Bài 1: Giới hạn của dãy số - 2 pot

GIỚI HẠN DÃY SỐ
A / Lý thuyết:
•Nếu
,lim 0 lim 0
n n n n
u v n v u< ∀ = ⇒ =
•
limc c
=
•
lim lim
n n
u L u L= ⇒ =
•
3
3
lim lim
n n
u L u L= ⇒ =
;
•
lim , 0 0,lim
n n n
u L u n L u L= > ∀ ⇒ > =
•
2
1
1 1 1

1
u

S u u q u q
q
= + + + =
−
•
1
lim lim 0
n
n
u
u
= +∞ ⇒ =
3
1 1 1
lim 0; lim 0; lim 0;
n
n n
= = =
lim 0
n
q =
nếu
1q <
*
1
lim 0,
k
k N
n
= ∈

lim 0
k
c
n
=
3
lim ; lim ; lim ; n n n= +∞ = +∞ = +∞
lim
n
q = +∞
nếu
1q >
;
*
lim ,
k
n k N= +∞ ∈
lim
n
u = ±∞
,
lim
n
v = ±∞
lim
n
u = ±∞
,
lim 0
n

v L= ≠
lim 0
n
u L= ≠
,
lim 0
n
v =
lim
n
u
lim
n
v
lim .
n n
u v
lim
n
u
Dấu của
L
lim .
n n
u v
Dấu của
L
Dấu của
n
v

lim
n
n
u
v
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
+

+
−
−
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
B/ Bài Tập:
Bài 1 tìm các giới hạn sau:
1.
2 1
lim
1
n
n
+
+
2.
2
2
3 4 1
lim
2 3 7
n n
n n
− + +

− +
3.
3
3
4
lim
5 8
n
n n
+
+ +
4.
( ) ( )
( )
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
+ +
+
5.
2
1
lim
2
n
n
+

+
6.
2
4
lim
3 2
n
n n
+
− +
7.
( )
( )
3
2 1
lim
6 1
n n
n
+
+
8.
3
2
lim
1
n
n
+
+

9.
( )
( )
( )
2
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
+ +
+
Bài 2 tìm các giới hạn sau:
1.
2
1
lim
2 3
n
n
+
+
2.
2 1
lim
2 2
n
n
+

+ +
ds2
3.
1
lim
1
n
n
+
+
ds1
4.
2
lim
1
n
n n
−
+ +
ds0
5.
3
3
2
lim
2
n n
n
+ +
+

ds1
6.
3
3
2
1 1
lim
3 2
n
n
+ −
+ −
7.
3
2 3
2
1
lim
1 3
n n n n
n n
+ + +
+ +
Bài 3 tìm các giới hạn sau:
1.
( )
lim 1n n+ −
ds0
2.
(

)
2 2
lim 5 1n n n n+ + − −
ds3
3.
(
)
2 2
lim 3 2 1 3 4 8n n n n+ − − − +
ds
3
4.
(
)
2
lim 4n n n− −
ds-2
5.
(
)
2
lim 3n n− +
ds0
6.
( )
lim 1n n+ +
- 1 -
7.
(
)

3 2 3
lim n n n− +
ds1/3
8.
( )
3 3
lim 1n n− +
ds0
9.
3
3
2
1
lim
1
n n
n n
+ −
+ −
10.
(
)
3 3 2 2
lim 3 1 4n n n n− + − +
Bài 4 tìm các giới hạn sau:
1.
1 4
lim
1 4
n

n
−
+
2.
1
2
3 4
lim
3 4
n n
n n
+
+
−
+
3.
3 4 5
lim
3 4 5
n n n
n n n
− +
+ −
4.
1
1
2 6 4
lim
3 6
n n n

n n
+
+
+ −
+
5.
2
2
3 4 1
lim
2
n
n n
n
− + +
Bài 5 tìm các giới hạn sau:
1.
sin
lim
1
n
n
π
+
2.
2
sin10 cos10
lim
2
n n

n n
+
+
Bài 6 tìm các giới hạn sau:
1.
2
1 3 5 (2 1)
lim
3 4
n
n
+ + + + +
+
ds1/3
2.
2
1 2 3
lim
3
n
n
+ + + +
−
ds1/2
3.
2 2 2 2
1 2 3
lim
( 1)( 2)
n

n n n
+ + + +
+ +
ds1/3
4.
1 1 1
lim
1.2 2.3 ( 1)n n
 
+ + +
 
+
 
ds1
5.
1 1 1
lim
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
 
+ + +
 
− +
 
Bài 7 Tính các tổng sau:
1.
1 1
1
2 4
S = + + +
2.

1 1 1
1
3 9 27
S = − + − +
3.
2 3
1 0,1 (0,1) (0,1) S = + + + +
4.
2 3
2 0,3 (0,3) (0,3) S = + + + +
Bài 8:đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
1. 1,1111….
2. 2,3333…
3. 0,2222…
4. 0,212121….
5. 0,23111…
- 2 -
GIỚI HẠN HÀM SỐ
A/Lý thuyết :
0
0
lim
x x
x x
→
=

0
lim
x x

C C
→
=

1
lim 0
x
x
→±∞
=
1
lim 0
k
x
x
→±∞
=

lim
k
x
x
→+∞
= +∞

, 2
lim
, 2 1
k
x

k l
x
k l
→−∞
+∞ =

=

−∞ = +

( ) ( ) ( )
0
0 0
lim lim lim
x x
x x x x
f x L f x f x L
− +
→
→ →
= ⇔ = =
( )
0
lim
x x
f x
→
( )
0
lim

x x
g x
→
( ) ( )
0
lim .
x x
f x g x
→
0L >
+∞
+∞
−∞
−∞
0L >
+∞
−∞
−∞
+∞
B/ Bài tập:
Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
1.
2
3
9
lim
3
x
x
x

→
−
−
2.
( )
2
1
lim 3 1
x
x x
→
+ +
3.
2
3
9
lim
4
x
x
x
→
−
+
4.
2
2
2 9
lim
4

x
x
x
→+∞
−
+
Bài 2 Tìm các giới hạn sau::
1.
2
lim
x
x
→
đs2
2.
( )
2
lim 3
x
x
→
+
đs5
3.
( )
2
2
lim 2 3 5
x
x x

→
− − +
đs-9
4.
( ) ( )
0
lim 3 2
x
x x
→
− +
đs-6
5.
1
5 2
lim
1
x
x
x
→
+
+
đs7/2
6.
2
2
3 1
lim
1

x
x x
x
→
+ −
−
đs3
7.
2
5 2 1
lim
1
x
x x
x
→
− + −
+
đs2/3
Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
1.
( )
3
lim 2
x
x x
→+∞
+
đs
+∞

2.
( )
3
lim 2
x
x x
→−∞
+
đs
−∞
3.
2
2
5 3 1
lim
2 3
x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs5/2
4.
2
2
5 3 1
lim
2 3
x

x x
x
→−∞
+ +
+
đs5/2
5.
4 2
4
5 1
lim
2 3
x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs1/2
6.
4 2
4
5 1
lim
2 3
x
x x
x
→−∞
+ +

+
đs1/2
7.
2
3 1
lim
2 3
x
x
x
→+∞
+
+
đs0
8.
2
3 1
lim
2 3
x
x
x
→−∞
+
+
đs0
9.
2
3
3 1

lim
2 5
x
x
x
→+∞
+
+
đs0
10.
2
3
3 1
lim
2 5
x
x
x
→−∞
+
+
đs0
- 3 -
( )
0
lim
x x
f x
→
( )

0
lim
x x
g x
→
Dấu của g(x)
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
L
±∞
Tuỳ ý 0
L>0
0
+
+∞
-
−∞
L<0
+
−∞
-
+∞
11.
2

2 2
lim
1
x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs
+∞
12.
2
2 2
lim
1
x
x x
x
→−∞
+ +
+
đs
−∞
13.
2
lim 2
x
x x
→+∞

+
đs
+∞
14.
2
lim 2
x
x x
→−∞
+
đs
+∞
15.
2
4 1
lim
3 1
x
x
x
→±∞
+
−
đs
2
3
±
16.
4
2

3 5
lim
2 4 5
x
x x x
x x
→±∞
+ −
+ −
đs
1
2
17.
2
2
3 4
lim
4 1
x
x x
x x
→±∞
+ +
+ −
đs5 , -1
18.
2 2
9 1 4 2
lim
1

x
x x x
x
→±∞
+ − +
+
đs
1±
Bài 4 Tìm các giới hạn sau::
1.
( )
2
3
5 2
lim
3
x
x
x
→
+
−
đs
+∞
2.
( )
2
3
2 3
lim

3
x
x
x
→
 
+
−
 
−
 
 
đs
−∞
3.
3
5 2
lim
3
x
x
x
−
→
+
−
đs
−∞
4.
3

5 2
lim
3
x
x
x
+
→
+
−
đs
+∞
5.
2
2
5 2
lim
2
x
x x
x
−
→
+ +
−
đs
−∞
6.
2
2

5 2
lim
2
x
x x
x
+
→
+ +
−
đs
+∞
Bài 5 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số :
( )
2
2 3 1 , 2
3 7 , 2
x x x
f x
x x

+ − ≥
=

+ <


Tìm các giới hạn sau:
1.

( )
1
lim
x
f x
→
2.
( )
3
lim
x
f x
→
3.
( )
2
lim
x
f x
→
Bài 6 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số :
( )
2
1 2 , 1
5 4 , 1
x x
f x
x x


− <
=

+ ≥


Tìm các giới hạn sau:
1.
( )
0
lim
x
f x
→
2.
( )
3
lim
x
f x
→
3.
( )
1
lim
x
f x
→
Bài 7 Tìm các giới hạn sau::(dạng
0

0
)
1.
2
3
2 15
lim
3
x
x x
x
→
+ −
−
đs8
2.
2
2
1
2 3
lim
1
x
x x
x
→
+ −
−
đs2
3.

2
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x x
→
− +
−
đs1/2
4.
2
2
2
3 2
lim
6
x
x x
x x
→
− +
+ −
đs1/5
5.
3 2
2

1
1
lim
3 2
x
x x x
x x
→
− − +
− +
đs0
6.
4 4
lim
x a
x a
x a
→
−
−
đs4a
3
7.
( )
2
2
0
lim
h
x h x

h
→
+ −
đs2x
8.
4 2
3 2
3
6 27
lim
3 3
x
x x
x x x
→−
− −
+ + +
đs-36/5
9.
5
3
1
1
lim
1
x
x
x
→−
+

+
đs5/3
10.
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
→
−
−
đsm/n
11.
( )
6 5
2
1
4 5
lim
1
x
x x x
x
→
− +
−

đs10
Bài 8 Tìm các giới hạn sau::(dạng
0
0
)
1.
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
đs1/2
2.
2
3
1 2
lim
9
x
x
x
→
+ −
−
đs1/24

3.
2
1
2 3
lim
1
x
x
x
→
− +
−
đs-1/8
4.
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x
→
+ − −
−
đs1/6
- 4 -
5.
2
2

2 5 7
lim
2
x
x x
x x
→
+ − +
−
đs1/12 6.
3
2
4 2
lim
2
x
x
x
→−
+
+
đs1/3
Bài 9Tìm các giới hạn sau:(dạng
0
0
)
1.
3
2
1

1
lim
1
x
x
x
→
−
−
đs1/6
2.
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
− +
+ −
đs9/8
3.
3
0
1 1
lim
3
x
x

x
→
− −
đs1/9
4.
3
2
1
1
lim
3 2
x
x
x
→−
+
+ −
đs-2/3
5.
3
1
7 2
lim
1
x
x
x
→
+ −
−

đs1/2
6.
3
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
đs2/3
7.
3
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ − −
đs5/6
8.
0
1 4 3
lim
x

x x
x
→
+ + + −
9.
0
9 16 7
lim
x
x x
x
→
+ + + −
10.
( )
3
2
3
2
1
2 1
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
Bài 10:Tìm các giới hạn sau

1.
(
)
2
lim
x
x x x
→+∞
+ −
2.
(
)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x
→+∞
− − − −
3.
(
)
2 2
lim 1 1
x
x x x x
→+∞
− + − + +
4.
(
)

3 3
lim 1
x
x x
→+∞
+ −
5.
+∞→
x
lim
(
xxx 5
2
+−
) (Đs:-5/2)
6.
−∞→
x
lim
(
1
22
+−−
xxx
) (Đs:1/2)
7.
(
)
32 3
lim . 1

x
x x x
→+∞
+ −
8.
(
)
3 33 2 3
lim 5 8
x
x x x x
→+∞
+ − +
Bài 11:Tìm các giới hạn sau
1.
2
1
2 1
lim
1 1
x
x x
→
 
−
 ÷
− −
 
2.
3

1
1 3
lim
1 1
x
x x
→
 
−
 ÷
− −
 
3.
2 2
1
1 1
lim
3 2 5 6
x
x x x x
→
 
−
 ÷
− + − +
 
BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x
0
1.

