Ôn thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (300.54 KB, 33 trang )
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
Néi dung 1: BiĨu thøc ®¹i sè
Bµi 1: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )
+−++
++−−−−−+
−+++−−−+a
Bµi 2: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
53
53
53
53
d)
65
625
65
625
c)
113
3
113
3
b)
1247
1
1247
1
a)
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+−
−
−+++
−
+−
Bµi 3 :
1) §¬n gi¶n biĨu thøc : P =
14 6 5 14 6 5+ + −
.
2) Cho biĨu thøc : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
+ − +
−
÷
÷
−
+ +
a) Rót gän biĨu thøc Q.
b) T×m x ®Ĩ
Q
> - Q.
c) T×m sè nguyªn x ®Ĩ Q cã gi¸ trÞ nguyªn.
H íng dÉn :
1. P = 6
2. a) §KX§ : x > 0 ; x
≠
1. BiĨu thøc rót gän : Q =
1
2
−x
.
b)
Q
> - Q
⇔
x > 1.
c) x =
{ }
3;2
th× Q
∈
Z
Bµi 4 : Cho biĨu thøc P =
1 x
x 1 x x
+
+ −
a) Rót gän biĨu thøc sau P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P khi x =
1
2
.
H íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x
≠
1. BiĨu thøc rót gän : P =
x
x
−
+
1
1
.
b) Víi x =
1
2
th× P = - 3 – 2
2
.
Bµi 5 : Cho biĨu thøc: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
− +
− +
−
÷
÷
−
− +
.
a) Rót gän A.
b) T×m x ®Ĩ A < 0.
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
1
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
c) T×m x nguyªn ®Ĩ A cã gi¸ trÞ nguyªn.
H íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =
1
1
−
+
x
x
.
b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0.
c) x =
{ }
9;4
th× A
∈
Z.
Bµi 6 : Cho biĨu thøc: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x
+ −
+ +
÷
÷
− + + −
a) Rót gän biĨu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.
H íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =
1
2
++ xx
b) Ta xÐt hai trêng hỵp :
+) A > 0
⇔
1
2
++ xx
> 0 lu«n ®óng víi x > 0 ; x ≠ 1 (1)
+) A < 2
⇔
1
2
++ xx
< 2
⇔
2(
1++ xx
) > 2
⇔
xx +
> 0 ®óng v× theo gt th× x > 0. (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra 0 < A < 2(®pcm).
Bµi 7 : Cho biĨu thøc
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+
−
+
−
−
−+
−+
=
a. Rót gän P.
b. TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi
347x −=
c. Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
H íng dÉn :
a ) §KX§ : x
≥
0, x
≠
1. BiĨu thøc rót gän :
3x
16x
P
+
+
=
b) Ta thÊy
347x −=
∈
§KX§ . Suy ra
22
33103
P
+
=
c) P
min
=4 khi x=4.
Bµi 8 : Cho biĨu thøc
−
−
−
−
+
−
+
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. Rót gän P. b. T×m x ®Ĩ
2
1
P −<
c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P.
H íng dÉn :
a. ) §KX§ : x
≥
0, x
≠
9. BiĨu thøc rót gän :
3x
3
P
+
−
=
b. Víi
9x0 <≤
th×
2
1
P −<
c. P
min
= -1 khi x = 0
Bµi 9: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
−
− −
÷
÷
÷
−
+ − + − −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
2
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
b. T×m
x Z∈
®Ĩ
A Z∈
c. T×m x ®Ĩ A ®¹t GTNN . (KQ: A =
1
1
x
x
−
+
)
Bµi 10 : Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
− + − +
−
÷
÷
−
+ +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2
2
d. T×m GTLN cđa A (KQ: A =
(1 )x x−
)
néi dung 2: Hµm sè vµ ®å thÞ.
D¹ng 1: VÏ ®å thÞ hµm sè
Bµi 1: VÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau:
a) y = 2x - 5 ; b) y = - 0,5x + 3
Bµi 2: VÏ ®å thÞ hµm sè y = ax
2
khi:
a) a = 2 ; b) a = - 1.
D¹ng 2: ViÕt ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
Bµi 1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) biÕt:
a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- 2 ; - 5)
b) (d) ®i qua M(3 ; 2) vµ song song víi ®êng th¼ng (∆) : y = 2x - 1/5.
c) (d) ®i qua N(1 ; - 5) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d’): y = -1/2x + 3.
d) (d) ®i qua D(1 ; 3) vµ t¹o víi chiỊu d¬ng trơc Ox mét gãc 30
0
.
e) (d) ®i qua E(0 ; 4) vµ ®ång quy víi hai ®êng th¼ng
f) (∆): y = 2x - 3; (∆’): y = 7 - 3x t¹i mét ®iĨm.
g) (d) ®i qua K(6 ; - 4) vµ c¸ch gèc O mét kho¶ng b»ng 12/5 (®¬n vÞ dµi).
Bµi 2: Gäi (d) lµ ®êng th¼ng y = (2k - 1)x + k - 2 víi k lµ tham sè.
a) §Þnh k ®Ĩ (d) ®i qua ®iĨm (1 ; 6).
b) §Þnh k ®Ĩ (d) song song víi ®êng th¼ng 2x + 3y - 5 = 0.
c) §Þnh k ®Ĩ (d) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng x + 2y = 0.
d) Chøng minh r»ng kh«ng cã ®êng th¼ng (d) nµo ®i qua ®iĨm A(-1/2 ; 1).
e) Chøng minh r»ng khi k thay ®ỉi, ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
D¹ng 3: VÞ trÝ t ¬ng ®èi gi÷a ® êng th¼ng vµ parabol
Bµi 1:
a) BiÕt ®å thÞ hµm sè y = ax
2
®i qua ®iĨm (- 2 ; -1). H·y t×m a vµ vÏ ®å thÞ (P) ®ã.
b) Gäi A vµ B lµ hai ®iĨm lÇn lỵt trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn lỵt lµ 2 vµ - 4. T×m to¹ ®é A vµ B tõ ®ã
suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB.
Bµi 2: Cho hµm sè
2
x
2
1
y −=
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) cđa hµm sè trªn.
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) qua A(- 2; - 2) vµ tiÕp xóc víi (P).
Bµi 3:
Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y −=
vµ ®êng th¼ng (D): y = mx - 2m - 1.
a) VÏ ®é thÞ (P).
b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P).
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
3
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
c) Chøng tá r»ng (D) lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh A thc (P).
Bµi 4: Cho hµm sè
2
x
2
1
y −=
a) VÏ ®å thÞ (P) cđa hµm sè trªn.
b) Trªn (P) lÊy hai ®iĨm M vµ N lÇn lỵt cã hoµnh ®é lµ - 2; 1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng MN.
c) X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt r»ng ®å thÞ (D) cđa nã song song víi ®êng th¼ng MN vµ chØ c¾t
(P) t¹i mét ®iĨm.
Bµi 5:
Trong cïng hƯ trơc to¹ ®é, cho Parabol (P): y = ax
2
(a ≠ 0) vµ ®êng th¼ng (D): y = kx + b.
1) T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iĨm A(1; 0) vµ B(0; - 1).
2) T×m a biÕt r»ng (P) tiÕp xóc víi (D) võa t×m ®ỵc ë c©u 1).
3)VÏ (D) vµ (P) võa t×m ®ỵc ë c©u 1) vµ c©u 2).
4) Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm
−1;
2
3
C
vµ cã hƯ sè gãc m
a) ViÕt ph¬ng tr×nh cđa (d).
b) Chøng tá r»ng qua ®iĨm C cã hai ®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 2) vµ vu«ng gãc víi nhau.
Néi dung 3: HƯ ph¬ng tr×nh.
A - HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
D¹ng 1: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh c¬ b¶n vµ ®a ®ỵc vỊ d¹ng c¬ b¶n
Bµi 1: Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh
=−
=−
=−
=+
=+
=+−
=+
=+
=−
=−
=+
=−
1815y10x
96y4x
6) ;
142y3x
35y2x
5) ;
142y5x
024y3x
4)
106y4x
53y2x
3) ;
53y6x
32y4x
2) ;
5y2x
42y3x
1)
Bµi 2: Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
=
+
+
−=
+
+
−
=+
+
−
+
=+
−+=−+
+−=+
=−+
=−+
5
6y5x
103y-6x
8
3yx
2-5y7x
4) ;
7
5x6y
y
3
1x
2x
4
27y
5
3
5x-2y
3)
;
121x3y33y1x
543y4x42y3-2x
2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
1)
D¹ng 2: Gi¶i hƯ b»ng ph¬ng ph¸p ®Ỉt Èn phơ
Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau
( )
( )
=++++−
=+−−
=++−−
=++−
=
+
−
−
=
+
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
+
+
13.44yy548x4x2
72y31x5
5) ;
071y22xx3
01y2xx2
4)
;
4
2y
5
1x
2
7
2y
3y
1x
1x
3) ;
9
4y
5
1x
2x
4
4y
2
1x
3x
2) ;
1
2xy
3
2yx
4
3
2xy
1
2yx
2
1)
22
2
2
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
4
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
D¹ng 3: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cđa tham sè ®Ĩ hƯ cã nghiƯm tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cho tríc
Bµi 1:
a) §Þnh m vµ n ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm lµ (2 ; - 1).
( )
( )
−=++
−=+−
32m3nyx2m
nmy1n2mx
b) §Þnh a vµ b biÕt ph¬ng tr×nh: ax
2
- 2bx + 3 = 0 cã hai nghiƯm lµ x = 1 vµ x = -2.
Bµi 2: §Þnh m ®Ĩ 3 ®êng th¼ng sau ®ång quy:
a) 2x - y = m ; x = y = 2m ; mx - (m - 1)y = 2m -1
b) mx + y = m
2
+ 1 ; (m + 2)x - (3m + 5)y = m - 5 ; (2 - m)x - 2y = - m
2
+ 2m- 2.
Bµi 3: Cho hƯ ph¬ng tr×nh
sè) thamlµ (m
4myx
m104ymx
=+
−=+
a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh khi m =
2
.
b) Gi¶i vµ biƯn ln hƯ theo m.
c) X¸c ®Þnh c¸c gi¸ tri nguyªn cđa m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cđa m th× hƯ cã nghiƯm (x ; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng.
e) §Þnh m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) sao cho S = x
2
- y
2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. (c©u hái t¬ng tù
víi S = xy).
f) Chøng minh r»ng khi hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) th× ®iĨm M(x ; y) lu«n n»m trªn mét ®êng
th¼ng cè ®Þnh khi m nhËn c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau.
Bµi 4: Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
( )
+=−
−=−−
5my2x
13mmyx1m
a) Gi¶i vµ biƯn ln hƯ theo m.
b) Víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn nµo cđa m th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.
c) §Þnh m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) mµ P = x
2
+ y
2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
d) X¸c ®Þnh m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x
2
+ 2y = 0. (Hc: sao cho M (x ; y)
n»m trªn parabol y = - 0,5x
2
).
e) Chøng minh r»ng khi hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) th× ®iĨm D(x ; y) lu«n lu«n n»m trªn mét ®-
êng th¼ng cè ®Þnh khi m nhËn c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau.
Bµi 5: Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
=−
=+
12ymx
2myx
a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh trªn khi m = 2.
b) T×m c¸c sè nguyªn m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) mµ x > 0 vµ y < 0.
c) T×m c¸c sè nguyªn m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) mµ x, y lµ c¸c sè nguyªn.
d) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) mµ S = x - y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Néi dung 4: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hƯ ph¬ng tr×nh.
I, LÝ thut cÇn nhí:
* Bíc 1: + LËp HPT
- Chän Èn, t×m ®¬n vÞ vµ §K cho Èn.
- BiĨu diƠn mèi quan hƯ cßn l¹i qua Èn vµ c¸c ®¹i lỵng ®· biÕt.
- LËp HPT.
* Bíc 2: Gi¶i HPT.
* Bíc 3: §èi chiÕu víi §K ®Ĩ tr¶ lêi.
II, Bµi tËp vµ h íng dÉn:
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
5
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
Bµi 1. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 160 km, ®i ngỵc chiỊu nhau vµ gỈp
nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cđa mçi « t« biÕt r»ng nÕu « t« ®i tõ A t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h sÏ b»ng
hai lÇn vËn tèc «t« ®i tõ B.
Bµi 2. Mét ngêi ®i xe m¸y ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh. NÕu vËn tèc t¨ng14 km/h th× ®Õn
B sím h¬n 2 giê. nÕu vËn tèc gi¶m 2 km/h th× ®Õn B mn 1 giê. TÝnh qu·ng ®êng AB, vËn tèc vµ thêi
gian dù ®Þnh.
Bµi 3. Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch nhau 85 km , ®i ngỵc chiỊu nhau vµ gỈp nhau sau
1 giê 40 phót.TÝnh vËn tèc riªng cđa mçi ca n« biÕt r»ng vËn tèc cđa ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc
cđa ca n« ngỵc dßng lµ 9 km/h (cã c¶ vËn tèc dßng níc) vµ vËn tèc dßng níc lµ 3 km/h.
Bµi 4. Mét ca n« xu«i dßng 108 km vµ ngỵc dßng 63 km hÕt 7 giê. Mét lÇn kh¸c ca n« xu«i dßng 81
km vµ ngỵc dßng 84 km còng hÕt 7 giê. TÝnh vËn tèc cđa dßng níc vµ vËn tèc thËt cđa ca n«.
Bµi 5. Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B dµi 120 km. §i ®ỵc nưa qu·ng ®êng xe nghØ 30 phót nªn ®Ĩ ®Õn
n¬i ®óng giê xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h n÷a trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh thêi gian xe ch¹y.
Bµi 6. Hai ngêi ®i ngỵc chiỊu vỊ phÝa nhau.M ®i tõ A lóc 6 giê s¸ng vỊ phÝa B. N ®i tõ B lóc 7 giê s¸ng
vỊ phÝa A. Hä gỈp nhau lóc 8 giê s¸ng. TÝnh thêi gian mçi ngêi ®i hÕt qu·ng ®êng AB. BiÕt M ®Õn B tr-
íc N ®Õn A lµ 1 giê 20 phót.
HPT:
2 1
1
1
3
x y
y x
− =
− =
Bµi 7. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B ngỵc chiỊu vỊ phÝa nhau. TÝnh qu·ng ®êng AB vµ vËn
tèc cđa mçi xe. BiÕt r»ng sau 2 giê hai xe gỈp nhau t¹i mét ®iĨm c¸ch chÝnh gi÷a qu·ng ®êng AB lµ 10
km vµ xe ®i chËm t¨ng vËn tèc gÊp ®«i th× hai xe gỈp nhau sau 1 giê 24 phót.
HPT:
10
2
1 ( 2 ) 2( )
5
x y
x y x y
− =
+ = +
Bµi 8. Hai líp 9A vµ 9B cã tỉng céng 70 HS. nÕu chun 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai
líp b»ng nhau. TÝnh sè HS mçi líp.
Bµi 9. Hai trêng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tun. TÝnh riªng
tØ lƯ ®ç th× trêng A ®¹t 80%, trêng B ®¹t 90%. Hái mçi trêng cã bao nhiªu HS líp 9 dù thi vµo líp 10.
Bµi 10. Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bĨ kh«ng cã níc sau 2 giê 55 phót th× ®Çy bĨ. NÕu ch¶y riªng
th× vßi thø nhÊt cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. TÝnh thêi gian ®Ĩ mçi vßi ch¶y riªng th× ®Çy bĨ.
Bµi 11. Hai tỉ cïng lµm chung mét c«ng viƯc hoµn thµnh sau 15 giê. nÕu tỉ mét lµm trong 5 giê, tỉ hai
lµm trong 3 giê th× ®ỵc 30% c«ng viƯc. Hái nÕu lµm riªng th× mçi tỉ hoµn thµnh trong bao l©u.
Bµi 12. Mét thưa rng cã chu vi 200m . nÕu t¨ng chiỊu dµi thªm 5m, gi¶m chiỊu réng ®i 5m th× diƯn
tÝch gi¶m ®i 75
2
m
. TÝnh diƯn tÝch thưa rng ®ã.
Bµi 13. Mét phßng häp cã 360 ghÕ ®ỵc xÕp thµnh tõng hµng vµ mçi hµng cã sè ghÕ ngåi b»ng nhau.
Nhng do sè ngêi ®Õn häp lµ 400 nªn ph¶i kª thªm 1 hµng vµ mçi hµng ph¶i kª thªm 1 ghÕ míi ®đ chç.
TÝnh xem lóc ®Çu phßng häp cã bao nhiªu hµng ghÕ vµ mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ.
Néi dung 5: Ph¬ng tr×nh bËc hai+hƯ thøc vi-Ðt
Tãm t¾t lÝ thut:
C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0)
∆
= b
2
- 4ac
* NÕu
∆
> 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
6
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
x
1
=
-b -
2a
∆
; x
2
=
-b +
2a
∆
* NÕu
∆
= 0 ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp: x
1
= x
2
=
-b
2a
* NÕu
∆
< 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiƯm
Chó ý 1: Trong trêng hỵp hƯ sè b lµ sè ch½n th× gi¶i ph¬ng tr×nh trªn b»ng c«ng thøc nghiªm
thu gän.
∆
' = b'
2
- ac
* NÕu
∆
' > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
x
1
=
-b' - '
a
∆
; x
2
=
-b' + '
a
∆
* NÕu
∆
' = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp: x
1
= x
2
=
-b'
a
* NÕu
∆
' < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiƯm.
Chó ý 2:
* NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x
1
= 1 vµ x
2
=
c
a
Chó ý 3:
* NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x
1
= -1 vµ x
2
=
c
a
−
Chó ý 4:
* HƯ thøc viÐt trong trêng hỵp ph¬ng tr×nh cã nghiƯm
1 2
1 2
-b
x x =
a
c
x .x
a
+
=
Bµi tËp 1:
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau
TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo
∆
TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo
∆
'
1. 6 x
2
- 25x - 25 = 0 1. x
2
- 4x + 2 = 0
2. 6x
2
- 5x + 1 = 0 2. 9x
2
- 6x + 1 = 0
3. 7x
2
- 13x + 2 = 0 3. -3x
2
+ 2x + 8 = 0
4. 3x
2
+ 5x + 60 = 0 4. x
2
- 6x + 5 = 0
5. 2x
2
+ 5x + 1 = 0 5. 3x
2
- 6x + 5 = 0
6. 5x
2
- x + 2 = 0 6. 3x
2
- 12x + 1 = 0
7. x
2
- 3x -7 = 0 7. 5x
2
- 6x - 1 = 0
8. x
2
- 3 x - 10 = 0 8. 3x
2
+ 14x + 8 = 0
9. 4x
2
- 5x - 9 = 0 9. -7x
2
+ 6x = - 6
10. 2x
2
- x - 21 = 0 10. x
2
- 12x + 32 = 0
11. 6x
2
+ 13x - 5 = 0 11. x
2
- 6x + 8 = 0
12. 56x
2
+ 9x - 2 = 0 12. 9x
2
- 38x - 35 = 0
13. 10x
2
+ 17x + 3 = 0 13.
x
2
-
2 3
x + 2 = 0
14. 7x
2
+ 5x - 3 = 0 14.
4
2
x
2
- 6x -
2
= 0
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
7
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
15. x
2
+ 17x + 3 = 0 15.
2x
2
-
2 2
x + 1 = 0
Bµi tËp 2:
BiÕn ®ỉi c¸c ph¬ng tr×nh sau thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i
a) 10x
2
+ 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15
b) x
2
+ 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x
2
- 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3
d) 5x
2
- x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x
2
e) -6x
2
+ x - 3 = -3x(x - 1) - 11
f) - 4x
2
+ x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x
2
- x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
h) -x
2
- 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x
2
- x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)
k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Bµi tËp 3: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- 2(3m + 2)x + 2m
2
- 3m + 5 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lỵt b»ng c¸c gi¸ trÞ:
m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x lÇn lỵt b»ng
x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm kÐp.
Bµi tËp 4: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- 2(m - 2)x + m
2
- 3m + 5 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lỵt b»ng c¸c gi¸ trÞ:
m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x lÇn lỵt b»ng
x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm kÐp.
Bµi tËp 5:
Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- 2(m - 2)x + 2m
2
+ 3m = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lỵt b»ng c¸c gi¸ trÞ:
m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x lÇn lỵt b»ng
x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm kÐp.
Bµi tËp 6: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -1vµ m = 3
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x = 4
c) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
d) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tho· m·n ®iỊu kiƯn x
1
= x
2
Bµi tËp 7:
Cho ph¬ng tr×nh : ( m + 1) x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -2
b) Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
c) Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiƯm
d) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tho· m·n ®iỊu kiƯn x
1
= 2x
2
Bµi tËp 8:
Cho ph¬ng tr×nh : 2x
2
- 6x + (m +7) = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -3
b) Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x = - 4
c) Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
8
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
d) Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiƯm
e) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tho· m·n ®iỊu kiƯn x
1
= - 2x
2
Bµi tËp 9:
Cho ph¬ng tr×nh : x
2
- 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 4
b) Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
c) Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiƯm
d) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tho· m·n ®iỊu kiƯn x
1
= 3x
2
Bµi tËp 10:
BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x
2
- 2(m + 1 )x + m
2
+ 5m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm
x = 1. T×m nghiƯm cßn l¹i
Bµi tËp 11:
BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x
2
- 2(3m + 1 )x + 2m
2
- 2m - 5 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét
nghiƯm
x = -1 . T×m nghiƯm cßn l¹i
Bµi tËp 12:
BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x
2
- (6m + 1 )x - 3m
2
+ 7 m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét
nghiƯm
x = 1. T×m nghiƯm cßn l¹i
Bµi tËp 13:
BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x
2
- 2(m + 1 )x + m
2
- 3m + 3 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm
x = -1. T×m nghiƯm cßn l¹i.
