Tập hợp và các phép toán pps

§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
Các bài toán nâng cao dành cho ban tự nhiên
1,Tập hợp và các phép toán.
1. Cho tập hợp E={1;2;3;4}.Hãy tìm các tập con X và Y của tập E sao cho với mọi tập con A
của tập E ta đều có A

Y=A

X
2. Cho hai tập A và B .Các mệnh đề sau đúng hay sai?
• x
∉
A

B khi chỉ khi x
∉
A hoặc x
∉
B
• x
∉
A

B khi và chỉ khi x
∉
A hoặc x
∉
B
• x
∉
A\B khi và chỉ khi x

∉
A hoặc x
∈
B
3. Cho A,B,C là các tập hợp thỏa mãn
CBCACBCA  ⊂⊂ ;
chứng minh A
⊂
B.Điều
đảo lại có đúng không?
2,Số gần đúng và sai số.
1. Một vật thể có thể tích V=180,57 cm
3

±
0.05 cm
3
.Xác định số chữ số chắc và sai số tương đối
của giá trị gần đúng ấy.
2. Cho giá trị gần đúng của số
3
2
=1,25992104 với 6 chữ số chắc .hãy viết giá trị gần đúng của
3
2
dưới dạng chuẩn và tính sai số tuyệt đối của giá trị này?
3,phương pháp quy nạp toán học.(n là số tự nhiên )
1. chứng minh 1+2+3+…+n=n(n+1)/2
2. chứng minh 1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1)
2

3. Cho a
≥
-1 chứng minh (1+a)
n
≥
1+na (bất đẳng thức Bernouilli)
4. chứng minh
22 22 <+++
trong đó có n dấu căn.
Chương II.Hàm số bậc nhất và hàm bậc hai.
1,hàm số bậc nhất .
1. Cho hàm số y=
22 −−+− mxmx
.Tìm m để y xác định với mọi x>1.
2. Tìm hàm số y=f(x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ.
3. Cho hai hàm số cùng phụ thuộc tham số m :
Hàm số y=f(x) =(m+
2
)(x+2) có đồ thị là đường thẳng d
m
và hàm số y=g(x)=(m-
2
)x+m
2
-1
có đồ thị là đường thẳng ∆
m
.
• Có hay không giá trị m để d
m

//∆
m
. ?
• Cmr các đường thẳng d
m
(khi m thay đổi) luôn đồng quy tại một điểm cố định trong khi
đường thẳng ∆
m
không đi qua điểm cố định nào cả.
2,Hàm số bậc hai.
1. Cho parabol (P) có phương trình y=ax
2
+bx+c luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) : y=2x+1 tại
A(1 ;3)
• Tính b,c theo a.
• Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi.
• Tìm các điểm trong (Oxy) mà (P) không thể đi qua .
2. Cho hàm số y=f(x) =x
2
-2(m+1/m)x+m trong đó m là tham số khác 0. Giả sử
[ ]
)(min
1;1
1
xfy
x
−∈
=
và
[ ]

)(max
1;1
2
xfy
x
−∈
=
.Hãy tìm các giá trị của m sao cho y
2
-y
1
=8.
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
3 1
;
2 2
1
2 3 ;
2
x x
y
x x x

− + ≤ −


=



− + + > −


4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 2
2 4 12 9y x x x x= − + − +
5. Viết phương trình parabol biết
• Parabol đi qua A(0;2),B(-1;7),C(1;1)
• Parabol có đỉnh toạ độ I(2;5) và đi qua A(1;4)
• Parabol đi qua A(2;0) B(-2;-8) và đạt cực trị bằng 1.
• Parabol có đỉnh A(1;-2) và chắn đường thẳng (d): y=x+1 một dây cung MN=
34
3, Các yếu tố cố định của một họ đường cong.
1. Tìm các điểm cố định của họ đường cong y=m
2
x
2
+2(m-1)x+m
2
-1 theo 2 cách.
2. cmr các parabol trong họ parabol P
m
vừa tiếp xúc nhau vừa tiếp xúc với một đường thẳng cố
định
3. cmr tất cả các đường thẳng thuộc họ (d
m
) cho bởi phương trình y=2mx-m
2
+2m đều tiếp xúc

với một parabol cố định có trục đối xứng // với trục tung.
4. Cho hàm số y=
( )
1
22
2
−
−+
x
xmx
với m là tham số .Trên mặt phẳng toạ độ hãy tìm tất cả các
điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua .
4,Tìm tập xác định của hàm số
Bài 1:tìm tập xác định của hàm số
2
2
2
3 2
2
2
2
2 7 13 5 13
1, 2, 3 3, 4,
2 10 4 4 3
4
16
5, 5 2 3 6, 7,
1 5 5
1
8, 2 1 9, 10, 2 3 1

12 4 9
x x x
y y x y y
x x x
x
x x x
y x x y y
x x x
y x x y y x x x
x x
+ + +
= = − = =
− − +
−
+ −
= − + = =
− − + −
= − − = = − + − −
− −
Bài2 : Tìm m để hàm số sau xác định trên
(
]
1;3D =
:
2 2
1
, , 3 2
2
a y b y m x m x
x m

= = + −
−
Bài 3: Tìm m để hàm số
2
2
( 2) 1
4
m
y x m x= − + + −
có tập xác định là R.
5,sự biến thiên của hàm số
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số
2 3
1
2 7 5 3
1
x
y x x y x x x y
x
+
= + = − + − =
−
6,Tính chẵn lẻ của hàm số
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
4 3 2
, 1 , 1 1 , 1 , , 1a y x b y x x c y x d y x x e y x= + = + − − = + = + = +
2. Tìm m để đồ thị hàm số
2 2
( 1) 2 1y mx m x x= + − + −

có trục đối xứng là Oy
Chương III.Phương trình và hệ phương trình .
1,phương trình và hệ phương trình bậc nhất .
1. Giải hệ phương trình :





=+
=−−
13
32
yx
xyx
2. Cho hệ phương trình với tham số m:





−=+
+=+
122
12
mmyx
mymx
xác định những giá trị nguyên của
tham số m để hệ phương trình có nghiệm nguyên?
3. Cho (x;y) là nghiệm của hệ :






=−−
=−+
4)1(
9)2(6
myxm
ymmx
.Lập hệ thức độc lập giữa x và y với m.
4. Cho hệ phương trình





+=−
−=+
332
42
myx
myx
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x
2
+y
2

nhỏ nhất.

5. Tìm m để hệ phương trình





==−
=+
5102
52
mxy
yx
có nghiệm (x;y) sao cho xy lớn nhất.
2.phương trình và hệ phương trình bậc hai.
1. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất | x
2
+2mx+1 | =x+1
2. Cho hệ phương trình





+=+
+=++
mmyxxy
mxyyx
2
)(
12

• Chứng minh với mọi m thì hệ phương trình có nghiệm .
• Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
3. Cho hệ phương trình





=+−
=+−
myxx
myxy
2)(
2)(
2
2
• Giải hệ phương trình khi m=0
• Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
3,hệ phương trình đẳng cấp.
1. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất





+=++
+=+
)2(22
)1(2
22

myxxy
mxyyx
2. Giải hệ phương trình





=+−
=+−
015132
932
22
22
yyxx
yxyx
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
3. Cho hệ phương trình
( )





+=+
=+
)1(2
4
22
2

myx
yx
.Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm .
4. giải hệ phương trình





+=
−=−
12
11
3
xy
y
y
x
x
5. Giải hệ phương trình





=+
=+
222
22
51

6
xyx
xxyy
4,phương trình bậc hai.
• Tìm m để phương trình
2
( 3) 2( 3) 2 0m m x m x m− + − + =
có nghiệm (có nghiệm trái dấu).
• Tìm m để -2 xen giữa các nghiệm của phương trình (m+3)x
2
-3(m-1)+4m=0
• Cho phương trình x
3
+(m-1)x
2
-3mx+2m-4=0
1. chứng minh phương trình có 1 nghiệm không phụ thuộc m.
2. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm .
• Khi m
2≥ −
tìm nghiệm bé nhất (có thể) của phương trình 3x
2
-(m+23)x+2m+22=0
• Tìm m để x
2
+x+m+1=0 có 2 nghiệm thỏa mãn
1 2 1 2
3( ) 5 0x x x x+ + + =
• Tìm m để phương trình x
2

-2(m+2)x+4m+5=0có 2 nghiệm thỏa mãn a, đều
dương b,
1 2
. 2x x =
• Tìm m để phương trình 3x
2
+4(m-1)x+m
2
-4m+1=0 có 2 nghiệm x
1
,x
2
thỏa mãn
( )
1 2
2 1
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
• Tìm m để phương trình x
2
-(m+2)+m
2
+1=0 có hai nghiệm x
1
,x
2
thỏa mãn

2 2
1 2 1 2
2 3 .x x x x+ =
• Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ với các nghiệm của mỗi phương trình sau a,
x
2
+mx+2m-3=0 b, (m+2)x
2
-(m+4)x+2-m=0
• Cho phương trình (m-5)t
2
-2mt+m+4=0 Gọi S và P là tổng và tích của 2 nghiệm .Trong mặt
phẳng toạ độ Oxy gọi M(S;P) với x=S,y=P.chứng minh khi m thay đổi thì các điểm M luôn
chạy trên một đường thẳng cố định. Tính T=
( ) ( )
5 5
1 5 1 5− + +
5,ứng dụng của biệt thức ∆
1. Tính gía trị nhỏ nhất ,gtln của biểu thức Q=
1
324
2
2
+
++
x
xx
2. Tìm a,b để Q=
1
·

2
+
+
x
bax
đạt gtln=4 và gtnn=-1
3. chứng minh rằng
Ryx ∈∀ ,
luôn có Q
0≥
với
• Q=x
2
+2xy+3y
2
+2x+6y+3
• Q=4x
2
+13y
2
-12xy-4y+1
4. tìm m để Q=x
2
+4y
2
+my+3
Ryx ∈∀≥ ,,0
5. Tìm gtnn của Q=(x-2y+1)
2
+(2x+ay+5)

2
trong đó a là một số thực cho trước.
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
6. giả sử x,y liên hệ với nhau bởi biểu thức Q=36x
2
+16y
2
-9=0 hãy tìm gtnn,gtln của
U=y-2x+5
7. Cho x,y là các số thực liên hệ với nhau bởi Q=(x
2
-y
2
+1)
2
+4x
2
y
2
-x
2
-y
2
=0 chứng minh
rằng
2
53
2
53
22

+
≤+≤
−
yx
8. Cho x,y,z thoả mãn



=++
=++
4
8
222
zxyzxy
zyx
chứng minh
3
8
,,
3
8
≤≤− zyx
9. Cho a+b+c=6 chứng minh rằng a
2
+b
2
+c
2

12≥

6,Dấu hiệu nhận biết phương trình bậc hai có nghiệm .
1. cho hai phương trình x
2
+p
1
x+q
1
=0 và x
2
+p
2
x+q
2
=0 và p
1
.p
2
≥
2(q
1
+q
2
) khi đó có ít
nhất một trong 2 phương trình có nghiệm .
2. chứng minh rằng có ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm ax
2
+2bx+c=0 và
bx
2
+2cx+a=0 và cx

2
+2ax+b=0
3. Tìm a để phương trình
0224
2
=−+−−+ aaxxx
có đúng 2 nghiệm phân biệt .
4. Tìm a đẻ phương trình
012 =−++ aaxx
có một nghiệm duy nhất.
5. Tìm a để phương trình (a+1)x
2
-(8a+1)x+6a=0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1)
6. Cho m
1−≥
.tìm nghiệm lớn của phương trình x
2
+(2m-6)x+m-11=0
7.Tìm giá trị nhỏ nhấtvà lớn nhất bằng tam thức bậc hai.
1. Tìm gía trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x
2
+2x+3 trên D=
[ ]
0;3−
E=
[ ]
3;0
2. giả sử x,y là nghiệm của hpt




+−=
−=+
147
1
2
aaxy
ayx
tìm a để U=x
2
+y
2
đạt gía trị nhỏ nhất .
3. Tìm giá trị lớn nhất gía trị nhỏ nhất của y=
xx
xx
24
24
cos2sin3
sin4cos3
+
+
4. tìm m để x
2
-2mx+2
02 >+− mx
no đúng
Rx
∈∀
5. Cho f(x)=x

2
+(m+1)x+2
2
)1(1 ++−+ mmx
tìm m để
3)(min
≤
xf
R
8.PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ,BPT VÔ TỈ
1. GiảI phương trình
xx −=− 332
2. GiảI phương trình
( )
0514352
22
=−+−+ xxxx
3. GiảI phương trình
1221 −=−−+ xxx
4. GiảI phương trình
765352
22
−=+−− xxxx
5. GiảI phương trình
( )
22
114122 xxxx +−=++
6. GiảI phương trình
32653
22

−+=+− xxxxx
7. GiảI phương trình
211
22
=−++−− xxxx
8. GiảI phương trình
x
x
x
x
x
211
22
=−++
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
9. GiảI phương trình
2
3
1212
+
=−−+−+
x
xxxx
10.HVCNBCVT 2000.GiảI phương trình
5
3
2314
+
=−−+
x

xx
11.GiảI phương trình
224222
2
+−−=+−− xxxx
12.Cho phương trình
( )( )
mxxxx =−++−++ 4141
• GiảI phương trình khi m=5
• Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
13.tìm m để phương trình
( )( )
mxxxx =−++−++ 8181
có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
4;0
14.GiảI phương trình
( ) ( )
2
3
23
121 xxxx −=−+
15.GiảI phương trình
2
2
11
2
=
−
+

x
x
16. GiảI phương trình
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
17.GiảI phương trình
2
1123114 xxxx −+++=−+
18.GiảI phương trình
17152
32
−=−+ xxx
19.Cho phương trình
113
242
++=+− xxmxx
tìm tập hợp các gía trị của m để phương trình có
lẻ số nghiệm .
20.GiảI phương trình
15209145
22
+=−−−++ xxxxx

21.gvbl phương trình với tham số a
3
22
3
2
3
2
)1()()( axmaxmax −+=−++
22.GiảI phương trình
2
1
2
2
1
88
=
−
+
+
+
−
x
x
x
x
Chương IV.bất đẳng thức và bất phương trình .
I, bất đẳng thức Cauchy.
1,bất đẳng thức Cauchy .
1. Với a,b,c
≥

0 cmr
3
3
a b c
abc
+ +
≥
2. Với a,b,c
≥
0 cmr
( )
2
3
3a b c abc a b+ + ≥ + −
3. Với 0<a,b,c<1 chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
1 1 1
3 1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
b c c a a b
− − −
+ + ≥ − − −
+ + + + + +
4. Với a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện
1.
a b c
b c a
+ + =

chứng minh rằng
1
b c a
a b c
+ + ≤
5. Với a,b,c,d>0 thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=1 chứng minh rằng
4
1 1 1 1
1 1 1 1 5
a b c d
    
+ + + + ≥
 ÷ ÷ ÷ ÷
    
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
6. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
( )
2
1 1 1a b c
a b c
b c a a b c
   
+ + ≥ + + + +
 ÷  ÷
   
7. Cho a,b,c>1 chứng minh rằng
2 2 2
4 5 3
48
1 1 1

a b c
a b c
+ + ≥
− − −
8. Cho a,b,c,x,y,z>0 chứng minh rằng
( )
( )
3
3 3 3
3
a b c
a b c
x y z x y z
+ +
 
+ + ≥
 ÷
+ +
 
9. Với a,b,c>0chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
2 3 3 2 3 3 2 3 3
1 1 1 1
3
2 2 2
b c a
a b c
a a b b b c c c a

 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
10.Với a,b,c>0 chứng minh rằng
( )
3 3 3
2
1
2 2 2 9
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + +
11.Với a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3.chứng minh rằng
6 6 6 6 6 6
1 1 1 3 3a b b c c a+ + + + + + + + ≥
2,Một số phép biến đổi cơ bản.
A,Nhóm đối xứng.(Sử dụng hạ bậc từng vế bất đẳng thức ).
1. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
4 4 4
a b c
abc
a b c
+ +
≥
+ +
2. Với a,b,c là các số không âm,chứng minh rằng

( )
2
1
3
a bc b ac c ab a b c+ + ≤ + +
B,Khử căn
1. Với x
i
>0 và y
i
>0 , i=
1;n
chứng minh rằng
1 2 1 2 1 1 2 2
. . ( ).( ) ( )
n n n
n n n n
x x x y y y x y x y x y+ ≤ + + +
2. Với a,b,c,d là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=1 chứng minh rằng
4 1 4 1 4 1 4 1 4 2a b c d+ + + + + + + ≤
3. Với a,b,c không âm chứng minh rằng
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3a b b c c a a b c+ + + + + ≥ + +
C,Nhóm các hệ số có tổng bằng 1.
1. Với a,b,c không âm chứng minh rằng
2 2 2
3 3 3
a b b c c a
a b c

+ + +
+ + ≤ + +
2. Với a,b,c không âm chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2
1 1 1 1 1 1a b c ab bc ca+ + + ≥ + + +
D,Nhóm theo bậc.
1. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
3 3 3 3 3 3
2( )
a b a c c b
ab bc ca
c b a
+ + +
+ + ≥ + +
2. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
E,Đổi biến .
1. Với a,b,c>0 và thỏa mãn a.b.c=1 chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 3
2a b c b a c c b a
+ + ≥
+ + +
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM

2. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
( )
3
3 3 3
1 1 1a b c a bc+ + + ≥ +
3. Với a,b,c>0 ,a.b.c=1 chứng minh rằng
1 1 1
1
1 1 1a b b c a c
+ + ≤
+ + + + + +
F,Các bài tập củngcố.
1. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
8 8 8
3 3 3
4 4 4
a b c
ab bc ca
b c a
+ + ≥ + +
2. Với a,b,c,d không âm ,chứng minh rằng
8 8 4 2
2 4 8a b c d abcd+ + + ≥
3. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
4 4 2
2 2
2 2
2
4 8

a b ca
b c abc
b c b
+ + + ≥
4. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
6 6 6
2 2 2 2 2 2
a b c
ab bc ca
b c a c a b
+ + ≥ + +
5. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
2 2
a b
a b
b a
+ ≥ +
6. Với a,b,c>0 chứng minh rằng
3 3 3 3
3ab cb ac+ + ≤
7. Với a,b,c>0 và a.b.c=1 chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1
2
ab bc ca
a b c b a c c b a
+ +
+ + ≥
+ + +

8. Với a,b,c>0 chứng minh
2
3 2
2 2
1
c b
a b c ac ab
b ac
+ + ≥ + +
3.Dạng lũy thừa.
*,SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ SIN,COS
1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R=1,Gọi
, ,
a b c
m m m
lần lượt là độ dài các
đường trung tuyến kẻ từ các đỉmh A,B,C của tam giác ABC.Tìm giá trị nhỏ nhất của
sin sin sin
a b c
A B C
Q
m m m
= + +
2. giả sử P là một điểm bất kỳ trong tam giác ABC.Kí hiệu x=PA,y=PB,z=PC và p,q,r theo thứ
tự là độ dài các khoảng cách từ P đến cách cạnh BC,CA,AB.chứng minh minQ=2 với Q=
x y z
p q r
+ +
+ +
3. Cho tam giác ABC và x,y,z là các số thực không đồng thời bằng 0.chứng minh

2 . 2xy cosC y+
zcosA+2zxCosB
≤
2 2 2
x y z+ +
4. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ,x,y,z là các số thực thoả mãn x+y+z=
2
π
.Tìm gía
trị nhỏ nhất của Q=
c
z
b
y
a
x sinsinsin
++
5. Cho tam giác ABC và các số x,y,z không đồng thời bằng 0.cm
02cos22cos22cos2
222
≥+++++ BzxAyzCxyzyx
6. cho tam giác ABC .Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức Q=
CBA 2cos322cos22cos3 ++
7. Cho tam giác ABC chứng minh Q=
( )
2
5
2cos2cos2cos3 ≤+− BCA
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
II,phương trình và bất phương trình quy về bậc hai(giải theo nhiều cách)

1. Giải phương trình | x
2
-3x+1 | =- 2x
2
+6x-3
2. Giải phương trình
51646
22
=−−++− xxxx
3. Giải bpt
3
411
2
<
−−
x
x
4. Giải bpt
( )
)1(3321 +≤++ xxx
5. Tìm m bpt
( )( )
mxxxx +−≤−+ 473
2
nghiệm đúng
[ ]
7;3−∈∀x
6. Tìm m để bpt
12
22

≤++−+ mmmxx
có nghiệm .