Giới hạn của hàm số

GIỚI HẠN
A: Giới hạn dãy số:
Kiến thức cần nhớ:
Đònh lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn)
Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bò chặn.
Đònh lý2: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Đònh lý Vaiơstrat).
Một dãy số tăng và bò chặn trên thì có giới hạn.
Một dãy số giảm và bò chặn dưới thì có giới hạn.
Đònh lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn)
Cho ba dãy số (u
n
), (v
n
), (w
n
).
Nếu
*
Nn ∈∀
ta có
nnn
wuv ≤≤
và lim v
n
= lim w
n
= A thì lim u
n
= A.

Đònh lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số).
Nếu hai dãy số
)(),(
nn
vu
có giới thì ta có:

),0(limlim
)0(lim
lim
lim
lim
lim.lim).lim(
limlim)lim(
*
Nnuuu
v
v
u
v
u
vuvu
vuvu
nnn
n
n
n
n
n
nnnn

nnnn
∈∀≥=
≠=
=
±=±

Đònh lý6: Nếu
thìq `1<


0lim =
n
q
Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với
1<q
là:
S=u
1
+u
2
+ +u
n
+ =
q
u
−1
1

)1( <q
.

Số e:
71828,2
1
1l im ≈=






+ e
n
n
Đònh lý7: Nếu
),0(0lim
*
Nnuu
nn
∈∀≠=
thì
.
1
lim ∞=
n
u
Ngược lại, nếu
∞=
n
ulim
thì

.0
1
lim =
n
u
B. Giới hạn của hàm số:

Kiến thức cần nhớ:
1/ Một số đònh lý về giới hạn của hàm số:
Đònh lý1: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh lý2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số).
Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi
ax →
thì:
1

[ ]
[ ]
)0)((,)(lim)(lim
)0lim(,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
)(lim).(lim)().(lim
)(lim)(lim)()(lim
≥=
≠=

=
±=±
→→
→
→
→
→
→→→
→→→
xfxfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
axax
ax
ax
ax
ax
axaxax
axaxax
Đònh lý3: (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một giới hạn)
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác đònh trên một khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a).
Nếu với mọi điểm x của khoảng đó
)()()( xhxfxg ≤≤
và nếu

,)(lim)(lim Lxhxg

axax
==
→→
thì
Lxf
ax
=
→
)(lim
Đònh lý4: Nếu khi
ax →
, hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trò x đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc
f(x) < 0) thì
0≥L
(hoặc
0≤L
).
Đònh lý5: Nếu
0lim =
→ax
(và
0)( ≠xf
với mọi x đủ gần a) thì
∞=
→
)(
1
lim
xf
ax

Ngược lại, nếu
∞=
→
)(lim xf
ax
thì
0
)(
1
lim =
→
xf
ax
2/ Giới hạn một bên :
Đònh nghóa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x dần tới a, nếu
với mọi dãy số (x
n
) với x
n
> a (hoặc x
n
< a) sao cho
limx
n
= a thì limf(x
n
) = L.
Ta viết:
L
ax

=
+
→
lim
(hoặc
Lxf
ax
=
−
→
)(lim
).
Đònh lý: Điều kiện ắc có và đủ để
Lxf
ax
=
→
)(lim
là
)(lim),(lim xfxf
axax
−+
→→
đều tồn tại và bằng L.

