khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán phương trình và bất phương trình

MỞ ĐẦU
Trong khi học Toán, học sinh có thể mắc nhiều kiểu sai lầm ở nhiều
mức độ khác nhau. Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhưng
cũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức, hay áp
dụng những mệnh đề hay định lý Toán học vô căn cứ…
Có những sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện, ví dụ như đối với học sinh
thì ký hiệu x,y,z… thường là biểu thị một cái cần tìm, cũng vì thế mà khi giải
những phương trình có tham số, ta đem đổi vai trò của ẩn và tham số cho
nhau thì học sinh rất khó chấp nhận. Những phương trình và bất phương trình
có chứa giá trị tuyệt đối, nhiều khi ta phải phân khoảng để khử dấu giá trị
tuyệt đối, rốt cục là tìm cho ra được x. Nhưng bây giờ trong bài toán tích phân
chứa giá trị tuyệt đối, thì cũng là kí hiệu biến x nhưng ta không phải đi tìm x,
chính vì vậy mà giải bài toán ấy theo kiểu xét x <3, x >5…cho riêng lẻ từng
đáp số là sai. Có thể nói những sai lầm kiểu ấy là do các em học sinh không
hiểu bản chất của đối tượng có mặt trong bài toán.
Việc học Toán của học sinh không thể tránh khỏi những sai lầm, do đó
nghiên cứu để tìm ra những phương án giảm thiểu những sai lầm đó là rất cần
thiết. Có nhiều tác giả nổi tiếng có sự nhấn mạnh ý nghĩa của việc làm này,
chẳng hạn A.A.Stolia phát biểu “Không được tiếc thời gian để phân tích trên
giờ học các sai lầm của học sinh”. Còn G.Pôlia thì phát biểu “Con người phải
biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. Viện sĩ Gơn-he-den-
cô trong lúc nêu ra năm phẩm chất của tư duy Toán học thì đã đề cập đến ba
phẩm chất liên quan đến việc tránh các sai lầm khi giải Toán.
- Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy sự
thiếu các mắt xích cần thiết của chứng minh.
1
1
- Có thói quen lý giải một cách đầy đủ.
- Sự chính xác của lý luận.
Theo các ý kiến trên đây của các nhà khoa học thì thừa nhận rằng trong
giải Toán, bất cứ người nào cũng từng có lần phạm phải những sai lầm, còn

những vướng mắc và khó khăn thì dĩ nhiên là thường xuyên. Chức năng của
người thầy giáo là phải kịp thời vạch rõ để học sinh thấu hiểu những sai lầm
đó sao cho lần sau không còn tiếp diễn nữa. Tuy nhiên một trong các năng lực
cần có của người thầy là phải đánh giá đúng mức của học sinh đã mắc, không
nên cào bằng các mức độ.Tất nhiên sữa sai là phải kịp thời, nếu không thì “sai
lầm sẽ nối tiếp sai lầm”.
Tuỳ đối tưọng học sinh để đánh giá mức độ sai lầm của từng bài toán.
Ví dụ như một học sinh bậc THPT mà từ hệ thức x+
x
1
= y+
y
1
suy ra x=y là
điều không thể chấp nhận được. Hay như học sinh lớp 11 mà hiểu rằng
f
-1
(x)=
)(
1
xf
là sai lầm rất lớn. Tuy nhiên cũng có những sai lầm hoặc thiếu sót
mà ta không nên “bé xé ra to”, bởi vì theo lý thuyết tình huống thì có những
chướng ngại tránh được và cũng có những chướng ngại không tránh được.
Chẳng hạn học sinh chứng minh x >sinx với mọi x thuộc (0;+∞) bằng cách
thiết lập hàm số f(x) = x- sinx, trên khoảng đó f
’
(x)>0 và nói hàm f(x) đồng
biến trên (0;+∞), suy ra f(x)> 0 thì kể ra cũng chưa chuẩn lắm vì 0 không
thuộc (0;+∞). Nhưng trong tình huống này cũng không nên phân tích quá

nhiều để làm rối trí học sinh.
Đặc biệt người thầy giáo phải có một năng lực cảm thụ về mặt Toán
học, có khả năng phỏng đoán và hình dung những điều học sinh sẽ mắc, để có
2
2
sự chủ động xử lý các tình huống ấy. Ví dụ như dạng toán về dấu của tam
thức bậc 2 trên một miền; Tìm điều kiện tham số sao cho f(x) = x
2
+mx+1>0
∀
x>3
- Nếu
∆
<0 thì đúng
∀
m
- Nếu
∆
>0 f(x) có 2 nghiệm x
1
và x
2
f(x)>0
⇔
x thuộc (-∞;x
1
)
∪
(x
2

; ∞)
Kết luận là x
2
≤3
Tuy nhiên, như bài này chẳng hạn, giáo viên chủ động hình dung ra rằng đối
với các học sinh khá, biết đường lối giải cũng dễ rơi vào sai lầm kết luận
x
2
<3, điều đó rất có lý bởi vì mọi giả thiết đều phản ánh bất đẳng thức ngặt.
Như vậy, ta thấy rằng đôi khi chỉ là một ký hiệu hay một dấu, nhưng nó
lại phản ánh rất sát về trình độ suy luận của người học, và điều quan trọng là
ở chổ người thầy phải biết trước được cái sai đó của học sinh.
3
3
Chương 1
NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC
BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Trong giáo dục, I.A.Komenski khẳng định: "Bất kì một sai lầm nào
cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới
sai lầm đó, bằng cách hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục
sai lầm". Các sai lầm của học sinh trong dạy học giải Toán được hiểu là: Điều
trái với yêu cầu khách quan (mục đích của giải Toán, yêu cầu của bài toán)
hoặc lẽ phải (các tình huống điển hình trong môn Toán: Khái niệm, định lí, quy
tắc, các nội dung của lôgic toán, phương pháp suy luận suy diễn ), do đó
không đạt được mục đích của dạy học giải Toán.
Các sai lầm trong giải Toán thường do các nguyên nhân từ các góc độ
khác nhau về tính cách, trình độ nắm kiến thức và về kĩ năng. Do vậy biện
pháp này chủ yếu dành cho học sinh bởi lẽ đây là đối tượng đang tập dượt
nghiên cứu sáng tạo, đang làm quen với cách tiếp cận, phát hiện và giải quyết
vấn đề. Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắc

phục những sai lầm khi giải Toán.
Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọi
đối tượng học sinh (cả một số ít giáo viên) đều có thể mắc sai lầm. Do đó để
nâng cao chất lượng dạy học giải Toán, cần phải dự đoán và có hướng khắc
phục các sai lầm của học sinh trong giải Toán.Trong khi giải toán phương
trình và bất phương trình, học sinh thường gặp phải các sai lầm sau.
1.1. Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo
Đây thuộc dạng sai lầm “thô thiển” nhất trong các sai lầm thường gặp ở
học sinh. Thông thường các sai lầm này xuất phát từ việc học sinh thông nắm
4
4
vững bược bản chất và ý nghĩa của các yếu tố có mặt trong biểu thức, hay nhớ
sai công thức hay định lý.
Ví dụ1. Khi giải các phương trình lượng giác, học sinh thường nhầm lẫn giữa
hai đơn vị đo là độ và Rađian.
Giải phương trình: sin(x+30
o
)=
2
2
, nhiều học sinh giải như sau:
sin(x+30
o
)=
2
2
=sin
4
π

⇒



 ∏+
∏
=+
∏+
∏
=+
2
4
30
2
4
3
30
kx
kx
o
o
Ví dụ 2. Giải phương trình 2
x
+2
2x
=20
Lời giải sai: Phương trình tương đương với 2
x
(1+2
2

) =20
⇔
2
x
.5=20
⇔
2
x
=4
⇔
x=2
Tuy nhiên x=2 thử vào phương trình thấy thỏa mãn, nhưng lời giải vẩn sai vì
tưởng 2
2x
=2
2
.2
x
Nhớ rằng 2
2x
=(2
x
)
2
.
Lời giải đúng là: đặt t=2
x
>0 ta có: t+t
2
=20

⇔
t
2
+t-20=0
⇔
t=4, t=-5.
Vì t >0 nên t=4
⇔
x=2.
1.2. Sai lầm khi áp dụng định lý và mệnh đề toán học
Nhận dạng và thể hiện một định lý hay một khái niệm cũng là một hoạt
động toán học. Ta xét sai lầm của học sinh khi vận dụng định lý cũng có
nghĩa là ta đang xét các sai lầm trên tiêu chí hoạt động toán học.
Cấu trúc thông thường của một định lý có dạng: A
⇒
B. Trong đó A là
giả thiết, B là kết luận. Nhiều sai lầm khi học định lý là do xem thường ngôn
ngữ và các điều kiện của giả thiết, bởi vậy nhiều lúc học sinh đưa ra các kết
luận sai lầm: Không có A vẫn suy ra B, hay không có A suy ra không có B.
Ví dụ 1. Giải phương trình
x 1
x
x
5 .8 500
−
=
5
5
Sai kiểu thứ nhất: Thử một số trường hợp x=1, x=2, x=3… thấy rằng
5

3
.8
2/3
=125.
3
64
=500, suy ra x=3 là nghiệm của phương trình.
Khi x≠3 thì 5
3
.8
2/3
≠125.
3
64
Kết luận: x=3 là nghiệm duy nhất.
Nếu phân loại mức độ sai lầm qua việc giải bài toán này, ta có thể nhận
ra rằng, đối với học sinh dừng bước lập luận ngay sau khi thấy x=3 là nghiệm
- là học sinh yếu hơn, đối với học sinh có làm thêm một bước suy diễn: x≠3
thì 5
3
.8
2/3
≠125.
3
64
là học sinh khá hơn học sinh thứ nhất trong khi giải bài
toán này.
Kiểu sai thứ hai:
x 1
x

x
5 .8 500
−
=

⇒
x.Ln5+
x
x 1−
Ln8= 3Ln5+2Ln2


⇒
(x-3)Ln5+
x
x 3−
Ln2=0
Xét hàm số f(x)= (x-3)Ln5+
x
x 3−
Ln2, ta có: f
’
(x)=Ln5+
x
2
3
Ln2 >0
∀
x≠0. Suy
ra hàm số đồng biến

∀
x≠0.
Mặt khác ta thấy f(3)=0. Do đó x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Sai lầm mà học sinh mắc phải trong trường hợp trên là ở chổ: Hàm số
f(x) đồng biến trên (-
∞
;0) và (0;+
∞
) thì phương trình vẩn có thể có nhiều hơn
một nghiệm trên khoảng đó.
Phân tích: Ở lớp 10 học sinh đã được học khái niệm về hàm số đồng
biến trên một khoảng, tuy vậy vẩn có sách xét hàm số đồng biến trên một tập,
dù không nói rõ nhưng về nguyên tắc thì 1 tập số có thể là hợp của nhiều
khoảng. Trong chương trình lớp 12, trong phần mối liên hệ giữa đạo hàm và
chiều biến thiên của hàm số, thì có định lý: Nếu đạo hàm dương trên một
khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nhưng thực ra kiến thức của
6
6
học sinh đại trà không dễ gì có thể nắm vững và sâu sắc để phân biệt được
phạm vi áp dụng của định lý thật xác đáng. Cụ thể hơn là khi học định lý này
thì dường như học sinh chỉ dành sự quan tâm vào chổ: Nếu đạo hàm dương
thì hàm số đồng biến, và thực tình thì SGK cũng không có một chú ý nào về
phạm vi áp dụng của định lý. Vì vậy khi gặp bài toán mà hoàn cảnh cụ thể
không còn là một khoảng thì học sinh vẩn áp dụng định lý một cách bình
thường.
Lời giải trên đây đã phạm sai lầm ở chổ: Đáng lý phải nói hàm số f(x)
đồng biến trên các khoảng (-
∞
;0) và (0;+
∞

) thì lại nói rằng hàm số đồng
biến trên R\
{ }
0
.
Cần phải là rõ cho học sinh thấy hàm số đồng biến trên
(-
∞
;0)
∪
(0;+
∞
) thì ngoài yêu cầu f(x
1
)
〈
f(x
2
)
∀
x
1
〈
x
2

〈
0
f(x
3

)
〈
f(x
4
)
∀
0
〈
x
3
〈
x
4
còn phải thêm yêu cầu nữa là f(
α
)
〈
f(
β
)
∀
α
〈
0
〈
β
Có một sai lầm liên đới ngoài sai lầm áp dụng định lý trên đây, đó là sai
lầm áp dụng mệnh đề: Nếu hàm số đơn điệu trên (a;b), x
1
,x

2
cùng thuộc (a;b)
thì f(x
1
)=f(x
2
)
⇔
x
1
= x
2
. Nhưng trong trường hợp này thì f(x
1
)=f(3), rỏ ràng 3
thuộc (0;+
∞
), cho nên mới chỉ có kết luận được rằng trên (0;+
∞
) thì phương
trình chỉ có 1 nghiệm, và như thế ta cần phải xét trường hợp x
〈
0.
Đối với bài toán trên, ta có lời giải đúng như sau:
(x-3)(Ln5+
x
1
Ln2) = 0
⇒





=
−=
3
5
2
x
Ln
Ln
x
Cần nói thêm rằng, đối với các phương trình siêu việt, đặc biệt là khi
thực hiện trên các logarit, học sinh thường có tâm lý nặng nề khi nhìn những
hằng số lại không phải là hằng số.
7
7
Khái quát sai lầm ở ví dụ này đi đến nhận xét rằng: Giả thiết của một
định lý có thể gồm nhiều ý, và phạm vi áp dụng của nó là chỉ khi nào hội đủ
tất cả các ý trên. Thế nhưng nhiều khi các em học sinh lĩnh hội nội dung còn
qua quýt, giành sự chú tâm vào một số ý nào đó dẫn tới sự mơ hồ các ý còn
lại. Bên cạng đó, về cách giảng dạy thì giáo viên ít khi làm sáng tỏ những chi
tiết này thông qua các phản ví dụ.
Ví dụ 2. Giải phương trình
3x
3
-6x
2
-9x=9(x
2

-2x-3) (*)
+Lời giải sai: (*)
⇔
3x(x
2
-2x-3) = 9 (x
2
-2x-3)
⇔
3x=9
⇔
x=3.
Có thể thấy ngay x=-1 cũng là nghiệm của phương trình, sai lầm ở đây
là học sinh đã chia cả hai vế cho biểu thức x
2
-2x-3. Cần lưu ý với học sinh
rằng a.b=c.b
⇔
b(a-c)=0
+ Lời giải đúng là: (*)
⇔
(x
2
-2x-3)(3x-9)=0
⇔



=
−=

3
1
x
x

Ví dụ 3. Giải phương trình
123
3
++−+
−
xx
x
=
2
+Lời giải sai: Điều kiện:



≥+
≥−+−
01
023
3
x
xx
⇔



−≥

≤+−
1
0)2()1(
2
x
xx
⇔



−≥
−≤
1
2
x
x
Vậy không tồn tại giá trị x thoả mãn điều kiện tập xác định, vậy
phương trình đã cho vô nghiệm.
Ta có thể nhận ra khi x=1 thì biểu thức có nghĩa và x=1 chính là
nghiệm của phương trình.Vậy sai lầm của các em học sinh nằm ở chổ nào?
Đó là em đã cho rằng (x-1)
2
(x+2)
≤
0
⇔
x+2
≤
0.
+ Lời giải đúng là: Điều kiện có nghĩa

8
8



≥+
≥−+−
01
023
3
x
xx
⇔



−≥
≤+−
1
0)2()1(
2
x
xx
⇔





≥




≤
=
1
2
1
x
x
x
⇔
x=1
Thử x=1 vào phương trình ta thấy thoã mãn, vậy phương trình có nghiệm là
x=1.
Ví dụ 4. Giải phương trình x.e
x
>
e
1−
+Lời giải sai: Ta có f
1
(x
1
)=x và f
2
(x
2
)= e
x

là các hàm số đồng biến trên R, suy
ra f(x)=x.e
x
là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biển trên R.
Ta có f(-1)=
e
1−
. Do đó bất phương trình tương đương f(x) > f(-1)
⇔
x>-1.
Sai lầm khi nghĩ rằng tích của hai hàm số đồng biến là hàm số đồng
biến, nếu các hàm số đồng biến chỉ nhận các giá trị dương thì mới kết luận
được.
+Lời giải đúng: Xét hàm f(x) = x.e
x
với x
∈
R. Ta có f
’
(x)=e
x
(x+1) nên ta có:
x -
∞
-1 +
∞
f
’
(x) - 0 +
f(x)

Từ đó ta có f(x) >
e
1−
⇔
x≠ -1
Ví dụ 5. Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với mọi x
33)1(2)1(
2
−+−−+ mxmxm
9
9
+
∞
e
1
−
+
∞
+Lời giải sai: Biểu thức có nghĩa với mọi x
⇔
f(x)=(m+1)x
2
-2(m-1)x+3m-3
≥
0
∀
x
⇔




