CHuong trinh on thi vao lop 10.zip

Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Phần I. căn bậc hai_ căn bậc n
Đ 1 một số kiến thức cơ bản liên quan

A. Kiến thức cần nhớ:
1.Bất phơng trình tích
a) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng f(x) = ax + b (a 0).
Nghiệm của phơng trình ax + b = 0 cũng gọi là nghiệm của nhị thức ( x
0
= -
a
b
).
b) Định lí: (Định lí về dấu nhị thức bậc nhất).
Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a với mọi giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức ,
trái dấu với a với mọi giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
x
- x
0
+
f(x) = ax + b a.f(x) < 0 a.f(x) > 0

Ví dụ:
Xét dấu các nhị thức sau:
a) f(x) = 2x 3 ; b) g(x) = -3x 5
Giải
Ph ơng pháp: +) Xác định dấu của hệ số a
+) Tìm nghiệm của nhị thức
+) Kết luận: Dựa vào định lí để kết luận
a) Ta có: a = 2 > 0.
Nhị thức có nghiệm x

0
=
3
2
Vậy f(x) < 0 nếu x <
3
2
; f(x) > 0 nếu x >
3
2
( Hay 2x 3 < 0 nếu x <
3
2
; 2x -3 > 0 nếu x >
3
2
).
b) Ta có: a = -3 < 0.
Nhị thức có nghiệm x
0
= -
3
5
.
Vậy f(x) < 0 nếu x > -
3
5
; f(x) > 0 nếu x< -
3
5

.
( Hay -3x 5 < 0 nếu x > -
3
5
; -3x 5 > 0 nếu x< -
3
5
).
2. Bất phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
a) |f(x)| < a



<<
>
axfa
a
)(
0
; b) |f(x)| a





axfa
a
)(
0
;

c) |f(x)| > a















>
<

<
axf
axf
a
a
)(
)(
0
0
; d) |f(x)| a

>

axf
axf
a
a
)(
)(
0
0
.
B. Các ví dụ:
Ví dụ1:
Giải các bất phơng trình sau:

a) 2x 7 < 0 ; b) -4x + 3 0 ;
1
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
c) (2x 7)( -4x + 3) 0 ; d)
0
62
)2)(1(
<


x
xx
Giải
Ph ơng pháp:
1) Đối với câu a) và b) ta có thể sủ dụng tính chất của bất đẳng thức để biến đổi tơng đ-
ơng
2) Đối với câu c) và d) ta áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất
a) 2x 7 < 0 2x < 7 x <
2
7
Vậy x <
2
7
là nghiệm của bất phơng trình đã cho.
b) -4x + 3 0 -4x -3 x
4
3
4
3
=

.
Vậy x
4
3
là nghiệm của bất phơng trình đã cho.

c) (2x 7)( -4x + 3) 0 (*)
Cách 1: Biến đổi tơng đơng
(*)










+




+

034
072

034
072
x
x
x
x

4
3
2
7
4
3
2
7
x
x
x
x

2
7
4
3
x
Vậy Bpt (*) có nghiệm là x

2
7
;
4
3
Cách 2: Vận dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất

1) Tìm nghiệm của các nhị thức bậ nhất:
2x 7 = 0 x =
2
7
;
- 4x + 3 = 0 x =
4
3

2) Lập bảng xét dấu:

x
-
4
3

2
7
+
2x 7 - - 0 +
-4x + 3 + 0 - -

VT - 0 + 0 -
3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phơng trình là: S =






2
7
;
4
3

2
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
d)
0
62
)2)(1(
<


x
xx
1) Nghiệm của các nhị thức bậc nhất:
x 1 = 0 x = 1; 2 x = 0 x = 2; 2x 6 = 0 x = 3
2) Lập bảng xét dấu:

x

- 1 2 3 +
x 1
- 0 + | + | +
2 x
+ | + 0 - | -
2x 6
- | - | - 0 +
VT
+ | - | + || -
3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập ghiệm S = (1;2)(3; +)

Ví dụ2:
Giải các bất phơng trình sau:
a) 2x
2
3x + 1 < 0 ; b) x
2
+ 4x +5 0 ;
c) -2x
2
+4x 6 0 ; d) 2x
2
5x + 2 < 0
H ớng dẫn giải
Ph ơng pháp:
Phân tích vế trái của các bất đẳng thức thành tích các nhị thức rồi thực hiện cách
giải nh ví dụ 1.

a) 2x
2

3x + 1 < 0 (1)
(1) 2x
2
2x x + 1 < 0 2x(x 1) (x 1) < 0
(2x 1)(x 1) < 0

b) x
2
+ 4x +5 0 x
2
+ 4x + 4 + 1 0 (x + 2)
2
+ 1 0
Luôn đúng với mọi x.

c) -2x
2
+4x 6 0 -2(x
2
2x + 1) 4 0 -2(x - 1)
2
4 0 vô lí.

d) 2x
2
5x + 2 < 0 2x
2
4x x + 2 < 0 2x(x - 2) (x 2) < 0
(2x 1)(x - 2) < 0.
Ví dụ3:

Giải các bất phơng trình sau:
a) |1 - 3x| < 2 ; b) |5x + 3| > 4 ;
c) |x
2
5x + 5| 1 ; d)
x
x

+
2
13
< 3.
Giải
a) |1 - 3x| < 2 - 2 < 1 3x < 2 - 3 < -3x < 1 -
3
1
< x < 1
Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-
3
1
; 1).
b) |5x + 3| > 4



<+
>+
435
435
x

x







<
>
5
7
5
1
x
x
3
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;-
5
7
)(
5
1
;+).
c) |x
2
5x + 5| 1

+
+
155
155
2
2
xx
xx





+
+
065
045
2
2
xx
xx

Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;1] [2;3] [4; +) .
d)
x
x

+

2
13
< 3







<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x

<

+
>+

+
03
2
13
03
2
13
x
x
x
x








<

+
>

++
0
2
)2(3)13(
0
2
)2(3)13(
x
xx
x
xx
(*)








<


>

0
2

56
0
2
7
x
x
x




<
>
0)2)(56(
02
xx
x




<
>
056
02
x
x
x <
6
5

Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;
6
5
).
Chú ý: Nhiều bạn thờng hay mắc sai lầm ở phép biến đổi:








<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x

<+
>+
)2(313
)2(313
xx
xx




<
>
56
61
x
Điều đó chỉ đúng khi 2 x > 0 x < 2.
C. Bài tập
Giải các bất phơng trình sau:
1) 3x 7 > 0 ; 2) x
2
4x 21 > 0 ; 3) x
2
4x + 1 < 0 ;
4) 3x
2
+ x 1 < 0; 5) 2x
2

