

( )
2
2
1
2
x
x
dt
+
=
.
Ta đợc :

( ) ( ) ( )
=
+

+
=
++
=

2
2
1004
2
2
2
2
1004
2
2008
1
2
12
1
1
.
1 x
xdx
x
x
x
dxx
x

x
I

( )
C
x
x
C
x
x
C
t
dtt
+
+
=
=+








+
=+==

1005
2

2010
1005
2
21005
1004
12010
1
2010
1
1005
.
2
1
2
1
Nguyên hàm các hàm số lợng giác
I. Một số nguyên hàm cơ bản

Cax
a
dxax
Cxdxx
+=
+=


cos
1
sin.2
cossin.1

Cax
a
dxax
Cxdxx
+=
+=


sin
1
cos.4
sincos.3

Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 14 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri

( )
( )
C
x
x
dx
C
x
x
dx
Cx
x

dx
Cx
x
dx
Cx
x
xd
dx
x
x
dxx
Cx
x
xd
dx
x
x
dxx
+






+=+=
+=+=
+===
+===

42
tanln
cos
,
2
tanln
sin
.8
cot
sin
,tan
cos
.7
sinln
sin
sin
sin
cos
cot.6
cosln
cos
cos
cos
sin
tan.5
22

II. Nguyên hàm dạng

dxnxmx

sin.sin
hoặc
dxnxmx

cos.sin
hoặc
dxnxmx

cos.cos

Cách tính : Dùng công thức biến tích thành tổng, sau đó tính tích phân
VD1. Tìm các họ nguyên hàm sau

dxxx
dxxx


3cos.4sin.2
cossin.1

dxxx
dxxx


6cos2cos.4

7sin.5sin.3

III. Tích phân dạng
dxxx
nm

cossin

Thờng tính bằng cách sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi lợng giác
1. Nếu
m
lẻ : Đặt
xt cos=
; nếu
n
lẻ : Đặt
xt sin=
.
2. Nếu
nm,
đều chẵn : Đặt
xt tan=
.
3. Nếu
nm,
đều chẵn và dơng, dùng công thức hạ bậc để biến đổi.
IV. Tích phân dạng
( )
dxxxR

cos,sin
với
R
là hàm hữu tỉ.
Đa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng cách đặt
2
tan
x
t =

Nếu
( )
xxR cos,sin
thoả mãn

( ) ( )
xxRxxR cos,sincos,sin =
thì đặt
xt cos=

( ) ( )
xxRxxR cos,sincos,sin =
thì đặt
xt sin=


( ) ( )
xxRxxR cos,sincos,sin =
thì đặt
xt tan

=

V. Tích phân dạng
( )
dxmxxP

sin
,
( )
dxnxxP

cos
trong đó
( )
xP
là một đa
thức thờng đợc tính bằng phơng pháp tích phân từng phần.
Một vài ví dụ.
VD1. Tính các tích phân bất định sau

dxxx
dxxx
dx
xx
xx



+
27

3
cos.sin3
cossin.2
2cottan
6sin4sin
.1




xdx
dx
x
x
dxxx
2
6
3
32
tan6
sin
cos
.5
cossin.4

dxx
dxx
dx
x
x

+
3
5
tan.9
sin.8
2sin1
sin
.7

VD2. CMR : Hàm số
( )
xdxc
xbxa
xf
cossin
cossin
+
+
=
có nguyên hàm dạng
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 15 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri

( )
CxdxcNMxxF
+++=

cossinln

Trong đó
NM,
là các hằng số .
HD : Ta tìm
NM,
sao cho

( ) ( )
xdxcNxdxcMxbxa sincoscossincossin ++=+

Rx

( ) ( )
xNcMdxNdMcxbxa cossincossin ++=+

Rx


( )
*
22
22

+

=
+
+
=




=+
=

dc
adbc
N
dc
bdac
M
bNcMd
aNdMc
. Từ đó suy ra đpcm.
VD3. Tính

= dx
xx
I
1
cos

1
3
. (ĐS :
C
xxx
I +=
1
cos
1
sin
1
).
( HD : Đặt
x
t
1
=
, sau đó dùng phơng pháp tích phân từng phần )
VD4. Tính
( )
dxxxI

