Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Giáo viên dạy:
Lê Văn Hưu
Lớp dạy:12 A2

Bài dạy: ĐƯỜNG TIỆM CẬN
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tiết 11


Kiểm tra bài cũ

Nêu định nghóa đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ
thị h/s y=f(x) .Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của

đồ thị hàm số sau :

2x + 4
y=
x +1

Trả lời: Đường thẳng x=x0 đgl tiệm cận đứng
của đ/thị h/s y=f(x) nếu lim f ( x) = ±∞V lim f ( x) = ±∞
: +
−
x → x0

x → x0

- Đường thẳng y=y0 đgl tiệm cận ngang của đ/thị h/s y=f(x)
nếu : xlim y = y0
→±∞

•Vì lim− y = ∞, lim+ y = ∞ vaø lim y = 2 nên đồ thị
x →−1

x →−1

x →±∞

h/s đã cho có tiệm cận đứng là x =-1 và tiệm cận ngang là
y =2.


ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận xiên:
Cho đường cong (C) là đồ thị của h/số
y=f(x) và đường thẳng (d) y =n + b
Đường thẳng y = ax+b là tiệ ax
cận xiên của M thị hàm số
(a khác 0).Gọi đồ và N là hai điểm của
 lim [ f ( x) − (ax + b) ] = 0
(C) và tínhcùng x→−∞ nnMN theo . Nếu
(d)
y= f(x) khiĐườ i đoạ g y = ax+b
 có thẳ
Hãy vậy :độ: dànghoà nh độ là x
Mhư
•
x dần đến vô cự? thì[ độxdài (đoạnbMN 0
lim ( − ax +
f(x) vàcận xiêxc củafđồ )thị hàm ) ] =
ax+ b n

 →+∞
là tiện
dần đến bao nhiêu ?
số y= f(x) khi nào ?

MN → 0
MN = f ( x) − (ax + b)

y

y=f(x)
M

y=ax+b
N

o

x

x


ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận xiên:
y

Định nghóa3: Đường thẳng y = ax+b ,
a khác 0 , được y nêường tiệm cận
Hãgọi là định

xiên ( gọi tắc là tiệm cậntiệm ) của đồ
nghóa đường xiên
thị hàm số y =f(x) nếu:

cận xiên ?
 lim [ f ( x) − (ax + b) ] = 0
 x→+∞
 lim [ f ( x) − (ax + b) ] = 0
 x→−∞

y=f(x)
M

y=ax+b
N

o

x

x


ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận xiên:

*Ví dụ: Chứng minh rằng
đường thẳng y = ax+b là tiệm
cận xiên của đồ thị hàm số :
m

y = ax + b +
; ( a, m, c ≠ 0 )
cx + d

Định nghóa3:
Đường thẳng y = ax+b ,
a khác 0 , được gọi là
đường tiệm cận xiên
của đồ thị hàm số
y =f(x) nếu

Giải:

lim [ f ( x) − (ax + b) ] = 0

x →±∞

Vì



m 
lim  ax + b +
÷− (ax + b) 
x →±∞
cx + d 


m
= lim

=0
x →±∞ cx + d

nên đường thẳng y = ax + b là tiệm cận
xiên của đồ thị hàm số ñaõ cho .


ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
*p Dụng: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

x − 2x + 4
y=
x −1
2

Giải:

Ta có :



3 
3
y = x −1+
⇒ xlim  x − 1 +
÷− ( x − 1) 
→±∞
x −1 



x −1
3
= lim
=0
x →±∞ x − 1

nên đường thẳng y = x - 1 là tiệm cận
xiên của đồ thị hàm số đã cho .


ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận xiên:
* Hàm số y =f(x) nhận y = ax + b; ( a ≠ 0 ) laøm TCX khi:

lim [ f ( x) − (ax + b) ] = 0

x →±∞

Chú ý: Ta có thể tìm TCX của đồ thị hàm số y=f(x) bằng cách
Xác định các hệ số a và b như sau :

Cócách nàoxkhác để
f giớ
Từ ( ) i hạn trong định
a = lim
;&b = a
tìmtiệm cận xiên củlim [ f ( x) − ax ]
nghóa
x →−∞ x hãy tìm a và b ?
x →−∞

đồ thị hàm số y = f(x)

f( ?
 a = khôngx) ;&b = lim f ( x) − ax
lim




x →+∞

x

[
x →+∞

]

(Khi a = 0 thì ta có tiệm cận ngang )


ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận xiên:

*Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số sau :
3
2
x + 3x − 4 x + 5
y=
x2 + 2

Giải:

Giả sử y =ax+b , a khác 0 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã
3
2
cho ta có :

f ( x)
x + 3x − 4 x + 5
a = lim
= lim
=1
3
x →∞
x →∞
x
x + 2x
 x3 + 3x 2 − 4 x + 5

b = lim [ f ( x) − ax ] = lim 
− x÷
2
x →∞
x →∞
x +2



2x2 − 6x + 5
Nên đường thẳng y = x +2 là tiệm cận

= lim
= 2 xiên của đồ thị hàm số đã cho .
2
x →∞
x +2


ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận xiên:

*Ví dụ 3: Tìm TCX của đồ thị hàm số sau :
y=

x2 + x + 2 + x
Giải:

Giả sử y =ax+b , a khác 0 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã
1 2
cho ta có :
− 1+ +
+1

f ( x)
x2 + x + 2 + x
a = lim
= lim
x →∞
x →∞
x
x

b = lim [ f ( x) − ax ] = lim
x →+∞

= lim

x →+∞

x →+∞

x+2

1
=
x2 + x + 2 + x 2

(

lim

=

x →−∞

lim

x →+∞

x2 + x + 2 − x

)

x x2
= 0(l )
1
1 2
1+ + 2 +1
x x
=2
1

1
Nên đường thẳng y = 2 x + là tiệm
2
cận xiên của đồ thị hàm số đã cho .


CỦNG CỐ!

1. Định nghóa:
*Đồ thị hàm số y =f(x) nhận ñ/thaúng y = ax + b
khi:
lim [ f ( x) − (ax + b) ] = 0
x →±∞

làm TCX

2.Tìm đường tiệm cận xiên của đồ 2
Ax + Bx + C
; ( A.c ≠ 0 )
thị một hàm số có dạng : y =

cx + d
Ta biến đổi hàm số về daïng :
m
y = ax + b +
; ( a, m, c ≠ 0 )
cx + d
3.Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
bằng cách xác định các hệ số a & b:
f ( x)
a = lim
& b = lim [ f ( x) − (ax + b) ]
x →∞
x →±∞
x


1.Hãy tìm các đường tiệm cận của đồ thị các
hàm soá sau :
x2 + x + m
y=
&y=
x−2

3

x3 + 2 x 2 + 4 x − 3 + x

2. Bài tập 34 đến 39 SGK trang 35+36 . %

Trân trọng cám ơn
quý Thầy cô và các em
đã đến dự tiết học này.
Chúc q thầy-cô vui vẻ-hạnh phúc


x2 − 2x + 3
Câu 1:Đồ thị hàm số y =
,Có tiệm cận xiên là:
x −1

A. y = x-1

C. y = 2x +1

A

02
04
20
19
14
12
09
01
03
05
06
07
08

18
17
13
15
16
11
10
00

B.y = -x +1

D.y = 2x+3


Câu 2:Đồ thị hàm số

A. y=-x+1

C.y =x+1

x2 − 2x + 3
,Có tiệm cận xiên là:
y=
1− x

A

02
04
20

19
14
12
09
01
03
05
06
07
08
18
17
13
15
16
11
10
00

B. y = x-1

D. A,B,C ñeàu sai !


Câu 3:Đồ thị hàm số y = x + 2 x + 3 + x có tiệm cận xiên là :
2

A. y = 2x -1

C. y = 2x +1

C

B. y = 2

D.Cả A,B,C đều sai


Câu 4:Đồ thị hàm số

A. 1 Tiệm cận xiên

C. 2 Tiệm cận xiên

y = x 2 + 2 x + 3 có :

C

B. 1 Tiệm cận xiên

D.Không có T.C.X