Chương II: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ TRONG ĐƯỜNG TRÒN pps

CHƯƠNG II: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ TRONG ĐƯỜNG
TRÒN.
BÀI 1: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ.
NỘI DUNG
I/MỞ ĐẦU:
C Sin
α
=
AC
BC
Cos
α
=
AB
BC

A B
tg
α
=
AC
AB
cotg
α
=
AB
AC
II/TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC
0 0
(0 180 )
α α

≤ ≤
:
Trên hệ toạ độ Oxy cho A(1;0),B(0;1),A’(-1;0).
Xét nửa đường tròn đk AA’ đi qua B được gọi là nửa đường tròn đơn vị.
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc AOM=

α
M có toạ độ M(x;y).
ĐỊNH NGHĨA:
*Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc
α
,KH:sin
α
Viết sin
α
=y.
*Hoành độ x của điểm M gọi là cosin của
α
,KH:cos
α
, viết cos
α
=x.
*Tỷ số
( 0)
y
x
x
≠
gọi là tang của góc

α
,KH:tg
α
, viết tg
α
=
y
x
*Tỷ số
( 0)
x
y
y
≠
gọi là cotang của góc
α
,KH:cotg
α
, viết cotg
α
=
x
y

Ví dụ:
a)Tính sin
α
,
α
=30

0
Đặt
·
AOM
=30
0
,Gọi M
1
,M
2
lần lượt là hchiếu của M xuống Ox,Oy.
Xét tam giác MM
1
O,ta có đó là nửa tam giác đều có cạnh bên bằng 1,nên MM
1
=1/2.
Vậy sin 30
0
=
2 1
1
2
OM M M= =
Tương tự Hs tính Cos 30
0
,tg30
0
,cotg30
0
.

II/TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC CẦN NHỚ:
góc 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
Trang 1
Sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2

2
2
1
2
0
Cos 1
3
2
2
2
1
2
0
-
1
2
2
2
−
3
2
−
-1
Tg 0
3
3
1
3
||
-

3
-1
-
3
3
0
cotg
||
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
-
3
||
IV/DẤU CỦA CÁC TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC:
•
sin
α
0,
α
≥ ∀
.
•
0 0

0 90 0 cos 1
α α
< < ⇒ < <
•
0 0
90 180 1 cos 0
α α
< < ⇒ − < <
•
Các tỷ số tg
α
và cotg
α
,nếu khác không thì chúng cùng dấu với cos
α
.
CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
NỘI DUNG
I.CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN:
1.ĐỊNH LÝ:Với mọi góc
α
ta đều có:
a)Nếu Cos
α
≠
0 thì
sin
(1)
cos
tg

α
α
α
=
b)Nếu Sin
α
≠
0 thì
cos
c (2)
sin
otg
α
α
α
=
c)sin
2
α
+cos
2
α
=1 (3)
CM:SGK
2.VD:
Cho tgx+cotgx=2.Tính sinx.cosx=?
Giải:Tacó:
2 2
sin cos sin cos
cot

cos sin sin .cos
1
sin .cos
x x x x
tgx gx
x x x x
x x
+
+ = + =
=
Mà tgx+cotgx=2 nên ta được sinx.cosx=1/2.
II.CÁC HỆ THỨC KHÁC:
1.ĐỊNH LÝ:
Nếu cos

α

≠
0 thì
2
2
1
1
cos
tg
α
α
+ =
(4)
Trang 2

Nếu sin

α

≠
0 thì
2
2
1
1 cot
sin
g
α
α
+ =
(5)
tg

α
.cotg
α
=1 (6).

CM:SGK
2.VD:Đơn giản biểu thức:
2
2
2 2
2 2
2 2

1 1
2cot
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
2cot
(1 cos )(1 cos )
2 2
2cot 2cot
1 cos sin
2 2cot 2cot 2
A g
g
g g
g g
α
α α
α α
α
α α
α α
α α
α α
= + −
+ −
− + +
= −
+ −
= − = −
−
= + − =

Vậy A=2.
III.LIÊN HỆ GIỮA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU:
Hai góc
α
và (180
0
-
α
) là hai góc bù nhau.Ta có:
Sin
(180
0
-
α
)=sin
α
Cos (180
0
-
α
)=-cos
α
tg(180
0
-
α
) =-tg
α
cotg(180
0

-
α
) =-cotg
α

IV.LIÊN HỆ GIỮA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU:
Hai góc
α
và (90
0
-
α
) là hai góc phụ nhau.Ta có:
Sin (90
0
-
α
)=cos
α
Cos (90
0
-
α
)=sin
α
tg(90
0
-
α
)=cotg

α
cotg(90
0
-
α
)=tg
α
VD:
1.Tính :
A=
0 0 0 0 0
cos20 cos40 cos60 cos160 cos180+ + + + +
=Cos(180
0
-160
0
)+cos(180
0
-140
0
)+…+Cos 160
0
+cos180
0
=-cos160
0
-cos140
0
+…+cos160
0

+cos180
0
=-1
Vậy A=-1.
2.Cho tam giác ABC.CMR:
sin cos
2 2
A B C+
=
Ta có A+B+C=180
0
nên
0
90
2
A B C+ +
=
0
90
2 2
A B C+
⇒ = −
0
sin sin 90
2 2
A B C+
   
⇒ = −
   
   

=
cos
2
C
(đpcm)
Trang 3
BÀI: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

NỘI DUNG
I/GÓC CỦA HAI VECTƠ:
1.ĐỊNH NGHĨA:Cho hai vectơ
,a b
r r
khác
0
r
.Từ 1 điểm O ta vẽ
,OA a OB b= =
uuur r uuur r
.Khi đó số đo của góc
AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ
,a b
r r
,hay gọn hơn :Góc giữa hai vectơ
,a b
r r
.


Kh:

( )
,a b
r r
2.CHÚ Ý:

( )
,a b
r r
=0
0

⇔
a
r
cùng hướng
b
r
.


( )
,a b
r r
=180
0
⇔
a
r
ngược hướng
b

r
.

( )
,a b
r r
=90
0
⇔
a
r
vuông góc
b
r
.

( )
,a b
r r
tuỳ ý nếu
a
r
hoặc
b
r
là
0
r
.
II/TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ:

1.ĐỊNH NGHĨA:Tích vô hướng của hai vectơ
a
r
,
b
r
là 1 số.KH:
a
r
.
b
r
.
Tính theo công thức:
( )
. cos ,a b a b a b=
r r r r r r
.
Tích vô hướng
.a a
r r
được gọi là bình phương vô hướng của
a
r
.KH:
2
a
r
.
Ta có:

2
2
0
. cos0a a a a a a= = =
r r r r r r
2.CHÚ Ý:

( )
,a b
r r
=0
0

⇔
a
r
.
b
r
=
a b
r r
.


( )
,a b
r r
=180
0

⇔
a
r
.
b
r
=-
a b
r r
.

( )
,a b
r r
=90
0
⇔
a
r
.
b
r
=0.
3.VÍ DỤ:Cho tam giác ABC đều cạnh a.
Tính:
. , .AB AC AC CB
uuur uuur uuur uuur
.
Giải:

( )
2
0
. cos , . .cos60
2
a
AB AC AB AC AB AC a a= = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Trang 4

( )
2
0
. . cos ,
. .cos60
2
AC CB CACB CA CB CA CB
a
a a
= − = − =
= − = −
uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur
III/CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU:
1)ĐỊNH NGHĨA: Cho
a AB=
r uuur
và đường thẳng d.Gọi A’,B’ là hình chiếu của A và B trên d.Khi đó
' ' 'a A B=
r uuuur
gọi là hình chiếu của

a
r
trên d.
d
2.ĐỊNH LÝ:Tích vô hướng của hai vectơ
,a b
r r
bằng tích vô hướng của
a
r
và hình chiếu của
b
r
trên đường
thẳng chứa
a
r
.
CM:Trên đường thẳng chứa vectơ
a
r
lấy điểm O,dựng
,OA a OB b= =
uuur r uuur r
.Gọi B’ là HC của B trên đường
thẳng chứa OA.
Khi đó
'OB
uuuur
là hchiếu của

