Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi toán 2 pot

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
YÊN KHÁNH NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
______________________________
Câu 1:Cho phương trình x
2
-(5m-1)x+6m
2
-2m=0 (m là tham số)
a) Chúng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình. Tìm m để x
2
1
+ x
2
2
= 1.
Câu 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)
14
2
−x
+
x
=
xx −

2
2
+
12 +x
.
b)



=+++
=+
4
2)(
33
yxyx
yxxy
c



=−+
=+−+
02
0342
222
23
yyxx
yyx
Câu 3: Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có tâm O,
bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi

S là diện tích tam giác ABC.
a) Chúng minh rằng AEFH và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh S=
R
CABCAB
4

.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đường
tròn.
d) Chứng minh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R=2 S.
Câu 4:
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:
2
3
111
222
≥
+
+
+
+
+ a
c
c
b
b
a
Câu 5: Cho 361 số tự nhiên a
1

,a
2
,a
3
, ,a
361
thỏa mãn điều kiện

37
1

111
361321
=++++
aaaa
Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó, tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC