bt ham lien tuc

Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n .
Các dạng toán toán về giới hạn hàm
Dạng 1:
Giơi hạn dang
o
o
Phương pháp:
Thường tạo nhân tử chung để rút gon tôi đa nhân tử
làm cho tư và mẫu triêt tiêu
Dung các hằng đẳng thức đang nhớ
Công thức:
a
n
-b
n
=(a-b)(a
1−n
+a
)
122 −−−
+++
nnn
babb
Đặc biệt:
x
n
-1 =(x-1)(x
)1
21
++++
−−

xx
nn
các v dụ:
vd1:tính các giới hạn sau:
a)lim
4
23
2
−
−−
x
xx
;b)lim
39
42
2
2
−+
−−
x
x
x
2
→
x
o→
vd2: tính các giới hạn sau:
a)lim
x
x

cos1
tan1
−
−
=? B)lim
)6/cos(
tan3tan
3
π
+
−
x
xx
=?
x
→
∏/4 x
3/
π
→
hướng dấn:lim cos x=cos x
o
; lim sin x=sin x
x
o
x→
x
o
x→

lim tan x=sin x
o
; lim cot x=cotx
o
o
;
x
o
x→
x
o
x→



vd3: tìm các giới hạn sau:
L=lim
mxxx
nxxxx
m
n
−+++
−++++


2
32
x

1
→

hướng dấn : phân tích theo nhân tử chung
x-1
Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho.
1
Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n .
vd4: tìm giới hạn sau:
L= lim
x
xxxx 1)4)(!31)(21)(1
(
−++++
= ?
x
o→
hướng dấn: tách tạo nhân tử chung là x
hoặc khai triển tử số
dạng 2:
phương pháp : đôi biến.
đổi cân giới hạn để đưa về dạng đơn giản hơn
vd1:cho n là số nguyên dương và a
o≠
cmr:
l=lim
x
ax
n
11 −+

=
n
a
(đây là công thức cần nắm)
x
o→

hướng dấn: đăt t=
n
ax+1
và đổi cận của giới hạn
vd2:tìm ghạn sau
a)Lim
x
x
sin
1sin1001 −+
=?
x
π
→
b) L=lim
x
xx 13121
3
−++
=?
x
o→
c)L=lim

x
xxx 1413121
4
3
−+++
=?
x
o→
hướng dấn:thêm bớt đưa về dạng ở vd1
dùng abc-1=abc-bc +bc-c +c-1=
bc(a-1) +c(b-1)+(c-1)
vd3; tìm giới hạn:
a)L =lim
x
xm
2
sin
1cos −
=?
Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho.
2
Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n .
x
o→
b)L=lim
x
xxm
n
2
sin

coscos −
=?
x
0
→
hướng dấn: đặt cosx=y
nm.
và đổi cận
Dạng 3:dùng ghạn lim
x
xsin
=1
x
0
→

phương pháp ; biến đổi dưa về áp dụng ghạn trên
dùng cho ghạn có cả lượng giác và đai số
vd1 : cmr: 1) lim
bx
ax
tan
tan
=lim
bx
si ii
sin
=1
x
o→

x
o→
2)lim
2
cos1
x
ax−
=
2
2
a
x
o→
hướng dấn :biến đổi về dạng trên
vd2: tìm các ghạn sau:
a)L=lim
3
2sinsin2
x
xx −
=?
x
0
→
b)k=lim
3
sintan
x
xx −
=?

x
0
→
c)H=lim
x
x
2
sin2
cos1−
=?
x
0
→
hướng dẫn ; dùng ghạn cơ bản
vd3:tim ghạn sau:
1) L=lim
x
x
cos21
3sin
−
=?
x
3/
π
→
2)H=lim
x
xx
6sin

2sin12sin1 −−+
=?
x
0
→
Hướng dấn: nhân liên hợp
Tạo nhân tử chung
Vd 4: tìm giới hạn :
Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho.
3
Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n .
L=lim
2
3cos2coscos1
x
xxx−
=?
x
o→
vd5:tìm lim
)sin(tan
)cos
2
cos(
x
x
π
=?
x
o→

vd6:tìm các ghạn:1)L=lim
6
cos
9
2
x
x
π
−
=?
x
3
→
2)H= lim(4-x)tan
8
x
π
=?
x
4
→
3)T=Lim
qx
px
sin
sin
=?
x
π
→

dạng 4: dạng
∞
∞

pp : chia cho x có số mũ cao nhất.
vd1:
L = Lim
xxx
xxx
2543
132
2
2
+++
−++
=?
x
±∞→
hướng dấn : chia ra hai trường hợp x
+∞→
và x
−∞→

dạng 5: dạng
∞−∞

PP: chuyển về dạng khác băng thuật thêm bớt.
Chú ý :dùng liên hợp
Vd1: 1)L= Lim (
)1

3
3
xx −+
=?
x
+∞→
2)k = Lim (
)1
4
4
xx −+
=?
x
−∞→
hướng dấn : dùng liên hợp
vd2: 1) L= Lim (2x-1-
)344
2
−− xx
)
x
+∞→
2)Lim (
)23
2
3
23
xxxx −−+
=?
x