OB b=
uuur r
trên đường thẳng chứa
a
r
.
Ta có
( )
·
,OA OB AOB
ϕ
= =
uuur uuur
Th1:
0
90
ϕ
<
Th2:
0
90
ϕ
≥
IV/ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG:
1.ĐỊNH LÝ:
Với mọi vectơ
, ,a b c
r r r
và một số k ta có:

) . .i a b b a=
r r r r
(Giao hoán)

( )
) . . .ii a b c a b a c+ = +
r r r r r r r
(Phân phối)

( ) ( )
) . .iii ka b k a b=
r ur r r
(Kết hợp)
CM:SGK.
2.VÍ DỤ:
1.CM:
( )
2
2 2
2 .a b a b a b+ = + +
r r r r r r
Giải:
( ) ( ) ( ) ( )
VT a b a b a a b b a b= + + = + + +
r r r r r r r r r r

2 2
. . . . 2 .a a a b b a b b a b a b= + + + = + +
r r r r r r r r r r r r
4.Cho tam giác cân đỉnh A và đường cao AH.Gọi D là hchiếu vuông góc của H trên Ac,M là trung điểm

HD. CMR:
AM BD⊥
.
Giải:
Trang 5

A
B
C
H
D
M
Ta có:
2 ;AM AH AD BD BC CD= + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Do đó:
( ) ( )
2 .AM BD AH AD BC CD= + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )
. . .
. .2 .
. .2 .
2 . 0
AH CD AD BC AD CD
AH CD AD HC AD CD
AD CD AD DC AD CD
AD CD DC
AM BD

= + +
= + +
= + +
= + =
⇒ ⊥
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
V/ BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG:
ĐỊNH LÝ: Nếu trong hệ toạ độ Oxy cho hai vectơ
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;a x y b x y
r r
thì tích vô hướng của chúng được
tính theo công thức:

1 2 1 2
.a b x x y y= +
r r
CM:
Ta có:
1 1
2 2
a x i y j
b x i y j
= +
= +
r r r

r r r
Vậy
1 1 2 2 1 2 1 2
. ( )( )a b x i y j x i y j x x y y= + + = +
r r r r r r
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC.
NỘI DUNG
I/ĐỊNH LÝ COSIN TRONG TAM GIÁC:

a
c
b
B
A
C
Trang 6
1.ĐỊNH LÝ:Với mọi tam giác ABC ta có:
a
2
=b
2
+c
2
-2bcCosA (1)
b
2
=a
2
+c
2

-2acCosB (2)
c
2
=a
2
+b
2
-2abCosC (3)
CM:
Vì:
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
Nên :

2 2 2
2
2 2
( ) 2 .
2 . .cos
BC AC AB AC AB AC AB
AC AB AC AB A
= − = + −
= + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Vậy ta có đpcm.
*Các công thức còn lại cm tương tự.
2.VD:Cho tam giác ABC ,BC=8,AB=3,AC=7. Lấy D thuộc BC sao cho BD=5.AD=?
Giải:
Trong
ABCV

ta có:
CosB=1/2 hay B=60
0
(Ap dụng đlý hàm số cosin)
Trong
ABDV
ta có:
AD
2
=AB
2
+BD
2
-2.AB.BD.cos60
0
=19
Vậy AD=
19
II/ĐỊNH LÝ SIN TRONG TAM GIÁC:
1.ĐỊNH LÝ:Trong
ABCV
,R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác,ta có:

2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
(4)

CM:(SGK)

a
c
b
B
A
C
O
A'
2.VD: Cho tgiác ABC có b+c=2a.CMR:
2sinA=sinB+sinC.
Giải:

2 2 sin 2 sin 4 sin
sin sin 2sin
b c a R B R C R A
B C A
+ = ⇔ + =
⇔ + =
III/CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH:
Ta có các công thức tính diện tích sau:
Trang 7

( ) ( ) ( )
1 1 1
(5)
2 2 2
1 1 1
sin sin sin (6)

2 2 2
(7)
4
(8)
( )(9)
ABC a b c
ABC
ABC
ABC
ABC
S ah bh ch
S ab C ac B bc A
abc
S
R
S pr
S p p a p b p c Herong
= = =
= = =
=
=
= − − −
V
V
V
V
V
Với *R là bk đường tròn ngoại tiếp tam giác.
*r là bk đường tròn nội tiếp tam giác.
*p là nửa chu vi tam giác ABC.

VD: Cho tam giác ABC với a=13,b=14,c=15.
1)Tính dtích tam giác ABC.
2)r=?,R=?
Giải:

21
2
a b c
p
+ +
= =
(đvđd)
( ) ( ) ( )
84
ABC
S p p a p b p c= − − − =
V
(đvdt)
S=pr
4
S
r
p
⇒ = =
(đvđd)
65
4 4 8
abc abc
S R
R S

= ⇒ = =
(đvđd)
IV/CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN:
Ký hiệu m
a
,m
b
,m
c
là độ dài đường trung tuyến lần lượt kẻ từ A,B,C.Ta có:
ĐỊNH LÝ:Trong mọi tam giác ABC ta đều có:

2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
(10)
2 4
(11)
2 4
(12)
2 4
a
b
c
b c a
m
a c b

m
a b c
m
+
= −
+
= −
+
= −
CM:Gọi AM=m
a.
Ta có:b
2
+c
2
=
( ) ( )
2 2
2 2
AC AB AM MC AM MB+ = + + +
uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur
=2AM
2
+MC
2
+MB
2
+
( )
2

2
2 2
2
a
a
AM MB MC m+ = +
uuuur uuur uuuur
Từ đó ta suy ra đpcm.
*Các đẳng thức khác cm tương tự.
VD:Cho hai điểm A,B cố định.Tìm quỹ tích những điểm M thoả đk: MA
2
+MB
2
=k
2
(k là một số cho
trước)
Giải:
Giả sử có điểm M thoả đk đề bài.Gọi O là trung điểm AB,thì OM là trung tuyến tam giác MAB nên:
Trang 8

( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2
1
2 4 2 4
1
2

4
AB k AB
OM MA MB
k AB
= + − = −
= −
*Nếu 2k
2
>AB
2
thì OM=
( )
2 2
1
2
2
k AB−
.Khi đó quỹ tích M là đtròn tâm O,bk r=
( )
2 2
1
2
2
k AB−
.
*Nếu 2k
2
=AB
2
thì OM=0 hay M trùng O.

*Nếu 2k
2
<AB
2
thì quỹ tích là tập rỗng.
BÀI: GIẢI TAM GIÁC - ỨNG DỤNG THỰC TẾ.
NỘI DUNG
BÀI TOÁN 1: Cho tam giác ABC biết a=17,4;B=44
0
30’; C=64
0
.Tính A,b,c?
Giải:
A=180
0
-(B+C)=71
0
30’
Theo đlý hsố sin ta có:b=
sin
12,9
sin
a B
A
=
c=
sin
16,5
sin
a C

A
=
BÀI 1/55/SGK:
a)c=14,A=60
0
,B=40
0
Ta có:C=180-A-B=80
0
a=
sin
12
sin
c A
C
=
b=
.sin
9
sin
c B
C
=
*Các bài còn lại tương tự.HS tự làm.
BÀI TOÁN 2:Cho tam giác ABC biết a=49,4;b=26,4; C=47
0
20’.
Tính c, A, B.
Giải:
Ap dụng đlý hsố cosin ta có:

c
2
=a
2
+b
2
-2ab cosC=1369
Vậy c=37
CosA=
2 2 2
0,191
2
b c a
bc
+ −
= −
Vì A là góc tù nên A=180
0
-79
0
=101
0
Vậy B=31
0
40’
BÀI 2/55/SGK:
a)a=6,3 ;b=6,3; c=54
0
Trang 9
Tam giác ABC cân vì a=b=6,3.

Nên A=B=(180
0
-C)/2=63
Ap dụng đlý hsố cosin ta có c=5,7.
*Các bài còn lại tương tự.HS tự làm.
BÀI TOÁN 3:Trong tam giác ABC biết a=24;b=13; c=15. Tính A,B,C?
Giải:
Ap dụng Đlý cosin ta có Cos A=
2 2 2
0,4667
2
b c a
bc
+ −
= −
Vì A là góc tù nên A=180
0
-62
0
11’=117
0
49’
Ap dụng đlý hsố sin ta có:sinB=
sin
0.4790
b A
a
=
Vậy B=28
0

37’
Do đó, A=33
0
34’
BÀI TOÁN 4:Để tính khoảng cách từ điểm A đến C(hình vẽ)người ta chọn B sao cho từ B ;A có thể
nhìn thấy C. Ta có AB=c,A=
α
,B=
β
.Tính AC?
Giải:
Ta có C=180
0
-(
α
+
β
)
Vậy sinC=sin(
α
+
β
)
Theo đlý hsố sin thì: AC=
( )
sin
sin
c
β
α β

+
.
BÀI 4/56/SGK:
Chiều cao của tháp bằng :
BC=BH+HC=AHtg45
0
+AHtg10
0
=AH(tg45
0
=tg10
0
)
=12(m)
BÀI TOÁN 5:Từ đỉnh một cái tháp có chiều cao CD=h,người ta nhìn hai điểm A,B trên mặt đất dưới
hai góc là
,
α β
.Ba điểm A,B,C thẳng hàng,
α β
>
.
Tính khoảng cách AB.
GIẢI:
Ta có:
· ·
;CAD CBD
α β
= =
Từ tam giác vuông CDA ,ta có:

sin sin
CD h
AC
α α
= =
Mà:
·
ACB
α β
= −
nên ta có:

( )
( )
sin sin
sin
sin
AB AC
AC
AB
α β β
α β
β
=
−
−
⇒ =
Vậy,
( )

sin
sin sin
h
AB
α β
α β
−
=
Trang 10
ÔN TẬP HỌC KỲ I
NỘI DUNG
BÀI TẬP 1:
Trong mp Oxy cho A(1;2),B(-2;6),C(9;8).
a.Tính
,AB AC
uuur uuur
,từ đó suy ra tam giác ABC là tgiác vuông.
b.Tìm tâm I và bán kính R của đtròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c.Tính độ dài các cạnh,chu vi,diện tích tam giác ABC.
d.Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B,M,A thẳng hàng.
e.Tìm N thuộc Ox để tam giác ANC cân tại N.
f.Tìm D để ABCD là hình chữ nhật.
g.Tìm toạ độ điểm T thoả
2 3 0TA TB TC+ − =
uur uur uuur r
GIẢI:
a.Ta tính được:

( )
( )

3;4
8,6
AB
AC
= −
=
uuur
uuur
Ta có:
. ( 3).8 4.6 0AB AC = − + =
uuur uuur
Vậy AB
⊥
AC tại A.
Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A.
b.Vì
ABCV
vuông tại A nên tâm I của đtròn ngoại tiếp
ABCV
là trung điểm cạnh huyền BC.
Gọi I(x
I
,y
I
)
Ta có:
7
; 7
2 2 2
B C B C

I I
x x y y
x y
+ +
= = = =
Vậy I(7/2;7)
Bán kính
125 5 5
2 2 2
BC
R = = =
c.
5; 10, 5 5AB AC BC= = =
1
. 25 2( )
2
15 5 5( )
ABC
ABC
S AB AC dvdt
P AB AC BC dvdd
= =
= + + = +
V
V
d.Vì M thuộc Oy nên M(0;y
M
).
Để B,M,A thẳng hàng thì

( ) ( )
2;6 1;2
M M
MB k MA y k y= ⇔ − − = −
uuur uuur
( )
2
2
10
6 1;2
3
M M
M
k
k
y k y
y
= −