5x + 4 < 0; 6)|3x + 4| < 6 ;
7)
x
xx
xx
<
+

65
2
2
2
.
Đ 2 biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số
A. Kiến thức cần nhớ:
1) Hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
.
+) (a b)
3
= a
3
3a
2
b + 3ab

2
b
3
+) a
2
b
2
= (a - b)(a + b)
+) a
3
b
3
= (a b)(a
2


ab + b
2
)
2) Các quy tắc về luỹ thừa(a, b, c 0, mZ).
+) a
m
.a
n
= a
m+n
; +) a
m
: a
n

= a
m-n
.
+) (a
m
)
n
= a
m.n
= a
n.m
; +) (abc)
m
= a
m
b
m
c
m
.
+)
m
m
m
b
a
b
a
=

; +) a
-m
=
m
a
1
.
3) Các quy tắc về căn bậc hai:
+) Điều kiện có nghĩa của
A
là A 0.
+) Quy ớc
a
0.
+)




==
a
a
aa
2
4

nếu a 0
nếu a < 0
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Với các điều kiện có nghĩa thì:
+)
abba =.
;
( )
n
n
aa =
; +)
( )
nnn
n
cbacba =
+)
b
a
ba =:
(b 0); +)
baba =
2
+) a





=

ba
ba
b
2
2
+)
b
ba
b
a
=

+)
cb
cba
cb
a

=

)(
;
2
)(
cb
cba
cb
a

=

(đk : mẫu thức khác 0)
b.các dạng toán:
Dạng 1: Phân tích thành nhân tử
I.Các ví dụ:
Phân tích thành nhân tử các đa thức sau:
a) ab + ac + b
2
+ 2bc + c
2
; b) x
3
6x
2
+ 11x 6;
c) x
6
x
4
2x
3
+ 2x
2
d) x
6
y
6
d) x(y
2

z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x
2
y
2
).
Giải
a) Nhóm các số hạng:
(ab + ac) + (b
2
+ 2bc + c
2
) = a(b + c) + (b + c)
2
= (b + c)(a + b + c).
b) Tách các số hạng -6x
2
và 11x ta có:
x
3
x
2
5x
2
+ 5x + 6x 6 = x

2
(x - 1) 5x(x - 1) + 6(x - 1)
=(x - 1)(x - 2)(x - 3).
c) Đặt x
2
làm nhân tử chung:
x
6
x
4
2x
3
+ 2x
2
= x
2
(x 1)
2
(x
2
+ 2x + 2)
c) Dùng hằng đẳng thức:
x
6
y
6
= (x - y)(x + y)(x
2
xy + y
2

)(x
2
+ xy + y
2
)
d) Chú ý rằng: y
2
z
2
= -(z
2
x
2
+ x
2
y
2
), thay vào đẳng thức.
Chú ý: Trong thực hành với đa thức bậc n, ta có thể sử dụng kết quả sau đây:
Xét đa thức P(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
2
x

2
+ a
1
x + a
0
.
- Nếu P(x) có nghiệm x = a, tức P(a) = 0 thì P(x) chia hết cho (x a) và ngợc lại.
Khi đó P(x) = (x - a)Q(x) trong đó Q(x) có bậc n 1.
- Nếu tổng các hệ số a
n
+ a
n-1
+ + a
2
+ a
1
+ a
0
= 0 thì P(x) có nghiệm x = 1.
- Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) có nghiệm x = - 1
Phân tích thành nhân tử các đa thức sau:
a) a
3
+ 3a
2
6a 8 ; b) a - 3
a
+ 2;
c)
xxx 2

3
; d) a + 4
a
+ 3
e) a
a
- 2b
b
- 3b
a
.
Giải
a) a
3
+ 3a
2
6a 8 = (a + 1)(a
2
+ 2a - 8) = (a + 1)(a + 4)(a - 2).
b) a - 3
a
+ 2 = (
a
- 1)(
a
- 2).
c)
xxx 2
3
=

x
(x -
x
- 2) =
x
(
x
+ 1)(
x
- 2) .
d) a + 4
a
+ 3 = (
a
+ 1)(
a
+ 3)
e) a
a
- 2b
b
- 3b
a
= a
a
- 2b
b
- 2b
a
- b

a
=
a
(a - b) 2b(
a
+
b
)
=
a
(
a
-
b
)(
a
+
b
) -2b(
a
+
b
) = (
a
+
b
)(a -
ab
- 2b)
= (

a
+
b
)(a -
ab
- b - b) = (
a
+
b
)[a b -
b
(
a
+
b
)]
5
nếu a 0
nếu a < 0
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
= (
a
+
b
)
2
(
a

- 2
b
).
II.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
a) a
2
2ab c
2
+ b
2
; b) 3xy
2
+ 6xy + 3x; c) -6x
2
+ 5x + 1;
d) abx
2
-(a
2
+ b
2
)x + ab; e) x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x y) .
Bài 2: Phân tích thành nhân tử:

a) a 9 với a > 0; b) a - 5
a
+ 4 ;
c) -6x +5
x
+ 1 ; d) 7
x
- 6x 2;
e) 2a +
ab
- 6b với a > 0; b > 0; f) 6y
2
5y
x
- x;
g) 6
xy
- 4x
x
- 9y
y
+ 6xy ; h) x - 2
1x
- a
2
.
Bài 3: Phân tích thành nhân tử:
a) x
4
4x

2
+ 12x 9 ; b) x
4
4x 1 ;
c) x
3
3x
2
+ 2;
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
1.Biểu thức không chứa biến số:
I.Các ví dụ:
Ph ơng pháp: áp dụng hằng đẳng thức để phâp tích các biểu thức trong căn bậc hai thành các
tổng_hiệu bình phơng.

Rút gọn các biểu thức
a) A =
526526 +
; b) B =
625625 +
.
Giải
a) 6 + 2
5
= 5 + 2
5
+ 1 = (
5
+ 1)
2

b) 5 - 2
6
= 3 - 2
2.3
+ 2.
c)
Rút gọn các biểu thức
a) C =
3232 ++
; b) D =
31221269269 +
Giải
a)
( ) ( )
2
31
2
1
324
2
1
32 ==
b)
33.626269 ++=+
;
93.32.21231221 +=

Thực hiện các phép tính:
a)
( )( )

154610154 +
; b)
( )( )
53210.53 +
;
Giải
a)
( )( )
154610154 +
=
( )
610154154.154 ++
=
( )
352.1.154 +
=
( ) ( )( )
3535351528 +=+
= 2.
b)
( )( )
53210.53 +
= 8.

Thực hiện các phép tính:
a) M =
2 2
5 2 6 5 2 6
3 2 3 2

+

ữ ữ
ữ ữ
+

; b) N =
(
)
2
7 2 6 7 2 6 + +
.
Giải
6
Ví dụ 1:
Ví dụ 3:
Ví dụ 2:
Ví dụ 4:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
a) Chú ý rằng : 5 +
6
=
( )
2
3 2+
; 5 -
6
=
( )
2

3 2
b) Chú ý: 7
( )
2
2 6 6 1 =
.

Thực hiện các phép tính:
a) P =
40 2 57 40 2 57 +
; b) N =
1 1 1

1 2 2 3 2007 2008
+ + +
+ + +
.
Giải
a)Nhận xét: 40
2
< 57 nên:
P
2
= 57 - 40
2
+ 40
2
+ 57 -2
( )
2

2
57 (40 2) 114 14 100 = =
.
Do P < 0 nên: p = -10.
b) Trục căn thớc khỏi mẫu sốbằng cách nhân cả tử, cả mẫu với các biểu thức liên hợp:
2 1; 3 2; ; 2008 2007
.
Từ đó: Q =
2 1 3 2 2008 2007 2008 1 + + + =
.
II.Bài tập vận dụng:
Rút gọn các biểu thức sau:
1)
10211
; 2)
1429
; 3)
10275262
62526113
+++
+++
; 4)
3471048535 ++
;
5)
5210452104 ++++
; 6)
5429454294 +
;
7)

322
32
322
32


+
++
+
; 8)
5 3 5 3 5 1
5 3 5 3 5 1
+ +
+
;
9)
2 2
9 2 14 9 2 14
7 2 7 2

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

; 10)
12 5 29 12 5 29 +
.
2.Biểu thức có chứa biến số:

I.Các ví dụ:
Ph ơng pháp:
+) Phân tích đa thức thành nhân tử
+) Giản ớc các biểu thức đồng dạng
L u ý: Đối với biểu thức có chứa biển đới dấu căn bậc hai nên đặt điều kiện để căn thức có
nghĩa.

Cho biểu thức:
A =
44
2
+ xxx
a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn các biểu thức A.

Giải
a) Biến đổi biểu thức:
A =
44
2
+ xxx
=
2
)2( xx
=
2 xx
Điều kiện để A có nghĩa:
7
Ví dụ 1:
Ví dụ 5:

Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
x |x - 2|



+

44
0
22
xxx
x
x 1
Tập xác định của A: { x |x R; x 1}.
b) Nếu x 2 thì A =
)2( xx
=
2
Nếu 1 x < 2 thì A =
)2( xx
=
22 x
.

Rut gọn biểu thức:
a) A=
4
65

+

x
xx
; b) B=
144
123
+

xx
xx
;
c)C=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xyyyxx
xyyyxx
266
3255
++++
+++++
và tính giá trị của biểu thức nếu
2008=+ yx
.

Giải
a) A=
4
65

+
x

xx
=
)2)(2(
632
+
+
xx
xxx
=
2
3
+

x
x

b) B=
144
123
+

xx
xx
=
2
2
)12(
1)(22

+

x
xxx
=
2
)12(
)12()12(


x
xxx
c)C=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xyyyxx
xyyyxx
266
3255
++++
+++++
.
Ta có: MT =
)6)(( +++ yxyx
TT =
)6)(1( +++ yxyx
VậyC=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xyyyxx
xyyyxx
266

3255
++++
+++++
=
yx
yx
+
+ 1
Với
2008=+ yx
; C =
2008
2007
.

Rut gọn biểu thức:
a) A = |x - 1| - |1 2x| với x <
2
1
;
b) P =
143
12
2
2
+

xx
xx
và chứng minh rằng nếu a > 1 thì P(a).P(-a) < 0.

c) Q =
1
144
22

+++
x
xxx
với x > 2
2
.
d) B =
22
1025168 xxxx +++
với 4 < x < 5.
Giải
a)Vì x <
2
1
nên x 1 < 0 |x - 1| = 1 x
1 2x > 0 |1 2x| = 1 2x
Vậy A = 1 x (1 2x) = x
8
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
nếu x 0
nếu x < 0
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
b) 2x -
2

x
- 1 = 2x - |x| - 1 =





13
1
x
x
3x
2
4x + 1 = 3x
2
- x 3x + 1 = (x - 1)(3x - 1)
Vậy P =








1
1
13
1
x

x
Có P(a) =
13
1
a
>0 (vì a > 1)
P(-a) =
1
1
1
1
+
=
aa
< 0 (vì -a < -1 < 0)
Suy ra: P(a).P(-a) < 0.
c) Có thể viết Q =
1
12

++
x
xx

vì x > 2
2
|x| = x;|2 - x| = x 2, đồng thời 2x 1 0, do đó :
Q =
1
12

12
12
12
=


=

++
x
x
x
xx
d) Có thể viết B = |x - 4| + |5 - x|.
Vì 4 < x < 5 nên x 4 > 0 và 5 x > 0 do đó :
B = (x - 4) + (5 x ) = 1.

II.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Rút gọn biểu thức
B =






+

+

+
+








+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
Tính giá trị của B nếu a =
324 +

; b =
324
Bài 2: Rút gọn biểu thức
B =
422422 + xxxx

Bài 3: Rút gọn các biểu thức:
A =
2
1
1
1
1

+


a
a
a
a
aa
B =
( )
















+
+
+

++








+

yx
yx
xyyx
yx
ỹyxy
yx
11
.
2
2
1
.
11
:
3
với x = 2 -
3
; x = 2 +
3

.
C =
12
11


xx
x
.
D =
)(2
2222
yx
yxxyxx

+
với x > y > 0.
E =








+

+
+
1
1
1
1
:
1
1
1
1
xxxx
với x =
ab
ba
2
22
+
; b > a > 0.
9
nếu x 0
nếu x < 0
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc

F =
xx
xa
+
+
2
2
1
12
với x =











a
a
a
a
1
1
2
1
0 < a < 1.

