CHUYÊN đề hệ THỨC VI ET và ỨNG DỤNG

Chuyên đề :
Phương trình bậc hai,
Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Ứng dụng của định lí vi ét thuận vào phươnh trình bậc hai ax
2
+bx +c =0
Khi sữ dụng định lí vi-ét cần nhớ điều kiện:



≥∆
≠
0
0a
BÀI TẬP
1/ Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phương trình bậc hai x
2
-x-1 =0
a/ Tính x
1
2
+x
2
2
b/ CMR: Q = (x
1
2

+x
2
2
+x
1
4
+x
2
4
) chia hết cho 5.
Giải
a/ Ta có
5=∆
0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Theo định lí vi-ét ta có x
1
+x
2
=1 và x
1
.x
2
=-1
Ta có x
1
2
+x
2
2
= (x

1
+x
2
)
2
-2x
1
.x
2
= 1 +2 =3
b/ Q = (x
1
2
+x
2
2
) + (x
1
2
+x
2
2
)
2
-2x
2
.x
2
2
= 3 +3

2
-2.(-1)
2
= 10
Vậy Q chia hết cho 5
(Ta cũng chứng minh được Q= x
1
2001
+x
2
2001
+x
1
2003
+x
2
2003
chia hết cho 5)
2/ Giả sử x
1,
x
2
là các nghiệm của phương trình: x
2
– (m+1)x + m
2
- 2m +2 =0.
Tìm m để F = x
1
2

+x
2
2
đạt GTNN
Giải
+ Ta có
7103)22(4)1(
222
−+−=+−−+=∆ mmmmm
Để PT có hai nghiệm x
1,
x
2
thì
3
7
1071030
2
≤≤⇔≥−+−⇔≥∆ mmm
+ Theo định lí ta – lét ta có : x
1
+x
2
= m +1 và x
1
.x
2 =
m
2
-2m +2

Do đó F = x
2
2
+x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
– 2x
1
.x
2
= (m+1)
2
-2(m
2
- 2m +2) = -(m-3)
2
+6
Với
9
50
6)3(2
9
4
)3(44)3(

9
4
3
2
32
3
7
1
222
≤+−−≤⇔−≤−−≤−⇔≤−≤⇔
−
≤−≤−⇔≤≤
mmmmm
Vậy F
min
= 2 khi m = 1
3/ Tìm số nguyên m sao cho phương trình : mx
2
-2(m+3)x +m+2 = 0. Có hai
nghiệm x
1
,x
2
thoã F =
21
11
xx
+
là số nguyên.
4/ Cho phương trình x

2
– (m+3)x +2m -5 =0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai
nghiệm phân biệt mà hệ thức này không phụ thuộc vào m.
Giải
+ Ta có
013)1(
2
+−=∆ m
với mọi m nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt
+ Theo định lí ta-lét ta có
11.)(2
52.
62)(2
52.
3
2121
21
21
21
21
=−+⇒



−=
+=+
⇔




−=
+=+
xxxx
mxx
mxx
mxx
mxx
Vậy hệ thức này không phụ thuộc vào m.
5/Tìm m để phương trình x
2
- mx +m
2
-7 =0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6/ Tìm m để phương trình x
2
– mx +m
2
-3 =0 có hai nghiệm dương phân biệt
7/ Cho PT x
2
-2(m+1).x+m
2
+3m +2 = 0
a/ Tìm m để PT có hai nghiệm thoã mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12

b/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m.
8/ Cho PT (m+1)x
2
-2(m-1)x +m -2 =0
a/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt
b/ Tìm m để PT có một nghiệm bằng 2 . tình nghiệm kia
c/ Tìm m để PT có hai nghiệm sao cho
4
711
21
=+
xx
9/ Cho PT x
2
-2(m-1)x +m – 3 =0
a/ CMR Với mọi m PT luôn có hai nghiệm phân biệt
b/ Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của PT đã cho .Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
độc lập
với m

10/ Cho PT 2x
2
-6x +m =0 . Với giá trị nào của m thì PT có
a/ Hai nghiệm dương
b/ Hai nghiệm x
1
, x
2
sao cho
3
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
11/ Cho PT x
2
-2(m-1)x –m-5 =0 thõ mãn hệ thức x
1
2
+x
2
2

14≥
12/Cho PT : x

2
-2(m+1)x +2m +10 =0
a/ Tìm m để PT có nghiệm
b/ Cho P = 6x
1
.x
2
+x
1
2
+x
2
2
. Tìm m để P
min
và tính giá trị ấy.
13/ Cho PT : (m +1)x
2
– 2( m-1)x +m -3 =0
a./ CMR PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của PT .Tìm m để x
1
.x
2
21
2,0 xx =≥

14/ Cho PT : 2x
2
– 2mx +m
2
-2 =0. Tìm m để PT có
a/ Hai nghiệm dương phân biệt
b/ Hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho x
1
3
+x
2
3
=
2
5
c/ G/S PT có hai nghiệm không âm .Tìm m để nghiệm dương đạt GTLN.
15/ Cho PT: (m+3)x
2
-2 (m
2
+3m )x +m
3
+12 = 0
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất để PT có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm số nguyên m lớn nhất để PT có hai nghiệm phân biệt thoã x
1

2
+ x
2
2
là một số
nguyên( HSG 07-08)
MỘT SỐ BÀI TẬP THI VÀO LỚP 10 THAM KHẢO
1/Cho phương trình :
2
x - mx - x - m - 3 = 0
(1), (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
1 2
x ;x
với
mọi giá trị của m
b) Tìm giá trị của m để biểu thức
2 2
1 2 1 2 1 2
P = x + x - x x + 3x + 3x
đạt giá trị nhỏ
nhất.
2. Cho phương trình
2 2
2 4 5 0x mx m− − − =
(x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x
1
, x

2
là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức A =
2 2
1 2 1 2
x x x x+ −
đạt giá trị nhỏ nhất
3.Cho phương trình:
2
x 2(m 1)x m 4 0 (1)− + + − =
(m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 4.
b) Chứng tỏ rằng, với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có hai nghiệm
phân biệt.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng biểu thức
1 2 2 1
B x (1 x ) x (1 x )= − + −
không phụ thuộc vào m.
4. Cho phương trình bậc hai : x
2
– mx + m – 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 4 .
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1 ;
x
2
thỏa mãn

1 2
1 2
1 1
2011
x x
x x
+
+ =
5. Cho phương trình
2
2( 1) 4 0x m x m+ + + − =
(m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = -5
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m sao cho phương trình đã cho có hai nghiêm x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức
2 2
1 2 1 2
3 0x x x x
+ + =
6. Cho phương trình
2 2
x - 2m - (m + 4) = 0
(1), trong đó m là tham số.
a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:
b) Gọi x
1

, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để
2 2
1 2
x + x 20=
.
7. Cho phương trình: x
2
+(2m + 1)x – n + 3 = 0 (m, n là tham số)
a) Xác định m, n để phương trình có hai nghiệm -3 và -2.
b) Trong trường hợp m = 2, tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình
đã cho có nghiệm dương.