+∞→

HD: tách thành hai ghạn.
Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho.
4
Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n .
Dạng 6:giới hạn một phía;
PP: căn cứ vào cân gh để tìm hàm .
Vd1: 1)Lim
2
|63|
+
+
x
x
=?
x
+
→ 2
2)Lim
xx
xx
+
−
2
3
=?
x
+
→ o

vd2: 1) L=Lim
3
21
2
−
−
x
x
=?
x
+
→ 3
2) K= Lim
2
4
2
−
−
x
x
=?
x
+
→ 2
HD : căn cứ vào cận để xét dấu của hàm số
Vd3:

2
9 x−
với -3

3
≤≤
x
F(x) = 1 với x=3s

9
2
−x
với x>3

Tìm Lim f(x) ;lim f(x);Lim f(x)
x
+
→ 3
x
−
→ 3
x
3
→
hd : chọn biểu thức thích hợp.
bài tập tự luyện
1)L=Lim
x
xxx 11
2
++−+
=?
x
o→

2)Lim
ax
aaxx
−
−
=?
x
a→
3)lim
t
xtx −+
=?
Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho.
5
Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n .
t
o→
4)lim
23
2423
2
2
+−
−−−−
xx
xxx
x
1→
5) cho f(x) =
x

x ||
tìm lim f(x)
x
0→
6)lim
nn
ax
ax
−
−
x
a→
7)lim
1

2
−
−+++
x
nxxx
n
x
1→
8) lim
x
nxxx 1)1) (21)(1( −+++
x
0→
9) lim (
)

1
3
1
1
2
x
x
−
−
−
x
1→
10) lim
3
)12(
)31)(32)(1(
+
+−−
x
xxx
x
+∞→
11) a) Lim
2
)sin(2)2sin(
x
Sinaxaax ++−+
x
0→
b) LIm (

xx tan)
2
−
π
x
2
π
→
12)a) lim
x
xx
tan
sin1sin1 −−+
x
0→
b)lim
2
2cossin1
x
xxx −+
x
0→
c)Lim (cos
xx cos1 −+
)
x
+∞→
13) xét tính liên tục của các h/số sau:
Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho.
6

Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n .

1
65
2
−
−+
x
xx
nếu x
1≠
a) f(x) =
7 nếu x=1



x
x2sin
nếu x
0
≠
b)f(x) =
2 nếu x=0
O nếu x<0
c)f(x)= x
2
nếu 0
1≤≤ x
-x
44

2
−+ x
nếu x>1


x
x 11
2
−−
nếu x
0
≠
d) f(x) =
2 nếu x=0
14) cmr pt : x
05
5
=−−x
có nghiệm x
0

)2;1(∈
và thỏa mạn : x
0
9
8≥
15) cho ba số a,b,c cmr pt sau luôn có nghiệm:
a(x-b)(x-c) + b(x-a)(x-c)+ c(x-a)(x-b)=0
16) a) Lim
1

1
3
4
−
−
x
x
x
1→
b) Lim
121
4
−+ x
x
x
0→
c) Lim (
)
22
axxaxx −−+
x
−∞→
Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho.
7
Những dạng toán cơ bản .
Các dang toán về đạo hàm:
(2 đến 3 buổi)
I) dạng 1
Tính đạo hàm bằng định nghĩa;
pp: +) cho x một số gia

x

tính số gia
y
tơng ứng.
+) tìm
x
y


.
+) tìm Lim
x
y



ox
Thờng ứng dụng cho hàm cho bởi nhiều biểu thức
Và hàm cho bởi biểu thức chứa tri tuyệt đối và cho bởi tích nhiều nhân tử.
ví dụ 1:
cho các hàm số :
x
x
1
sin
nếu x
o
f(x) =
1

||
2
+x
x
và g(x) =
o nếu x=o
xét tính liên tục và sự tồn tại đao hàm của các hàm số khi x=o.
hớng dân :
so sánh giới hạn và giastrij tại điểm đó.
Sử dụng định nghĩa.
ví vụ 2:
cho hàm số f(x) = |x-2|( |x|-4) +m. xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số tai
x=0 và x=2.
HD : dùng định nghĩa .
ví dụ 3:
cho f(x) =|x-a|
)(x

trong đó hàm số
)(x

là hàm liên tục tại a hãy tìm f
'
(a)
với a là một số cho trớc.
HD: xét đạo ham trái và đạo hàm phải.
ví dụ 4: 1) cho hàm số

x
xcos1

nếu x
o
f(x) =
1 nếu x=o

Trờng THPT nghi lộc 1 - nguyễn văn nho.
8
Những dạng toán cơ bản .
Hàm số f(x) có đạo hàm tại x=o hay không.
2) cho
a x
1
2
++bx
nếu x
O
Hàm số f(x) =
A sinx+ b cosx nếu x<O
Tìm a vab để hàm số có đạo hàm tại x =O.
HD : tìm đạo hàm trái phải tại điểm đó.
Dạng 2: Các bài toán về phép tính đạo hàm .
PP; dùng các công thức và quy tắc tính đạo hàm.
Bảng đao hàm cơ bản
đạo hàm của hàm số hợp
ví dụ 1: tính đạo hàm của các hàm số sau :
1) y = sin (cos
)sincos()
22
xx
.