3/ Các dạng vô đònh:
Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây. Ta cần tìm:
1/
)(
)(

lim
)(
0
xv
xu
x
xx
∞→
→
mà
0)(lim)(lim
)()(
00
==
∞→
→
∞→
→
xvxu
x
xx
x
xx
.
2/
)(
)(
lim
)(
0

xv
xu
x
xx
∞→
→
mà
∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx
.
3/
[ ]
)().(lim
)(
0
xvxu
x
xx
∞→

→
mà
0)(lim
)(
0
=
∞→
→
xu
x
xx
và
∞=
∞→
→
)(lim
)(
0
xv
x
xx
.
4/
[ ]
)()(lim
)(
0
xvxu
x
xx

−
∞→
→
mà
+∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx
hoặc
−∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x

xx
.
BÀI TẬP ÁP DỤNG

A. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:

2
12
lim/1
+
+
n
n

4
13
lim/2
2
2
+
+
n
n

23
15
lim/3
+
−

n
n

nnn
nn
−+
++
2
2
2
32
lim/4

1
32
lim/5
2
++
+
nn
nn

)3)(23(
)12)(1(
lim/6
++
−+
nn
nn

13
2
lim/7
2
2
++
+
nn
nn

13
2
lim/8
24
3
++ nn
n

)2)(1(
)3)(2(
lim/9
++
+
nn
nnn
2
Bài tập 2: Tính các giới hạn:

1
12

lim/1
2
2
+
−
n
n

2
52
lim/2
2
+−
+
nn
n

23
2
lim/3
2
3
−+
−
nn
nn

(
)
nnn +−

3
32
lim/4

23
12
lim/5
3
2
−
++
n
nn

(
)
nnn −−
3
23
2lim/6
Bài tập 3: Tính các giới hạn:

nn
n
32
1
lim/1
2
2
−

+

4
32
)1(
)2()1(
lim/2
−
++
nn
nn

(
)
1lim/3
22
+−+ nnn

3
32
3lim(/4 nnn −+
)
2
1112
lim/5
2
3
−
+−
n

nn

42
1
lim/6
22
+−+ nn

B. GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:

)32(lim/1
2
+
→
x
x

)432(lim/2
3
2
+−
−→
xx
x

1
14
lim/3
2

2
1
+−
++
→
xx
xx
x


1
21
lim/4
3
+
+−
−→
x
xx
x

)2(lim/5
3
1
xx
x
++
−→

2

25
lim/6
2
5
+
−
→
x
x
x
Dạng
0
0

Bài tập 2: Tính các giới hạn:

1
23
lim/4
4
6
lim/1
23
3
1
2
2
2
+−−
+−

−
−+
→
→
xxx
xx
x
xx
x
x

8
4
lim/5
20
16
lim/2
3
2
2
2
2
4
+
−
−+
−
−→
→
x

x
xx
x
x
x

9
3
lim/6
3
34
lim/3
2
3
2
3
−
+
−
+−
−→
→
x
x
x
xx
x
x

Bài tập 3: Tính các giới hạn:

x
x
x
xx
x
x
x
x
x
2
121
lim/7
4
23
lim/4
2
121
lim/1
0
2
2
0
−+
−
−−
−+
→
→
→

2
24
lim/8
33
223
lim/5
39
4
lim/2
3
2
1
0
−
−
+
+−+
−+
→
−→
→
x
x
x
xx
x
x
x
x

x

25
32
lim/9
34
472
lim/6
32
372
lim/3
2
3
5
3
1
1
−
+−
+−
−++
+−
−+
→
→
→
x
x
xx
xx

x
x
x
x
x
Bài tập 4: Tính các giới hạn:

33
276
lim/7
22
2
lim/4
1
1
lim/1
23
24
3
2
2
2
3
1
+++
−−
−+−
−
−
−

−→
→
→
xxx
xx
xx
x
x
x
x
x
x

33
3 2
0
1
2
23
1
232
11
lim/8
45
32
lim/5
43
42
lim/2
+−+

−−
+−
−+
−−
++−
→
→
−→
xx
x
xx
xx
xx
xxx
x
x
x

314
2
lim/9
23
2423
lim/6
11
lim/3
2
2
2
1

2
0
−+
+−
+−
−−−−
++−+
→
→
→
x
xx
xx
xxx
x
xxx
x
x
x
Bài tập 5: Tính các giới hạn:
3

x
x
xx
xx
xxx
xx
x
xx

x
x
x
x
x
x
x
−−
+−
++
++
++
−+
−
+−
−−
→
−→
→
→
→
51
53
lim/5
62
23
lim/4
)1)(1(
lim/3
3