Bµi tËp 14: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- mx + 2m - 3 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - 5
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp
c) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tr¸i dÊu
d)T×m hƯ thøc gi÷a hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh kh«ng phơ thc vµo m
e) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
Bµi tËp 15: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai
(m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 3
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x = - 2
c) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp
d) T×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm kh«ng phơ thc vµo m
e) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
f) Khi ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x = -1 t×m gi¸ trÞ cđa m vµ t×m nghiƯm cßn l¹i
Bµi tËp 16:Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- 2(m- 1)x + m
2
- 3m = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - 2
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x = - 2. T×m nghiƯm cßn l¹i
c) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
d) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
vµ x
2
th¶o m·n: x
1
2
+ x
2
2
= 8
e) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A = x
1
2
+ x
2
2
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
9
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
Bµi tËp 17: Cho ph¬ng tr×nh: mx
2
- (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
c) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hiƯu hai nghiƯm b»ng 2
d) T×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a x
1
vµ x
2
kh«ng phơ thc m
Bµi tËp 18: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiƯm víi mäi gi¸ trÞ cđa a
b) T×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm kh«ng phơ thc vµo a
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhËt cđa biĨu thøc A = x
1
2
+ x
2
2
Bµi tËp 19: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- (2m- 6)x + m -13 = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = x
1
. x
2
- x
1
2
- x
2
2
Bµi tËp 20: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- 2(m+4)x + m
2
- 8 = 0
a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt
b) T×m m ®Ĩ A = x
1
2
+ x
2
2
- x
1
- x
2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
c) T×m m ®Ĩ B = x
1
+ x
2
- 3x
1
x
2
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
d) T×m m ®Ĩ C = x
1
2
+ x
2
2
- x
1
x
2
Bµi tËp 21: Cho ph¬ng tr×nh: ( m - 1) x
2
+ 2mx + m + 1 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 4
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tr¸i dÊu
c) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
vµ x
2
tho¶ m·n: A = x
1
2
x
2
+ x
2
2
x
1
d) T×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm kh«ng phơ thc vµo m
Bµi tËp 22: T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ c¸c nghiƯm x
1
, x
2
cđa ph¬ng tr×nh
mx
2
- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn
1
2
2
2
1
=+
xx
Bµi tËp 23:
Cho ph¬ng tr×nh x
2
- 2(m - 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm x
1
, x
2
ph©n biƯt tho¶ m·n
5
11
21
21
xx
xx
+
=+
Bµi tËp 24:
Cho ph¬ng tr×nh: mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè).
a) X¸c ®Þnh m ®Ĩ c¸c nghiƯm x
1
; x
2
cđa ph¬ng tr×nh tho¶ m·n
x
1
+ 4x
2
= 3
b) T×m mét hƯ thøc gi÷a x
1
; x
2
mµ kh«ng phơ thc vµo m
Bµi tËp 25: Cho ph¬ng tr×nh x
2
- (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)
T×m gi¸ trÞ cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã (1) cã nghiƯm x
1
= 2x
2
.
Bµi tËp 26: Cho ph¬ng tr×nh mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm.
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
10
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu. Khi ®ã trong hai nghiƯm, nghiƯm nµo cã gi¸ trÞ
tut ®èi lín h¬n?
c) X¸c ®Þnh m ®Ĩ c¸c nghiƯm x
1
; x
2
cđa ph¬ng tr×nh tho¶ m·n: x
1
+ 4x
2
= 3.
d) T×m mét hƯ thøc gi÷a x
1
, x
2
mµ kh«ng phơ thc vµo m.
Bµi tËp 27:
a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiƯm chung. T×m nghiƯm chung
®ã?
x
2
- (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)
x
2
- (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)
b) T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (1) lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (2) vµ ngỵc l¹i.
Bµi tËp 28: Gäi x
1
, x
2
lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh:
x
2
- (2m - 1)x + m – 2 = 0
T×m m ®Ĩ
2
2
2
1
xx
+
cã gi¸ trÞ nhá nhÊt
Bµi tËp 29: Gäi x
1
; x
2
lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh:
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: A =x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2
Bµi tËp 30: Gäi x
1
, x
2
lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh.
x
2
+ 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0
T×m m ®Ĩ
2
2
2
1
xx
+
cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi tËp 31: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- m + (m - 2)
2
= 0
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc
A = x
1
x
2
+ 2x
1
+ 2x
2
Bµi tËp 32: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m lµ tham sè). T×m m sao cho 2 nghiƯm x
1
;
x
2
cđa ph¬ng tr×nh tho¶ m·n 10x
1
x
2
+
2
2
2
1
xx
+
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã.
Néi dung 6: Ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai.
D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã Èn sè ë mÉu.
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
11
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
1t
5t2t
t
1t
t
c)
12x
3x
3
x
12x
b)
6
1x
3x
2x
x
a)
22
+
+
=+
−
−
+
=+
−
=
−
+
+
−
D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc.
=
≥
⇔=
=
≥≥
⇔=
2
BA
0B
BALo¹i
BA
0)(hayB 0A
BALo¹i
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
( )
( )( )
( )
3xx1x e)
9x32x1x d) 1x53x2x c)
145x3x2x b) 1x113x2x a)
2
2
2
2
22
−−
−−=−−+=−+
+−=+−=−−
D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tut ®èi.
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
3x44xx1x d) 4x xxx22xx c)
32xx12x2x b) 3xx1x a)
224224
22
=+−−+−=++++
++=+−++=+−
D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng.
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a) 4x
4
+ 7x
2
- 2 = 0 ; b) x
4
- 13x
2
+ 36 = 0;
c) 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0 ; d) (2x + 1)
4
- 8(2x + 1)
2
- 9 = 0.
D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh bËc cao.
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®a vỊ d¹ng tÝch hc ®Ỉt Èn phơ ®a vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai:
Bµi 1:
a) 2x
3
- 7x
2
+ 5x = 0 ; b) 2x
3
- x
2
- 6x + 3 = 0 ;
c) x
4
+ x
3
- 2x
2
- x + 1 = 0 ; d) x
4
= (2x
2
- 4x + 1)
2
.
Bµi 2:
a) (x
2
- 2x)
2
- 2(x
2
- 2x) - 3 = 0 c) (x
2
+ 4x + 2)
2
+4x
2
+ 16x + 11 = 0
( ) ( )
7.3xx53xxk) 6
3x2x
13x
35x2x
2x
i)
0
x
4
3
x
10
x
48
3
x
h) 02433x2x513x2x3 g)
064xx
104xx
21
f) 04
5xx
3x
x
5xx
e)
023
x
1
x16
x
1
x4 d) 03xx2x xc)
22
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
222
+=++−=
++
+
+−
=
−−−=+++−−+
=−+−
+−
=+
−+
+
−+
=+
+−
+=+−+−
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
12
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
Bµi 3:
a) 6x
5
- 29x
4
+ 27x
3
+ 27x
2
- 29x +6 = 0
b) 10x
4
- 77x
3
+ 105x
2
- 77x + 10 = 0
c) (x - 4,5)
4
+ (x - 5,5)
4
= 1
d) (x
2
- x +1)
4
- 10x
2
(x
2
- x + 1)
2
+ 9x
4
= 0
Bµi tËp vỊ nhµ:
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
( )
8
23xx
22x
9x
32xx
d)
4x
2x
x
4
22x
c)
6
x
3x
1x
4x
b)
4
1
1x
3
1x2
1
a) 1.
2
2
2
2
2
=
+−
−
+
−
−+
−
−
=−
+
=
+
+
+
=
−
+
−
2.
a) x
4
- 34x
2
+ 225 = 0 b) x
4
- 7x
2
- 144 = 0
c) 9x
4
+ 8x
2
- 1 = 0 d) 9x
4
- 4(9m
2
+ 4)x
2
+ 64m
2
= 0
e) a
2
x
4
- (m
2
a
2
+ b
2
)x
2
+ m
2
b
2
= 0 (a ≠ 0)
3.
a) (2x
2
– 5x + 1)
2
– (x
2
– 5x + 6)
2
= 0
b) (4x – 7)(x
2
– 5x + 4)(2x
2
– 7x + 3) = 0
c) (x
3
– 4x
2
+ 5)
2
= (x
3
– 6x
2
+ 12x – 5)
2
d) (x
2
+ x – 2)
2
+ (x – 1)
4
= 0
e) (2x
2
– x – 1)
2
+ (x
2
– 3x + 2)
2
= 0
4.
a) x
4
– 4x
3
– 9(x
2
– 4x) = 0 b) x
4
– 6x
3
+ 9x
2
– 100 = 0
c) x
4
– 10x
3
+ 25x
2
– 36 = 0 d) x
4
– 25x
2
+ 60x – 36 = 0
5.
a) x
3
– x
2
– 4x + 4 = 0 b) 2x
3
– 5x
2
+ 5x – 2 = 0
c) x
3
– x
2
+ 2x – 8 = 0 d) x
3
+ 2x
2
+ 3x – 6 = 0
e) x
3
– 2x
2
– 4x – 3 = 0
6.
a) (x
2
– x)
2
– 8(x
2
– x) + 12 = 0 b) (x
4
+ 4x
2
+ 4) – 4(x
2
+ 2) – 77 = 0
c) x
2
– 4x – 10 - 3
( )( )
6x2x −+
= 0 d)
03
2x
12x
4
2x
12x
2
=+
+
−
−
+
−
e)
( )
5x5xx5x =−+−+
7.
a) (x + 1)(x + 4)(x
2
+ 5x + 6) = 24 b) (x + 2)
2
(x
2
+ 4x) = 5
c)
026
x
1
x16
x
1
x3
2
2
=+
+−
+
d)
02
x
1
x7
x
1
x2
2
2
=+
−−
+
8.
1xx1xx f) 3x2x14x4x e)
2x43xx d) 2x16x2x c)
1x9x2x b) 14x4xx a)
32322
32
22
++=−+−=−++−
−=+++=++
−=−++=−
9. §Þnh a ®Ĩ c¸c ph¬ng tr×nh sau cã 4 nghiƯm
a) x
4
– 4x
2
+ a = 0 b) 4y
4
– 2y
2
+ 1 – 2a = 0
c) 2t
4
– 2at
2
+ a
2
– 4 = 0.
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
13
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 –
2011
=======================================================================================================
N«Þ dung 7: Bµi tËp H×nh tỉng hỵp
Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O). C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t nhau
t¹i
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
14
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lỵt t¹i M,N,P.
Chøng minh r»ng:
1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp .
2. Bèn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
5. X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Lêi gi¶i:
XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
∠ CEH = 90
0
( V× BE lµ ®êng cao)
∠ CDH = 90
0
( V× AD lµ ®êng cao)
=> ∠ CEH + ∠ CDH = 180
0
Mµ ∠ CEH vµ ∠ CDH lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp
Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 90
0
.
CF lµ ®êng cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 90
0
.
Nh vËy E vµ F cïng nh×n BC díi mét gãc 90
0
=> E vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC.
VËy bèn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: ∠ AEH = ∠ ADC = 90
0
; ¢ lµ gãc chung
=> ∆ AEH ∼ ∆ADC =>
AC
AH
AD
AE
=
=> AE.AC = AH.AD.
* XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: ∠ BEC = ∠ ADC = 90
0
; ∠C lµ gãc chung
=> ∆ BEC ∼ ∆ADC =>
AC
BC
AD
BE
=
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta cã ∠C
1
= ∠A
1
( v× cïng phơ víi gãc ABC)
∠C
2
= ∠A
1
( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM)
=> ∠C
1
= ∠ C
2
=> CB lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc HCM; l¹i cã CB ⊥ HM => ∆ CHM c©n t¹i C
=> CB còng lµ ®¬ng trung trùc cđa HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
5. Theo chøng minh trªn bèn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn
=> ∠C
1
= ∠E
1
( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF)
Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp
∠C
1
= ∠E
2
( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)
∠E
1
= ∠E
2
=> EB lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc FED.
Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ
t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®êng trßn
ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.
1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
2. Bèn ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
3. Chøng minh ED =
2
1
BC.
4. Chøng minh DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O).
5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lêi gi¶i:
XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
∠ CEH = 90
0
( V× BE lµ ®êng cao)
∠ CDH = 90
0
( V× AD lµ ®êng cao)
=> ∠ CEH + ∠ CDH = 180
0
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
15
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
Mµ ∠ CEH vµ ∠ CDH lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp
2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 90
0
.
AD lµ ®êng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 90
0
.
Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 90
0
=> E vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
VËy bèn ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tun
=> D lµ trung ®iĨm cđa BC. Theo trªn ta cã ∠BEC = 90
0
.
VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tun => DE =
2
1
BC.
V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iĨm cđa AH => OA = OE => tam gi¸c
AOE c©n t¹i O => ∠E
1
= ∠A
1
(1).
Theo trªn DE =
2
1
BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ∠E
3
= ∠B
1
(2)
Mµ ∠B
1
= ∠A
1
( v× cïng phơ víi gãc ACB) => ∠E
1
= ∠E
3
=> ∠E
1
+ ∠E
2
= ∠E
2
+ ∠E
3
Mµ ∠E
1
+ ∠E
2
= ∠BEA = 90
0
=> ∠E
2
+ ∠E
3
= 90
0
= ∠OED => DE ⊥ OE t¹i E.
VËy DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) t¹i E.
5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dơng ®Þnh lÝ Pitago cho
tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED
2
= OD
2
– OE
2
ED
2
= 5
2
– 3
2
ED = 4cm
Bµi 3 Cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kỴ hai tiÕp tun Ax, By. Qua ®iĨm M thc
nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun thø ba c¾t c¸c tiÕp tun Ax , By lÇn lỵt ë C vµ D. C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC
c¾t nhau t¹i N.
1. Chøng minh AC + BD = CD.
2. Chøng minh ∠COD = 90
0
.
3. Chøng minh AC. BD =
4
2
AB
.
4. Chøng minh OC // BM
5. Chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD.
6. Chøng minh MN ⊥ AB.
7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Lêi gi¶i:
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c
cđa gãc BOM, mµ ∠AOM vµ ∠BOM lµ hai gãc kỊ bï => ∠COD = 90
0
.
Theo trªn ∠COD = 90
0
nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ⊥ CD ( OM lµ tiÕp tun ).
¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM
2
= CM. DM,
Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R
2
=> AC. BD =
4
2
AB
.
Theo trªn ∠COD = 90
0
nªn OC ⊥ OD .(1)
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cđa BM
=> BM ⊥ OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD).
Gäi I lµ trung ®iĨm cđa CD ta cã I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®êng kÝnh CD cã IO
lµ b¸n kÝnh.
Theo tÝnh chÊt tiÕp tun ta cã AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i
cã I lµ trung ®iĨm cđa CD; O lµ trung ®iĨm cđa AB => IO lµ ®êng trung b×nh cđa h×nh thang ACDB
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
16
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
=> IO // AC , mµ AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t¹i O => AB lµ tiÕp tun t¹i O cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD
6. Theo trªn AC // BD =>
BD
AC
BN
CN
=
, mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra
DM
CM
BN
CN
=
=> MN // BD mµ BD ⊥ AB => MN ⊥ AB.
7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi
tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®ỉi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD
nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M
ph¶i lµ trung ®iĨm cđa cung AB.
Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc
A , O lµ trung ®iĨm cđa IK.
1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
2. Chøng minh AC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O).
3. TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lêi gi¶i: (HD)
1. V× I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc
A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cđa hai gãc kỊ bï ®Ønh B
Do ®ã BI ⊥ BK hay∠IBK = 90
0
.
T¬ng tù ta còng cã ∠ICK = 90
0
nh vËy B vµ C cïng n»m trªn ®êng
trßn ®êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
Ta cã ∠C
1
= ∠C
2
(1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cđa gãc ACH.
∠C
2
+ ∠I
1
= 90
0
(2) ( v× ∠IHC = 90
0
).
∠I
1
= ∠ ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O)
Tõ (1), (2) , (3) => ∠C
1
+ ∠ICO = 90
0
hay AC ⊥ OC. VËy AC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O).
Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH
2
= AC
2
– HC
2
=> AH =
22
1220 −
= 16 ( cm)
CH
2
= AH.OH => OH =
16
12
22
=
AH
CH
= 9 (cm)
OC =
225129
2222
=+=+ HCOH
= 15 (cm)
Bµi 5 Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iĨm A trªn (O) kỴ tiÕp tun d víi (O). Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iĨm
M bÊt k× ( M kh¸c A) kỴ c¸t tun MNP vµ gäi K lµ trung ®iĨm cđa NP, kỴ tiÕp tun MB (B lµ tiÕp ®iĨm).
KỴ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gäi H lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD, I lµ giao ®iĨm cđa OM vµ AB.
1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.
2. Chøng minh n¨m ®iĨm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng
trßn .
3. Chøng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.
5. Chøng minh ba ®iĨm O, H, M th¼ng hµng.
6. T×m q tÝch cđa ®iĨm H khi M di chun trªn ®êng th¼ng d
Lêi gi¶i:
(HS tù lµm).
V× K lµ trung ®iĨm NP nªn OK ⊥ NP ( quan hƯ ®êng kÝnh
Vµ d©y cung) => ∠OKM = 90
0
. Theo tÝnh chÊt tiÕp tun ta cã ∠OAM = 90
0
; ∠OBM = 90
0
. nh vËy K, A,
B cïng nh×n OM díi mét gãc 90
0
nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OM.
VËy n¨m ®iĨm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tun c¾t nhau); OA = OB = R
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
17
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
=> OM lµ trung trùc cđa AB => OM ⊥ AB t¹i I .
Theo tÝnh chÊt tiÕp tun ta cã ∠OAM = 90
0
nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®êng cao.
¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA
2
hay OI.OM = R
2
; vµ OI. IM = IA
2
.
4. Ta cã OB ⊥ MB (tÝnh chÊt tiÕp tun) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ⊥ MA (tÝnh chÊt tiÕp tun) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.
5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH ⊥ AB; còng theo trªn OM ⊥ AB => O, H, M th¼ng hµng( V×
qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB).
6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng
nhng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã q tÝch cđa ®iĨm H khi M di chun trªn ®êng
th¼ng d lµ nưa ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R
Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®êng
kÝnh cđa ®êng trßn (A; AH). TiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E.
1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n.
2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cđa A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH.
3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (A; AH).
4. Chøng minh BE = BH + DE.
Lêi gi¶i: (HD)
∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2).
V× AB ⊥CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®êng cao võa lµ ®êng trung tun
cđa ∆BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => ∠B
1
= ∠B
2
2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh hun AB chung, ∠B
1
= ∠B
2
=> ∆ AHB = ∆AIB
=> AI = AH.
3. AI = AH vµ BE ⊥ AI t¹i I => BE lµ tiÕp tun cđa (A; AH) t¹i I.
4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bµi 7 Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KỴ tiÕp tun Ax vµ lÊy trªn tiÕp tun ®ã mét ®iĨm P sao
cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) t¹i M.
1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn.
2. Chøng minh BM // OP.
3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng
minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh.
4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t
nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng.
Lêi gi¶i:
(HS tù lµm).
Ta cã ∠ ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; ∠ AOM lµ gãc ë t©m
ch¾n cung AM => ∠ ABM =
2
AOM∠
(1) OP lµ tia ph©n gi¸c ∠ AOM
( t/c hai tiÕp tun c¾t nhau ) => ∠ AOP =
2
AOM∠
(2)
Tõ (1) vµ (2) => ∠ ABM = ∠ AOP (3)
Mµ ∠ ABM vµ ∠ AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4)
XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : ∠PAO=90
0
(v× PA lµ tiÕp tun ); ∠NOB = 90
0
(gt NO⊥AB).
=> ∠PAO = ∠NOB = 90
0
; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5)
Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau).
Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
18
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
Ta còng cã PM ⊥ OJ ( PM lµ tiÕp tun ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6)
DƠ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 90
0
=> K lµ trung ®iĨm
cđa PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6)
AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiÕp tun c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8).
Tõ (7) vµ (8) => ∆IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tun ®«ng thêi lµ ®êng cao => IK ⊥ PO. (9)
Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng.
Bµi 8 Cho nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M bÊt k× trªn nưa ®êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn
nưa mỈt ph¼ng bê AB chøa nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cđa gãc
IAM c¾t nưa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K.
1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
2) Chøng minh r»ng: AI
2
= IM . IB.
3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n.
4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi.
5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ĩ tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn.
Lêi gi¶i:
1. Ta cã : ∠AMB = 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn )
=> ∠KMF = 90
0
(v× lµ hai gãc kỊ bï).
∠AEB = 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn )
=> ∠KEF = 90
0
(v× lµ hai gãc kỊ bï).
=> ∠KMF + ∠KEF = 180
0
. Mµ ∠KMF vµ ∠KEF lµ hai gãc ®èi
cđa tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Ta cã ∠IAB = 90
0
( v× AI lµ tiÕp tun ) => ∆AIB vu«ng t¹i A cã AM ⊥ IB ( theo trªn).
¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => AI
2
= IM . IB.
Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lÝ do )……
=> ∠ABE =∠MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1)
Theo trªn ta cã ∠AEB = 90
0
=> BE ⊥ AF hay BE lµ ®êng cao cđa tam gi¸c ABF (2).
Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B .
BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tun => E lµ trung ®iĨm
cđa AF. (3)
Tõ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c ∠HAK (5)
Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tun => E lµ
trung ®iĨm cđa HK. (6).
Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi
®êng).
(HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang.
§Ĩ tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n.
AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iĨm cđa cung AB.
ThËt vËy: M lµ trung ®iĨm cđa cung AB => ∠ABM = ∠MAI = 45
0
(t/c gãc néi tiÕp ). (7)
Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ∠ABI = 45
0
=> ∠AIB = 45
0
.(8)
Tõ (7) vµ (8) => ∠IAK = ∠AIF = 45
0
=> AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau).