P = (a + b) -
1
)1)(1(
2
22
+
++
c
ba
với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.
Q =
12.
1212
1212

++
++
x
xxxx
xxxx
Bài 4: Rút gọn biểu thức
a)
144
123
2
2
+

xx
xx

b)
22
22
352
32
yxyx
yxyx
+

c)
babaa
babaa
+
+
22
22
23
23
và tính số trị của biểu thức nếu
3
1
=
b
a
Bài 5: Rút gọn biểu thức
a)
baba
baba
352
32

+
+
; b)
12
43


xx
xx
; c)
yx
xyyx


;
d)
2
2
9
237
yx
xyxy


; e)
yx
yx
yx
xyyx
+

+

++ 2
; f)



















+
+
+
1
1.
1

1
a
aa
a
aa
.
Dạng 3: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến số
Ph ơng pháp:
Thực ra đây cũng là bài toán rút gọn biểu thức, vì vậy khi thực hiện bài toán này các em chỉ
việc rút gọn biểu thức đó đến khi không còn biến số thì ta đợc điều phải chứng minh.
I.Các ví dụ:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
A =
9
9
632
6
632
32

+

+++


+
+
x
x
yxxy

xy
yxxy
yx
với x > 0; y > 0; x 9.
Giải
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
+)
)2)(3()2(3)2(632 +=++=+ yxyyxyxxy
+)
)2)(3(632 ++=+++ yxyxxy
+) x 9 =
)3)(3( + xx
MTC =
)2)(3)(3( ++ yxx
Vậy :
A =
)2)(3)(3(
)2)(9()3)(6()3)(32(
++
++++
yxx
yxxxyxyx
= 0
Suy ra A không phụ thuộc vào biến số (đpcm).
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
B =
( )
2
2
11

:
2
yx
yx
yxxy

+










với x > 0; y > 0; x y.
Giải
10
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
B =
( )
( )
2
2
2
:

y x
x y
xy
xy
y x

+


=
( ) ( )
2 2
2
.
xy x y
xy
x y x y
+


=
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2
1
x y
xy x y x y xy

x y x y x y

+
= = =

(đpcm).
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
C =
2
2
1 1 1 1
. 1
1
2 2 2 2
a
a a
a a

+

+ +
ữ
ữ

+


Với a > 0; a 1.
Giải
MTC = 2(1+

a
)(1-
a
)(1+ a)
C =
( )
2
1 (1 ) (1 )(1 ) 2( 1)
1
.
2(1 )(1 )
a a a a a
a
a a a
+ + + + +
+
+
=
2
(1 )(1 1 ) 2 2 2 (1 )
1
2 (1 ) 2 (1 )
a a a a a a
a a a a
+ + +
= =

(đpcm).
II.Bài tập vận dụng:
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến số:

a)
( )
2
2
.
2
xy x y y
x
x y
x y x y
x y



ữ
+ +
ữ
ữ
ữ

+
+


với x > 0 ; y > 0; x y .
b)
2 2 3
2 2 2 2 2 5
.
y y x x

x x y x x y x x

+
ữ
+
ữ
+

Với x > 0;
x y>
.
c)
( )
2 3
2
. :
2
x y y xy y xy
y
x y
x y
x x y y
+ +

+
+ +
Với x > y > 0.
d)
2 2
1 1

:
2
2 2
xy
x xy y
x xy y x xy y


ữ
ữ
+
+ + +

Với x > 0; y > 0; x y.
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức:
Ph ơng pháp:
Thực ra đây cũng là bài toán rút gọn biểu thức, tuy nhiên khác với bài toán trên ở chổ :
Khi biến đổi không nhất thiết phải làm cho biểu thức thật gọn mà ta phải hớng mục tiêu cuối
cùng là làm xuất hiện vế còn lại.
Để biến đổi A = B ta có thể áp dụng các phơng pháp sau:
1) Chỉ ra A B = 0.
2) Biến đổi A thành B (hoặc ngợc lại)
3) Biến đổi A = C và đồng thời B = C.
I.Các ví dụ
Chứng minh đẳng thức:
.
b a a b b a a b
a b
a ab ab b b a

+ +
=
ữ
ữ



Với a > 0 ; b > 0; a b.
Giải
11
Ví dụ 3:
Ví dụ 1:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Vt =
( )
.
( ) ( ) ( )( )
b a ab a b
a a b b a b a b a b

+

ữ
ữ
+



( )( )
.

( ) ( )
a b a b ab a b
ab a b a b a b
+ +
= =

(đpcm).
Chứng minh đẳng thức:
2
2
2 2 2 2
x y x y y
y
y x
x y x y x y
+
=

+
Với x > 0 ; y > 0; x y.
Giải
VT =
2
2( ) 2( )
x y x y
y
x y
x y x y
+
+

+
=
2 2
( ) ( ) 4
2( )( )
x y x y y
x y x y
+ +
+
=
2( )2 2
2( )( )
x y y y
x y x y x y
+
=
+ +
(đpcm).
Chứng minh đẳng thức:
2
3 3
. 1
a b a b
ab
a b
a b


+ +

=
ữ
ữ
ữ
ữ

+


Với a > 0 ;b > 0; a b.
Giải
VT =
( )
2
( ) ( )
.
a a b b ab a b a b
a b
a b
+ + +
+

=
2
( )( )
( )
a a b b a b b a a b
a b
+ +

=
2
2 2
( )( )( ) ( )
1
( ) ( )
a b a b a b a b
a b a b
+
= =

(đpcm).
II.Bài tập
Chứng minh các đẳng thức sau:
1)
2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1
: 1
2 4 2 4 4
y x y
x y y x x y x y x


+
+ + =
ữ
ữ
+

Với x 0; y 2x.
2)
6 4 2 3 2
4 2 2 2
3 3 1 ( 1) ( 1) ( 1)
:
2 1 1 1
a a a a a a
a a a a
+ + +
=
+ + + +
Với a 1.
3)
2
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
1 2
:
a ab b ab a b
a a b ab b a b a b a a b ab b a b

+ +

+ =
ữ
ữ
+ + + + +

Với a b; a 0; b 0.
4)
2 2 1 2
.
1 1
2 1
a a a
a a
a a a

+ +
=
ữ
ữ

+ +

Với a > 0; a 1.
5)
2
1 1
. (1 )
1 1
a a a a
a a a
a a

+
+ =
ữ ữ

ữ ữ
+

Với a 0 ; a 1
6)
2 2 2 2 4 2
4 2
2 2 2 2
1
a x a x a a
x x
a x a x
+ +
=
+
Với |a| > |x|.
7)
4
4 2 2 4 2 2
2 2
P a a a a
a

= + + + + =



12
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:

nếu 2 a 6
nếu a > 6
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Bài tập tổng hợp:
Cho biểu thức: M =
2
3 3
1 : 1
1
1
a
a
a


+ +
ữ
ữ
+



a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi a =
3
2 3+
.
Giải
a) Điều kiện để M có nghĩa là:
1 0

1 0
a
a
>


+ >

-1 < a < 1
M =
2 2 2 2
2 2
3 1 3 1 3 1 1
: .
1 1
1 3 1
a a a a
a a
a a
+ + +
=
+ +
+
=
1 . 1
1
1
a a
a
a

+
=
+
.
b) Với a =
3
2 3+
=
( )
( ) ( )
3 2 3
3(2 3)
2 3 2 3

=
+

Thay vào M ta có: M =
2 2
1 3(2 3) 1 2 3 ( 3) (1 3) 3 1 = + = =
Cho biểu thức: N =
1 2
1 :
1
1 1
a a
a
a a a a a