34
lim/2
11
lim/1
4
2
2
2
23
2
3
2
3
3
0

23
1
lim/10
3
11
lim/9
2
321
lim/8
1
12
lim/7
23
1

lim/6
2
3
1
3
0
4
2
2
3
1
2
3
1
−+
+
−−
−
−+
−
+−+−
−+
−
−→
→
→
→
→
x
x

x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
• Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:


3
51
lim/3
11
lim/2
23
7118
lim/1
3
3
3
0
2

3
2
−
+−+
−−+
+−
+−+
→
→
→
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x

2
122
lim/6
2
66
lim/5
1
39
lim/4
2

1
2
3
2
3
1
−−
−−+
−+
++−
−
++−
−→
−→
→
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
x
x

Dạng
∞
∞
Bài tập 7: Tính các giới hạn:

3
2
2
3
25
2
3
2
)43(
)41)(12)(2(
lim/5
53
132
lim/4
1
12
lim/3
2
1
lim/2
32
1
lim/1
+
−+−
+−
++
+
++
−

++−
+
+
∞→
∞→
∞→
+∞→
−∞→
x
xxx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x

12
32
lim/10
13
14
lim/9

1
32
lim/8
53
734
lim/7
16
83
lim/6
3
2
2
3
3
2
2
3
4
2
+−
+
−
+
+−
++
+−
−+
+−
−+
∞→

∞→
∞→
∞→
∞→
xx
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x

ĐS:
27
8
/5
3
2
/4
/3
/2
2

1
/1
−
∞+
∞
−

0/10
3
2
/9
1/8
/7
0/6
±
±
∞
Bài tập 8: Tính các giới hạn:
4

xx
xxx
x
−++
++++
∞→
214
4132
lim/1
2

2

1
12419
lim/2
22
−
++−++
∞→
x
xxxx
x

ĐS:



−
5
1
/1




−1
1
/2

Dạng

∞−∞

Bài tập 9: Tính các giới hạn:







−
−
−
−+
−−−−
−+
→
∞←
∞→
+∞→
3
1
2
2
3
23
1
3
1
1

lim/4
)(lim/3
)34412(lim/2
)(lim/1
x
x
xxx
xxx
xxx
x
x
x
x







+−
+
+−
++−+−
+−
−+
→
−∞→
+∞→
∞→

65
1
23
1
lim/8
)11(lim/7
)1(lim/6
)3(lim/5
22
2
22
2
3
32
xxxx
xxxx
xx
xxx
x
x
x
x
ĐS:
1/4
2
1
/3
0
/2
3

1
/1
−



∞−

2/8
1/7
0/6
1/5
−
Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:
Cho biết :
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x

Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:

2
0
0

0
0
2
4cos1
lim/4
sin
2cos1
lim/3
11
2sin
lim/2
2
5sin
lim/1
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−+
→

→
→
→

2
0
0
2
2
0
3
0
6cos1
lim/8
2
3
lim/7
3
sin
lim/6
sin
lim/5
x
x
x
xtg
x
x
x
xtgx

x
x
x
x
−
−
→
→
→
→

x
x
x
xx
xtg
x
x
x
x
x
x
x
cos21
3
sin
lim/12
sin
cossin1
lim/11

cos12
lim/10
5cos1
3cos1
lim/9
3
2
2
0
2
0
0
−






−
−+
+−
−
−
→
→
→
→
π
π

ĐS:
25
9
/9
2
1
/5
2
5
/1

8
2
/10
9
1
/6
4/2

1/11
2
3
/7
2/3

3
1
/12
18/8
4/4

Hết
5
HÀM SỐ LIÊN TỤC

Kiến thức cần nhớ:
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm
∈
0
x
(a; b) nếu:
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
.
Nếu tại điểm x
o
hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại x
o
và điểm x
o
được gọi là
điểm gián đoạn của hàm số f(x).
Theo đònh nghóa trên hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm
∈
0

