de thi hoc ky 2 toan 10

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2
Môn: Toán 10
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Giải các bất phương trình sau:
a)
065
2
≤−+− xx
b)
1
32
31
>
−
−
x
x
c)
123
2
−≤+− xxx
Câu 2:Cho
3
1
cossin =−
αα
. Tính
α
2sin
và
α

2cos
Với






∈
2
;0
π
α
Câu 3: Cho
1=+ yx
. Chứng minh rằng
4)1)(1(
33
≤++ yx
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
0142
22
=++−+ yxyx
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn (C)
b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d:
0134 =−+ yx
ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
1a

Xét
65)(
2
−+−= xxxf
có hai nghiệm
2
=
x
và
3
=
x
Dựa vào trục số ta có
065
2
≤−+− xx

⇔



≥
≤
3
2
x
x
1.5đ
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
(

] [
)
+∞∪∞−= ;32;S
0,5đ
1b
ĐK:
032
≠−
x
⇔
2
3
≠x
(*)
⇔
1
32
31
>
−
−
x
x
⇔
01
32
31
>−
−
−

x
x
⇔
0
32
)32(31
>
−
−−−
x
xx
⇔
0
32
54
>
−
−
x
x
⇔
( )( )
03254 >−− xx
0.5đ
Xét
( )( )
3254)( −−= xxxf
có hai nghiệm
2
3

=x
và
5
4
=x
0
32
54
>
−
−
x
x

⇔
2
3
5
4
<< x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là






=
2
3

;
5
4
S
0.5đ
1c
123
2
−≤+−
xxx
⇔
( )





−≤+−
≥+−
2
2
2
123
023
xxx
xx
0.5đ
⇔






≤+−



≤
≥
01
1
2
x
x
x
⇔





≥



≤
≥
1
1
2

x
x
x
⇔



≥
=
2
1
x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
[
) { }
1;2 ∪+∞=S
0.5đ
2
*) Cho
3
1
cossin =−
αα
0.5đ
2
3
Từ
3
1

cossin =−
αα
⇒
( )
9
1
cossin
2
=−
αα
⇒
9
1
2sin1 =−
α
⇒
9
8
2sin =
α
Ta có
( ) ( )
αααααα
cos.sin4cossinsincos
22
+−=+
9
17
9
8

.2
9
1
=+=
Suy ra:
3
17
sincos ±=+
αα
Do






∈
2
;0
π
α
nên
3
17
sincos =+
αα
Vậy
ααα
22
sincos2cos −=

=
( ) ( )
9
17
3
1
.
3
17
sincos.sincos2cos ==+−=
ααααα
0.5đ
3
4)1)(1(
33
≤++ yx
⇔
3
3333
≤++ yxyx
(*)
Ta có
( )
xyyxxyyxyx 31)(3
3
33
−=+−+=+

(*)
⇔

331
33
≤+− yxxy
⇔
032
33
≤+−− yxxy
⇔
( )
0)2(1
2
≤−+ xyxy
(**)
Do
( )
4
1
4
2
≤
+
≤
yx
xy
nên (**) luôn đúng
Vây
4)1)(1(
33
≤++ yx
0.5đ

Đẳng thức xảy ra khi



=+
−=
1
1
yx
xy
hay x, y là nghiệm phương trình
01
2
=−− tt
⇔






+
=
−
=
2
51
2
51
t

t
vậy (x;y) =








+−
2
51
;
2
51
hoặc (x;y) =








−+
2
51
;
2

51
0.5đ
4a Xác định tâm và bán kính



=
−=
42
22
B
A
⇔



=
−=
2
1
B
A
Vậy tâm I(1; -2)
Bán kính
21)2(1
22
=−−+=R
1đ
1đ
4b Do tiếp tuyến vuông góc d: nên tiếp tuyến có dạng

∆
: -3x + 4y + C = 0
Với điều kiện d(I,
∆
) = R
⇔
2
5
)2.(41.3
=
+−+− C
⇔
1011 =−C
⇔



=
=
21
1
C
C
1đ
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm
-3x + 4y + 1 = 0 và -3x + 4y + 21= 0 1đ
(Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa)