TICH PHAN HAM LUONG GIAC

CHUN ĐỀ VI: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG PHÁP
A)Tích phân dạng:
F(sinx;cosx)dx
∫
Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx.
1) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là
F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx)
2) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là:
F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx.
3) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là:
F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx.
4) Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn
Sinx ;cosx theo t bỡi công thức :
2
2t
sinx=
1+t
và
2
2
1-t
cosx=
1+t

B)Tích phân dạng :
m n
sin x.cos xdx
∫
với
Znm ∈,

1) Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn :
+ Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx
+ Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx
2) Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến
đổi hàm số dưới dấu tích phân:

xxx 2sin
2
1
cossin =
;
2
2cos1
sin
2
x
x
−
=
;
2
2cos1
cos
2
x
x
+
=
3) Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo
sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

C)Tích phân dạng :
∫
bxdxax cos.cos
;
∫
bxdxax cos.sin
;
∫
bxdxax sin.sin
Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức:

[ ]
xbaxbabxax )cos()cos(
2
1
cos.cos −−+=

[ ]
xbaxbabxax )cos()cos(
2
1
sin.sin −−+−=

[ ]
xbababxax )sin()sin(
2
1
sin.sin −++=

D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt:

1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì
∫
−
a
a
dxxf )(
= 0 .Cách tính loại tích phân này bằng cách
đổi biến x = -t.
2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì
∫
+
=
∫
b
a
dxxf
ba
b
a
dxxxf )(
2
)(
( thường gặp :
∫
=
∫
π
π
π
0

)(sin
2
0
)(sin dxxdxxxf
)
Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t =
x−
π
)
3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác đònh trên R thì :









∫
=
∫
−
=
∫
−
+
dx
b
xf

b
b
dxxf
b
b
x
a
dxxf
0
)()(
2
1
1
)(
.Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t
• Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên
dx
b
xf
b
b
dxxf
∫
=
∫
−
0
)(2)(
.Cách chứng minh điều này
như sau:

dx
b
xf
b
dxxf
b
b
dxxf
∫∫
−
+=
∫
−
0
)(
0
)()(
rồi tính
∫
−
0
)(
b
dxxf
bằng cách đặt x= -t.
Tính các tích phân sau:
Bài 1:
∫
4
0

6
cos
π
x
dx
Bài 2:
∫
2
6
4
sin
π
π
x
dx
Bài 3:
∫
4
0
4
π
xdxtg

Bài 4:
∫
2
3
4
sin
3

cos
π
π
x
dx
Bài 5:
∫
+
2
0
)sin(sin
54
π
dxxx

Bài 6:
∫
+
4
0
)tan(tan
34
π
dxxx
Bài 7:
∫
+
2
0
cos)sin(sin

223
π
xdxxx
Bài 8:
∫
+
+
4
0
)
cos
sin
cossin1
2cos
(
3
π
dx
x
x
xx
x
Bài 9:
∫
+
π
0
)5sin(cos3sin dxxxx

Bài 10:

∫
−
+
3
0
sin1
sin1
π
dx
x
x

Bài 11:
∫
+
2
6
sin
)cos1(
π
π
x
dxx
Bài 12:
∫
4
0
4
cos
2

sin
π
dx
x
x
Bài 13:
∫
3
6
4
cos
4
sin
π
π
xx
dx

Bài 14:
∫
3
4
3
cos
3
sin
π
π
xx
dx

Bài 15:
(
)
∫
++
π
2
0
sin1
2
sin dxxx

Bài 16:
∫
++
2
0
cossin1
π
xx
dx
Bài 17:
∫
+
2
0
cos1
3
sin4
π

x
xdx
Bài 18:
∫
+
π
0
2
cos1
3
sin
dx
x
xx
Bài 19:
∫
+
π
0
2
sin1
sin
dx
x
xx
Bài 20:
∫
−
+
+

2
2
12
cos
2
π
π
dx
x
xx
Bài 21:
∫
−
+
+
4
4
13
4
cos
4
sin
π
π
dx
x
xx

Bài 22:
∫

+
4
0
tan1
π
x
dx
Bài 23:
∫
3
0
2cos
tan
π
dx
x
x
Bài 24:
∫
4
0
tan
6
π
xdx
Bài 25:
∫
+
2
0

cos2
π
x
dx
Bài 26:
∫
+
4
0
4
sin
4
cos
2sin
π
dx
xx
x

Bài 27:
∫
3
4
3
cossin
π
π
xx
dx
Bài 28:

∫
+
4
0
2
sin1cos
sin
π
dx
xx
x
Bài 29:
∫
3
6
4
π
π
xtg
dx
Bài 30:
∫
2
0
3coscos
3
π
xdxx

Bài 31:

∫
2
0
4cossin
2
π
xdxx
Bài 32:
∫
+
2
0
cos23
π
x
dx

Bài 33:
∫
+
2
0
sin1
3
cos4
π
x
xdx

Bài 34:

∫
2
0
4sin2coscos
π
xdxxx
Bài 35:
∫
+
π
0
2cos7
sin
dx
x
xx

Bài 36:
∫
4
2
0
sin
π
xx

Bài 37:
∫
++
+−

2
0
3cos2sin
)1cos(sin
π
xx
dxxx
Bài 38:
∫
−
+
+
1
1
2
36
1
sin
dx
x
xx