+

ữ ữ
ữ ữ
+
+

a)Rút gọn N.
b)Tìm các giá trị của a sao cho N < 1.
c)Tính giá trị của N nếu a = 19 - 8
3
Giải
a)Điều kiện có nghĩa a 0 và a 1.
N =
1 1 2
:
1
1 ( 1)( 1)
a a a
a
a a a

+ +

ữ
ữ
+
+

=
2
1 ( 1)( 1) 1

.
1
( 1) 1
a a a a a a
a
a a
+ + + + +
=
+

b) N < 1
1
1 0
1
a a
a
+ +
<


2
0
1
a
a
+
<

(1)
Vì a + 2 > 0 nên

1 0a <
0 a < 1.
Vậy 0 a < 1 thì N < 1.
c)Nhận xét: a = 19 - 8
3
=
2
(4 3)
Thay vào biểu thức , ta đợc :
N =
19 8 3 4 3 1 24 9 3 15 3
2
4 3 1 3 3
+ +
= =

.
Cho biểu thức: P =
3 9 3 1 2
2 2 1
x x x x
x x x x
+ +
+
+ +
13
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc

a)Rút gọn P.
b)Tìm các giá trị của x Z sao cho P Z.

Giải
a)Điều kiện: x 0 và x 1.
MTC =
( 1)( 2)x x +
P =
3 3 3 ( 1)( 1) ( 2)( 2)
( 1)( 2)
x x x x x x
x x
+ + +
+
=
3 3 3 1 4 3 2
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x x x
x x x x
+ + + + +
=
+ +
=
( 1)( 2) 1
( 1)( 2) 1
x x x
x x x
+ + +
=
+

b) P = 1 +
2
1x
, Ta có P Z
2
1x
Z
x
- 1 là ớc của 2.Do đó
x
- 1 nhận
các giá trị bằng 1; 2, từ đó:
+)
x
- 1 = -1 x = 0 ; +)
x
- 1 = 1 x = 4;

+)
x
- 1 = -2 Vô nghiệm ; +)
x
- 1 = 2 x = 9.

Vậy với x = 0; 4; 9 thì P Z.
Cho biểu thức: A =
2
( )
:
x x y y x y xy

x y
y x
x y x y

+


ữ
ữ

+


a)Rút gọn A.
b)Chứng minh rằng A 0.
c) So sánh A với
A
.

Giải
a)Điều kiện:
0
0
x
y
x y

(*)
A =
2
( )
:
x x y y x y xy
x y
y x
x y x y

+


ữ
ữ

+

=
3 3
2
( )( ) ( ) ( )
.
( )( ) ( )
x y x y x y x y
x y x y x y x y xy

+ +

ữ
ữ
+ +

=
2
.
( )
x xy y x y
x y
x y x y xy

+ + +
+
ữ
ữ
+ +

=
2
( ) ( )
.
x y x xy y x y
x y x xy y

+ + + +
ữ

ữ
+ +

14
Ví dụ 4:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
=
xy
x xy y +
b) Ta có :
xy
0 và x -
xy
+ y =
2
3
0
2 4
y
y
x

+ >
ữ
ữ

Nên với mọi x , y thỏa mãn điều kiện (*) thì A 0.
c)Ta có
( )
2

0x y >
hay x -
xy
+ y >
xy
suy ra
1
xy
x xy y
<
+
Vậy 0 A < 1.
Với A = 0 thì
A
= A.
Với 0 < A < 1 thì
A
< 1
A
(
A
- 1) < 0 A <
A
.
Thực hiện các phép tính sau :
a) A =
2 2
4 4x x x x + +
Với x 2.
b)

2
: ( )
a a b b b
ab a b
a b a b

+
+
ữ
ữ
+ +

Với a 0 ; b 0
Giải
a) A
2
= x -
2 2 2 2
4 4 2 ( 4)( 4)x x x x x x x + + + +
= 2x +2
2 2
4x x +
= 2x +4
Vì A 0 nên A =
2 4x +
.
b)
2
: ( )
a a b b b

ab a b
a b a b

+
+
ữ
ữ
+ +

=
3 3
( ) ( ) 2
: ( )
a b b
ab a b
a b a b

+
+
ữ
ữ
+ +

=
( )( ) 2
: ( )
a b a ab b b
ab a b
a b a b

+ +
+
ữ
ữ
+ +

=
( )
2
: ( )
b
a ab b ab a b
a b
+ +
+
=
( )
2
2
: ( )
b
a b a b
a b
+
+
=
2
( ) 2a b b
a b
a b

+

+
=
2a b b
a b a b

+
+ +
= 1

Cho biểu thức: A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 1 3 3 1
a a a
a
a a a


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a để A =

6
5
Giải
15
Ví dụ 5:
Ví dụ 6:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Điều kiện:
0
1
9
a
a








a) A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 1 3 3 1
a a a
a
a a a

+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

=
1 1 8 (3 1) (3 2)
:
3 1 3 1 (3 1)(3 1) 3 1
a a a a
a a a a a

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

=
( 1)(3 1) (3 1) 8 3
:
(3 1)(3 1) 3 1
a a a a
a a a

+ +

ữ

ữ
ữ
+ +


=
3 2 1 3 1 8 3 1
.
3
(3 1)(3 1)
a a a a a
a a

+ + +
ữ ữ
ữ ữ
+

=
3 (1 ) 3 1
.
3
(3 1)(3 1)
a a a
a a

+ +
ữ ữ
ữ ữ
+

=
.
3 1
a a
a

+
ữ
ữ


b)Để A =
6
5

3 1
a a
a
+

=
6
5

5 5 18 6a a a+ =

5 13 6 0a a + =

4

9
25
a
a
=



=


Vậy với a = 4 hoặc a =
9
25
thì A =
6
5
.

Cho biểu thức: B =
2 1 2
1 .
1
1 2 1
a a a a a a a a
a
a a a

+ +

ữ
ữ



a)Rút gọn B.
b)Cho B =
6
1 6+
tìm giá trị của a.
c) Chứng minh rằng: B >
2
3
.
Giải
Điều kiện:
0
1
1
4
a
a
a


>

B =
2 1 2
1 .
1
1 2 1
a a a a a a a a
a
a a a

+ +

ữ
ữ



=
2 1 2 ( 1)
1 .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 1
a a a a a a a a
a a a a a a

+ +

ữ
ữ

+ + +

16
Ví dụ 7:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
=
1 ( 1)
1 .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 1
a a a a a a a a a a a
a a a a a a

+ + + +

ữ
ữ
+ + +

=
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
1 .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 1
a a a a a a a a a a a
a a a a a a

