tiet 57 he thuc vi ét - ap dung

Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0).
Hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương
trình trong trường hợp

Ti T 57:Ế
Khi phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm thì
nghiệm của phương trình luôn viết được dưới dạng:

Hãy tính a) x
1
+ x
2
b) x
1
.x
2
1
;
2
b
x
a
− + ∆
=
2

2
b
x
a
− − ∆
=
=+
xx
21
a2
b
∆
−−
+
a2
bb
∆∆
−−+−
=
a2
b2−
=
a
b−
=
=
xx
2.1
a2
b

∆
+−
a2
b
.
∆
−−
2
22
a4
)()b(
∆
−−
=
2
2
a4
b
∆
−
=
2
22
a4
ac4bb +−
=
a
c
=
a2

b
∆
+−
Gi¶i

Ti T 57:Ế
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:

Phrăng–xoa Vi-ét (sinh 1540 - mất 1603) tại Pháp.
-
Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn, các hệ số của

phương trình và dùng chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ
cách đó mà nó thúc đẩy Đại số phát triển mạnh.
- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số
của phương trình.
- Ông là người nổi tiếng trong giải mật mã.
- Ông còn là một luật sư, một chính trị gia nổi tiếng.
Ti T 57:Ế

Ti T 57:Ế
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
Cho PT: 2x
2
- 5x + 3 = 0
a, Xác định các hệ số a, b, c rồi
tính a + b + c.
b, Chứng tỏ x
1
= 1 là một
nghiệm của phương trình.
c, Dùng định lí Vi-ét để tìm x
2
.
? 2 – SGK:
Ta cã a =
a + b + c =

2 -5 3
2 + (-5) + 3
= 0
Thay x
1
= 1 vµo VT cña PT ta cã:
VT = 2.1
2

- 5.1 + 3 = 0
VËy x
1
= 1 lµ mét nghiÖm cña PT.
Theo ®Þnh lý Vi-Ðt thì:
1 2
.
c
x x
a
=
Mµ x
1

= 1
a,
b,
c,
2
3
a
c
x
2
==⇒
a
c
x
2
=

= VP
; b = ; c =

Ti T 57:Ế
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1

= 1, còn nghiệm kia là
Cho PT: 3x
2
+ 7x + 4 = 0
a, Chỉ rõ các hệ số a, b, c rồi
tính a - b + c.
b, Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm
của phương trình.
c, Tìm x
2
.
? 3 – SGK:
Ta cã a = ; b = ; c =
a - b + c =

3 7 4
3 - 7 + 4
= 0
Thay x
1
= -1 vµo VT cña PT ta cã:
VT = 3.(-1)
2
+ 7.(-1) + 4 = 0 = VP
VËy x
1
= -1 lµ mét nghiÖm cña PT.
Theo ®Þnh lý Vi-Ðt thì:

1 2
.
c
x x
a
=
Mµ x
1
= -1
a,
b,
c,
3
4
a
c
x
2
−
=−=⇒
a
c
x
2
=

Ti T 57:Ế
Nếu x
1
, x

2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax

2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
? 4 – SGK: Tính nhẩm nghiệm của các phương
trình:
a) -5x
2
+ 3x + 2 = 0
b) 2004x
2
+ 2005x +1 = 0
Có a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0
Vậy x
1
= 1;
5
2
−
Có a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0
Vậy x
1
=
-1;

2004
1
−
x
2
=
x
2
=

Ti T 57:Ế
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.

21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=

Ti T 57:Ế
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0
thì PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Bài toán: Tìm hai số biết
tổng của chúng bằng S và
tích của chúng bằng P.
Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai
là (S - x).
Tích hai số bằng P nên: x(S – x) =
P
 x
2
– Sx + P = 0 (1)
Nếu  = S
2
– 4P ≥ 0 thì PT (1) có
nghiệm. Các nghiệm này chính là
các số cần tìm.

Ti T 57:Ế
Nếu x
1
, x

2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax

2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0
thì PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai
nghiệm của PT: x
2
– Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0
Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng
180.
Giải: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x
2
– 27x + 180 = 0
x
1
= 15 ; x
2
= 12.
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
 = (-27)

2
- 4.1.180 = 9

Ti T 57:Ế
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì
PT có một nghiệm x
1

= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0
thì PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai
nghiệm của PT: x
2
– Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0
? 5 – SGK: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng
bằng 5.
Hai số cần tìm là nghiệm của PT: x
2
– x + 5 = 0.

 = (-1)
2
– 4.1.5 = - 19 < 0
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1, tích bằng 5.

Ti T 57:Ế
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì:
1. HỆ THỨC VI-ÉT:
a
b
xx
−=+
21
a
c
xx
=
.
21
* Định lí VI-ÉT:
*T.Quát 1: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
=
*T.Quát 2: Nếu PT ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0
thì PT có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
a
c
x
2
−=
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai
nghiệm của PT: x
2
– Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của PT x
2
– 5x + 6 = 0.

Giải: Vì 2 + 3 = 5; 2.3 = 6
nên x
1
= 2, x
2
=3 là hai nghiệm của PT đã
cho.

HíngdÉnvÒnhµ
- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và
tích của chúng.
- Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường hợp
đặc biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.
- Bài tập về nhà: 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK.