phương trình đường thẳng trong không gian

XIN TRÂN TRỌNG KÍNH
CHÀO QUÝ THẦY CÔ VỀ
DỰ GIỜ THĂM LỚP 12/4
KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu hỏi: 1/Nhắc lại phương trình tham số và phương trình chính
tắc của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy ?
2/ Tìm một vec tơ chỉ phương và một điểm M thuộc
đường thẳng có phương trình tham số
1/ Phương trình tham số:
0
0
x x at
y y bt
= +


= +

0 0
( ; ) ( )M x y ∈ ∆
( ; )u a b=
r
Phương trình chính tắc:
Đáp án:
trong đó
là VTCP
00
x - x y y
a b
−
=

0 0
( ; ) ( )M x y ∈ ∆
( ; )u a b=
r
trong đó
-là VTCP
2
3 2
x t
y t
= −


= − +

u
r
∆
2/ Điểm M(2,-3) và vec tơ chỉ phương (-1,2)
u
r
∈∆
Tiết 35: Phương trình đường thẳng
trong không gian
Cầu sông Hàn tp Đà Nẵng
Cầu Tràng Tiền – Huế
Cầu Hàm Rồng -Vinh
Tháp Cầu (Bridge Tower – Lon Don)
Cầu Cổng vàng (Mỹ)
Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ phương của đường

thẳng nếu nó có giá song song hoặc nằm trên đường
thẳng ấy.
u
r
0
r
'u
ur
O
x
y
∆
u
r
z
Câu hỏi: Hãy nhắc lại định nghĩa vectơ chỉ phương của
đường thẳng ?
y
x
o
u
r
u
r
∆
Nêu các yếu tố xác định phương
trình tham số và phương trình
chính tắc của đường thẳng trong
mặt phẳng?
Ta cần vec tơ chỉ

phương và một
điểm thuộc đường
thẳng
u
r
O
x
y
M
Trong không gian cho vectơ
, có bao nhiêu đường
thẳng đi qua M và song song
với giá của vec tơ ?
0u ≠
r
r
u
r
O
x
y
∆
u
r
z
M
Theo em ta cần
những yếu tố nào để
xác định được một
dường thẳng trong

không gian ?
Ta chỉ cần một
vec tơ chỉ phương
và một điểm thuộc
đường thẳng đó
O
x
y
∆
u
r
z
M
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
và nhận làm vec tơ chỉ phương. Hãy tìm điền kiện để
điểm M(x,y,z) năm trên d
Bài toán :
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
GIẢI
( )

0 0 0
, ,
o
M M x x y y z z= − − −
uuuuuur
Điểm cùng phương với
a
r
0
M M ta⇔ =
uuuuuur r
Đây là ptts của d
0
M d M M∈ ⇔
uuuuuur
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
− =


⇔ − =


− =

hay

0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

x
y
z
0
M
0
M
a
r
d
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua


nhận làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và

đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên là có một số thực t sao
cho
∆
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

0 0 0
( ; ; )M x y z
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Định lý
∆
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương có dạng:
0 0 0

( ; ; )M x y z
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

∆
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
2. Định nghĩa


Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
a. (3; -3; 4)
b. (2; 4; 1) c. (5; 1; 5) d. (1; 2; 1)
3 2
3 4

4
x t
y t
z t
= +


= − +


= +

Ví dụ 1: Trong các điểm sau đây điểm nào nằm trên đường thẳng d
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Vectơ chỉ phương của đường thẳng có toạ độ là:
1
2
3
x t
y t
z t
= +


=


= −


a. (1;2;3)
b. (-2;-4;2) c. (1;2;1) d. (1;2;-1)
Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d) có phương trình
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Giải
Phương trình tham số của đường thẳng là:
1 2
2 3
3 4
x t
y t
z t
= +


= − +


= −

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
∆
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
điểm M(1,-2,3) và có vec tơ chỉ phương
( )
2,3, 4a −
r

Ví dụ 4
Viết phương trình tham số của đường thẳng qua
M( -1,3,2) và song song với đường thẳng d có phương
trình:
3 2
1 3
2
x t
y t
z t
= +


= − +


= −

Giải
d
∆
u
r
M
∆
Ta có
Đường thẳng d có vtcp
( )
2,3 1
d

u = −
uur
( )
2,3, 1
d
u u u
∆ ∆
= ⇒ = −
uur uur uur
Phương trình tham số của đường thẳng là
∆
1 2
3 3
2
x t
y t
z t
= − +


= +


= −

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua
A(1; -2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x + 4y + 6z + 9 = 0
d
P)
P
n
uur
Giải
Ta có:
d P
u n=
uur uur
( 2 ; 4 ; 6)
d
u⇒ =
uur
Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
1 2
2 4
3 6
x t
y t
z t
= +


= − +


= +


Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Từ phương trình tham
số của đường thẳng
với a
1
, a
2
, a
3
đều khác 0
hãy biểu diễn t theo x,
y, z ?
∆
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

Từ phương trình tham số khử t , ta được
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +



= +

0
1
x x
t
a
−
=
;
0
2
y y
t
a
−
=
0
3
z z
t
a
−
=
Đây chính là phương trình chính tắc của đường thẳng
Đây chính là phương trình chính tắc của đường thẳng
;
( )
1 2 3

, , 0a a a ≠
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
⇒ = =
∆
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Chú ý:
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ
phương (với đều khác 0) có phương trình
chính tắc dạng:
∆
0 0 0
( ; ; )M x y z
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
1 2 3
; ;a a a
0 0
2 3
0
1
x - x y y z z
a a a
− −
= =

Ví dụ 6
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng có phương
trình tham số
∆
4 2
1 3
2 5
x t
y t
z t
= +


= − +


= −

Giải
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
∆
4 1 2
2 3 5
x y z− + −
= =
−
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 7: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua hai
điểm A(1; -2; 3) và B(3; 0; 0)
Giải
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
a AB=
uuur
r
(2;2; 3)a⇒ = −
r
2 3
2 3
x - 1 y z
2
+ −
= =
−
A
B
a
r