VËy khi M lµ trung ®iĨm cđa cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn.
Bµi 9 Cho nưa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KỴ tiÕp tun Bx vµ lÊy hai ®iĨm C vµ D thc nưa ®êng
trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lỵt ë E, F (F ë gi÷a B vµ E).
1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®ỉi.
2. Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB.
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
19
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Lêi gi¶i:
C thc nưa ®êng trßn nªn ∠ACB = 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn
) => BC ⊥ AE.
∠ABE = 90
0
( Bx lµ tiÕp tun ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ
®êng cao => AC. AE = AB
2
(hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao ), mµ AB lµ ®-
êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®ỉi do ®ã AC. AE kh«ng ®ỉi.
∆ ADB cã ∠ADB = 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ).
=> ∠ABD + ∠BAD = 90
0
(v× tỉng ba gãc cđa mét tam gi¸c b»ng 180
0
)(1)
∆ ABF cã ∠ABF = 90
0
( BF lµ tiÕp tun ).
=> ∠AFB + ∠BAF = 90
0
(v× tỉng ba gãc cđa mét tam gi¸c b»ng 180
0
) (2)
Tõ (1) vµ (2) => ∠ABD = ∠DFB ( cïng phơ víi ∠BAD)
Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ∠ABD + ∠ACD = 180
0
.
∠ECD + ∠ACD = 180
0
( V× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠ECD = ∠ABD ( cïng bï víi ∠ACD).
Theo trªn ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB. Mµ ∠EFD + ∠DFB = 180
0
( V× lµ hai gãc kỊ bï) nªn suy
ra ∠ECD + ∠EFD = 180
0
, mỈt kh¸c ∠ECD vµ ∠EFD lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c
CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M bÊt k× trªn nưa ®êng trßn sao cho AM < MB. Gäi
M’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa M qua AB vµ S lµ giao ®iĨm cđa hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®¬ng
vu«ng gãc tõ S ®Õn AB.
1. Chøng minh bèn ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn
2. Gäi S’ lµ giao ®iĨm cđa MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c
PS’M c©n.
3. Chøng minh PM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn .
Lêi gi¶i:
1. Ta cã SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 90
0
; ∠AMB = 90
0
( néi tiÕp ch¾n
nưa ®êng trßn ) => ∠AMS = 90
0
. Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi
mét gãc b»ng 90
0
nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AS.
VËy bèn ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ
M n»m trªn ®êng trßn nªn M’
còng n»m trªn ®êng trßn => hai
cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng
nhau
=> ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1)
Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’ ⊥ AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB)
=> ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (v× so le trong) (2).
=> Tõ (1) vµ (2) => ∠AS’S = ∠ASS’.
Theo trªn bèn ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ∠ASP=∠AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP )
=> ∠AS’P = ∠AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P.
3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => ∠B
1
= ∠S’
1
(cïng phơ víi ∠S). (3)
Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => ∠S’
1
= ∠M
1
(4)
Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => ∠B
1
= ∠M
3
(5).
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
20
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
Tõ (3), (4) vµ (5) => ∠M
1
= ∠M
3
=> ∠M
1
+ ∠M
2
= ∠M
3
+ ∠M
2
mµ ∠M
3
+ ∠M
2
= ∠AMB = 90
0
nªn suy
ra ∠M
1
+ ∠M
2
= ∠PMO = 90
0
=> PM ⊥ OM t¹i M => PM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M
Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iĨm D, E,
F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh :
1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän.
2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4.
CF
BM
CB
BD
=
Lêi gi¶i:
1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tun c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF
c©n t¹i A => ∠ADF = ∠AFD < 90
0
=> s® cung DF < 180
0
=> ∠DEF < 90
0
( v×
gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE).
Chøng minh t¬ng tù ta cã ∠DFE < 90
0
; ∠EDF < 90
0
. Nh vËy tam gi¸c DEF cã
ba gãc nhän.
2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) =>
AD AF
AB AC
=
=> DF // BC.
3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã ∠ B = ∠C (v× tam gi¸c ABC c©n)
=> BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn .
4. XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã ∠ DBM = ∠BCF ( hai gãc ®¸y cđa tam gi¸c c©n).
∠BDM = ∠BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); ∠ CBF = ∠BFD (v× so le) => ∠BDM = ∠CBF .
=> ∆BDM ∼∆CBF =>
CF
BM
CB
BD
=
Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng
AB lÊy ®iĨm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tun
t¹i N cđa ®êng trßn ë P. Chøng minh :
1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.
2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.
3. CM. CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M.
4. Khi M di chun trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng
cè ®Þnh nµo.
Lêi gi¶i:
1. Ta cã ∠OMP = 90
0
( v× PM ⊥ AB ); ∠ONP = 90
0
(v× NP lµ tiÕp tun ).
Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 90
0
=> M vµ N cïng n»m
trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.
2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => ∠OPM = ∠ ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM)
Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN
=> ∠OPM = ∠OCM.
XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 90
0
; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i
cã MO lµ c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1)
Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2).
Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.
3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ∠MOC = 90
0
( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 90
0
(néi tiÕp ch¾n nưa ®êng
trßn ) => ∠MOC =∠DNC = 90
0
l¹i cã ∠C lµ gãc chung => ∆OMC ∼∆NDC
=>
CM CO
CD CN
=
=> CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R
2
kh«ng ®ỉi => CM.CN =2R
2
kh«ng ®ỉi hay tÝch CM. CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M.
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
21
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
4. ( HD) DƠ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 90
0
=> P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc
víi CD t¹i D.
V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB.
Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH. Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨn A ,
VÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.
1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt.
2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
3. AE. AB = AF. AC.
4. Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn .
Lêi gi¶i:
1. Ta cã : ∠BEH = 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn )
=> ∠AEH = 90
0
(v× lµ hai gãc kỊ bï). (1)
∠CFH = 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn )
=> ∠AFH = 90
0
(v× lµ hai gãc kỊ bï).(2)
∠EAF = 90
0
( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3)
Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng).
2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn =>∠F
1
=∠H
1
(néi tiÕp ch¾n cung
AE) . Theo gi¶ thiÕt AH ⊥BC nªn AH lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (O
1
) vµ (O
2
) => ∠B
1
= ∠H
1
(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => ∠B
1
= ∠F
1
=> ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC mµ ∠AFE
+ ∠EFC = 180
0
(v× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠EBC+∠EFC = 180
0
mỈt kh¸c ∠EBC vµ ∠EFC lµ hai gãc ®èi
cđa tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã ∠A = 90
0
lµ gãc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Chøng
minh trªn) => ∆AEF ∼∆ACB =>
AE AF
AC AB
=
=> AE. AB = AF. AC.
* HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE
⊥
AB => AH
2
= AE.AB (*)
Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF
⊥
AC => AH
2
= AF.AC (**)
Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC
4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => ∆IEH c©n t¹i I => ∠E
1
= ∠H
1
.
∆O
1
EH c©n t¹i O
1
(v× cã O
1
E vµO
1
H cïng lµ b¸n kÝnh) => ∠E
2
= ∠H
2
.
=> ∠E
1
+ ∠E
2
= ∠H
1
+ ∠H
2
mµ ∠H
1
+ ∠H
2
= ∠AHB = 90
0
=> ∠E
1
+ ∠E
2
= ∠O
1
EF = 90
0
=> O
1
E ⊥EF .
Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O
2
F ⊥ EF. VËy EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn .
Bµi 14 Cho ®iĨm C thc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c
nưa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K.
§êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nưa ®êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa EA,
EB víi c¸c nưa ®êng trßn (I), (K).
1. Chøng minh EC = MN.
2. Chøng minh MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng
trßn (I), (K).
3. TÝnh MN.
4. TÝnh diƯn tÝch h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn
Lêi gi¶i:
1. Ta cã: ∠BNC= 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m K)
=> ∠ENC = 90
0
(v× lµ hai gãc kỊ bï). (1)
∠AMC = 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m I) => ∠EMC = 90
0
(v× lµ hai gãc kỊ bï).(2)
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
22
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
∠AEB = 90
0
(néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m O) hay ∠MEN = 90
0
(3)
Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt )
2. Theo gi¶ thiÕt EC ⊥AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (I) vµ (K)
=> ∠B
1
= ∠C
1
(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => ∠C
1
= ∠N
3
=> ∠B
1
= ∠N
3
.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ∠B
1
= ∠N
1
(5)
Tõ (4) vµ (5) => ∠N
1
= ∠N
3
mµ ∠N
1
+ ∠N
2
= ∠CNB = 90
0
=> ∠N
3
+ ∠N
2
= ∠MNK = 90
0
hay
MN ⊥ KN t¹i N => MN lµ tiÕp tun cđa (K) t¹i N.
Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tun cđa (I) t¹i M,
VËy MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K).
3. Ta cã ∠AEB = 90
0
(néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m O) => ∆AEB vu«ng t¹i A cã EC ⊥ AB (gt)
=> EC
2
= AC. BC EC
2
= 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm.
4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm
Ta cã S
(o)
=
π
.OA
2
=
π
25
2
= 625
π
; S
(I)
=
π
. IA
2
=
π
.5
2
= 25
π
; S
(k)
=
π
.KB
2
=
π
. 20
2
= 400
π
.
Ta cã diƯn tÝch phÇn h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn lµ S =
1
2
( S
(o)
- S
(I)
- S
(k)
)
S =
1
2
( 625
π
- 25
π
- 400
π
) =
1
2
.200
π
= 100
π
≈
314 (cm
2
)
Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iĨm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC.
®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D. ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S.
1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp .
2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB.
3. Gäi E lµ giao ®iĨm cđa BC víi ®êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD
®ång quy.
4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE.
5. Chøng minh ®iĨm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE.
Lêi gi¶i:
1. Ta cã ∠CAB = 90
0
( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠MDC = 90
0
( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn )
=> ∠CDB = 90
0
nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 90
0
nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng
trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠D
1
= ∠C
3
( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB).
∠D
1
= ∠C
3
=>
¼
¼
SM EM=
=> ∠C
2
= ∠C
3
(hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau)
=> CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB.
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
23
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
3. XÐt ∆CMB Ta cã BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c
CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy.
4. Theo trªn Ta cã
¼
¼
SM EM=
=> ∠D
1
= ∠D
2
=> DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE.(1)
5. Ta cã ∠MEC = 90
0
(néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn (O)) => ∠MEB = 90
0
.
Tø gi¸c AMEB cã ∠MAB = 90
0
; ∠MEB = 90
0
=> ∠MAB + ∠MEB = 180
0
mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø
gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => ∠A
2
= ∠B
2
.
Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠A
1
= ∠B
2
( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD)
=> ∠A
1
= ∠A
2
=> AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DAE (2)
Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE
TH2 (H×nh b)
C©u 2 : ∠ABC = ∠CME (cïng phơ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cïng bï ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS
=>
»
»
¼
¼
CE CS SM EM= => =
=> ∠SCM = ∠ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB.
Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B. §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC
t¹i E. C¸c ®êng thẳng CD, AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i F, G.
Chøng minh :
1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD.
2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp .
3. AC // FG.
4. C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy.
Lêi gi¶i:
1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã ∠BAC = 90
0
( v× tam gi¸c ABC
vu«ng t¹i A); ∠DEB = 90
0
( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn )
=> ∠DEB = ∠BAC = 90
0
; l¹i cã ∠ABC lµ gãc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB .
2. Theo trªn ∠DEB = 90
0
=> ∠DEC = 90
0
(v× hai gãc kỊ bï); ∠BAC = 90
0
( v× ∆ABC vu«ng t¹i A) hay ∠DAC = 90
0
=> ∠DEC + ∠DAC = 180
0
mµ
®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp .
* ∠BAC = 90
0
( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DFB = 90
0
( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) hay
∠BFC = 90
0
nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 90
0
nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng
kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠E
1
= ∠C
1
l¹i cã ∠E
1
= ∠F
1
=> ∠F
1
= ∠C
1
mµ ®©y lµ hai gãc so
le trong nªn suy ra AC // FG.
4. (HD) DƠ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S.
Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Ịu ABC cã ®êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C,
H ) ; tõ M kỴ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC.
1. Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã.
2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH.
3. Chøng minh OH ⊥ PQ.
Lêi gi¶i:
1. Ta cã MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 90
0
; MQ ⊥ AC (gt)
=> ∠AQM = 90
0
nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi mét gãc
b»ng 90
0
nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AM
=> APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp.
* V× AM lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn ngo¹i
tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cđa ®êng trßn
ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iĨm cđa
AM.
2. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao =>
S
ABC
=
1
2
BC.AH.
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
24
Các dạng bài tập toán ôn thi vào lớp 10 năm học 2010 – 2011
=======================================================================================================
Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®êng cao => S
ABM
=
1
2
AB.MP
Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®êng cao => S
ACM
=
1
2
AC.MQ
Ta cã S
ABM
+ S
ACM
= S
ABC
=>
1
2
AB.MP +
1
2
AC.MQ =
1
2
BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH
Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Ịu) => MP + MQ = AH.
3. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng ph©n gi¸c => ∠HAP = ∠HAQ =>
»
¼
HP HQ=
( tÝnh
chÊt gãc néi tiÕp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mµ tam gi¸c
POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng lµ ®êng cao => OH ⊥ PQ
Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iĨm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ;
trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iĨm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng
trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC.
1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp .
2. Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.
3. Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp .
Lêi gi¶i:
1. Ta cã : ∠ACB = 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn )
=> ∠MCI = 90
0
(v× lµ hai gãc kỊ bï).
∠ADB = 90
0
( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn )
=> ∠MDI = 90
0
(v× lµ hai gãc kỊ bï).
=> ∠MCI + ∠MDI = 180
0
mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCID nªn
MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp.
2. Theo trªn Ta cã BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nªn BC vµ AD lµ hai ®-
êng cao cđa tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc
t©m cđa tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH ⊥ AB nªn MH còng lµ ®-
êng cao cđa tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.
3. ∆OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => ∠A
1
= ∠C
4
∆KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => ∠M
1
= ∠C
1
.
Mµ ∠A
1
+ ∠M
1
= 90
0
( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ∠C
1
+ ∠C
4
= 90
0
=> ∠C
3
+ ∠C
2
= 90
0
( v× gãc
ACM lµ gãc bĐt) hay ∠OCK = 90
0
.
XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ∠OHK = 90
0
; ∠OCK = 90
0
=> ∠OHK + ∠OCK = 180
0
mµ ∠OHK vµ ∠OCK lµ
hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Bµi 19. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ
trung ®iĨm cđa ®o¹n AB. Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KỴ BI vu«ng gãc víi CD.
Biên soạn: Trònh Hải Lâm
25