f(x) =
2
9
3
3
6 3
x
khi x
x
khi x

−
≠

−


=

tại x
0
=3
2.
f(x) =
2
25
5
5
9 5
x

khi x
x
khi x

−
≠

−


=

tại x
0
=5
3.
( )
2 3
2
2 7 5
khi 2
3 2
1 khi 2
x x x
x
f x
x x
x

− + −

≠

=
− +


=


tạix
0
=2
4.
( )
3
3
2
khi 1
1
4
khi 1
3
x x
x
x
f x
x

+ +
≠ −



+
=


= −


tại x
0
= -1
5.
( )
1 2 3
khi 2
2
1 khi 2
x
x
f x
x
x

− −
≠

=

−


=

tại x
0
=2
6.
( )
3
3 2 2
khi 2
2
3
khi 2
4
x
x
x
f x
x

+ −
≠


−
=


=



tại x
0
=2
7.
( )
2
khi 4
5 3
3
khi 4
2
x
x
x
f x
x

−
≠


+ −
=


=



tại x
0
=4
8.
( )
2
+4 2
2 1 2
x khi x
f x
x khi x

<
=

+ ≥

tại x
0
=2
9.
( )
4 2
1 1
3 2 1
x x khi x
f x
x khi x

+ − ≤ −

=

+ > −

tại x
0
= -1
10.
( )
2
0
1 0
x khi x
f x
x khi x

<

=

− ≥


tại x
0
=0
- 5 -
11.
( )
5

khi 5
2 1 3
3
khi 5
2
x
x
x
f x
x
−

>


− −
=


≤


tại x
0
=5
12.
( )
3 2
2 1
2

x x
f x
x
+ −
=
−
tại x
0
=2
13.
f(x)=
5
1
4
−
++
x
xx
tại x
0
= 5
14.
Chứng minh các hàm số
a)
( )
2
2 3
khi 1
1
4 khi 1

x x
x
f x
x
x

+ −
≠

=
−


=

liên tục trên R
b)
( )
3
3
2
khi 1
1
4
khi 1
3
x x
x
x
f x

x

+ +
≠ −


+
=


= −


liên tục trên R
c)
( )
2
2
7 4
khi 3
5 6
3
khi 3
4
x
x
x x
f x
x


+ −
≠


− +
=


=


liên tục trên
{ }
\ 2R
15.
tìm a để hàm số liên tục trên R
1)
( )
2
1
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x

<
=

− ≥


2)
( )
( )
2 2
2
1-a 2
a x khi x
f x
x khi x

≤

=

>


3)
( )
2
4
2
2
a 2
x
khi x
f x
x
khi x


−
≠

=
−


=

16.
Cho hàm số f(x) =
3 2
2 5 0
4 1 0
x x khi x
x khi x

+ − ≥

− <

Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác đònh của nó.(Đs:gián đọan tại x = 0).
17.
Tìm a để hàm số liên tục tại x
0
a)
( )
3 2
khi 1
1

a+1 khi 1
x
x
f x
x
x

+ −
≠

=

−

=

tại x
0
=1
b)f(x) =
2
2 2
2
4
2
x
khi x
x
a khi x


+ −
≠


−

=

tại x
0
=2
c)
( )
1 1
khi 1
1
4 -
a khi 1
2
x x
x
x
f x
x
x

− − +
<



−
=


+ ≥

+

tại x
0
=1
d)
( )
3
3 2 2
khi 2
2
1
khi 2
4
x
x
x
f x
ax x

+ −
>



−
=


+ ≤


tại x
0
=2
18.
cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0
a)
( )
2
2x x
f x
x
−
=
b)
( )
2
2
2x x
f x
x
−
=
Có thể gán cho

( )
0f
một giá trị bằng bao nhiêu để hàm số
( )
f x
liên tục tại x=0
19.
Cho hàm số f(x) =
2
2
3 2
ax khi x
khi x

≤

>

Tìm a để hàm số liện tục tại x=2, vẽ đồ thò hàm số với a tìm được.
20.
Chứng minh rằng phương trình x
3
+ 3x
2
+5x-1= 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1)
21.
Chứng minh rằng phương trình x
3
-3x+1= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
- 6 -

22.
Chứng minh rằng phương trình x
5
-3x
4
+5x-2= 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong
khoảng (-2 ;5
- 7 -