KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ pptx

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

KHẢO SÁT ĐỒ THỊ

Hàm số đa thức

6.0 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
 
3 2
1 2
)
3 3
a f x x x x
   



6.1
6.1.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số
 
3 2
1
2
3
f x x x
  
.Viết phương trình tiếp

tuyến của


C
tại điểm uốn của nó . Từ đó chứng minh rằng trong các tiếp tuyến thì tiếp tuyến tại điểm
uốn của


C
có hệ số góc nhỏ nhất .
6.1.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số


3 2
6 9
f x x x x
  
.Chứng minh rằng điểm
uốn của đường cong


C
là tâm đối xứng của nó.Với giá trị nào của
m
, đường thẳng
y m


cắt


C
tại
ba điểm phân biệt?.
6.1.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số
 
3 2
3
6 3
2
f x x x x
    
.Chứng minh rằng
phương trình
3 2
3
6 3 0
2
x x x
    
có ba nghiệm phân biệt , trong đó có một nghiệm dương nhỏ hơn
1
2

.
Hướng dẫn :
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
1 2
x x x
    
và


 
0 3 0
1 1
0 . 0 0;
1 1
2 2
0
2 4
f
f f x
f

  
   

   
 

   
 

 
   

 

. Xem lại giải tích lớp 11.

6.2.1 Tìm hệ số
, ,
a b c
sao cho đồ thị của hàm số


3 2
f x x ax bx c
   
cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng
2
và tiếp xúc với đường thẳng
1
y

tại điểm có hoành độ là
1

. Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị của hàm số với giá trị
, ,
a b c

vừa tìm được .
Hướng dẫn :
 
 
2
3
1 1 1 3
2
' 1 3 2 0
c
a
f a b c b
c
f a b







        
 
 

    




6.2.2 Tìm các hệ số
,
m n
sao cho hàm số


3
f x x mx n
   
đạt cực tiểu tại điểm
1
x
 
và đồ thị
của nó đi qua điểm


1;4
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với giá trị
,
m n
vừa tìm được .
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

6.2.3 Tìm các hệ số
, ,
m n p
sao cho hàm số
 
3 2

1
3
f x x mx nx p
    
đạt cực đại tại điểm
3
x

và
đồ thị


C
tiếp xúc với đường thẳng
 
1
: 3
3
d y x
 
tại giao điểm của


C
với trục tung .
Hướng dẫn :
 
 
 
 

1
0;
1
3
3
1
3
0
3
1
' 0 3
' 3 6 6 0
d Oy A
p
n
f p
m
f n
f m

 
 
 
  

 
 

 
 

 

 



 
  
 
 

 
 


  


6.3
6.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số


4 2
2 3
f x x x
  

.Viết phương trình tiếp
tuyến của


C
tại điểm uốn của nó.
6.3.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số


4 2
2 2
f x x x
   
. Từ đồ thị


C
hãy cho
cách vẽ đồ thị của hàm số


4 2
2 2
f x x x
   
. Chứng minh rằng với mọi

2
m

, phương trình
4 2
2 2 0
x x m
    
có hai nghiệm .
6.3.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số


4 2
3
f x x x
  
.Chứng minh rằng đường
thẳng


: 6 7
d y x
  
tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng
1


.

Hàm phân thức hữu tỉ

7.1
7.1.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số
 
2 1
1
x
f x
x



. Chứng minh rằng đồ thị


C
nhận giao điểm
I
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
7.1.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C

của hàm số
 
3
2 1
x
f x
x
 


. Chứng minh rằng với mọi giá
trị
m
, đường thẳng
4
y mx m
  
luôn đi qua một điểm cố định của đường cong


C
.
7.1.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số
 
4
1

1
f x x
x
  

. Chứng minh rằng đồ thị


C
nhận giao điểm
I
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
7.2
7.2.1 Chứng minh rằng với mọi
0
m

, hàm số
 


2
2 1 1
2
mx m x
f x
x
  



có cực đại , cực tiểu .
7.2.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số khi
1
m

.
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Hướng dẫn :
1 1
0 2 ; 2 2 1 , 2 ; 2 2 1
m A m m B m m
m m
   
           
   
   

7.3
7.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số
 
2

1
x
f x
x

 .
7.3.2 Gọi






0 0
;
M x f x C
 , viết phương trình tiếp tuyến


t
của đường cong


C
tại
M
,tiếp tuyến


t

cắt hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm
,
A B
. Chứng minh rằng
M
là trung điểm
đoạn thẳng
AB
và diện tích tam giác
OAB
không phụ thuộc vào vị trí
M
.