+






=

2sin2
4
sin


HD : Đặt
4

= xt
,
dxdt =
,
ĐS :
CxxI
+













=
4

cos
2
3
4
3
3cos
6
1

.
VD5. Tính
dxxxI .cossin2

++=
; với







2
;0

x
.
HD : Dùng công thức

=+
4
cos2cossin

xxx

Ta đợc :






=++
82
cos8cossin2
4

x
xx
. Từ đó tính đợc I.
Nguyên hàm các hàm siêu việt
Các nguyên hàm cơ bản

CedueCedxe
uuxx

+=+=

.1


C
a
a
duaC
a
a
dxa
u
u
x
x
+=+=

lnln
.2

Ví dụ
VD1. Tính tích phân bất định sau :


=
2
x
x
ee

dx
I

Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 16 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
HD. §Æt
u
du
dxdxedueu
xx
2
2
1
22
=⇒=⇒=
Ta ®îc :
( )
∫∫
−
=
−
=
1
2
21
22
uu
du
u

du
uu
I
Ta t×m A, B, C sao cho :

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
11
11
1
1
1
2
2
2
2
22
−
−−++
=
−
+−+−
=
−
++=
−
uu

AuBAuCB
uu
CuuBuuA
u
C
u
B
u
A
uu






=
−=
−=
⇔





=−
=−
=+
⇒
1

1
1
1
0
0
C
B
A
A
BA
CB
Do ®ã :

=+






−+−=






−
+−−=
∫ ∫ ∫

Cuu
uu
du
u
du
u
du
I 1lnln
1
2
1
2
2

CeeC
e
e
e
C
u
u
u
xx
x
x
x
+−+=+











−
+=+






−
+=
−−
22
2
2
2
1ln22
1
ln
1
2
1
ln
1

2
VD2. TÝnh
( )
∫
++=
dxexxI
x
1tantan
2
.
HD : BiÕn ®æi
( ) ( )
JdxexdxexdxexI
xxx
++=++=
∫∫∫
.1tan.tan.1tan
22
Víi
dxexJ
x
∫
= .tan
.
§Æt
( )



=

+=
⇒



=
=
x
x
ev
dxxdu
dxedv
xu
2
tan1
tan

( )
dxexxeJ
xx
∫
+−= .tan1tan.
2
. Tõ ®ã suy ra :
CxeI
x
+= tan
.
VD3. TÝnh
∫

+
=
x
e
dx
I
9
.
HD. §Æt
x
et =
.
Ta cã :

( )
( )
( )
( )
=






+
−=
+
−+
=

+
=
+
=
∫ ∫∫∫∫
99
1
9
9
9
1
99 t
dt
t
dt
dt
tt
tt
tt
dt
ee
dxe
I
xx
x

( )
C
e
e

C
t
t
Ctt
x
x
+
+
=+
+
=++−=
9
ln
9
1
9
ln9lnln
9
1
.
VD4. TÝnh
∫
−
+
−
=
dx
x
x
x

I
1
1
ln
1
1
2

HD :
Nguyªn hµm va TÝch ph©n toan hoc
giai tich 12 17 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
Đặt
( )








+
=

+
=

=

=


+
=









=

+
=

x
x
x
x
x
dx
v
x
dx
dx
x

x
x
du
x
dx
dv
x
x
u
1
1
ln
2
1
1
1
ln
2
1
1
1
.2
1
2
.
1
1
1
1
1

1
ln
2
22
2

Ta đợc :
=

+








+
=

2
2
1
.2
.
1
1
ln
2

1
1
1
ln
2
1
x
dx
x
x
x
x
I

I
x
x
dx
x
x
xx
x


+
=

+

+
=

1
1
ln
2
1
1
1
ln
1
1
1
1
ln
2
1
2
2
2

C
x
x
I
x
x
I +

+
=

+
=
1
1
ln
4
1
1
1
ln
2
1
2
22
.

Nguyên hàm các hàm vô tỉ đơn giản
I. Các tích phân cơ bản

( ) ( )
Caxx
ax
dx
Cxx
x
dx

++=

++=


22
22
2
2
ln1ln
1

II. Một vài dạng nguyên hàm hay gặp
Cho
( )
yxR ,
là hàm hữu tỉ đối với
yx,

1. Tích phân dạng
dx
x
x
xR
m

+
+


,

Thờng đợc tính bằng cách đổi biến
m
x
x
t


+
+
=
.
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 18 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
2. Tích phân dạng
( )
dxcbxaxxR .,
2

++

đợc đa về một trong ba dạng tích
phân cơ bản sau :
( )
duuuRI .,
22
11

+=

;
( )
duuuRI

=
.,
22
22


và
( )
duuuRI

=
.,
22
33

bằng cách viết :

aa
b
xacbxax
42
2
2








+=++
, rồi đặt
a
b
xu
2
+=

Các tích phân
321
,, III
thờng đợc tính bằng phơng pháp đổi biến số.
3. Tích phân dạng

++
+

dx
cbxax
x
2


Trớc hết ta tìm
NM,
sao cho

( )
NbaxMx ++=+ 2


Từ đó đa tích phân về dạng

( )

++
+
++
++
=
++
+
cbxax
dx
N
cbxax
cbxaxd

Mdx
cbxax
x
22
2
2


Tích phân dạng

++ cbxax
dx
2
đợc đa về một trong ba dạng sau

+
=
22
1

u
du
I
;


=
22
2

u
du
I
;


=
22
3
u
du
I

bằng cách biến đổi :

aa
b
xacbxax
42
2
2








+=++

, rồi đặt
a
b
xu
2
+=

4. Các phép thế Euler
E1 :
txacbxax
+=++
.
2
nếu
0>a
.
E2 :
ctxcbxax
=++
.
2
nếu
0>c
.
E3 :
( )
0
2
xxtcbxax
=++

nếu
0
x
là nghiệm của tam thức bậc hai
( )
cbxaxxf ++=
2
.
5. Tích phân vi phân nhị thức

( )
dxbxaxI
q
pr

+=
.
, với
RbaQrqp

,;,,
Nếu
q
: Đặt
s
tx =
với
s
là BCNN của mẫu số của
p

và
r
.
Nếu

+
p
r 1
: Đặt
sp
txba
=+
.
,
s
là mẫu số của
q
.
Nếu
+
+
q
p
r 1
: Đặt
sp
tbax
=+

,

s
là mẫu số của
q
.
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 19 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
Các Ví dụ.
VD1. CMR
( )
Cxx
x
dx
+++=
+

2
2
1ln
1
C1: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm
C2 : Đặt
011
22
>++=+=+
xxttxx
( Phép thế E1).

( )
2

22
222
2
.1
2
1
.21
t
dtt
dx
t
t
xttxxx
+
=

=+=+


1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2

22
2
+
=
+

+
=+

=+
t
t
x
t
t
t
t
t
x
.
Do đó
( )
( )
CxxCt
t
dt
t
dtt
t
t

I +++=+==
+
+
=

2
2
2
2
1lnln
2
.1
.
1
2
.
VD2. Tính các nguyên hàm sau
dxxxI

+=
4
23
1.
.
HD : Đặt
11
42
4
2
=+=

uxxu
.
Ta có :
duuxdxduuxdx
33
242 ==

( ) ( )
===+=

duuuduuuuxdxxxI
4834
4
22
22 1.1.

( ) ( )
CxxC
uu
+++=+








=
5

4
2
9
4
2
59
1
5
2
1
9
2
59
2

Vậy :
( ) ( )
CxxI
+++=
5
4
2
9
4
2
1
5
2
1
9

2
.
VD 3. Tính
( )

+
=
2
4
1xx
dx
I
HD : Đặt
4
4
uxxu ==
.
Ta có :
duudx
3
4=

( ) ( )
( )
( )
=
+
+
=
+

=
+
=

du
u
u
u
udu
uu
duu
I
222
2
3
1
11
4
1
4
1
4

( )
C
x
x
C
u
u

u
du
u
du
+
+
++=
=+






+
++=








+

+
=

1

4
1ln4
1
1
1ln4
1
1
4
4
4
2
VD4. Tính

++
=
52
2
xx
dx
I
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 20 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
HD : Đặt
( )
12
5
52
2
2

