Chương 3 - BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC pot

Ch
Ch
ương 3
ương 3
:
:
BI
BI
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
•
Ký hiệu:
x(n) X(e
jω
) hay X(e
jω
) = FT{x(n)}
X(e
jω
) x(n) hay x(n) = FT
-1
{X(e
jω
)}

3.1 BI
3.1 BI
Ế
Ế
N
N
ĐỔI
ĐỔI
FOURIER
FOURIER
3.1.1
3.1.1
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
FOURIER:
FOURIER:
→←
F
 →←
−1
F
Trong đó: ω - tần số của tín hiệu rời rạc, ω = Ω T
s

Ω - tần số của tín hiệu liên tục
T
s
- chu kỳ lấy mẫu
•
Biến đổi Fourirer của x(n):

∑
∞
−∞=
−
=
n
njj
enxeX
ωω
)()(
•
X(ω) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
•
Nhận thấy X(e
jω
) tuần hoàn với chu kỳ 2π, thật vậy:
)(
)()(
ωϕωω
jjj
eeXeX
=
Trong đó:
)(
ω
j
eX
- phổ biên độ của x(n)
)](arg[)(
ω

ωϕ
j
eX
=
- phổ pha của x(n)
∑
∞
−∞=
+−+
=
n
njj
enxeX
)2()2(
)()(
πωπω
)()(
ωω
j
n
nj
eXenx
==
∑
∞
−∞=
−
Áp dụng kết quả:




≠
=
=
∫
−
0 :0
0:2
k
k
dke
jk
π
π
π
Biểu thức biến đổi F ngược:
∫
−
=
π
π
ωω
ω
π
deeXnx
njj
)(
2
1
)(

Ví dụ 3.1.1
Ví dụ 3.1.1
:
: Tìm biến đổi F của các dãy:
1:)()(
1
<= anuanx
n
Gi
Gi
ải:
ải:
nj
n
nj
enuaeX
ωω
−
∞
−∞=
∑
= )()(
1
( )
∑
∞
=
−
=
0n

n
j
ae
ω
ω
j
ae
−
−
=
1
1
1:)1()(
2
>−−−=
anuanx
n
nj
n
nj
enuaeX
ωω
−
∞
−∞=
∑
−−−= )1()(
2
( )
∑

−∞
−=
−
−
−=
1
1
n
n
j
ea
ω
( )
∑
∞
=
−
−=
1
1
m
m
j
ea
ω
( )
1
0
1
+−=

∑
∞
=
−
m
m
j
ea
ω
ω
j
ea
1
1
1
1
−
−
−=
ω
j
ae
−
−
=
1
1
∑
∞
−∞=

−
=
n
njjω
enxeX
ω
)()(
3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER
3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER
∑
∞
−∞=
−
≤
n
nj
enx
ω
)(
∑
∞
−∞=
=
n
nx )(
Vậy, để X(ω) hội tụ thì điều kiện cần là:
∞<
∑
∞
−∞=n

nx )(
•
Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng,
thậy vậy:
∑
∞
−∞=
=
n
x
nxE
2
)(
2
)(






≤
∑
∞
−∞=n
nx
Nếu:
∞<
∑
∞

−∞=n
nx )(
∞<=
∑
∞
−∞=n
x
nxE
2
)(
Ví dụ 3.1.2
Ví dụ 3.1.2
:
: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:
Gi
Gi
ải:
ải:
∑
∞
−∞=n
nx )(
1
)()( );()( );(2)( );(5.0)(
4321
nrectnxnunxnunxnunx
N
nn
====
∑

∞
−∞=
=
n
n
nu )()5.0(
∑
∞
=
=
0
)5.0(
n
n
2
5.01
1
=
−
=
∑
∞
−∞=n
nx )(
2
∑
∞
−∞=
=
n

n
nu )(2
∞==
∑
∞
=0
2
n
n
∑
∞
−∞=n
nx )(
3
∑
∞
−∞=
=
n
nu )(
∑
∞
−∞=n
nx )(
4
∑
∞
−∞=
=
n