x
(a; b) nếu và chỉ
nếu
)(lim xf
o
xx
−
→
và
)(lim
0
xf
xx
+
→
tồn tại và
)()(lim)(li m
0
00
xfxfxf
xxxx
==
+−
→→
2. Hàm số liên tục trên một khoảng:
a. Đònh nghóa:
Hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại
mọi điểm của khoảng ấy.
Hàm số f(x) xác đònh trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó là liên tục trên
khoảng (a; b) và

),()(lim afxf
ax
=
+
→

)()(lim bfxf
ax
=
−
→
.
Lưu ý: Đồ thò của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
b. Một số đònh lý về tính liên tục:
Đònh lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên
tục tại điểm đó.
Đònh lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xá đònh của nó.
Đònh lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất
và mọi giá trò trung gian giữa giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất trên đoạn đó.
Hệ quả. Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c
∈
(a; b) sao cho f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) =
0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b).
MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:

.

23
452
/
.345/
2
2
23
+−
+−
=
−+−=
xx
xx
yb
xxxya

.
2
2sincot
/
.5cos/
xtg
xgx
yd
xtgxyc
+
=
+=
6
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:

Bài tập 1: Cho hàm số:








−
+−
−
=
1
23
2
)(
2
2
x
xx
x
xf

)1(
)1(
≥
<
x

x

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 1.
Bài tập 2: Cho hàm số:






−
−
−
=
2
4
21
)(
2
x
x
x
xf

)2(
)2(
<
≥

x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 2.
Bài tập 3: Cho hàm số:








−+
−+
=
11
11
2
3
)(
3
x
x
xf

)0(
)0(
>

≤
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 0.
Bài tập 4: Cho hàm số:






−
−
=
5
1
1
)(
2
x
x
xf

)1(
)1(
=
≠
x

x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 1.
Bài tập 5: Cho hàm số:






−
−
+
=
1
1
2
)(
3
x
x
ax
xf

)1(
)1(
<
≥
x

x
Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x
0
= 1.
Bài tập 6: Cho hàm số:






−
−−
=
x
x
xf
2
321
1
)(

)2(
)2(
≠
=
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0

= 2.
Bài tập 7: Cho hàm số:








+−−
+
−
+
=
x
xx
x
x
a
xf
11
2
4
)(

)0(
)0(
<
≥

x
x
Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x
0
= 0.
Bài tập 8: Cho hàm số:








−
−+
+
=
2
223
4
1
)(
3
x
x
ax
xf

)2(

)2(
>
≤
x
x
7
Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bài tập 9: Cho hàm số:








+−
−
+
=
23
24
3
2
)(
2
3
2
xx
x

ax
xf

)2(
)2(
>
≤
x
x

Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bài tập 10: Cho hàm số:






−
=
x
x
xf
cos1
1
)(

)0(
)0(
≠

=
x
x
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:

Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm:

010010/
01096/
013/
35
23
4
=+−
=−+−
=+−
xxc
xxxb
xxa
Bài tập 2: CMR phương trình
0162
3
=+− xx
có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2).
Bài tập 3: CMR phương trình
013
3
=+− xx
có 3 nghiệm phân biệt.

Bài tập 4: CMR phương trình
02012643
234
=−+−− xxxx
có ít nhất hai nghiệm.
Bài tập 5: CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt:

.0)5()9(/
.032)2)(1(/
2
=−+−
=−+−−
xxxmb
xxxma

Hết
CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai.
Gọi d là công sai, theo đònh nghóa ta có: u
n+1
= u
n
+ d (n = 1, 2, ).
Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau.
Để chỉ rằng dãy số (u
n
) là một cấp số cộng,ta kí hiệu
÷

u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát u
n
của một cấp số cộng có số hạng đầu u
1
và công sai d được cho bởi công
thức:
u
n
= u
1
+ (n - 1)d
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với
cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là

2
11 +−
+
=
kk
k
uu

u
(k
≥
2).
4. Tổng n số hạng đàu của một cấp số cộng
Đònh lí: Để tính S
n
tacó hai công thức sau:
• S
n
tính theo u
1
và d
8

[ ]
dnu
n
S
n
)1(2
2
1
−+=
• S
n
tính theo u
1
và u
n

)(
2
1 nn
uu
n
S +=
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:

, 8,5,2/÷a
tìm u
15
.

, 32,4,32/ −+÷b
tìmu
20
.
ĐS:
31840/
44/
20
15
−=
=
ub
ua
Bài tập 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Giải:

Ta có:
)(
2
1 n
uu
n
S +=


)12(
2
30
1
+=⇔ u
n
mà
nndndnuu
n
315)1(312)1(12)1(
1
−=−−=−−=−−=
nên
)12315(
2
30 +−= n
n





=
=
⇔=+−⇔
5
4
060273
2
n
n
nn
Với
3:4
1
== un
ta có cấp số cộng
12,9,6,3÷
Với
0:5
1
== un
ta có cấp số cộng
12,9,6,3,0÷
Bài tập 3: Cho cấp số cộng:




=+
=−+
26

10
64
352
uu
uuu
Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
Giải:




=
=
⇔



=+++
−−+++
⇔



=+
=−+
3
1
2653
24
26

10
1
11
111
64
352
d
u
dudu
dududu
uu
uuu
Bài tập 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165.
Giải:
Gọi cấp số cộng là:
÷
u
3
- 3d, u
3
- d, u
3
, u
3
+ d, u
3
+ 2d
Theo giả thiết ta có:





±=
=
⇔





=+++++−+−
=+++++−+−
2
5
165)2()()()2(
25)2()()()2(
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
33333
d
u
duduududu

duduududu

Với d = 2 ta có
9,7,5,3,1÷

Với d = -2 ta có
1,3,5,7,9÷
Bài tập 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140.
Giải:
Xét cấp số cộng
dd 25,5,5 ++÷

Theo bài ra ta có:
1140)25)(5(5 =++ dd
9





−=
=
⇔=−+⇔
2
29
7
0203152
2
d
d

dd
Với d = 7 ta có
19,12,5÷
Với d =
2
29
−
ta có
24,
2
19
,5 −−÷
Bài tập 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với
công sai là 25.
Giải:
Đặt 3 cạnh cần tìm là:
,25,,25 +− xxx
với
25>x
Theo đònh lí Pitago ta có:

222
)25()25( −+=+ xxx




=
=
⇔=−⇔

+−+=++⇔
100
)(0
0100
6255062550
2
222
x
loaix
xx
xxxxx
Với x=100 ta có cấp số cộng tương ứng 3 cạnh là: 75,100,125
Bài tập 7: Cho cấp số cộng
÷
u
1
, u
2
, u
3
,
Biết u
1
+ u
4
+ u
7
+ u
10
+ u

13
+ u
16
= 147.
Tính u
1
+ u
6
+ u
11
+ u
16
.
Giải:
Ta có: u
1
+ u
4
+ u
7
+ u
10
+ u
13
+ u
16
= 147

⇔
(u

1
+ u
16
) + (u
4
+ u
13
) + (u
7
+ u
10
)

= 147

⇔
(2u
1
+ 15d) + (2u
1
+ 15d) + (2u
1
+ 15d) = 147

⇔
3(2u
1
+ 15d) = 147

⇔

2u
1
+ 15d = 49
Mặt khác: u
1
+ u
6
+ u
11
+ u
16
= (u
1
+ u
16
) + (u
6
+ u
11
)
= (2u
1
+ 15d) + (2u
1
+ 15d) = 2(2u
1
+ 15d) = 2.49 = 98.
Suy ra: u
1
+ u

