Ứng dụng của tích phân trong hình học

Ngày soạn: 18/01/09 Ngày dạy: 19/01/2009
Lớp: 12A4; 12A2
Tiết 51
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. Mục tiêu bài dạy
1. Về kiến thức: Giúp HS nắm được:
Cách tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục
hoành; hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
2. Về kỹ năng:
Bước đầu biết áp dụng công thức tính được diện tích của hình phẳng.
3. Về thái độ:
Cẩn thận, chính xác, khoa học, chủ động lĩnh hội kiến thức. Tích cực xây
dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của giáo viên,
năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới.
II. Chuẩn bị
1. Giáo viên: Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học...
2. Học sinh: Kiến thức về tính nguyên hàm, ôn lại định nghĩa tích phân, đồ
dùng học tập...
III. Tiến trình dạy học
1. Kiểm tra bài cũ: (kết hợp trong quá trình dạy bài mới)
2. BÀI MỚI
Đặt vấn đề:
Hoạt động 1:Hướng dẫn HS giải bài 2 (20 phút)
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
GV yêu cầu HS
thực hiện HĐ1.
? Nhắc lại công
thức tính diện tích
hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị
y=f(x), trục hoành

và 2 đường thẳng
x=a ; x=b.
Nghe hiểu nhiệm
vụ, thực hiện theo
yêu cầu của giáo
viên.
5
1
5
2
1
(2 1)
28
S x dx
x x
= + =
 
+ =
 
∫
I. Tính diện tích hình phẳng
1. Hình phẳng giới hạn bởi một
đường cong và trục hoành.
Cho (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b].
f(x)≥0 trên đoạn [a;b]. Hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục
hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b
có diện tích S được tính theo công
thức :
( )

b
a
S f x dx=
∫
( )
b
a
S f x dx=
∫
? Trường hợp f(x)
≤ 0 trên đoạn [a;b]
tính diện tích của
hình thang cong
aABb.
GV đưa ra công
thức tính diện tích
hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C),
trục hoành và 2
đường thẳng x=a ;
x=b.
Hướng dẫn HS giải
ví dụ 1.
? Hãy quan sát
hình 53 và tìm các
khoảng mà x
3
≤ 0
Ghi nhận kiến thức.
S = S

aABb
=S
aA’B’b
=
Nghe hiểu nhiệm
vụ, thực hiện theo
yêu cầu của giáo
viên.
Ghi nhận kiến thức.

Trường hợp f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b]
thì :
S = S
aABb
= S
aA’B’b
=
Tổng quát: Cho (C) : y = f(x) liên tục
trên đoạn [a;b]. Hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và 2
đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S
được tính theo công thức :
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
y =x
3
, trục hoành và 2 đường thẳng
x=-1 ; x=2
Vì x
3

≤ 0 trên đoạn [-1;0]
và x
3
≥ 0 trên đoạn [0;2] nên:
[ ( )]
b
a
f x dx−
∫
( )
b
a
S f x dx=
∫
2 0 2
3 3 3
1 1 0
0 2
4 4
1 0
S x dx ( x )dx x dx
x x 17
S
4 4 4
− −
−
= = − +
= − + =
∫ ∫ ∫
[ ( )]

b
a
f x dx−
∫
và x
3
≥ 0.
Từ đó tính diện
tích S.

Hoạt động 2: Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong (23 phút)
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
GV đưa ra công
thức tính diện tích
hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hai hàm
số y=f(x) và y=g(x)
và hai đường thẳng
x=a, x=b.
Gv đưa ra chú ý
trong sgk.
Nghe hiểu nhiệm
vụ, thực hiện theo
yêu cầu của giáo
viên.
Ghi nhận kiến thức.
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong
Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên
tục trên [a;b]

Trong trường hợp f(x) ≥ g(x)
∀x∈[a;b] Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi các đường: y=f(x), y=g(x),
x=a, x=b là:
Trong trường hợp tổng quát ta có
công thức
Chú ý: Nếu "xÎ[α;β],f(x)–g(x)≠0
thì :
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng
1 2
[ ( ) ( )] .
b
a
S S S f x g x dx= − = −
∫
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
( ) ( )
[ ( ) ( )]
S f x g x dx
f x g x dx
β
α
β
α
= −
= −

∫
∫
GV hướng dẫn HS
giải ví dụ 1 sgk.
? Hãy giải phương
trình hoành độ giao
điểm.
? Tính diện tích
hình phẳng giới hạn
bởi hai đường thẳng
x = 0, x = π và đồ
thị của 2 hàm số y
= sinx , y = cosx .
? Giải phương trình
hoành độ giao
điểm.
? Tính diện tích
hình phẳng giới hạn
bởi hai đường cong
y = x
3
– x và
y = x – x
2
.
Và đường thẳng x =
-2 ; x = 0 ; x = 1
giới hạn bởi hai đường thẳng :
x = 0, x = π và đồ thị của 2 hàm số
y = sinx , y = cosx .

Giải : Pthđgđ : sinx = cosx
⇔ x = π/4 ∈ [0; π]
Vậy diện tích hình phẳng là :
Vd 3 : Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường cong : y = x
3
– x và y = x – x
2
.
Giải : Pthđgđ : x
3
– x = x – x
2
⇔ x
3
+ x
2
– 2x = 0
⇔ x = -2 ; x = 0 ; x = 1
Vậy diện tích hình phẳng là :
Hoạt động 3: củng cố (2 phút).
Qua bài học yêu cầu HS nắm được: Cách tính diện tích của hình phẳng
giới hạn bởi một đường cong và trục hoành; hình phẳng giới hạn bởi hai đường
cong.
BTVN: Bài 2 (SKG – Tr121).
0
4
0
4
4

0
4
4
0
4
sin cos
sin cos sin cos
(sin cos ) (sin cos )
(cos sin ) (cos sin ) 2 2
S x x dx
S x x dx x x dx
S x x dx x x dx
S x x x x
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
= −
= − + −
= − + −
= + + + =
∫
∫ ∫
∫ ∫

1
3 2
2
0 1
3 2 3 2
2 0
0 1
4 3 4 3
2 2
2 0
2
( 2 ) ( 2 )
4 3 4 3
8 5 37
3 12 12
S x x x dx
S x x x dx x x x dx
x x x x
S x x
S
−
−
−
= + −
= + − + + −
   
= + + + + +
 ÷  ÷
   
= + =

∫
∫ ∫