Tiết 59: Phương trình quy về phương trình bậc hai.

TRƯỜNG THCS LÊ ĐÌNH CHINH
THỨ 5 NGÀY 08 THÁNG 04 NĂM
2010

§a c¸c ph¬ng tr×nh sau vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai:
3 3 2
/ 2 3 5 2 1a x x x x
− + = + +
3 3 2
2 2 3 5 1 0x x x x⇔ − − + − − =
2
3 4 0x x⇔ − − + =
2
/ 3 2 ( 1)( 2) 2b x x x
− = − + +
2 2
3 2 2 2 2x x x x⇔ − = + − − +
2 2
3 2 0x x x⇔ − − − =
2
2 2 0x x⇔ − − =
(ChuyÓn vÕ)
(ChuyÓn vÕ)
(Bá dÊu ngoÆc)

TiÕt 59

Đ

Tiết 58 - 7

Phơng trình quy về phơng trình bậc hai
Nhận xét: Phơng trình trên không phải là phơng
trình bậc hai, song ta có thể đa nó về phơng
trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ.
Nếu đặt x
2
= t thì ta có phơng trình bậc hai
at
2
+ bt + c = 0
1.Phơng trình trùng phơng:
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a 0)
a.KháI niệm phơng trình trùng phơng:

Gi¶i: §Ỉt x
2
= t. §iỊu kiƯn lµ t ≥ 0 th× ta cã ph¬ng
tr×nh bËc hai theo Èn t lµ: t
2
- 13t + 36 = 0. (2)
VÝ dơ : Gi¶i ph¬ng tr×nh x
4
- 13x
2
+ 36 = 0 (1)

§

TiÕt 58 - 7
Ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai
= 5
Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) : ∆ = 169 -144 = 25 ;
∆
13 - 5
2
= 4
t
2
=

t
1
=
vµ
13 + 5
2
= 9
C¶ hai gi¸ trÞ 4 vµ 9 ®Ịu tho¶ m·n t ≥ 0.
Víi t
1
= 4 ta cã x
2
= 4 . Suy ra x
1
= -2, x
2

= 2.
Víi t
2
= 9 ta cã x
2
= 9 . Suy ra x
3
= -3, x
4
= 3.
VËy ph¬ng tr×nh ( 1) cã bèn nghiƯm: x
1
= -2;
x
2
= 2; x
3
= -3; x
4
= 3.
b/ VÝ dơ vỊ gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng
Đặt x
2
= t (t ≥ 0)
•
Đưa phương trình trùng
phương về phương trình
bậc 2 theo t:at
2
+ bt + c = 0

Giải phương trình
bậc 2 theo t
4.Lấy giá trò t ≥ 0 thay
vào x
2
= t để tìm x.

•
4. Kết luận số nghiệm của
phương trình đã cho

c/Các bước giải phương trình trùng phương:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0
c/Các bước giải phương trình trùng phương:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0
•
Bước 4. Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho
Bước 1:Đặt x
2
= t (t ≥ 0)
•
Đưa phương trình trùng phương về phương trình

•
bậc 2 theo ẩn t: at
2
+ bt + c = 0
Bước 2. Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t
t
Bước 3.Lấy giá trò t ≥ 0 thay vào x
2
= t để tìm x.
x = ±
Nếu phương trình bậc 2 theo ẩn t có nghiệm
Nếu phương trình bậc 2 theo ẩn t vô nghiệm kết luận phương
trình đã cho vô nghiệm

a) 4x
4
+ x
2
- 5 = 0 (1)
= ≥
+ − =
−
= =
= ⇔ = ⇔ = ±
2
2
1 2
2
1
Đặt x ; 0, ta co ùphương trình

bậc hai theo t là :
4t 5 0 (a=4;b=1;c=-5)
Ta thấy a+b+c=4+1+(-5)=0
Phương trình có hai nghiệm
5
1; t (loại)
4
t 1 1 1
Vậy phương trình (1) có hai ng
t t
t
t
x x
= = −
1 2
hiệm
x 1; 1x
+ + =
4 2
/ 7 12 0 (2)b x x
ÁP DỤNG: Giải các phương trình sau:♣
= ≥
+ + =
∆ − = − = − =
− + ∆ − +
= = = −
− + ∆ − −
= = = −
2
2

2 2
1
1
Đặt x ; 0, ta co ùphương trình
bậc hai theo t là :
t 7 12 0 (a=1;b=7;c=12)
=b 4 7 4.12 49 48 1
Phương trình có hai nghiệm
7 1
3 (loại)
2 2
7 1
4 (loại)
2 2
Vậy phương tr
t t
t
ac
b
t
a
b
t
a
ình (2) vô nghiệm
♣
Vậy phương trình trùng phương có thể có 1 nghiệm,
2 nghiệm, 3 nghiệm, 4 nghiệm, vô nghiệm
+ =
≥ ⇒ =

2
Bài tập bổ sung: Giải phương trình:
2x-3 x 1 0
Hướng dẫn: Đặt x= t (t 0) x t

2. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức:
Đ

Tiết 58 - 7
Phơng trình quy về phơng trình bậc hai
Khi giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm nh sau:
Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của phơng trình;
Bớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;
Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc;
Bớc 4: Trong các giá trị tìm đợc của ẩn, loại các giá trị không
thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định
là nghiệm của phơng trình đã cho;
a/ Các bớc giải:

?2
Giải phơng trình:
x
2
- 3x + 6
x
2
- 9
=
1
x - 3

(3)
Bằng cách điền vào chỗ trống ( ) và trả lời các câu hỏi:
- Điều kiện : x
- Khử mẫu và biến đổi: x
2
- 3x + 6 = x
2
- 4x + 3 = 0.
- Nghiệm của phơng trình x
2
- 4x + 3 = 0 là x
1
= ; x
2
=
Hỏi: x
1
có thoả mãn điều kiện nói trên không? Tơng tự, đối với x
2
?
Vậy nghiệm phơng trình ( 3) là:
3
1
3
x+3
x1=1 thoả mãn điều kiện (TMĐK),
x2=3 không thõa mãn điều kiện (KTMĐK) loại
x=1
b/ Ví dụ
c/áp dụng: GiảI phơng trình sau

2
4 2
1 ( 1)( 2)
x x
x x x
+
=
+ + +

§KX§:
1, 2x x
≠ − ≠ −
2 2
2
1
2
4( 2) 2 5 6 0
5 4.6 25 24 1 1
Phương trình có hai nghiệm:
5 1
2 (Loại)
2
5 1
x 3 (TMĐK)
2
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=-3
x x x x x
x
+ =− − + ⇔ + + =
∆= − = − = ⇒ ∆ =

− +
= =−
− −
= =−
Quy ®ång khư mÉu ta ®ỵc ph¬ng tr×nh
2
4 2
1 ( 1)( 2)
x x
x x x
− − +
=
+ + +
2
4( 2) 2x x x
+ =− − +

2. Phơng trình tích:
Đ

Tiết 58 - 7
Phơng trình quy về phơng trình bậc hai
Ví dụ 2: Giải phơng trình: ( x + 1) ( x
2
+ 2x - 3) = 0 (4)
Giải: ( x + 1) ( x
2
+ 2x - 3) = 0 x + 1 = 0 hoặc x
2
+ 2x - 3 = 0

Giải hai phơng trình này ta đợc x
1
= -1; x
2
= 1; x
3
= -3.
a/Phơng trình tích: Phơng trình tích có dạng A(x).B(x)=0
Cách giảI phơng trình A(x).B(x)=0 A(x)=0 hoặc B(x)=0
b/ Đa một phơng trình về phơng trình tích
Muốn đa một phơng trình về phơng trình tích ta chuyển
các hạng tử về một vế và vế kia bằng 0 rồi vận dụng bài toán
phân tích đa thức thành nhân tử.

Đ

Tiết 58 - 7
Phơng trình quy về phơng trình bậc hai
?3
Giải phơng trình sau bằng cách đa về phơng
trình tích: x
3
+ 3x
2
+ 2x = 0
Giải: x.( x
2
+ 3x + 2) = 0 x = 0 hoặc x
2
+ 3x + 2 = 0

Vì x
2
+ 3x + 2 = 0 có a = 1; b = 3; c = 2 và 1 - 3 + 2 = 0
Nên phơng trình x
2
+ 3x + 2 = 0 có nghiệm là x
1
= -1
và x
2
= -2
Vậy phơng trình x
3
+ 3x
2
+ 2x = 0 có ba nghiệm là x
1
=
-1; x
2
= -2 và x
3
= 0 .

Hớng dẫn về nhà:
Học thuộc các dạng phơng trình quy về bậc hai: Phơng
trình trùng phơng, phơng trình có ẩn ở mẫu, phơng trình
tích. Làm các bài tập 34, 35 a,b, 36 ( SGK- Trg 56).
Chuẩn bị tiết sau luyện tập
Đ

Tiết 58 - 7
Phơng trình quy về phơng trình bậc hai