6
+ u
11
+ u
16
= 98.
Bài tập 8: Một cấp số cộng (a
n
) có a
3
+ a
13
= 80.
Tìm tổng S
15
của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Giải:
Ta có: S
15
=
2
15
(u
1
+ u
15
).
Mặt khác ta có: u
3
+ u

13
= (u
1
+ 2d) + (u
1
+ 12d)
= u
1
+ (u
1
+ 14d) = u
1
+ u
15
= 80.
Do đó:S
15
=
2
15
(u
1
+ u
15
) =
2
15
.80 = 600.
Bài tập 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng
đầu là 30. Tìm cấp số đó.

Giải:
Ta có: S
11
= 176 =
2
11
(u
1
+ u
11
)

2
11
⇔
(2u
1
+ 10d) = 176 (1)
và u
11
- u
1
= 30

⇔
(u
1
+ 10d) - u
1
= 30

10

⇔
10d = 30

⇔
d = 3 (2)
Thay (2) vào (1) ta được: u
1
= 1
Do đó: Cấp số cộng cần tìm là:

÷
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
Bài tập10: cho cấp số cộng (a
n
) có a
1
= 4, d = -3. Tính a
10
.
Giải:
Ta có: a
10
= a
1
+ (10 - 1)(-3) = 4 + 9(-3) = -23
Bài tập 11: Tính u
1
, d trong các cấp số cộng sau đây:




=
=



=
=+
35
19
/2
129
14
/1
9
5
13
53
u
u
S
uu




=−

−=+





=
=
72
31
/4
2
45
9
/3
94
103
6
4
uu
uu
S
S
ĐS: 1/ u
1
=
13
53
và d =
39

38
; 2/ u
1
= 3 và d = 4.
3/ u
1
= 0 và d =
2
3
; 4/ u
1
= và d = .
Bài tập 12: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
= -15, u
14
= 18.
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Giải:
Theo giả thiết ta có:




−=
=
⇒




=+=
−=+=
21
3
1813
152
1
114
13
u
d
duu
duu

Vậy: S
20
=
150)(
3
20
201
=+ uu
Bài tập 13: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
= 17, d = 3.
Tính u

20
và S
20.

ĐS: u
20
= 74, S
20
= 910
Bài tập 14: Cho cấp số cộng (u
n
) có a
10
= 10, d = -4.
Tính u
1
và S
10
.
ĐS: u
1
= 46, S
10
= 280
Bài tập 15: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
6
= 17 và u
11

= -1.
Tính d và S
11
.
ĐS: d =
5
18
−
và S
11
= 187
Bài tập 16: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
= -15, u
4
= 18.
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên.
ĐS: S
20
= 1350
Hết
CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa:
11
Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là
tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội.
Gọi q là công bội, theo đònh nghóa ta có

u
n+1
=u
n
.q (n = 1, 2, ).
Đặc biệt:
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, u
1
, , u
1
,
Nếu u
1
= 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (u
n
) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu



u
1
, u
2
, , u

n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
u
n
= u
1
1−n
q
(q
0
≠
)
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Đònh lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số
nhân hữu hạn) đều có giá trò tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là:

11
.
+−
=
kkk
uuu

)2( ≥k
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Cho một cấp số nhân với công bội q
≠
1

u
1
, u
2
, ,u
n
,
Đònh lí: Ta có:

1
1
1
−
−
=
q
q
uS
n
n
(q
≠
1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u
1
= 243 vàu
6
= 1

2/ Cho q =
4
1
, n = 6, S
6
= 2730. Tìm u
1
, u
6
.
Giải:
1/ Ta có:
3
1
3
1
243
1
.2431.
5
55
16
=⇔==⇔=⇔= qqqquu
Vậy cấp số nhân là: 243, 81, 27, 9, 3, 1
2/ Ta có:

512
1024
1365
2730

4
1
1
4
1
1
2730
1
1
11
6
1
6
16
=⇔=⇔
−






−
=⇔
−
−
= uuu
q
q
uS

và
2
1
1024
512
4
1
.512
4
4
16
==






== quu
Bài tập 2: Cho cấp số nhân có: u
3
= 18 và u
6
= -486.
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
Giải:
Ta có:






=−
=
⇔





=
=
5
1
2
1
5
16
2
13
.486
.18
.
.
qu
qu
quu
quu

)2(

)1(
12
Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được:

327
3
−=⇒−= qq
Thế q = -3 vào (1) ta được: u
1
= 2
Vậy ta có: u
1
= 2, q = -3
Bài tập 3: Tìm u
1
và q của cấp số nhân biết:




=−
=−
144
72
35
24
uu
uu
Giải:
Ta có:






=−
=−
⇔





=−
=−
144)1(
72)1(
144
72
22
1
2
1
2
1
4
1
1
3
1

qqu
qqu
ququ
ququ

)2(
)1(

Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q = 2
Thay q = 2 vào (1) ta được:
1272)14(2
11
=⇒=− uu
Vậy u
1
= 12, q = 2.
Bài tập 4: Tìm u
1
và q của cấp số nhân (u
n
) có: u
3
=12, u
5
=48.
Giải:
Ta có:






=
=
⇔



=
=
48
12
48
12
4
1
2
1
5
3
qu
qu
u
u

)2(
)1(
q = 0, u = 0 không là nghiệm của hệ
Chia (2) cho (1) vế theo vế ta được:

24
2
±=⇒= qq
.
Thay vào (1) tacóù:
3
1
=u
* q = 2, ta có cấp số nhân 3, 6, 12, 24,
* q = -2, ta có cấp số nhân -3, -6, -12, -24,
Bài tập 5: Tìm u và q của cấp số nhân (u
n
) biết:




=++
=++
351
13
654
321
uuu
uuu
Giải:
Ta có:






=++
=++
⇔





=++
=++
⇔



=++
=++
351)1(
13)1(
351
13
351
13
23
1
2
1
5
1

4
1
3
1
2
111
654
321
qqqu
qqu
quququ
ququu
uuu
uuu

)2(
)1(
Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được:

327
13
351
3
=⇒== qq
Thay q = 3 vào (1) ta được u
1
= 1
Vậy u
1
= 1, q = 3.

Bài tập 6: Tìm cấp số nhân (u
n
) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9
lần số hạng thứ hai.
Giải:
Theo bài ra ta có:






=
=+++
⇔



=
=+++
ququ
quququu
uu
uuuu
1
3
1
3
1
2

111
24
4321
9
360
9
360

)2(
)1(

Từ
39)2(
2
±=⇒=⇒ qq
Thay q = 3 vào (1) ta được: 40u
1
= 360
⇒
u
1
= 9
Ta có cấp số nhân: 9, 27, 81, 243
13
Thay q = -3 vào (1) ta được: u
1
= -18
Ta có cấp số nhân: -18, 54, -162, 486.
Bài tập 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng
thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.

Giải:
Gọi u
1
, u
2
, u
3
là ba số hạng của cấp số cộng công sai d
Theo bài ra u
1
, u
2
-1, u
3
+1 lập thành cấp số nhân
Ta có:



+=−
=++
)1()1(
21
31
2
2
321
uuu
uuu









−=
=
−=
⇔



=−+
−=
⇔



+−=
−=
⇔



+=
=+

⇔



++=−+
=++++
⇔
5
4
7
020
7
)8)(7(36
7
86
7
)12()1(
21)2()(
1
2
1
1
1
2
1
11
2
1
111
d

d
du
dd
du
dd
du
du
du
duudu
duduu
Với d = 4 thì u
1
= 3 ta có cấp số cộng: 3, 7, 11
Với d = -5 thì u
1
= 12 ta có cấp số cộng: 12, 7, 2
Hết
14