− =

 
⇒ ⇔
 
− = −
=





Vậy M(0;10/3)
e.
( )
,0
N
N Ox N x∈ ⇒ =
Để tam giác ANC cân tại N thì NA=NC
Trang 11
( ) ( )
2 2
2 2
9 64 1 4
140 35
16 4
35
;0
4
N N
N
NA NC x x
x
N
⇔ = ⇔ − + = − +
⇔ = =
 
⇒
 
 
f.Vì ta có góc A=90
0

nên để ABDC là hcn thì
AB CD=
uuur uuur
Gọi D(x
D
,y
D
)
Vậy:(-3;4)=(xD-9;y
D
-8)

( )
9 3 6
8 4 12
6;12
D D
D D
x x
y y
D
− = − =
 
⇒ ⇔
 
− = =
 
⇒ =
g.Gọi T(x;y) thoả đẳng thức:

2 3 0
1 4 2 27 3 0
2 12 2 24 3 0
TA TB TC
x x x
y y y
+ − =
− − − − + =

⇔

− + − − + =

uur uur uuur r
Không tìm được T thoả đẳng thức của đề bài.
BÀI 2:
CHỨNG MING RẰNG :

( ) ( )
2 2 2
2
2 2
1
. sin cos
cos
. 1 cos cot 1 cos cos
a x tg x x
x
b x g x x x
− − =

+ − =
Giải:

2 2
2
1
. sin
cos
a x tg x
x
− − =
1 +tg
2
x-sin
2
x-tg
2
x
=1-sin
2
x=cos
2
x
( ) ( )
2
. 1 cos cot 1 cosb x g x x+ − =
(1-cos
2
x)
2

2
cos
sin
x
x
=cos
2
x
Bài 3:
ĐƠN GIẢN:
a.A=sin(90
0
-x)+cos(180
0
-x)+sin
2
(1+tg
2
x)-tg
2
x
b.B=cos(90
0
-x)sin(180
0
-x)
c.C=
2
2
1 cos

.cot
1 sin
x
tgx gx
x
−
+
−
Giải:
a. A=0
b. B=sin
2
x
c. C=
2
1
cos x
Bài 4:
Trong tam giác ABC
Cho a=
6
,b=2,c=
3 1+
Trang 12
Tính A,B,ha,R,r,mb của tam giác ABC.
Giải:
Theo đlý hàm số cosin ta có:
CosA=
2 2 2
1

2 2
a b c
bc
− + +
=
Vậy A=60
0
Tương tự, Cos B=
2
2
Vậy B=45
0
Ap dụng đlý sin ta có:R=
6
2
2sin
3
2.
2
a
A
= =
Ta có:S=
( )
1 1 3 3 3
. sin .2. 3 1
2 2 2 2 2
b c A = + = +
Mà S=
( )

3 3
1 2
.
2
6
a a
S
a h h
a
+
⇒ = =

Nửa chu vi tam giác ABC là
6 3 3
2
p
+ +
=
Ta lại có: S=p.r nên r=
3 3
3 3 6
S
p
+
=
+ +
Trung tuyến mb:

2 2 2
2

3
4
2 4 2
3
4
2
b
b
a c b
m
m
+
= − = −
⇒ = −

Bài: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN.
NỘI DUNG
I/PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM VỚI MỘT ĐƯỜNG TRÒN:
1.ĐỊNH LÝ:Cho đường tròn (O;R) và một điểm M cố định.Một đường thẳng thay đổi đi qua M và cắt
đường tròn tại hai điểm A và B thì tích vô hướng
.MA MB
uuur uuur
là một số không đổi.
CM:
Kẻ đường kính BB’ thì B’A
⊥
MB nên
MA
uuur
là hình chiếu của

'MB
uuuur
trên đường thẳng MB.
Trang 13
O
B
B'
M
A
Đặt MO=d.
( ) ( ) ( ) ( )
. '.
'
2 2
2 2
MA MB MB MB
MO OB MO OB MO OB MO OB
MO OB d R
⇒ =
= + + = − +
= − = −
uuur uuur uuuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
2.ĐỊNH NGHĨA:
Giá trị
.MA MB
uuur uuur
không đổi trong định lý trên được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn
O.

