Nguyên hàm và tích phân

Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 1
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. Nguyên hàm
1. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a.
3
1
( ) 3
= − +
f x x x
x
b.
3
1
( )
−
=
x
f x
x
c.
3
1 1
( )
= −
f x
x x
d.
( ) ( )
( ) 1 1
= + − +

f x x x x
e.
( )
( ) 1
−
= −
x x
f x e e
f.
( ) 2 3
= +
x x
f x
g.
( ) 2
= +
x
f x a x
h.
2
( ) 2
cos
−
 
= +
 ÷
 
x
x
e

f x e
x
2. Tính:
a.
( )
20
2 1
+
∫
x dx
b.
2
+
∫
xdx
x a
c.
2 3
5
+
∫
x x dx
d.
∫
dxx2
3
e.
∫
dxx
5

f.
( )
2
3
2
3
4x
dx
x
−
∫
g.
( )
1
2
2
1
+
∫
x xdx
h.
2
3 3
1
x dx
x
+
∫
i.
2

2
5x x dx
x
 
− +
 ÷
 
∫
j.
3
4dx
x
∫
k.
∫
+
dx
x
1x
2
3
l.
2
x
e xdx
−
∫
m.
( )
4

ln
∫
x
dx
x
n.
3cos
sin
∫
x
e xdx
o.
tan xdx
∫
p.
( )
cot 3sin 2 1x x dx
− + 
 
∫
q.
(
)
2
3
2cos
sin
x dx
x
−

∫
r.
( )
cos ( 0)
+ ≠
∫
ax b dx a
II. Tích phân
1. Tính các tích phân sau
a.
3
1
2
−
∫
xdx
b.
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
c.
3
1
( 4)
+
∫

x dx
d.
16
1
∫
xdx
e.
1
1
e
e
dx
x
∫
f.
1
2
1
3
dx
x
∫
g.
2
2
3
1
2
−
∫

x x
dx
x
h.
8
3
2
1
1
4
3
 
−
 ÷
 
∫
x dx
x
i.
3
2
1
2
∫
dx
x
j.
3
3
2

−
−
∫
x dx
k.
2
1
2 5 7+ −
∫
e
x x
dx
x
l.
1
0
x
dx
2x 1+
∫
m.
1
0
x 1 xdx−
∫
n.
2
2
2
1

−
−
∫
x dx
o.
1
2
0
1
dx
x+
∫
p.
2
2
1
−
+
∫
x dx
q.
1
2
0
1 x dx−
∫
r.
1
2
0

2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
s.
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
t.
1
0
1+
∫
dx
x
u.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+

+ +
∫
v.
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
w.
1
2
2
0
1
dx
x−
∫
x.
0
2
2
4
2 3
dx
x x
−
+ −
∫

y.
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx

2. Tính các tích phân sau
a.
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
b.
( )
∫
−
+
1
0
xx
dxee
c.
2

1
0
.
x
e xdx
−
∫
d.
1
3 1
0
+
∫
x
e dx
e.
4
4
0
(3 )−
∫
x
x e dx
3. Tính các tích phân sau
a.
( )
∫
+
1
0

2
dx1xsin
b.
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
c.
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
d.
4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
π
+
∫
GV: Cao Khả Thúc
Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 2

e.
2
2
cos3 cos5
−
∫
x xdx
π
π
f.
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
g.
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x

x
h.
3
2
0
4sin x
dx
1 cos x
π
+
∫
i.
2
2
sin 2 sin 7x xdx
π
π
−
∫
j.
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
k.
π
π
+ +

+
∫
6
2
1 sin 2x cos 2x
dx
sin x cos x
l.
4
2
0
cot xdx
π
∫
m.
2
3
2
4
3 cot
cos
x
dx
x
π
π
−
∫
n.
∫

+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
o.
4
2
0
sin
4
 
−
 ÷
 
∫
x dx
π
π
4. Tính các tích phân sau
a.
1
2
0
2 1
1

x
dx
x x
+
+ +
∫
b.
( )
1
2
3
2
0
5
1
xdx
x−
∫
c.
2
1
1 ln
e
dx
x x−
∫
d.
+
∫
e

1
2 ln x
dx
2x
e.
1
1 ln+
∫
e
x
dx
x
f.
2
3
0
sin cos
∫
x xdx
π
g.
2
sin
0
.cos
∫
x
e xdx
π
h.