2) Y=
.
1
1
11
1
2
2
2
2
++
+
+
+
++
xx
xx
x
xx
HD: sử dụng các quy tắc tính đạo hàm .
ví vụ 2:
cho y= x sinx.chứng minh :
xy-2(y
'
-sinx)+xy
'
=O.
HD : biến đổi tơng đơng .
ví dụ 3:
cho y =

2
2 xx +
.chứng minh :
y
.1
''3
Oy =+
HD : tính đạo hàm rồi thay vào .
ví dụ 4 :
cho f(x) =(x-1) (x-2)(x-3). Cmr:
O
f
f
f
f
f
f
=++
)3(
)3(
)2(
)2(
)1(
)1(
'
''
'
''
'
''

.
HD : tính dạo hàm rồi thay vào .
ví dụ 5: cho f(x) =2x
2
cos
22
x
; g(x)=x-x
xsin
2
. Giải phơng trình.
f
'
(x)=g(x).
HD ; tính đạo hàm rồi thay vào .
ví du 6:
cho f(x) =
32
122 xx +
;g(x) =9x
x72
'
+
. hãy giải PT:
f
'
(x) + g
)(
'
x

=O.
HD : tính đạo hàm rồi thay vào .
Trờng THPT nghi lộc 1 - nguyễn văn nho.
9
Những dạng toán cơ bản .
III)dạng 3: Tìm đạo hàm bậc cao:
PP:dùng công thức:
f
')1()(
)(

=
nn
f
.với n là số nguyên dơng .
ví dụ 1:
tìm f
)(n
(x) của các hàm số sau:
1) y=sinx;2) y=cosx;3) y=sinax .cosbx. ;4) y=sin
x
2
và y= cos
3
x.
HD : dự đoán công thức .
ví dụ 2: tìm đạo hàm với caaos đã chỉ ra :
1) y=
)8(
2

;
1
y
x
x

2) y=
)(
2
;
23
1
n
y
xx +
HD : dự đoán công thức .
ví dụ 3: cho hàm số y=
23
35
2
+

xx
x
tìm y
)(n
IV) dạng 4: ứng dụng của đạo hàm:

PP: pptt tại điểm x
O

của đồ thị hàm số y= f(x) :
Y = f
'
(x
)
O
(x-x
O
) +f(x
O
).
Chuyện động có PT S= f(t).
Vt tức thời tai t
o
là v (t
)
o
=f
)(
'
o
t
.
ví dụ 1 : cho đờng cong y=x
2
-5x +6
viết pptt của nó biêt tt đó song song với đờng thẳng y=3x+4 .
HD : tìm hoành độ tiếp điểm.
Ví dụ 2: cho đờng cong y= x
2

-5x +6 . viết PPTT biết tt đó đi qua
M (5;5).
Tìm hoành độ tiếp điểm.
ví dụ 3 ; cho đờng cong y= x
17
23
+ xx
.cmr không có hai tiếp tuyến
nào vuông góc với nhau.
HD : chứng minh bằng phẩn chứng.
ví dụ 4: 1) tính vi phân của hàm số f(x)=
1+x
x
tại điểm x=1 ứng với
=x
0,02.
Trờng THPT nghi lộc 1 - nguyễn văn nho.
10
Những dạng toán cơ bản .
2) tính vi phân của hàm số f(x) =
x
x
cos1
cos1

+
tại điểm x=
3

ứng với

=
x
0,01.
HD: dùng công thức .
ví dụ 5: vân tốc của chuyển động biểu thị bằng công thức v(t) = 8t +3t
2
; t(s) ;v(mét).
1) tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm t=4 s
2) tìm gia tốc của chất điểm khi vận tốc bằng 11 mét.
HD: dùng ý nghĩa cơ học của đạo hàm.
Các bài toán tự luyện :
Bái 1 : cho hàm số f(x)= 3x-2x
x
.Tính :
f
)4(
'
và f
)(
2'
a
với a
o
.
Bài 2:
Cho hàm số f(x) =x
32
23
+ mxx
.tìm m để :

a) f
;;)(
'
xox
b) f
).2;(),(
'
oxx
Bài 3: cho đờng cong y=
xxx 23
23
+
.Viết pptt với đờng cong tại M
điểm nằm trên đơng cong có hoành độ bằng 2.
Bài 4: cho y=
.
3
1
23
1
23
+ x
m
x
viết pttt của đờng cong biết tt có hệ số
góc bé nhất trong tất cả các tt của đờng cong đã cho.
Bài 5 : Gpt : f
0)(
'
=x

.
f(x) =
.52sin3 + xxcox
Bài 6:
Cho f(x) =a cosx+2sinx-3x+1.
Tìm a để PT f
0)(
'
=x
có nghiệm .
Trờng THPT nghi lộc 1 - nguyễn văn nho.
11