hinh chop co 1 canh ben vuong goc voi day

Vũ Văn Tuyền NT- NĐ
Dạng hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
I/Bài toán : Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Trên đờng thẳng
Ax Vuồng góc với (P) tại A lấy S

A . Gọi AA
1
, BB
1
,CC
1
là các đờng cao
trong tam giác ABC ; H là trực tâm. Gọi BB,CC là các đờng cao trong tam
giác SBC . K là trực tâm .
1/ CMR : a/ S,K,A
1
thẳng hàng.
b/ SB

(CC
1
C) và SC

(BB
1
B).
c/ HK

(SBC).
2/Chứng minh 6 điểm H,C,B
1

,B,K,A
1
nằm trên một mặt cầu.
3/ Giả sử Ax cắt HK tại D . CMR tứ diện SBCD là tứ diện có các cặp cạnh
đối diện vuông góc.
4/ CMR : Khi S thay đổi trên Ax thì tích SA.AD không đổi. Khi tam giác
ABC đều cạnh a thì SA.AD bằng bao nhiêu.
5/ CMR : Khi S thay đổi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện luôn chứa một đờng tròn
cố định.
6/Tính thể tích tứ diện SBCD. Tìm vị trí của S để thể tích này lớn nhất.
H ớng dẫn giải:
a/ BC

AA
1

BC

SA


BC

SA
1
nên SA
1
là đờng cao nên S,K,A
1
thẳng hàng.

b/ Cm CC
1

(SAB) do ( CC
1

AB ; SA

AB )


)'(
'
1
1
CCCSB
CCSB
CCSB







Vũ Văn Tuyền NT- NĐ
CM tơng tự ta có SC

(BB
1

B).
c/Chỉ ra : HK

(CC
1
C)

SB

HK

SB.
HK

(BB
1
B)

SC

HK

SC.

HK

(SBC).
2/CM : B
1
,B,K,A

1
cùng nhìn HC dới một góc vuông.
3/Ta có
AD

BC ,
BD

(BB
1
B)

SC

SC

BD
DC

(CC
1
C)

SB

DC

SB

đpcm.

4/ Ax thay đổi :
* Cm
1
SAA
đồng dạng với

HAD
Nên
1
1
AAHAADSA
AD
AA
HA
SA
==
(không đổi).
*Khi

ABC đều cạnh a ta có AA
1
=
2
3a
; AH =
3
3a
.
Nên SA.AD =
2

2
a
.
5/ Gọi E là giao điểm của AB với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD

tứ
giác SBDE nội tiếp trong một đờng tròn

SA.SD = AB.AE

AE =
AB
SDSA.
(không đổi)

E cố định

mặt cầu luôn đi qua đờng tròn
cố định (đờng tròn ngoại tiếp

BCE).
II/ Luyện tập :
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a;
cạnh SA vuông góc với đáy ABC và SA =a. M là một điểm thay đổi trên AB.
Đặt góc ACM =

, hạ SH

CM.
1/ Tìm quĩ tích điểm H; suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.

2/ Hạ AI

SC , AK

SH. Tính độ dài AK , SK và thể tích tứ diện SAIK.
H ớng đẫn giải :
Vũ Văn Tuyền NT- NĐ
1/* Ta có
AHCM
CMSA
CMSH







H nằm trên đờng tròn đờng kính AC
trong mặt phẳng (ABC). Nhng M thay đổi từ AB nên H nằm trên cung AE
của đờng tròn trên (E là trung điểm của BC).
*Ta có
AHCSAHC
SSAV .
3
1
=
.Nhng do SA không đổi nên
SAHC
V

max khi và chỉ
khi
AHC
S
max
AHC

vuông cân ở H ,cạnh huyền AC = a.
Vậy max
SAHC
V
=
124
.
3
1
32
aa
a =
(đvdt).
2/ Hạ AI

SC. I là trung điểm của SC (AC=SC=a)
AK

SH. Ta có AH = a.sin

.