6
0
1 4sin .cos+
∫
x xdx
π
5. Tính các tích phân sau:
a.
4
4
1
lnx xdx
∫
b.
2
0
sinx xdx
π
∫
c.
ln2
0
x
xe dx
−
∫
d.
( )
1
2

0
ln 1x x dx+
∫
e.
1
ln
e
e
x dx
∫
f.
1
3
0
x
xe dx
∫
g.
1
2
0
x
x e dx
−
∫
h.
( )
2
0
1 cosx xdx

π
−
∫
i.
1
ln
e
xdx
∫
j.
2
2
0
sinx xdx
π
∫
k.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
l.
2 2
0
a
dx
a x+

∫
m.
( )
5
2
2 ln 1x x dx−
∫
n.
( )
2
1
ln
e
x dx
∫
o.
( )
6
0
2 sin 3x xdx
π
−
∫
p.
2
2 2
0
a
dx
a x−

∫
6. Tính các tích phân sau:
a.
3
2
0
1 2x x dx− +
∫
b.
2
3
1
1x
dx
x
−
∫
c.
4
1
1
x dx
x
 
+
 ÷
 
∫
d.
1

3 2
2
3
2 1x x
dx
x
− +
∫
e.
2
2
0
3 4
1
x x
dx
x
− +
+
∫
f.
2
2
2
2x x dx
−
− −
∫
g.
6

3
1
sin
dx
x
π
π
∫
h.
3
2
2
5 4
dx
x x− +
∫
i.
4
4
0
(3 )
x
x e dx−
∫
j.
1
0
2
x x
e e

dx
−
+
∫
k.
3
4
0
1 sin 2xdx
π
+
∫
l.
3
1
2x dx−
∫
m.
1
0
( 1)( 2)
dx
x x+ +
∫
n.
2
3
4
1
( )x x x dx+ +

∫
o.
2
1
2
1
x dx
x
−
∫
7. Tính các tích phân sau:
a.
2
3
2
cos xdx
π
π
∫
b.
4
4
0
sin xdx
π
∫
c.
3
4
2

0
1 cos
cos
x
dx
x
π
−
∫
d.
0
sin 2 cos3x xdx
π
∫
GV: Cao Khả Thúc
Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 3
e.
3
2 2
4
cos2
cos sin
xdx
x x
π
π
∫
f.
3
2 2

6
sin cos
dx
x x
π
π
∫
g.
2
2
sin 7 sin 2x xdx
π
π
−
∫
h.
2 2
3
2
4
cos 2tan
sin
x x
dx
x
π
π
−
∫
8. Tính các tích phân sau:

a.
2
4
1
(2 1)x dx−
∫
b.
1
2
2 3 4
0
( 1)x x dx+
∫
c.
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫
d.
3
3
2
1
16
x dx
x −
∫

e.
3
2 3
1
( 1)
xdx
x
−
+
∫
f.
3
2
1
2
4 3
x
dx
x x
+
+ +
∫
g.
2
3
3 2
0
8.x x dx−
∫
h.

1
3 2
0
1x x dx−
∫
i.
3
2
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
j.
3
5 2
0
1x x dx+
∫
k.
1
0
2 1
x
dx
x +

∫
l.
1
5 3
0
1x x dx−
∫
m.
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
n.
7
3
3
2
0
1
x
dx
x

+
∫
o.
1
2
1
3
2
4 1
dx
x x −
∫
9. Tính các tích phân sau:
a.
3
2
0
4sin
1 s
x
dx
co x
π
+
∫
b.
4
6
cot xdx
π

π
∫
c.
2
4
3
sin
dx
x
π
π
∫
d.
3
3
0
sin cosx xdx
π
∫
e.
4
0
cos2
1 2sin 2
xdx
x
π
+
∫
f.