KH:
/( )M O
P
.
Vậy:
/( )
.
2 2
M o
P MA MB d R= = −
uuur uuur
*CHÚ Ý:
+
/( )M O
P
>0
⇔
M nằm ngoài (O).
+
/( )M O
P
<0
⇔
M nằm trong (O).
+
/( )M O
P
=0
⇔
M nằm trên đường tròn (O).

+Ta có:
/( )
.
M O
P MA MB=
+Nếu MT là tiếp tuyến của (O) tại T thì:

/( )
2
2
M O
P MT MT= =
uuur
3.HỆ QUẢ:
Nếu vẽ qua điểm M hai đường thẳng cắt đường tròn (O;R) lần lượt tại A,B và C,D
thì:MA.MB=MC.MD.
4.VÍ DỤ:
1) Cho tam giác đều ABC có cạnh a và có trực tâm H. Tìm phương tích của điểm A và điểm H đối với
đường tròn đường kính BC.
B
C
O
A
B'
C'
H
Đường tròn đk BC có tâm là trung điểm O của BC và đi qua trung điểm B’,C’ của AB,AC,bán kính là
R=
a 2
.

Trang 14

/( )
/( )
2
2
2
2 2
A O
2
2
2
2 2
H O
a 3 a a
P AO R
2 2 2
a 3 a a
P HO R
6 2 6
 
 
= − = − =
 
 
 
 
 
 
 

= − = − = −
 
 
 
 
 
II.TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN:
1.ĐỊNH LÝ:Cho hai đường tròn không đồng tâm(O
1
;R
1
) và (O
2
;R
2
). Quỹ tích những điểm có cùng
phương tích đối với hai đường tròn ấy là một đường thẳng.
CHỨNG MINH:SGK.
2.ĐỊNH NGHĨA:
Đường thẳng quỹ tích nói trên được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O
1
;R
1
) và (O
2
;R
2
).
*CHÚ Ý:
Trục đẳng phương của hai đường tròn luôn vuông góc với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn đó.

III/CÁCH DỰNG TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG:
1)Hai đường tròn (O),(O’) cắt nhau tai 2 điểm A,B:
B
O
O'
A
2)Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A:
O
O'
A O
O '
A
3)Hai đường tròn (O) và (O’) không cắt nhau:
Cách dựng:
-Dựng đường tròn thứ 3 (O”) cắt cả hai đường tròn (O),(O’) sao cho ba tâm đường tròn không thẳng
hàng.
-Dựng trục đẳng phương
∆
của (O),(O’).
-Dựng trục đẳng phương
∆
’ của (O’),(O”).
-I là giao điểm của
∆
và
∆
’.
-Dựng đường thẳng qua I vuông góc với OO’, đó chính là trục đẳng phương của (O),(O’).
Trang 15
O

O'
O"
I
IV.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1)Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau tại I. Hai điểm A, A’ nằm trên a, hai điểm B, B’ nằm trên b sao cho:
. ' . 'IA IA IB IB=
uur uur uur uuur
.Chứng minh rằng 4 điểm A,B,A’,B’ nằm trên một đường tròn.
Giải:
A
B
a
b
C
I
B'
A'
B1
Gọi (C) là đường tròn đi qua A,B,A’ và nó cắt b tại điểm thứ hai B
1
.
Ta có:
. ' .
1
IA IA IB IB=
uur uur uur uuur
.
So sánh với giả thiết
. ' . 'IA IA IB IB=
uur uur uur uuur

ta có
'
1
IB IB=
uuur uuur
.
Vậy B
1
trùng với B’.Vậy A,B,A’,B’ cùng nằm trên 1 đường tròn.
2)Cho góc xOy,điểm A nằm trên tia Ox, hai điểm B,C nằm trên tia Oy sao cho OA
2
=OB.OC.
CMR: đường tròn đi qua A,B,Ctiếp xúc với Ox tại A.
Trang 16