≤∆
>
0
0
'
a
⇔



≥+−
−>
0)2)(1(2
1
mm
m

⇔
m
≥
1
Ta có kết quả m
≥
1.
* Cần thường xuyên nhắc các em học sinh khi giải dạng toán này rằng
f(x)=ax
2
+bx+c
≥

0
∀
x khi và chỉ khi










≤∆
>



≥
==
0
0
0
0
a
c
ba
Và lời giải trên thiếu trường hợp a=0
+Lời giải đúng: Biểu thức có nghĩa
∀

x.
• Trường hợp 1:



≥
==
0
0
c
ba

⇔





≥
−=
=
1
1
1
m
m
m
không có giá trị m thoã mãn.
• Trường hợp 2:




≤∆
>
0
0a

⇔
m
≥
1
Tóm lại m
≥
1.
1.3. Sai lầm liên quan đến đặt điều kiện, biến đổi phương trình
Ví dụ1: Giải phương trình: 2cos(2cosx) =
3
Có học sinh đặt: t = 2cosx, được phương trình:
2cost =
3
⇔
3
cost
2
=
⇔ t = ± 30
0
+ k 360
0
Sai lầm ở đây là học sinh không nắm được giải phương trình cost = a với

t = 2cosx là tìm tất cả các số thực t làm cho đề cost = a là đúng, ẩn t
không phải là góc, là cung lượng giác, do đó không có số đo và đơn vị đo
bằng độ.
10
10
Hướng giải đúng: Giải phương trình
3
cost
2
=
=⇔ t
π
π
2
6
k+±
(1)
Xét phương trình: 2cosx = t (2) với tham số t lấy giá trị trong tập hợp
xác định bởi (1), có (2) ⇔
t
cosx
2
=
.
Phương trình này có nghiệm ⇔
t
1 k 1
2
π
≤ ⇔ π + ≤

12
. Điều này không
xảy ra với mọi k nguyên khác không
Với k = 0 ta có: cosx = ±
π
12
Nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên là hướng dẫn học sinh dự đoán
được những sai lầm phân tích để tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp
tích cực để rèn luyện năng lực giải Toán.
Ví dụ 2: Giải phương trình: (cos2x - cos4x)
2
= 4 + cos
2
3x
Đây là phương trình không mẫu mực nên học sinh rất khó khăn khi chọn
phương pháp giải, vì thế rất dễ mắc sai lầm. Nhiều em nhận thấy vế trái xuất
hiện bình phương nên khai triển ra, sau đó dẫn đến phương trình phức tạp
hoặc tìm cách biến đổi đưa về các hàm lượng giải của cùng một góc.
Cách giải đúng: (cos2x - cos4x)
2
≤ 4 ∀x ∈R
4 + cos
2
3x ≥ 4 ∀x ∈R
Vậy (cos2x + cos4x)
2
= 4cos
2
3x ⇔
2

2
(cos2x cos4x)
4 cos 3x 4

−


+ =


(cos2x cos4x) 2 (1)
cos3x 0 (2)
− =


=

Giải (1)
11
11
(1) ⇔
cos2x 1 cos2x 1 (b)
hay
cos4x 1 cos4x 1
= = −
 
 
= − =
 
Giải (a)

x k
2x k2
4x k2
x k
4
= π

= π


⇔
 
π π
= π + π
= +


 2
⇔ vô nghiệm
Giải (b)
x k
2x k2
2
4x k2
x k
π

= + π

= π + π



⇔
 
= π π


=

 2
⇔
x k
π
= + π
2
(k ∈Z)
Xét (2):
3
3x 3k
π
= + π
2
⇒ cos3x = 0 (thoả mãn)
Vậy
x k
π
= + π
2
(k ∈ Z) là nghiệm phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình tan7x=tan5x

Ta có: tan7x = tan5x
⇔
7x=5x+kπ
⇔
x=k
2
π
(k
∈
Z)
Rõ ràng, nếu k=1 thì x=
2
π
lại không phải là nghiệm, bởi vì các giá trị này
không thoả mãn điều kiện cos 5x
≠
0, cos7x
≠
0.
Sai lầm ở đây là học sinh đã quên tìm tập xác định của phương trình. Để
khắc phục sai lầm này giáo viên cần nhắc nhở học sinh rằng:
Nếu
α
là một số tuỳ ý thì phương trình tanx = tan
α
có nghiệm x =
α
+ k
π
Kết luận đó bao hàm cả khẳng định rằng các số x =

α
+k
π
thoã mãn điều
kiện cosx
≠
0.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
sinx +
3
cosx =
x2sin3x2cos2 ++
(1)
Ta gặp nhiều học sinh lập luận như sau:
12
12
Tập xác định của (1) là: 2 + cosx +
3
sin2x
≥
0

⇔
2+2(
0)x2sin
2
3
x2cos
2
1

≥+

⇔
2+2
)
3
x2cos(
π
−
0≥

⇔
Rx ∈∀
Khi đó vế phải không âm mà vế phải bằng vế trái nên vế trái cũng
không âm. Vì vậy hai vế đều không âm, bình phương hai vế ta được phương
trình tương đương:
(sinx +
3
cosx)
2
= 2 + cos2x +
3
sin2x
<=>







π
−+=






π
− )
3
x2cos(12)
6
x(cos(2
2
<=> 2
=






π
−+ )
3
x2cos(1
2







π
−+ )
3
x2cos(1
đúng với
Rx ∈∀
Vậy nghiệm của phương trình (1) là với mọi
Rx ∈∀
.
Đây là một lập luận sai, sai lầm cơ bản nhất là sử dụng các phép biến
đổi không tương đương.
Cách lập luận trên đây của học sinh là đúng khi xét trên tập nghiệm của
phương trình, nhưng giải phương trình lại là đi tìm tập nghiệm. Do đó sau khi
tìm được những giá trị cần phải đối chiếu xem những x đó có thuộc tập
nghiệm hay không, tức là phải lần lượt kiểm tra từng giá trị, điều đó nói
chung không khả thi.
+Lời giải đúng: Ta có (1)
13
13
zk,2k
3
2
x2k
3
Rx
2k

3
2
2k
3
Rx
0)
6
xcos(2
x2sin3x2cos2)xcos3x(sin
0xcos3xsin
2
∈π+
π
≤≤π+
π
−⇔





∈∀
π+
π
≤π+
π
−
⇔






∈∀
≥
π
−
⇔





++=+
≥+
⇔
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
f(x) =
01)cot(tantan3
sin
3
2
2
=−+++
xxmx
x
(5)
Nhiều học sinh lập luận như sau:
Tacó (5)
01)cot(tan)

sin
1
(tan3
2
2
=−+++⇔
xxm
x
x


02)cot(tan)cot(tan3
01)cot(tan)cot1(tan3
22
22
=++++⇔
=−++++⇔
xxmxx
xxmxx
Đặt tanx + cotx = t

2cottan
222
−=+⇒
txx
Khi đó ta có: 3 (t
2
-2) + mt + 2 = 0

⇔

3t
2
+ mt - 4 = 0 (5’)
Phương trình (5) có nghiệm
⇔
phương trình (5’) có nghiệm, vì
phương trình (5’) có a.c=-12 < 0 nên phương trình (5’) luôn có hai nghiệm
phân biệt. Do đó phương trình (5) luôn có nghiệm.
Học sinh đã mắc phải sai lầm trong lập luận ở chỗ đã không quan tâm
gì đến điều kiện của t và cho rằng phương trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi
phương trình (5’) có nghiệm.
Lời giải đúng cần bổ sung
Điều kiện của t là:
2t ≥
14
14
Phương trình (5) có nghiệm
⇔
phương trình (5’) có nghiệm thoả mãn
2t ≥
Phương trình (5’) luôn có hai nghiệm phân biệt t
1
, t
2
Mặt khác, vì
3
4
t.t
21
=

nên phương trình (5’) không thể đồng thời có
hai nghiệm t
1
, t
2
thoả mãn
2t
1
≥
và
2t
2
≥
.
Do đó (5) có nghiệm <=> (5’) có một nghiệm trong đoạn
[ ]
2;2−
và một
nghiệm ngoài khoảng (-2; 2).
<=>
0)2(f)2(f ≤−
<=>
0)m28)(m28( ≤+−
<=>
.4m ≥
Học sinh có thể tìm điều kiện để phương trình (5
,
) có nghiệm thoả mãn
2t ≥
theo cách khác.

1.4. Sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán
Nhiều khi ta không đi giải bài toán đã cho mà lại đi giải một bài toán
tương đương với bài toán ban đầu, Tất nhiên không phải bài toán nào cũng là
một mệnh đề mà sẽ có nhiều bài toán nêu ra dưới dạng tìm tòi. Những sai lầm
liên quan đến chuyễn đổi bài toán thường có liên quan đến việc đặt ẩn phụ,
thay biến, Thực hiện các phép biến đổi tương đương và chuyển đổi ngôn ngữ.
Việc chuyễn đổi đúng nhiều khi có tác dụng rất rõ rệt vì lúc đó việc giải bài
toán đã cho gặp nhiều khó khăn, nhưng khi chuyễn đổi hợp lý thì việc giải bài
toán thuận lợi hơn nhiều. Nhưng nếu ta chuyển đổi sai thì hậu quả thường gặp
sẽ là: Hệ của các điều kiện đặt ra cho bài toán mới chưa đủ đáp ứng yêu cầu
của bài toán cũ.
Muốn rèn luyện cho học sinh chuyển đổi bài toán phòng tránh những
thiếu sót và sai lầm thì trước hết phải rèn luyện cho họ cách nhìn một vấn đề
linh hoạt bằng nhiều góc độ khác nhau. Cần phải rèn luyện nhận thức sự
15
15
tương ứng giữa các đối tượng, tức cần phải trau dồi tư duy hàm. Cần phải
trang bị cho học sinh kiến thức về phép biến đổi tương đương, nhất là sự
tương đương giữa các phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
(1+m)(
2
2
2
)
1+x
x
-3m
1
2

2
+x
x
-4m =0
Những bài toán dạng này thường thấy học sinh gặp phải những sai lầm và khó
khăn như sau:
-Vì thấy một quy luật nào đó giữa các hạng tử, cho nên học sinh nhanh
chóng đặt một ẩn phụ, và cũng vì sự nhanh chóng ấy cho nên nhiều khi không
có ý thức đặt một điều kiện tương xứng cho ẩn phụ. Ta luôn phải làm cho học
sinh nhớ rằng nếu ta đặt ẩn phụ và chuyển đổi yêu cầu của bài toán thì cẩn
thận với việc phát biểu không đủ ý với ẩn vừa đặt.
- Dù rằng các em đã có ý thức đặt điều kiện cho ẩn phụ nhưng xác định
không rõ về mức độ của điều kiện ấy, tức là nhiều khi mới rút ra được một
điều kiện nào đó của ẩn phụ thì đã vội vàng khép lại việc làm này. Cần cho
học sinh thấy rằngvới những bài toán biện luận về sự có nghiệm của phương
trình chứa tham số thì hầu như ta không có điều kiện để tìm ra nghiệm cụ thể,
mà thay vào đó là tìm một điều kiện sát thực cho ẩn t, nghĩa là t phải như thế
nào thì ắt sẽ có x tương ứng. Bản chất của vấn đề đó là: Hàm f: X
→
R
x

t=f(x)
thì t phải thuộc miền giá trị của hàm f.
- Đặt t=
1
2
2
+x
x

để dẫn tới điều kiện 0
≤
t<1
Thì có trường hợp ta diễn đạt đầy đủ theo lối của phương pháp tìm miền giá
trị: x
2
=t(x
2
+1)
⇔
(1-t)x
2
=t
16
16
Xét hai khả năng: t=1 và t
≠
1
Nếu t
≠
1 thì
t
t
−1
phải không âm, nghĩa là 0
≤
t<1. Còn nếu t=1 thì không
chấp nhận.
Tuy nhiên cũng cần rèn luyện cho học sinh cảm nhận trực giác về việc
tìm điều kiện đối với ẩn t chứ không nhất thiết bài toán nào cũng làm theo

phương pháp miền giá trị.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình (x-3)(x+1)+4(x-3)
3
1
−
+
x
x
=m (1) có
nghiệm.
Giải: điều kiện x
≤
-1, x>3
Đặt t=(x-3)
3
1
−
+
x
x
, phương trình trở thành t
2
+4t-m=0 (2)
Đặt ẩn phụ kiểu này sẽ thuận tiện hơn trong khâu biến đổivế trái so với
cách đặt ẩn phụ khác bởi vì không cần xét riêng rẽ các trường hợp x
≤
-1, x>3.
Tuy nhiên vì nhanh chóng rút ra được phương trình bậc 2 đối với ẩn t nên học
sinh có thể quên mất điều kiên cần phải có của t. Sau khi tìm điều kiện một
cách cẩn thận thì thấy rằng bất kỳ t nào trên R cũng có những x tương ứng, dĩ

nhiên đó là ngẩu nhiên. Vì vậy học sinh không đặt vấn đề tìm điều kiện thì rốt
cuộc đáp số vẩn ắt đúng nhưng lời giải chưa thể chấp nhận được. Để tìm điều
kiện cuả t, ta có các cách sau:
Cách 1: Ta có
+∞=
+∞→
Limt
x
và
−∞=
−∞→
Limt
x
Mặt khác hàm số liên tục trên (-∞;-1] và [3;+ ∞), do vậy t có thể lấy bất kỳ
giá trị nào.
17
17
Cách 2: t= (x-3)
3
1
−
+
x
x
⇔











+−=
≤−≤



+−=
>>
)3)(1(
0,2
)1)(3(
0,3
2
2
xxt
tx
xxt
tx
Dể thấy rằng phương trình x
2
-2x-3-t=0 trong trường hợp t >0 luôn có ít nhất 1
nghiệm lớn hơn 3.
Nhiều tình huống chuyển đổi bài toán thông qua một số phép biến đổi,
vì vậy có thể mắc sai lầm trong chuyển đổi, đặc biệt là các phép biến đổi hệ
quả và tương đương.
Ví dụ 3: Phương trình có dạng

3
)(xf
+
3
)(xg
=
3
)(xh
(1)
Thường được học sinh biến đổi như sau:
(1)
⇔
(
3
)(xf
+
3
)(xg
)
3
=h(x)
⇔
f(x)+g(x)+3
3
)().( xgxf
(
3
)(xf
+
3

)(xg
)=h(x)
⇔
f(x)+g(x)+3
3
)().( xgxf
.
3
)(xh
= h(x)
⇔
27f(x).g(x).h(x)=(h(x)-f(x)-g(x))
3
Và đã đưa phương trình về không chứa dấu căn.
Thông thường, giáo viên căn dặn học sinh cẩn thận khi luỷ thừa lên bậc
chẳn, và nói chung khi luỹ thừa bậc lẻ thì không gặp vấn đề gì, bởi vậy đã có
thể nhập tâm với sự căn dặn ấy cho nên trong tình huống này việc dùng các
phép tương đương là không có khúc mắc gì. Tuy nhiên cần làm cho học sinh
thấy đối với phương trình dạng
A+B=C
⇔
A
3
+B
3
+3AB(A+B)=C
3

⇔
A

3
+B
3
+(-C)
3
=-3AB(A+B)
Nếu ta khẳng định nó cũng tương đương với A
3
+B
3
+3AB(A+B)=C
3
thì
có nghĩa là ta cho rằng A
3
+B
3
+(-C)
3
=-3ABC là tương đương với A+B=C
Tuy nhiên, A
3
+B
3
+(-C)
3
=-3ABC
⇔
A
3

+B
3
+(-C)
3
-3AB(-C)=0

⇔
[A+B+(-C)](A
2
+B
2
+(-C)
2
-AB-AC-BC)=0
18
18
Nếu ta muốn khẳng định A+B=C thì ta phải khẳng định
A
2
+B
2
+(-C)
2
-AB-A(-C)-B(-C)
≠
0
Nói cách khác, ta phải chắc chắn được không xẩy ra đồng thời A=-C và
B=-C, thì khi ấy mới chắc chắn có sự tương đương như đã biến đổi.
Cách giải thích này sẽ giải quyết tận gốc bản chất của vấn đề, còn nếu
không sử dụng cách này thì ta có thể chỉ ra các phản ví dụ cụ thể theo tinh

thần là lựa chon 3 hàm f(x), g(x), h(x mà hệ f(x)-g(x)=-h(x) có nghiệm.
Ví dụ 4: Cho hàm số y=
mx
mxmmx
−
−−−+ 12)2(
2
a, Tìm m để hàm số có cực trị.
b, CMR với những giá trị m vừa tìm được, thì trên đồ thị luôn tìm được
2 điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Giải:
a, Hàm số đạt cực đại
⇔
pt y
,
=0 có 2 nghiệm phân biệt, việc chuyển từ yêu
cầu có cực trị thành yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt đó cũng
chính là việc chuyển đổi bài toán. Kiến thức này cũng có thể coi là tư duy
thuật giải bởi vì đối với hàm số bậc hai trên bậc nhất thì sau một số lần thao
tác, học sinh sẽ nhớ được quy tắc: Có cực trị tương đương với đạo hàm có 2
nghiệm phân biệt. Tuy nhiên khi dạy về cực trị của hàm số thì không nên cho
học sinh nhớ một cách máy móc về điều kiện đạt cực trị của hàm phân thức
bậc hai trên bậc nhất, cần phải xuất phát từ cái gốc của vấn đề để học sinh
nắm vững kiến thức hơn: Vì y là hàm số bậc hai trên bậc nhất nên nên y
,
là
hàm số bậc hai trên bậc hai, sự có nghiệm của y
,
phụ thuộc vào sự có nghiệm
của tử số. Nếu