3
2
4
1 sin 2
cos
x
dx
x
π
π
+
∫
g.
4
4
3
cos
dx
x
π
π
∫
h.
2
5
4
sin xdx
π
π
∫

i.
2
2
sin
4
.sin 2
x
e xdx
π
π
∫
j.
3
2
0
4cos
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
k.
4
2 2
0
sin 9cos
dx
x x

π
+
∫
l.
4
0
tanxdx
π
∫
m.
4
4 4
0
sin 4
sin cos
xdx
x x
π
+
∫
n.
2
4
0
sin 2
1 sin
x
dx
x
π

+
∫
o.
2
3
0
cos xdx
π
∫
p.
4
2
0
(sin 2cos )
dx
x x
π
+
∫
q.
2
2
0
sin
1 cos
xdx
x
π
+
∫

r.
2
2
0
sin 2
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
s.
6
2
6 6
0
sin
cos sin
xdx
x x
π
+
∫
t.
2
0
sin
1 3cos
x

dx
x
π
+
∫
10. Tính các tích phân sau:
a.
4
1
x
e
dx
x
∫
b.
ln 2
2
0
1
x
x
e dx
e +
∫
c.
1
0
1
x
x

e dx
e
−
−
+
∫
d.
1
4
e
x x
dx
e e
−
−
∫
e.
1
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
f.
3
2
1

ln 2 ln
e
x xdx
x
+
∫
g.
1
2
0
1
dx
x+
∫
h.
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
i.
2
1
ln .
(ln ) 1
e

x dx
x x
 
+
 
∫
j.
5
ln
e
e
dx
x x
∫
k.
1
sin(ln )
e
x dx
x
∫
l.
2 3
2
0
4
dx
x +
∫
m.

3
2
2
4 5
dx
x x− +
∫
n.
1
4 2
0
4 3
dx
x x+ +
∫
o.
1
4 2
0
3
xdx
x x+ +
∫
p.
2
2 2
0
4x x dx−
∫
q.

1
2
0
1 x dx−
∫
r.
2
2
2
2
0
1
x
dx
x−
∫
s.
2 2 2
0
a
x a x dx−
∫
t.
2
2
4
1
1
1
x

dx
x
−
+
∫
u.
1 5
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
+
+
+
∫
v.
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
dx

x x
+
+
− +
∫
x.
2
2
0
x x dx−
∫
y.
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫
11. Tính các tích phân sau:
GV: Cao Khả Thúc
Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 4
a.
2
0

sinx xdx
π
∫
b.
3
0
cosx xdx
π
∫
c.
2
2
0
( 1) sx co xdx
π
−
∫
d.
6
0
(2 )sin3x xdx
π
−
∫
e.
2
2 2
0
cosx xdx
π

∫
f.
2
0
sin cos
2 2
x x
x dx
π
∫
g.
2
3
3 2
sx co x dx
π
π
∫
h.
3
2
3
0
sin xdx
π
 
 ÷
 
∫
12. Tính các tích phân sau:

a.
1
ln
e
xdx
∫
b.
2
1
ln
e
x
dx
x
∫
c.
5
2
2 ln( 1)x x dx−
∫
d.
2
1
(ln )
e
x dx
∫
e.
2
1

ln
e
x xdx
∫
f.
2
1
ln
e
x
dx
x
 
 ÷
 
∫
g.
3
1
ln
e
x
dx
x
∫
h.
2
2
1
ln(1 )x

dx
x
+
∫
i.
2
2
0
ln( 1 )x x dx+ −
∫
j.
3
6
2
ln(sin )
cos
x
dx
x
π
π
∫
k.
3
1
.ln
e
x xdx
∫
l.

1
( 1)ln
e
x xdx−
∫
13. Tính các tích phân sau:
a.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
b.
2
2
0
cos3
x
e xdx
π
∫
c.
2 2
0
sin
x
e xdx
π

∫
d.
1
2 2
0
sin
x
e xdx
π
∫
e.
1
sin(ln )
e
x dx
∫
f.
1
s(ln )
e
co x dx
∫
g.
3
4
2
sin
xdx
x
π

π
∫
h.
2
2
0
( sin 2 )x x dx
π
+
∫
i.
cos
0
( )sin
x
e x xdx
π
+
∫
14. Tính các tích phân sau:
a.
1
2
0
3 2
xdx
x x+ +
∫
b.
1

sin(ln )
e
x
dx
x
∫
c.
( )
2
2
1
ln 1x x dx+
∫
d.
2
ln
e
e
x
dx
x
∫
e.
2
1
ln
e
x
dx
x

∫
f.
4
2
6
sin cot
dx
x x
π
π
∫
g.
3
3
1
3
x
xe dx
∫
h.
0
2
2
3
5
x
x
dx
+
−

∫
III. Một số bài toán tích phân quan trọng
1. Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên [-a;a] (a > 0) thì
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫
2. Chứng minh rằng nếu f(x) là chẵn và liên tục trên [-a;a] (a > 0) thì
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫ ∫
3. Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số liên tục trên [0;1] thì:
a.
2 2
0 0
f(sin x)dx f(cos x)dx
π π
=
∫ ∫
b.
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
π π
π

=
∫ ∫
4. Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thì:
+
0
( )
( ) vôùi R vaø a > 0
1
x
f x
dx f x dx
a
α α
α
α
−
= ∈
+
∫ ∫
;
a 1≠
5. Tính các tích phân sau:
GV: Cao Khả Thúc
Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 5
a.
4 3
0
cos sinx x xdx
π
∫

b.
4
2
4 4
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+
∫
c.
6
2
6 6
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫
d.
5
0
x sin xdx
π
∫
e.
2

2
2
4 sin
x cosx
dx
x
π
π
−
+
−
∫
f.
2
0
cos
;
cos sin
n
n n
x
dx n Z
x x
π
+
∈
+
∫
g.
2

0
x sin x
dx
4 cos x
π
−
∫
h.
1
4
2
1
sin
1
x x
dx
x
−
+
+
∫
6. Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B= π +
thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
'
f (1) 2=
và
2
0
f(x)dx 4=

∫
7. Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =
∫
IV. Ứng dụng của tích phân
IV.1. Tính diện tích hình phẳng
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [0; π] và trục Ox.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x
2
- 2x - 3 và trục Ox.
3. Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hsố y = -x
3
+ 6x
2
- 9x + 4 và đường thẳng
3 1
4 2
= +y x
.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. (P) y = x
2
- 2x, trục Ox, x = -2, x = 3. b. x = 0, x = 1, y = 0, y = 5x
4
+ 3x
2
+ 3

c. y = x
2
+ 1, x + y = 3 d. y = x
2
+ 2, y = 3x
e. y = 4x - x
2
, y = 0 f. y = lnx, y = 0, x = e
g. x = y
3
, y = 1, x = 8 h. y =
3
3
x
, trục Ox , x= -1 , x = 2
i.
( ) ( )
1 2 , 0.y x x x y
= − − =
j.
, , 0, cos ;
2
x x y y x
π
π
= − = = =
k. xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a (a > 0) l. y = e
x
, y = e
-x

, x = 1
m.
2
3= −( ) : ( )C y x x
và trục Ox n.
4 2
= −( ) :C y x x
và trục Ox.
5. Tính diện tích của các hình phẳng sau:
a.
2
2
x
y 4
4
x
y
4 2

= −




=


b.
2
y x 4x 3

y x 3

= − +


= +


c.

− −
=

−


= =

3x 1
y
x 1
y 0;x 0
d.
2
2
y x
x y

=



= −


e.
2
y x
y 2 x

=


= −


f.

=



= = =

ln x
y
2 x
y 0; x e; x 1
g.
2
y x 5 0

x y 3 0

+ − =

+ − =

h.
2
2
y x 2x
y x 4x

= −


= − +


i.
2
3 3
y x x
2 2
y x

= + −



=


j.
2
y 2y x 0
x y 0

− + =

+ =

k.





−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
l.






=∆
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x
2
- 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm
M(3; 5) và trục tung.
GV: Cao Khả Thúc