+

=+=++
u
u
xuxxx
.
Ta có :
( )
du
u
uu
dx
2
2
12
52
+
++
=

và
( )
( )
52
12
52
1
12
52

52
2
2
2
2
++
+
=
++

+
++
=++
uu
u
xx
u
uu
xx


( )
( )

=++=
+
=
+
++
++

+
= Cu
u
du
du
u
uu
uu
u
I 1ln
1
12
52
52
12
2
2
2

Cxxx +++++= 521ln
2
.
Một số phơng pháp đặc biệt
tính tích phân bất định
Sử dụng đồng nhất thức
a. Nếu gặp tích phân dạng sau :
)0(,)(
+=

adxbaxxI

thì ta áp dụng
đồng nhất thức :
])[( bbax
a
ax
a
x
+==
11
. Từ đó ta đợc :

)()()]()[()( bax
a
b
bax
a
baxbbax
a
baxx
++=++=+
+
1
11




++++=
=++=

+
+
)()()()(
)()(
baxdbax
a
b
baxdbax
a
dxbax
a
b
dxbax
a
I


2
1
2
1
1
1

VD1. Tính

+
=
1x
xdx

I

VD2. Tìm các họ nguyên hàm sau :
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 21 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri



dxxx
n
)1(.1


+ dxxx
502
)32(.2

dxxx

+
3
43 3

b. Tính các tích phân bất định sau :


+
45
.1

2
xx
dx


+
)12)(32(
4
.2
xx
dx


++
23
2
.3
24
xx
xdx

c. Phơng pháp nhân với biểu thức liên hợp.
VD. Tính

+++
=
23 xx
dx
I
.

Chia cả tử và mẫu cho một biểu thức thích hợp.
VD1. Tính

+++

=
dx
xxx
xx
I
144
246
3
HD. Chia cả tử và mẫu của biểu thức dới dấu tích phân cho
3
x
.
Sau đó đặt
dx
x
du
x
xu .
1
1
1
2

=+=

Chú ý :
uu
x
x
x
x
x
x 3
1
3
11
3
3
3
3
=






+

+=+

ĐS :
C
xx
xx
I
+








++
++
=
13
12
ln
2
1
24
24

.
phơng pháp sử dụng nguyên hàm phụ.
VD1. Tính tích phân bất định

+
= dx
xx
x
I
cossin
sin

HD. Để tính I , ta xét thêm

+
= dx
xx
x
J
cossin
cos
.
Sau đó tính
JI +
và
JI
.
VD2. Tính các tích phân bất định sau

( )

dx
xx
xx
I

+

=
3
cossin
cos3sin4
và
( )
dx
xx
xx
J

+

=
3
cossin
sin3cos4
bằng cách tính
JI +
và
JI
.
HD : Ta có

( ) ( )
=
+

+
+

=+

dx
xx
xx
dx
xx
xx
JI
33
cossin
sin3cos4
cossin
cos3sin4
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 22 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri

( ) ( )
Cx
x
xd

x
dx
xx
dx
dx
xx
xx
+






=














=

=













=
+
=
+
+
=


4
tan
2
1
4
cos
4
2

1
4
cos.2
cossincossin
cossin
2
223




Lại có :

( ) ( )
=
+


+

=

dx
xx
xx
dx
xx
xx
JI
33

cossin
sin3cos4
cossin
cos3sin4

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
C
xx
Cxx
xxdxx
xx
dxxx
dx
xx
xx
+
+
=++


=
=++=
=
+

=
+

=




2
2
3
33
cossin2
7
cossin
2
7
cossincossin7
cossin
cossin
7
cossin
cos7sin7
Từ đó ta đợc :

( )
C
xx
xI

+
+
+






=
2
cossin4
7
4
tan
4
1


( )
C
xx
xJ +
+

=
2
cossin4
7
4
tan
4
1

Tích phân
I. Định nghĩa tích phân
1. Công thức Newton Leibnitz
Nếu
( )
xF
là một nguyên hàm của
( )
xf
trên
[ ]
ba;
thì

( ) ( ) ( ) ( )
aFbFxFdxxf
b
a
b
a

==


Chú ý : Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu biến số, tức là ta có thể
chọn bất kì một chữ số khác để thay cho
x
, ví dụ
vut ,,

Vậy ta có :
( ) ( ) ( )

===

duufdttfdxxf
b
a
b
a
b
a
2. Các tính chất của tích phân
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 23 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri

( )
( ) ( )
( )
[ ]

( )
( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
( )
[ ]
( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
abMdxxfabmbaxMxfm
dxxgdxxf
bax
xgxf
dxxfbaxxf
dxxfdxxfdxxf
dxxfkdxxgxf
dxxfkdxxfk
dxxfdxxf
dxxf
b
a
b
a
b
a

b
a
b
c
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
a
a





+=
=
=

=
=








;.8
;
.7
0;0.6
.5
4
3
.2
0.1

( Tức là
[ ]
( )
xfm
ba;
min
=
và
[ ]
( )

xfM
ba;
max
=
)

.9
Nếu
t
biến thiên trên
[ ]
ba;
thì

( ) ( )
dxxftG
t
a

=
là một nguyên hàm của
( )
tf
và
( )
0=aG

tính tích phân
bằng Phơng pháp đổi biến số
Giả sử ta phải tính

( )
dxxfI
b
a

=
.
. Đổi biến số dạng 1.
B1 : Đặt
( )
tux =
, giả sử



==
==


tbx
tax


( )
dttudx .

=

B2 : Biến đổi
( ) ( )( ) ( ) ( )

dttgdttutufdxxf =

=
;
B3 : Tìm một nguyên hàm
( )
tG
của
( )
tg
;
Nguyên hàm va Tích phân toan hoc
giai tich 12 24 of 59
Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri
B4 : TÝnh
( ) ( ) ( ) ( )
αβ
β
α
β
α
GGtGdttgI
−===
∫
.
.
 C¸c vÝ dô. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1.
dxxI
∫

−=
1
0
2
1
. (HD : §Æt
tx sin=
, §S :
4
π
=I
).
Tæng qu¸t :
( )
0
0
22
>−=
∫
adxxaI
a
, ( §Æt
tax sin=
, §S :
4
2
π
a
I =
).

2.
dxxI
∫
−=
2
2
0
2
21
. (HD. §Æt
tx sin
2
2
=
; §S :
8
2
24
ππ
==I
).
Tæng qu¸t :
( )
01
1
0
22
>−=
∫
adxxaI

a
, ( §Æt
t
a
x sin
1
=
, §S :
a
I
4
π
=
)
3.
∫
+
=
1
0
2
1 x
dx
I
. (HD. §Æt
tx tan=
; §S :
4
π
=I

).
Tæng qu¸t :
( )
0
0
22
>
+
=
∫
a
xa
dx
I
a
, ( §Æt
tax tan.=
, §S :
a
I
4
π
=
)
4.
( )
∫
+
=
3

1
3
2
1 x
dx
I
. (HD. §Æt
tx tan=
; §S :
2
23 −
=I
).
5.
dx
x
x
I
∫
−
=
2
2
0
2
2
1
. (HD. §Æt
tx sin=
; §S :

8
2−
=
π
I
).
6.
∫
+−
=
1
0
2
1xx
dx
I
hoÆc
∫
++
=
1
0
2
1xx
dx
J
(§S :
9
32
π

=I
,
9
3
π
=J
)
HD. Ta tÝnh
∫∫
+






−
=
+−
=
1
0
2
1
0
2
4
3
2
1

1
x
dx
xx
dx
I
.
§Æt
( )
duudxux
2
tan1
2
3
tan
2
3
2
1
+=⇒=−

6
0
π
−=⇒= ux
;
6
1
π
=⇒= ux

Nguyªn hµm va TÝch ph©n toan hoc
giai tich 12 25 of 59