N
nrect )(
∞==
∑
∞
=0
)(
n
nu
Nnrect
N
n
N
==
∑
−
=
1
0
)(
X
2
(e
jω
) không tồn tại
X
3
(e
jω
) không tồn tại

3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
a) Tuyến tính
)()(
ω
j
F
eXnx
11
→←
)()()()(
ωω
jj
F
eXaeXanxanxa
22112211
+→←+
Nếu:
Thì:
)()(
ω
j
F
eXnx
22
→←
b) Dịch theo thời gian
)()(
ω
j

F
eXnx
→←
Nếu:
Thì:
)()(
0
n-j
ω
ω
j
F
eXennx
→←−
0
)2();( −nn
δδ
Ví dụ 3.2.1
Ví dụ 3.2.1
:
: Tìm biến đổi F của dãy:
Gi
Gi
ải
ải
:
:
1==→←=
∑
∞

−∞=
−
n
njj
F
eneXnnx
ωω
δδ
)()()()(
c) Liên hiệp phức
)()(
ω
j
F
eXnx
→←
Nếu:
)(*)(*
ω
j
F
eXnx
−
→←
Thì:
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
ωωω
δ
22
22

jjj
F
eeXenxn
−−
=→←−=−
)()()(
d) Đảo biến số
)()(
ω
j
F
eXnx →←
)()(
ω
j
F
eXnx
−
→←−
Giải:
Giải:




Nếu:
Thì:
Ví dụ 3.2.2
Ví dụ 3.2.2
:

:
T
T
ì
ì
m bi
m bi
ến đổi F của dãy:
ến đổi F của dãy:
)(2)( nuny
n
−=
)()( nunx
n






=
2
1
( )
)()()( nunxny
n
−=−=
2
Theo ví dụ 6.1.1, có kết quả:
ω

ω
j
j
F
e
eX
−
−
=→←
)/(
)(
211
1
ω
ω
j
j
F
e
eX
)/(
)(
211
1
−
=→←
−
e) Vi phân trong miền tần số
1<= anunang
n

);()(
1
1
1
<
−
=→←=
−
a;)()()(
ω
ω
j
j
F
n
ae
eXnuanx
)()(
ω
j
F
eXnx
→←
)(
ω
ω
d
)dX(e
jnxn
j

F
→←
( )
1
1
2
<
−
==→←=
−
−
a
ae
ae
d
edX
jeGnnxng
j
jj
j
F
;
)(
)()()(
ω
ωω
ω
ω
ω
Giải:

Giải:


Theo ví dụ 6.1.1:
Nếu:
Ví dụ 6.2.3
Ví dụ 6.2.3
:
:
T
T
ìm
ìm biến đổi F của:
Thì:
f) Dịch theo tần số
1
0
<=
anunany
n
);()cos()(
ω
1
1
1
<
−
=→←=
−
a;)()()(

ω
ω
j
j
F
n
ae
eXnuanx
)()(
ω
j
F
eXnx
→←
][)(
)-(
00
ωωω
j
F
nj
eXnxe
→←
Giải:
Giải:


Theo ví dụ 6.1.1:
Nếu:
Ví dụ 3.2.4

Ví dụ 3.2.4
:
:
T
T
ìm
ìm biến đổi F của:
Thì:
[ ]
njnj
nn
eenuannuany
00
2
1
0
ωω
ω
−
+== )()cos()()(
[ ]
njnj
eenxny
00
2
1
ωω
−
+=
)()(

g) Tích 2 dãy
)()(
ω
j
F
eXnx
11
→←
∫
−
−
→←
π
π
ωωω
ω
π
'][)()()(
)'('
deXeXnxnx
jj
F
2121
2
1
Thì:
Nếu:
{ }
][][)(
)()(

00
2
1
ωωωω
ω
+−
+=
jj
j
eXeXeY






−
+
−
=
+−−−
)()(
)(
)()(
00
1
1
1
1
2

1
ωωωω
ω
jj
j
aeae
eY
)()(
ω
j
F
eXnx
22
→←
∫
−
−
=
π
π
ωωω
ω
π
'][)(
)'('
deXeX
jj
12
2
1

