de thi hsg toan 7 thcs bach lieu(v2)

đề thi học sinh giỏi Trờng THCS Bạch Liêu
năm học 2009-2010
Môn: Toán 7 (vòng 2) - Thời gian 120 phút
Câu 1: Cho hai đa thức: A= x
3
-2x
2
-xy
2
+2xy+2y+2x-2
B= 2x
2
-2y
2
+3xy-2x-2y
a) Tính A+B
b) Tính A-B
c) Tính giá trị của đa thức B biết x=1; y=-2
d) Tính giá trị của đa thức A biết x+y-2=0.
Câu 2: Cho hàm số y=f(x)=
3 1 3 7x x
+
a) Tính: f(2); f(-2); f(
1
3
); f(
1
3

)
b) Tìm x biết f(x)=10

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x).
Câu 3: Cho bốn số tự nhiên a, b, c, d khác 0 thoả mãn: a
2
+b
2
= c
2
+d
2
.
Chứng minh: a+b+c+d là một hợp số.
Câu 4:Cho tam giác ABC, AB < AC. Trên cạnh AB và AC lấy tơng ứng hai điểm
D, E sao cho BD=CE. Gọi M, N, I lần lợt là trung điểm của BC, DE, CD. Đờng
thẳng MN cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự ở P và Q.
a) Chứng minh tam giác MIN cân.
b) Chứng minh AP=AQ.
c) Qua A kẻ đờng thẳng song song với MN cắt BC tại D. Chứng minh AD
là phân giác của góc BAC.
d) Chứng minh:
2 2
AB AC BC AB AC
AM
+ +
< <
.
Biểu điểm và đáp án
Câu 1: 2 điểm trong đó:
a) 0.5đ: A+B= x
3
-xy

2
-2y
2
+5xy-2
b) 0.5đ: A-B=x
3
-4x
2
-xy
2
+2y
2
-xy+4y+4x-2
c) 0.5đ:B=-10
d) 0.5đ: A=2
Câu 2: 3.5 điểm: a) 1đ: f(2)=6; f(-2)=18; f(1/3)=6; f(-1/3)=10
b) 1.5đ: x=-1/3; x=3.
c) 1đ: Min f(x)= 6 khi 1/3
7
3
x
.
Câu 3: 1 điểm: Ta có a
2
+b
2
=c
2
+d
2

suy ra a
2
+b
2
+c
2
+d
2
chia hết cho 2(1)
Mặt khác a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+a+b+c+d =a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)+d(d+1) chia hết cho 2 (2);
Từ (1) và (2) suy ra a+b+c+d chia hết cho 2 (3).
a, b,c, d, thuộc N và khác 0 nên suy ra: a+b+c+d

4(4)
Từ (3),(4) suy ra điều phải chứng minh.
Câu 4: 3,5 điểm: a) 1đ:NI // = 1/2 CE. MI//= 1/2 BD mà CE=BD suy ra MI=NI.
b) 0,5đ:Tam giác MIN cân tại I (CMT) suy ra góc MNI= góc NMI.
NI//AC nên góc MNI= góc NQE=góc Q .MI//AB nên góc NMI= góc P. Do đó góc P= góc
Q
1
suy ra tam gica APQ cân tại A, do đó AP=AQ.
c) 0,5đ:Do AD//MN nên góc A

1
= góc P; góc BAC= góc P + góc Q
1
= 2
lần góc P. Do đó góc A
2
= góc P. Suy ra A
1
=A
2
do đó AD là phân giác góc BAC.
d)1đ: Từ các bất đẳng thức AM>AB-BM;AM>AC-MC nên AM>
2
AB AC BC+
(1)
Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA=MD ta có tam giác AMB= tam giác DMC,
suy ra CD=AB. Trong tam giác ACB ta có AD<AC+CD nên 2AM<AC+AB suy ra AM<
2
AB AC+
(2) Từ (1) và (2) ta có ĐPCM.
Vẽ hình đúng: 0,5 đ.