22
2
22222
sin
sin1
sin
11111
aaaSHSA
AK
+
=+=+=


2
sin1
sin.
+
=
a
AK


2
2
2
222
sin1
sin1
+

=
+
==
a
SK
a
AKSASK
*
KIAKSIAKSHCAK
HCAK
SHAK






,)(

AKKISISSIVAKISI
AKSI
AISI
AKISAKI

6
1
.
3
1
)( ==

mà
+

===
2
sin1
sin.
,
2
2
2
1 a
AK
a
SCSI
theo cm t:
)sin1(2
cos.
)sin1(2
cos
2
2
22
222
+

=
+

==
a
KI
a
SISKKI
Nh vậy :
)sin1(24
2sin
2
3
+

=
a
V
SAKI
(đv thể tích).
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC Có SA vuông góc với đáy ABC . Đáy ABC
là tam giác vuông tại C. Cho AC = a, góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy
ABC là

.
a/ Trong mặt (SAC) từ A hạ SF

SC . CMR : AF

(SBC)
b/ Gọi O là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng
(SBC)theo a và

.
H ớng dẫn giải:
Vũ Văn Tuyền NT- NĐ

a/ Cm :
)(SACBC
góc
=SCA
Ta có
)(
)(
SBCAF
cmtBCAF
SCAF






b/Kẻ OH // AF vì
)()( SBCOHSBCAF
nên khoảng cách từ O
(SBC) là:
== sin
2

1
2
1
aAKOH
.
Ví dụ 3 :Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vvới cả ba góc nhọn. Trên
đờng thẳng (d) vuông góc với (P) tại A ,lâý điểm M . Dựng BK

AC,
BH

CM . Đờng thẳng KH cắt (d) tại N.
a/ CMR : BN

CM .
b/ CMR : BM

CN.
c/ Hãy chỉ ra cách dựng điểm M trên (d) sao cho đoạn MN ngắn nhất.
H ớng đẫn giải:
a/ Ta có
MCBK
AMBK
gtACBK





)(

mà
BNMCBHNMCMCBH

)(
,
Vũ Văn Tuyền NT- NĐ
b/ Ta có
NCBKMACBK
AMBK
ACBK






)(
(1)
Trong tam giác MNC có
MCHNMNAC ,
(vì
)(NHBMC
)

K là
trực tâm nên
NCMK

(2)
Từ (1),(2) ta có

MBNCMBKN C )(
.
c/ Vì K là trực tâm của tam giác CMN nên ta có:
AMK
đồng dạng với
ACN


ACAKANAM
=
. (không đổi).
Vậy khi M di động trên (d) tích AM.AN không đổi nên MN=AM+AN nhỏ
nhất khi AM=AN=
ACAK.
.
III/Bài tập tự giải :
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA

(ABC). Đặt SA =h.
a/ Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a,h.
b/ Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam
giác SBC. CMR : OH

(SBC).
Bài 2 : Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đờng thẳng (d) vuông góc với
mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm M. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC ;
K là trực tâm của tam giác BCM .
a/ CMR : MC

(BHK), HK

(BMC).
b/ Khi M thay đổi trên (d). Tìm giá trị max của thể tích tứ diện KABC.
Đ/s :
48
3
a
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông ABC, vuông tại A ,
cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH

SA , BK

SC. Chứng
minh rằng SC

(BHK) và hãy tính diện tích tam giác BHK. Biết rằng
AC= a , Bc = a
3
,SB = a
2
.
Đ/s :
10
5
2
a
S
BHK
=

.
Kết luận : Dới đây là ý kiến rút ra tử bản thân tôi và sẽ có nhiều thiếu sót rất
mong các đồng nghiệp tham khảo và đóng góp ý kiến cho ý kiến trên để có
sự hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Ngời viết: Phạm Văn Bằng