∆
≤
0 thì đạo hàm không đổi dấu cho nên hàm số giữ nguyên
một chiều biến thiên, vì vậy nó không thể có cực trị; nếu
∆
>0 thì đạo hàm sẽ
có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó, nghĩa là hàm số
đạt cực đại tại các điểm đó.
19
19
b, Ta có y
,
=
2
322
)(
12
mx
mxmmx
−
++−
=1+
2
)(
1
mx −
Ta chuyển đổi về bài toán: CMR nếu m<0 thì tồn tại x
1
,x
2

sao cho (m+
2
1
)(
1
mx −
)(m+
2
2
)(
1
mx −
) = -1
Đến đây rất dể phạm phải một sai lầm, đó là biến đổi để dùng định lý
Viet. Thực ra x
1
,x
2
chỉ là hoành độ các tiếp điểm chứ không phải là hoành độ
các điểm cực trị. Nếu học sinh sa vào tính toán hay biến đổi thì sẽ gặp lấy
phức tạp, trong khi đó nếu có khả năng trừu tượng hoá thì nhận thấy rằng
2
1
)(
1
mx −
và
2
2
)(

1
mx −
không bị hạn chế bởi điều kiên nào khác ngoài điều
kiện phải dương. Do đó ta có bài toán tương đương: CMR
∀
m<0 thì tồn tại
X
1
và X
2
dương sao cho:
(m+X
1
)(m+X
2
)=-1
⇔
(m+X
1
)=
2
1
XM +
−

⇔
X
1
=
2

1
XM +
−
-m
⇔
X
1
=
2
2
2
1
Xm
mXm
+
−−−
Để đảm bảo X
1
và X
2
dương, ta chọn



−−<
−>
mmX
mX
1
2

2

⇔





−−
>
−>
m
m
X
mX
2
2
2
1
Ví dụ 5: Cho phương trình (x—3)(x+1)+4(x-3)
3
1
−
−
x
x
=m (1)
a, Giải phương trình khi m=-3
b, Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:

điều kiện
3
1
−
+
x
x
≥
0
⇔



−≤
>
1
3
x
x
(*)
Đặt t= (x-3)
3
1
−
−
x
x
, suy ra (x—3)(x+1)=t
2
20

20
Khi đó phương trình có dạng t
2
+4t-m=0 (2)
Với m=-3, phương trình (2) trở thành t
2
+4t+3=0
⇔
t=-3, t=-1
*Với t=-3, ta được (x-3)
3
1
−
−
x
x
=-3
⇔
x=1-
13
*Với t=-1, ta được (x-3)
3
1
−
−
x
x
=-1
⇔
x=1-

5
b, Phương trình (1) có nghiệm, suy ra (2) có nghiệm
⇔
0≥∆
⇔
m
≥
-4
Giử sử khi đó (2) có nghiệm t
0
thì t
o
=(x-3)
3
1
−
−
x
x
• Với t
o
=0 thì x=-1
• Với t
o

>
0 suy ra




=+−
>−
o
txx
x
2
)1)(3(
03
⇔





+=
>
+
−
2
0
41
3
tx
x
⇔
x=1+
2
0
4 t+
• Với t

o

>
0 suy ra



=+−
>−
o
txx
x
2
)1)(3(
03
⇔





+=
<
+
−
2
0
41
3
tx

x
⇔
x=1-
2
0
4 t+
Vậy với m
≥
-4 thì phương trình (1) có nghiệm.
Trong bài toán trên, học sinh dể mắc sai lầm từ phép biến đổi
(x-3)
3
1
−
−
x
x
=
)1)(3( +− xx
, đó dĩ nhiên không phải là phép biến
đổi tương đương, bởi vì (x-3)
3
1
−
−
x
x
=






<−+−−
>−+−
03)1)(3(
03)1)(3(
xxx
xxx
21
21
Chương 2
CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM HẠN CHẾ VÀ SỬA CHỮA
CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
2.1. Các phương châm chỉ đạo
Trong quá trình dạy học Toán, để học sinh hạn chế các sai lầm khi giải
toán phương trình và bất phương trình, giái viên cần tuân thủ các phương
châm sau:
- Phương châm thứ nhất: Tính kịp thời
Các biện pháp phải chú ý thích ứng với thời điểm thích hợp. Biện pháp
chỉ phát huy hiệu quả nếu được áp dụng đúng lúc, không thể tuỳ tiện trong
việc phân tích và sửa chữa, cũng như hạn chế sai lầm của học sinh. Đặc biệt là
thời gian mà giáo viên tiếp xúc trực tiếp với học sinh là có hạn, do đó sự
không kịp thời sẽ là sự lãng phí thời gian và giáo viên khó có có điều kiện lấy
lại thời gián đã mất. tính kịp thời của phương pháp đòi hỏi giáo viên phải có
sự nhanh nhạy trước các tình huống điển hình nhằm tác động đến hoạt động
của học sinh, tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu và dự đoán trước
các tình huống có thể mắc sai lầm của học sinh, đòi hỏi giáo viên phải luôn ở
vị trí thường trực với mục tiêu dạy học. Các sai lầm càng sửa muộn bao nhiêu