→←
F
g) Tổng chập 2 dãy
)()(
ω
j
F
eXnx
11
→←
)()()(*)(
ωω
jj
F
eXeXnxnx
2121
→←
Thì:
Nếu:
)()(
ω
j
F
eXnx
22
→←
Ví dụ 3.2.4
Ví dụ 3.2.4
:
:

T
T
ìm
ìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=δ(n+2)+δ(n-2)
Giải:
ωωωω
22
)()(
jjjj
eeeHeX
−
+==
Theo ví dụ 6.2.1, có kết quả:
222
)( )()()(
ωωωωω
jjjjj
eeeHeXeY
−
+==
ωω
44
2
jj
ee
−
++=
)]([)(*)()(
1
ω

YFnhnxny
−
==
)4()(2)4()(
−+++=
nnnny
δδδ
- gọi là phổ mật độ năng lượng
g) Quan hệ Parseval
)()(
ω
j
F
eXnx
11
→←
ω
π
π
π
ωω
deXeXnxnx
jj
n
∫
∑
−
∞
−∞=
= )()()()(

**
2121
2
1
Thì:
Nếu:
)()(
ω
j
F
eXnx
22
→←
(*)
Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval
Nhận xét:
Nếu:
)()()(
21
nxnxnx
==
Theo quan hệ Parseval, ta có:
ω
π
π
π
ω
deXnx
j
n

∫
∑
−
∞
−∞=
=
2
2
2
1
)()(
Với:
2
)()(
ωω
jj
xx
eXeS
=
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F
x(n)
X(ω)
a
1
x
1
(n)+a
2
x

2
(n)
a
1
X
1
(e
jω
)+a
2
X
2
(e
jω
)
x(n-n
0
)
e
-jωn0
X(e
jω
)
e
jω
0
n
x(n) Xe
j (ω- ω0)
nx(n)

jdX(e
jω
)/dω
x(-n)
X(e
-jω
)
x*(n)
X*(e
-jω
)
x
1
(n)x
2
(n)
x
1
(n)*x
2
(n)
X
1
(e
jω
)X
2
(e
jω
)

( )
')(
''
)(
ω
π
ωωω
deXeX
j
jj
C
−
∫
21
2
1
ω
π
π
π
ωω
deXeX
jj
∫
−
)()(
*
21
2
1

∑
∞
−∞=n
nxnx )()(
*
21
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
Hay biến đổi Fourier chính là
biến đổi Z được lấy trên vòng
tròn đơn vị theo biến số
ω
∑
∞
−∞=
−
=→←
n
njj
F
enxeXnx
ωω
)()()(
∑
∞
−∞=
−
=→←
n
n

Z
znxzXnx )()()(
ω
ω
j
ez
j
zXeX
=
=
)()(
/
z
/
=
1
Re(z)
ROC X(z)
ROC X(z)
Im(z)
/z/=1
ω
•
Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
⇒X(e
j
ω
)=X(z) với z=e
jω
•

Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
⇒X(e
jω
) không hội tụ
Ví dụ 3.3.1
Ví dụ 3.3.1
:
: Tìm biến đổi Z & FT của các dãy:
Gi
Gi
ải:
ải:
)(2)(
2
nunx
n
=
5.0;
5.01
1
)(
1
1
>
−
=
−
z
z
zX

)()5.0()(
1
nunx
n
=
Do ROC[X
1
(z)] có chứa /z/=1, nên:
ω
ω
ω
j
ez
j
e
zXeX
j
−
=
−
==
5.01
1
)()(
11
2;
21
1
)(
1

2
>
−
=
−
z
z
zX
Do ROC[X
2
(z)] không chứa /z/=1, nên X
2
(e
j
ω
) không tồn tại
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ
TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số
h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n:
Miền ω: H(e
jω
)X(e
jω
) Y(e
jω
)=X(e
jω

)H(e
jω
)
F
h(n)
F
H(e
jω
)=Y(e
jω
)/X(e
jω
): gọi là đáp ứng tần số
)(
)()(
ωφωω
jjj
eeHeH
=
Nếu H(e
jω
) biểu diễn dạng môdun và pha:
)(
ω
j
eH
)(
ωφ
- Đáp ứng biên độ
- Đáp ứng pha

Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(ω), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:
Giải:
Biến đổi Fourier của h(n):
h(n)=rect
4
(n)
nj
n
j
enrecteH
ωω
−
∞
−∞=
∑
= )()(
4
ω
ω
ω
j
j
n
nj
e
e
e
−
−
=

−
−
−
==
∑
1
1
4
3
0
)(
)(
)(
2/2/2/
222
ωωω
ωωω
ω
jjj
jjj
j
eee
eee
eH
−−
−−
−
−
=
2/3

)2/sin(
)2sin(
ω
ω
ω
j
e
−
=
)2/sin(
)2sin(
)(
ω
ω
ω
=
A
)2/sin(
)2sin(
)(
ω
ω
ω
=
j
eH



<+−

>−
=
0)(:2/3
0)(:2/3
)(
ωπω
ωω
ωφ
A
A
Với
-π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π ω
4
/H(e
jω
)/
3π/4
argH(e
jω
)
-3π/4
-π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π ω
-π/2
-π/4
3.4.2 Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp

Miền ω :
h
2

(n)
x(n)
y(n)
h
1
(n)
x(n)
y(n)
h(n)=h
1
(n)*h
2
(n)
≡

Miền n:
H
2
(e
jω
)
X(e
jω
)
Y(e
jω
)
H
1
(e

jω
)
X(e
jω
)
Y(e
jω
)
H(e
jω
)=H
1
(e
jω
)H
2
(e
jω
)
≡
Theo tính chất tổng chập: h
1
(n)*h
2
(n)
F
H
1
(e
jω

)H
2
(e
jω
)
b. Ghép song song

Miền ω:
≡
h
2
(n)
x(n)
y(n)
h
1
(n)
+
x(n)
y(n)
h
1
(n)+h
2
(n)

Miền n:
≡
H
2

(e
jω
)
X(e
jω
)
Y(e
jω
)
H
1
(e
jω
)
+
X(e
jω
)
Y(e
jω
)
H
1
(e
jω
)+H
2
(e
jω
)

3.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
)()()(*)()(*)()( mnxmhnxnhnhnxny
m
−===
∑
∞
−∞=
)(
)()(
mnj
m
Aemhny
−
∞
−∞=
∑
=
ω
)()()(
ωωω
jmj
m
nj
eHnxemhAe
==
−
∞
−∞=
∑
Ví dụ: 3.4.2: Tìm y(n) biết:

nj
enx
3
2)(
π
=
)(
2
1
)( nunh
n






=
3
2
1
1
1
2)()()(
3
π
ω
ω
ω
π

=












−
==
− j
nj
e
eHnxny
3
3
2
1
1
2
π
π
j
nj
e

e
−
−
=
Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Ae
jωn
3.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin
( )
njnj
ee
A
nAnx
00
2
)cos()(
0
ωω
ω
−
+==
[ ]
n
jjnjjj
eeHeeH
A
eHnxny
00000
)()(
2
)()()(

ωωωωω
−−
+==
[ ]
{ }
njjnjjnjj
eeHAeeHeeH
A
ny
000000
)(Re.)(*)(
2
)(
ωωωωωω
=+=
−
Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:
Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:
)(
)()(
ωφωω
jjj
eeHeH =
{ }
[ ]
)(cos)()(Re.)(
00
000
ωφω
ωωω

+==
neHAeeHAny
jnjj
( )
njnj
ee
j
A
nAnx
00
2
)sin()(
0
ωω
ω
−
−==
Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:
Ta cũng được kết quả:
{ }
[ ]
)(sin)()(Im.)(
00
000
ωφω
ωωω
+==
neHAeeHAny
jnjj
Tổng quát:

( ) ( )
2221110
sincos)(
ϕωϕω
++++=
nAnAAnx
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
2222
1111
0
0
sin
cos)(
2
1
ωφϕω
ωφϕω
ω
ω
+++
++++=⇒
neHA
neHAeHAny
j

j
j