Bài 1: Giới hạn của dãy số - 1 doc

Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 11 - Chương IV Email:
Bài 1.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. Tóm tắt lý thuyết
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Giới hạn 0
Dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu
n
u
nhỏ hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số
hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:
n
n
lim u 0
→+∞
=
2. Các kết quả thừa nhận
( )
n
n n n
1 1
lim 0, lim 0, lim q 0 q 1
n
n
→+∞ →+∞ →+∞
= = = <
3. Giới hạn khác 0:

( )
n n
n n
lim u a lim u a 0
→+∞ →+∞
= ⇔ − =
4. Một số định lý về giới hạn
a) Các phép toán về giới hạn: Cho
n
n
lim u a
→+∞
=
và
n
n
lim v b
→+∞
=
. Khi đó ta có:
+
( ) ( ) ( )
n
n n n n
n n n
n
u a
lim u v a b, lim u .v a.b, lim b 0
v b
→+∞ →+∞ →+∞

± = + = = ≠
+
( )
n n
n
lim u a u 0, n N*;a 0
→+∞
= ≥ ∀ ∈ ≥
b) Định lý bị chặn: Nếu ba dãy số
( ) ( ) ( )
n n n
u , v , w
thỏa mãn điều kiện:
+
n n n
u v w , n N *≤ ≤ ∀ ∈
+
n n
n n
lim u lim w a
→+∞ →+∞
= =
thì
n
n
lim v a
→+∞
=
c) Định lý Weierstrass: - Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ
- Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

II. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân (u
n
) có công bội q được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn nếu
q 1<
. Khi đó:
n 1 2 n
S u u u= + + +
(n số hạng)
1 2 n
S u u u = + + + +
(vô số số hạng)
Từ đó:
1
n
n
u
limS S
1 q
→∞
= =
−
( )
q 1<
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
- Dãy số (u
n
) được gọi là có giới hạn +
∞

khi n dần tới +
∞
. Kí hiệu:
n
n
lim u
→+∞
= +∞
, nếu u
n
có thể lớn hơn
một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
- Dãy số (u
n
) được gọi là có giới hạn -
∞
. Kí hiệu:
n
n
lim u
→+∞
= −∞
, nếu:
( )
n
n
lim u
→+∞
− = +∞
2. Các kết quả thừa nhận

( )
k n
n n n
lim n , lim n , lim q q 1
→+∞ →+∞ →+∞
= +∞ = +∞ = +∞ >
3. Định lý
- Nếu
n
n
lim u a
→+∞
=
và
n
n
lim v
→+∞
= +∞
thì
n
n
n
u
lim 0
v
→+∞
=
- Nếu
n

n
lim u a
→+∞
=
> 0 và
( )
n n
n
lim v 0 v 0, n
→+∞
= > ∀
thì
n
n
n
u
lim
v
→+∞
= +∞
- Nếu
n
n
lim u
→+∞
= +∞
và
n
n
lim v a 0

→+∞
= >
thì
( )
n n
n
lim u .v
→+∞
= +∞
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 11 - Chương IV Email:
B. Ví dụ và bài tập
1. Cho dãy số (u
n
) với
n
2 n 3
u ,n 1
5 n
−
= ≥
. Chứng minh:
n
n
2
lim u
5
→+∞
=
2. Tính các giới hạn sau:

a)
2
2
n
3n 2n 1
lim
2n 4n 5
→+∞
− +
− +
b)
2
3
n
3n 2n 1
lim
2n 4n 5
→+∞
− +
− +
c)
4
3
n
3n 2n 1
lim
2n 4n 5
→+∞
− +
− +

d)
( )
2
n
lim n 2n 1
→+∞
− + +
3. Tính giới hạn nhờ định lý bị chặn
a)
n
sin n cosn
lim
n
→+∞
+
b)
( )
n
n
n
lim 1 sin(n )
n 1
π
→+∞
−
+
c)
2
n
4sin(n 2) 3cosn

lim
n 1
→+∞
+ +
+
4. Sử dụng định lý Weierstrass chứng minh các dãy số sau hội tụ
a)
2
n
2
5n
u
n 2
=
+
b)
n
2 n
1 1 1
u 1 1 1
2 2 2
    
= − − −
 ÷ ÷  ÷
    
c)
n
1 1 1
u
1.2 2.3 n(n 1)

= + + +
+
5. Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn
a)
2 n
1 1 1
S 1
2 2 2
= + + + + +
b)
n n
n n
3 2 9 4 3 2
S 2
3.2 9.4 3 .2
+ + +
= + + + + +
6. Cho
p
2,131313131313
q
=
Tính
p
q
7. Tìm giới hạn của các dãy số (u
n
) có số hạng tổng quát u
n
cho bởi:

a)
2n 3
3n 4
− +
+
b)
3
3 2
3n 1
2n 4n n
− +
− −
c)
4
4
n 2
n 1
+
+
8. Tính các giới hạn
a)
4
2
n
3n 1
lim
2n n 2
→+∞
+
− +

b)
2
n
n n n
lim
n
→+∞
+ −
c)
2 2
n
1
lim
n 2 n 1
→+∞
+ − +
9. Tính các giới hạn
a)
n n
n n
n
3 2
lim
3 4
→+∞
+
+
b)
n 1 n
n n

n
4 3
lim
2 4
+
→+∞
+
+
c)
2
2
n
n 2n n
lim
4n 2n 2n
→+∞
+ −
+ −
d)
( )
n
lim n 1 n
→+∞
+ −
e)
( )
3 3
n
lim n 1 n
→+∞

+ −
f)
( )
3
n
lim n 1 n
→+∞
+ −
10. Chứng minh dãy sau hội tụ và tính giới hạn của nó:
n
1 1 1
u
1.4 2.5 n(n 3)
= + + +
+
11. Tìm giới hạn của dãy số (u
n
) xác định bởi công thức:
n
1 n 1
n
u
u 1,u ; n 1
u 1
+
= = ∀ ≥
+
12. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức:

1 n 1 n
u 1,u u 2n 1; n 1
+
= = + + ∀ ≥
a) Tìm công thức tính u
n
b) Tìm
n 1 n
n
3
n n n
n
u S
lim u , lim , lim
u n
+
→+∞ →+∞ →+∞
13. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức:
1 n 1 n
u 1,u 4u ; n 1
+
= = ∀ ≥
. Tìm
n
n
lim S
→+∞
14. Tìm giới hạn: a)

3
3
n
n 1 n
lim
n 2
→+∞
+ −
+
b)
n
1 2 3 n
lim
n 2
→+∞
+ + + +
+
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 11 - Chương IV Email:
Bài 1.
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. Tóm tắt lý thuyết
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa
2. Cácđịnh lí