Ứng dụng của tích phân trong hinh học

III. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Tiết 4
HĐ1: Nhắc lại công thức tính
thể tích một vật thể được giới
han biởi hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với Ox lần lượt
tại x = a, x = b (a<b), có thiết
diện tạo bởi mặt phẳng bất kì
vuông góc với OXx là S(x)?
Công thức tính thể tích của vật thể đó là:
( )
b
a
V S x dx=
∫

Bài toán: Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và
hai đường thẳng x=a,x=b (a<b) quanh xung quanh truc Ox. Tạo thành một
khối tròn xoay. Hãy tính thể tích của khối tròn xoay đó?
CH1: Hãy cho biết
thiết diện màu
xanh là hình gì?
CH2:Tính diện tích
thiết diện đó?
CH3: Áp dụng
công thức tính thể
tích vật thể giới
hạn bởi hai mặt
ph183ng hãy tính

thể tích của vật
thể tròn xoay đã
cho?
Dựa vào hình vẽ các em hãy trả lời các câu hỏi sau.

Trả lời câu hỏi
CH1: Thiết diện là một hình tròn.
CH2: Hình tròn này có đường kính là R = f(x) nên diện
tích thiết diện (diện tich hình tròn) là
CH3: Thể tích vật thể tròn xoay là:
2 2
( ) ( )
π π
= =S x R f x
2
( ) ( )
π
= =
∫ ∫
b b
a a
V S x dx f x dx
(1)

Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi
đường cong y = sin x, truc hoành và
hai đường thẳng x = 0,x= . Hãy
tính thể tích khối tròn xoay thu được
khi quay hình phẳng trên xung
quanh trục Ox?

Áp dụng công thức (1) với
f(x) = sinx ta có
Giải
π
2
0 0
2
0
sin (1 cos 2 )
2
1
sin 2 =
2 2 2
π π
π
π
π
π π
= = −
 
= −
 ÷
 
∫ ∫
V xdx x dx
x x

Ví dụ: Tính thể tich hình cầu bán kính R.
Áp dụng công thức (1) với
f(x) = ta có

2 2
−R x
(
)
( )
2
2 2 2 2 3
4
.
3
π π π π
− −
= − = − =
∫ ∫
R R
R R
V R x dx R x dx R
Giải
R-R

HĐ2: Hãy nêu công thức tính thể tích hình tròn xoay tạo nên khi
cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và
hai đường thẳng x = a,x = b, xoay quanh trục Ox.
2
( ) ( )
π
= =
∫ ∫
b b
a a

V S x dx f x dx
Thể tích của khối tròn xoay là:
HĐ3: Áp dụng công thức trên tính thể tích hình tròn xoay tạo nên
khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
1 , 0.= − =y x y
Ta cần biết hai cận của tích phân trong
công thức phía trên, đó là những đường
x=a, x=b giới hạn hình phẳng. Trong
trường hợp này chúng chính là hoành
độ các giao điểm của và
giải phương trình hoành độ giao điểm
ta được x=-1, x=1.
2
1y x= −
0y =
1
2
1
4
(1 )
3
V x dx
π π
−
= − =
∫
Áp dụng công thức trên tính thể
tích phía trên ta có

Các em về nhà học thuộc bài và làm các bài tập
4, 5 trang 121 Sách Giáo Khoa.