+ + + + + +

ữ
ữ
+ + +

=
( 1) (2 1)
2 1 ( 1)
1 .
1 (1 )(1 ) 2 1
a a a
a a a
a a a a a


+


ữ

ữ
+ +


=
(2 1) ( 1) (2 1) ( 1)
1 .
1 (1 )(1 ) (2 1)
a a a a a a
a a a a a

+

ữ

ữ
+ +

=
1 ( 1)
1 . ( 1)
1 (1 )(1 )
a a
a a
a a a a

+

ữ
ữ
+ +


=
( 1)
1 1 .
(1 )
a a
a
a a

+

ữ
ữ

+ +

=
1 ( )
1 .
(1 )
a a a a
a
a a

+ + +

ữ
ữ
+ +

=
1 1
1
(1 ) 1 1
a a a a a
a a a a a a
+ + +
= =
+ + + + + +
.
b) Với B =
6
1 6+

1
1
a
a a
+
=
+ +
6
1 6+

1 6 6 6 6. 6a a a a+ + + = + +

a -
6a
+ 1 = 0
2 3
2 3
a
a

= +

=


c) Biết rằng (
a
-1)
2
0 nên a + 1 2

a
hay
a

1
2
a +
.
Do đó, ta có :
a +
a
+ 1 a+
1
2
a +
+1 =
3
2
(a + 1) (1)
Theo điều kiện bài toán thì a +
a
+ 1 > 0 suy ra
(1)
1
1
a
a a
+
+ +

2
3

Vì a 1 nên dấu bằng không xảy ra, suy ra:
1
1
a
a a
+
+ +
>
2
3
. (đpcm).

Cho biểu thức: M =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a)Rút gọn M.
b)Với giá trị nào của x thì M < 1.
Giải
Điều kiện :
0
9
25
x
x
x









17
Ví dụ 8:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
a) M =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x

x x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

=
( 5) 25 ( 9) ( 25)
1 :
( 5)( 5) ( 5)( 3) ( 5)( 3)
x x x x x
x x x x x x




ữ
ữ
ữ
+ + +



=
( 5) 25 16
1 :
( 5)( 5) ( 5)( 3) ( 5)( 3)

x x x
x x x x x x




ữ
ữ
ữ
+ + +



=
9
1 :
( 5) ( 5)( 3)
x x
x x x




ữ
ữ
ữ
+ +


=

5 ( 5)( 3)
.
9
5
x x
x
x

+

ữ
ữ
ữ

+


=
5 ( 5)( 3)
.
5 (3 )(3 )
x x
x x x

+

ữ
ữ
ữ
+ +

=
5
3 x+
.
b)Với M < 1
5
3 x+
< 1 5 < 3 +
x

x
> 2 x > 4.
Vậy với x > 4 thì M < 1.
Bài tập
Bài 1: Cho biểu thức Q =
1 3 1 3
:
ab ab a b
a b a a b b a b a a b b a ab b



+

ữ ữ
ữ ữ
+ + + +

a)Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q với a = 2; b = 3
Bài 2: Cho biểu thức: M =
3 3 1 ( 1)( )
:
2 2 2
a a a a b
a ab b a a b b a b a ab b


+
ữ
ữ
+ + + +

a)Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên.
Bài 3: a)Chứng minh đẳng thức:
2
2
3 4 (2 )
1
1 1
a a
a a

=
+ +

b) Từ kết quả trên suy ra với giá trị nào của a thì biểu thức P =
2
3 4
1
a
a

+
đạt giá trị nhỏ
nhất? Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 4: Cho biểu thức : Q =
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x

+ +

+ +
ữ
ữ
ữ
+ +


a)Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của x để Q = 6.
Bài 5: Cho biểu thức: M =
2 2 2 2

1 1 1 1
5 6 7 12 9 20 11 30x x x x x x x x
+ + +
+ + + +
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị của x để M > 0; M < 0.
Bài 6: a) Tính A =
6 2 2 12 18 128 + +
b) Phân tích thành nhân tử: B = 4x
3
+ 8x
2
+ x 3.
Bài 7: Cho biểu thức: P =
3
3
2 1 1
.
1 1
1
a a a
a
a a a
a


+ +

ữ
ữ

ữ
ữ
+ + +



a)Rút gọn P.
18
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
b) Xét dấu của biểu thức: P.
1 a
.
Bài 8: Cho biểu thức: P =
1 1 1 2
:
1 2 1
a a
a a a a

+ +


ữ
ữ
ữ



a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của a để P >

1
6
.
Bài 9: Cho biểu thức: A =
2
3
2 4 1 1
1
1 1
a
a
a a
+


+
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị lớn nhất của A.
Bài 10: Cho biểu thức sau với x, y nguyên dơng:
A =
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
x y
x y x y
x y xy

+ + +
+ + +

ữ
ữ
+
+



a) Rút gọn A.
b) Cho xy = 16. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất
Bài 11: Cho biểu thcsau với x > 0, y > 0, x 4y, x 1:
A =
3
2 1
.
2 2 2 1
x x x
xy y x x xy y x


+
a) Rút gọn A.
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
Bài 12: Cho hai biểu thức:
A =
( ) 4x y xy
x y
+

; B =
x y y x
xy
+
a) Tìm điều kiện để mỗi biểu thức có nghĩa.
b) Rút gọn A và B.
c) Tính tích A.B với x =
3
-
2
; y =
3
+
2
.
Bài 13: Cho biểu thức: A =
2 1 2
1 :
1
1 1
a a
a
a a a a a


ữ ữ
ữ ữ
+
+ + + +

a)Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 2008 -2
2007
.

Phần II hàm số
hàm số bậc nhất-phơng trình & hệ phơng trình bậc nhất
Đ 1 Khái niệm về hàm số
A. kiếm thức cần nhớ
1.Định nghĩa: Hàm số là một quy tắc đặt tơng ứng mỗi giá trị x D duy nhất một giá trị
y R . Kí hiệu y = f(x).
2. Các khái niệm liên quan:
+) Giá trị x gọi là biến số (đối số) của hàm số. Giá trị y gọi là giá trị của hàm số.
+) Tập D gọi là tập xác định của hàm số.
+) Tập M gồm tất cả các giá trị của y gọi là tập giá trị của hàm số.
Chú ý: Nếu hàm số đợc cho bởi một công thức thì tập xác định của hàm số là tập hợp tất
cả các giá trị của x làm cho biểu thức đó có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm có
tọa độ (x;f(x)).
4.Hàm số đồng biếm,nghịch biến
19
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
Nếu x
1
< x
2
mà f(x

1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên D.
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên D.
Đ 2 hàm số bậc nhất- phơng trình và
hệ phơng trình bậc nhất
A. kiếm thức cần nhớ
1. Hàm số bậc nhất:
Đ/n: Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b (a 0).
a. Tập xác định: D = R
b. Chiều biến thiên: +) Nếu a > 0 thì hàn số đồng biến.
+) Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến.
c.Đồ thị: Đồ thị hàm số bậc nhất là một đờng thẳngcắt cả trục tung và trục hoành lần lợt tại
A(0;b),B(-
b
a
;0).

Nhận xét: Đồ thị hàm số đồng biến là một đờng hớng lên từ trái qua phải.
Đồ thị hàm số nghịch biến là đờng hớng xuống từ trái qua phải.
- Đồ thị của hàm số bậc nhất còn gọi tắt là đờng thẳng , còn biểu thức y = ax + b còn gọi là

phơng trình của đờng thẳng, a gọi là hệ số góc của đờng thẳng và
tana

=
(với

là góc
tạo bởi đờng thẳng và trục hoành).
- Nếu a = 0 thì hàm số có dạng y = b , đồ thị là một
đờng thẳng đi qua điểm A(0;b) và song song với
trục hoành.
2. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:
Cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = a
1
x + b
1
(d
1
) ; y = a
1
x + b
1
(d
2
).
d
1
cắt d
2

a
1
a
2
; d
1
// d
2



1 2
1 2
a a
b b
=





d
1
d
2


1 2
1 2

a a
b b
=




; d
1
d
2


a
1
. a
2
= -1 .
3. Phơng trình dạng ax + b = 0 (1) (a;b R)
Nếu a 0 : Pt (1) gọi là phơng trình bậc nhất và luôn có nghiệm duy nhất
b
x
a
=
.
Nếu a = 0; B 0: Pt (1) vô nghiệm.
Nếu a = 0 và b = 0 : Pt (1) nghiệm đúng x R.
4. Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (1) (a
2
+ b

2
0)
Phơng trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là:
20
y
x
y
x
O
O
A(0;b)
B(-;0)
a > 0
a < 0
A(0;b)
B(-;0)
y
xO
A(0;b)
a = 0
y = b
tùy ý
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc

x
c ax
y
b

=


hoặc
y
c ax
x
b




=


.
Tập hợp các điểm M(x;y) trong đó x, y thỏa mãn (2) là một đờng thẳng.

5. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Có dạng:



(I)


' '
a b

a b

: Hệ (I) có nghiệm duy nhất, ĐT(1) cắt ĐT(2).

' ' '
a b c
a b c
=
: Hệ (I) vô nghiệm, ĐT(1) song song với ĐT(2).

' ' '
a b c
a b c
= =
: Hệ (I) có vô số nghiệm (x;y) thỏa mãn (1) hoặc (2), ĐT(1) trùng ĐTT(2).
Ph ơng pháp giải:
Phơng pháp thế
Phơng pháp cộng đại số.
Phơng pháp thế: Rút một ẩn từ một phơng trình rồi thế vào phơng ttrình còn lại.
Phơng pháp cộng đại số: cân bằng hệ số của một ẩn ở cả hai phơng trình rồi trừ theo vế hai
phơng trình để khử bớt một ẩn.Tìm ẩn còn lại.
B. các ví dụ về giải toán
Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d)
a) Xác định m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Xác định m để đờng thẳng (d) :
1) Song song với trụ hoành.
2) Song song với đờng thẳng có phơng trình: x 2y = 1. (d)
3) Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x = 2 -
3
2

.
c) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi , tìm điểm cố
định đó.
Giải
a) -Hàm số đồnh biến nếu: m 1 > 0 m > 1.
-Hàm số đồnh biến nếu: m 1 < 0 m < 1.
b)Tìm m:
1) Đờng thẳng (d) song song với Ox khi và chỉ khi m 1 = 0 m = 1.
2) Viết lại đờng thẳng (d) dới dạng: y =
1
2
x -
1
2
Hai đờng thẳng (d) và (d) song song với nhau khi và chỉ khi :
1
1
3
2
1
2
2
m
m
m

=


=

3) Điểm A có tọa độ : A (2 -
3
2
;0) . Do đờng thẳng (d) đi qua A nên ta có:
21
tùy ý tùy ý
ax + by = c (1)
ax + by = c (2)
Ví dụ 1:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
0 = (m - 1) (2 -
3
2
) + m m =
21 2 3
33

.
c) Điểm cố định:
Cách 1: (Phơng pháp hệ số bất định)
Gọi M(x
0
;y
0
) là điểm cố định (nếu có) của đờng thẳng (d), khi đó:

y
0
= (m - 1)x
0
+ m m R
(m - 1)x
0
+ m y
0
= 0 (*) m R
Vì (*) đúng với mọi m R nên:
Với m = 0: - x
0
y
0
= 0 x
0
= -y
0
(a)
Với m = 1: 1 y
0
= 0 y
0
= 1 thay vào (a) ta có: x
0
= -1.
Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1).
Cách 2: (Phơng pháp đồng nhất thức)
Gọi M(x

0
;y
0
) là điểm cố định (nếu có) của đờng thẳng (d), khi đó:
y
0
= (m - 1)x
0
+ m m R
(x
0
+ 1)m ( y
0
+ x
0
) = 0 (*) m R

0 0
0 0 0
1 0 1
( ) 0 1
x x
y x y
+ = =



+ = =

Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1).
Cho hàm số y = (m - 2)x + n () trong đó hai số m , n là hai số thực cho trớc.
a) Tìm m và n để đờng thẳng () đi qua hai điểm A(1;-2) và B(3; -4).
b) Tìm m và n để đờng thẳng () cắt trục tung tại điểm M có tung độ y = 1 -
2
và cắt trụ
hoành tại điểm N có hoành độ x = 2 +
2
.
c) Tìm m, n để đờng thẳng () :
1) Vuông góc với đờng thẳng có phơng trình x 2y = 3. (
1
)
2) Song song với dờng thẳng có phơng trình 3x + 2y =1. (
2
)
3) Trùng với đờng thẳng có phơng trình y 2x + 3 = 0. (
3
)
Giải
a) Vì đờng thẳng () đi qua A và B nên ta có hệ sau:
2 2 0 1
( 2).3 4 3 2 1
m n m n m
m n m n n
+ = + = =



+ = + = =

b) M(0; 1 -
2
);N(2 +
2
;0). Tơng tự nh câu a) ta có hệ sau:

3 2
1 2
2
( 2)(2 2) 0
1 2
n
m
m n
n


=
=



+ + =



=

c) Xác định m, n:

1) Đờng thẳng (
1
) viết lại dới dạng: y =
1 3
2 2
x
Điều kiện để đờng thẳng () vuông góc với đờng thẳng (
1
) là:
(m - 2).
1
2
= -1 m 2 =-2 m = 0.
22
Ví dụ 2:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
2) Viết 3x + 2y = 1 dới dạng y = -
3
2
x +
1
2
, điều kiện là :
3 1
2
2 2
1 1
2 2
m m
n n

= =








3) Viết y - 2x + 3 = 0 dới dạng y = 2x 3, điều kiện là:
2 2 4
3 3
m m
n n
= =



= =

Cho phơng trình: mx 1 = m
2
+ x (1) (x là ẩn )
a) Giải phơng trình khi m =
2 1+
.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất âm.
Giải
a) Đa phơng trình về dạng: (m - 1)x = m

2
+1
Với m =
2 1+
ta có phơng trình:
2
x = (
2
+ 1 )
2
+1
x = 2
2
+ 2.
b) Điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là:
m 1 0 m 1 Khi đó: x =
2
1
0 1
1
m
m
m
+
< <

Giải các phơng trình sau:
a)
2
2 2 2

1
x
x x x
+
=

( 1) ; b)
2
1 2 1 3
0
2 2 1 2 2
x
x x x x
+
+ =
+ + +
(2).
Giải
a) Điều kiện cps nghĩa cúa rphơng trình là:
0
3 0
1
( 1) 0
3
x
x
x
x x
x

.
Với điều kiện trên thì (1) 2(x
2
- x) = (x 3 )(2x + 5)
2x
2
2x = 2x
2
+ 5x 6x 15
x = 15 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phơng trìng có một nghiệm x = 15
b) Điều kiện có nghĩa là : x 1. ( Chú ý rằng x
2
+ x + 1 =
2
1 3
0
2 4
x

+ + >
ữ

x).
Với điều kiện trên ta có :
(2) (x + 1)(x
2
+ x + 1) (2x + 1).2.(x - 1) + 3(x - 1)(x
2
+ x + 1) = 0
x
3
+ x
2
+ x + x
2
+ x + 1 4x
3
+ 4x 2x
2
+ 2 + 3x
3
+ 3x
2
+ 3x 3x
2
3x 3 = 0
x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 0.

Giải các phơng trình sau:
a)
1 2 1x x =
( 1) ; b)
2
2 1 3 2 2 1x x + + =
(2);
c)
1 3 0x y + + =
(3); d)
2 1 0x y x y + + =
(4).
Giải
23
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
Ví dụ 5:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
a) C ách1: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu 1 2x 0 x
1
2
:
1 2 1x x =
1 2x = x 1 x =
2
3
(lọai vì
2

3
>
1
2
).
Nếu 1 2x < 0 x >
1
2
:
1 2 1x x =
2x 1= x 1 x = 0 (loại vì 0 <
1
2
)
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm.
Cách 2: Nhận xét: Vế trái của phơng trình đã cho là không âm nên:
(1)
1
1 0
2
1 2 1
3
1 2 1
0
x
x
x x
x
x x
x

=
=






=



=


Vô lí.
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm.
b) Ta có: x
2
2x + 1 = (x - 1)
2
0.

2
2 1 3 2 2 1x x + + =

( )
2
2
1 (1 2) 1x + =

1 (1 2) 1x + =

3 2
1 2 2
1 2
x
x
x

= +

= +

=


c) Chú ý rằng nếu a 0 và b 0 thì a +b = 0
0
0
a
b

=


=

. Vậy

1 3 0x y + + =

1 0 1
3 0 3
x x
y y
= =



+ = =

Vậy phơng trình có cặp nghiệm là: (1; -3).
d) Tơng tự:

2 1 0x y x y + + =

2 1 0
0
x y
x y
+ =

=

x = y = -1.
Vậy phơng trình có cặp nghiệm là: (-1; -1).
Cho hệ phơng trình:
2
3
ax y
x ay
=


+ =

a) Giải hệ phơng trình khi a =
3
- 1 .
b) Chứng minh rằng với mọi a hệ đều có nghiệm.
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y < 0.
d) Tìm a để hệ cónghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x = y
2

Giải
a) Khi a =
3
- 1 hệ có dạng :
2 3 1
( 3 1) 2
5 2 3

( 3 1) 3 3 3 5
5 2 3
x
x y
x y
y

+
=


=




+ =



=



b) Cách1: Rút y = ax 2 từ phơngtrình đầu, thay vào phơng trình thứ hai ta đợc:
(a
2
+ 1)x = 3 + 2a. Vì a
2
+ 1 0 a nên:

2
3 2
1
a
x
a
+
=
+
, từ đó suy ra : y =
2
3 2
1
a
a

+
Vậy với mọi a hệ đều có ngiệm.
24
Ví dụ 6:
Ti liu ụn thi lp 10 GV: Lờ Thng THCS Phng Khoan Vinh phỳc
Cách 2: Với a = 0 hệ có nghiệm x = 3; y = -2.
Với a 0 thì hai đờng thẳng có phơng trình y = ax 2 (d
1
) và y =
x
a

+

3
a
là hai
đờng thẳng có hệ số góc khác nhau nên cắt nhau.
Vậy hệ luôn có nghiệm với mọi a.
c) Theo câu b) ta có hệ có nghiệm duy nhất
2
3 2
1
a
x
a
+
=
+
; y =
2
3 2
1
a
a

+
nên:
x + y < 0
2 2
3 2 3 2 5 1
0 0
1 1
a a a

a a
+ + +
< <
+ +

1
5 1 0
5
a a

+ < <
d) Ta có x = y
2

2 2
3 2 3 2
2
1 1
a a
a a
+
=
+ +
a =
3 2 2
3 2 2
+

Giải các hệ phơng trình:
a)

6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =



=


; b)
1 2 1
2
2 1 1
5
y x
x y
x y

+
+ =

+


+ =

.

Giải
a) Vì x 0 ; y 0. (để hệ phơng trình có nghĩa), chia cả hai vế của phơng trình thứ nhất cho
xy ta đợc hệ tơng đơng:
6 6
5
4 3
1
x y
x y

+ =




=


Đặt u =
1
x
; v =
1
y
ta có hệ :
1
6 6 5
2
1
4 3 1

3
u
u v
u v
v

=

+ =




=


=


;
Từ đó suy ra hệ có nghiệm (2;3).
b) Với điều kiện
1
0
2 1
y
x

>
+

, Đặt
1
, 0.
2 1
y
t t
x

= >
+
thì
2 1 1
1
x
y t
+
=

phơng trình thứ nhất trở thành:
t +
1
t
= 2 (t - 1)
2
= 0 t = 1.
Vậy:
1 1
1 1 2 2.
2 1 2 1
y y

x y
x x

= = =
+ +
Ta có hệ sau:
2 2 1
5 4
x y x
x y y
= =



+ = =

(Thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ có nghiệm: (1;4).
Giải hệ phơng trình:
1
2 5
x y
y x

=


= +


.

Giải

25
Ví dụ7:
Ví dụ8:
(1)
(2)
(*)