thì sự vất vả của thầy và trò càng tăng thêm bấy nhiêu.
- Phương châm thứ hai: Tính chính xác
Đòi hỏi giáo viên phải đảm bảo độ chính xác từ ngôn ngữ thông thường
đến ngôn ngữ Toán học, đòi hỏi phải chỉ ra chính xác nguyên nhân dẩn tới sai
lầm của học sinh trong lời giải. Giáo viên không được phủ nhận lời giải sai
một cách chung chung, đòi hỏi sự đánh giá mức độ sai lầm của học sinh. Tính
22
22
chính xác đòi hỏi giáo viên đánh giá lời giải của họ sinh qua sổ điểm một
cách công bằng, phải biết hướng dẫn điều chỉnh sửa chữa sai lầm bằng các
biện pháp tối ưu.
- Phương châm thứ ba: Tính giáo dục
Tính giáo dục giúp học sinh thấy được tầm quan trọng trong sự chính
xác của lời giải, giúp học sinh tránh được các sai lầm khi sai lầm chưa xuất
hiện. Tính giáo dục còn giúp cho có ý chí trong học Toán và giải Toán. Các
em có sự kiên trì và cẩn thận để đi tới lời giải đúng, tạo ra thói quen kiểm tra
lời giải và biết cách phủ định các sai lầm trong lập luận. Tính giáo dục còn
giúp học sinh không dấu dốt, dám hỏi khi chưa hiểu và không bao giờ tự thoả
mãn với kết quả đã đạt được.
2.2. Các biện pháp sư phạm chủ yếu:
2.2.1. Nắm vững các kiến thức về môn Toán
R.AAxnop nói: "Việc tiếp thu tri thức cách có ý thức được kích thích
bởi việc học sinh tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai
lầm mà mình phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lý luận
về bản chất của các sai lầm". Một trong những nguyên nhân chủ yếu của các
sai lầm là do trình độ còn yếu. Trong đó có thể là học sinh không nắm vững
kiến thức cơ bản về môn Toán. Khi truyền thụ giáo viên cần lưu ý:
Nắm vững nội dung môn Toán phổ thông trung học: Đặc biệt là các tình
huống điển hình trong môn Toán ( Dạy học khái niệm môn Toán, định lý Toán
học, quy tắc, phương pháp và đặc biệt là dạy học giải bài tập Toán học ). Khi

dạy khái niệm cần chú ý đến nội hàm, ngoại diên và mối quan hệ giữa các khái
niệm, khi dạy định lý cần chú ý đến cấu trúc lôgic và giả thiết của định lý.
23
23
Trong giải Toán để tránh các sai lầm, học sinh cần đặc biệt chú ý tới
các hoạt động nhằm tích cực hóa hoạt động học tập. Học sinh chủ động nắm
kiến thức bằng "Lao động" của mình. Đó là các hoạt động nhận dạng, thể hiện
hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ và hoạt động ngôn ngữ, thông
qua các hoạt động này học sinh mới bộc lộ những sai lầm, từ đó mà dự đoán,
phòng tránh và sửa chữa sai lầm.
* Đặc biệt phương pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ trong việc
phòng ngừa các sai lầm cho học sinh. Nếu học sinh được làm quen với các hệ
thống phương pháp dạy học mới, khêu gợi trí sáng tạo, biết phát hiện và giải
quyết vấn đề sẽ tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế việc mắc
sai lầm trong dạy học giải Toán.
2.2.2. Nắm vững các kiến thức về lôgic
“Rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh là nhiệm vụ hàng đầu của việc
dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Nhiệm vụ đó đòi hỏi ở người giáo
viên có kiến thức về lôgic học- khoa học về suy luận, về tư duy, vận dụng
kiến thức vào môn Toán” (Hoàng Chúng ).
Toán học hiện đại được xây dựng trên nền tảng của lý thuyết tập hợp và
lôgic Toán. Lôgic Toán đóng vai trò quan trọng trong dạy học giải Toán; giúp
cho tiến trình giải Toán được chính xác, rõ ràng và nhất quán. Đó là năng lực
nhìn thấy tính không rõ ràng của suy luận, sự thiếu các mắt xích cần thiết khi
chứng minh; Có thói quen lí giải lôgic một cách đầy đủ; có sự chính xác của
suy luận. Một trong các nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh khi giải
Toán là trình độ hiểu biết các kiến thức cần thiết về lôgic còn yếu. Học sinh
thường khó nhận thấy các sai lầm về lôgic.
Trong dạy học phương trình có thể hiểu: " Phương trình là một hàm
mệnh đề, nghiệm của phương trình là giá trị của biến làm cho hàm mệnh đề

24
24
đó trở thành mệnh đề đúng" sẽ giúp cho học sinh dễ tránh được những sai
lầm.
Chẳng hạn: Phương trình sin x = a có tập xác định R được hiểu là hàm
mệnh đề "Số trị của hàm f(x) = sin x bằng a". Giải phương trình sin x = a là
tìm tất cả các số thực x làm cho mệnh đề sin x = a là đúng.
Ví dụ: Phương trình sin x( 3x + 1 )= sin ( x - 2 ) nhất thiết phải hiểu
theo nghĩa hàm mệnh đề. Có như vậy mới tránh được các sai lầm đáng tiếc
trong ví dụ trên.
- Dựa vào tiền đề sai, hoặc tiền đề chưa được chứng minh.
- Không nắm vững cấu trúc của định lý, không xét toàn diện giả thiết
của định lý, suy luận sai dẫn đến nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận.
2.2.3. Nắm vững những nội dung về năng lực giải Toán
Khi giải các bài toán về phừơng trình và bất phương trình, giáo viên
cần cho học sinh nắm vững bản chất, các thành phần và đặc trưng, cơ chế
lôgic và các điều kiện hình thành năng lực giải toán; Khai thác được tiềm
năng sáng tạo qua con đường phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh
trong dạy học giải Toán, cung cấp thêm tri thức cho học sinh, giúp phòng
tránh và xử lý các sai lầm trong giải Toán, giúp học sinh nắm vững các kiến
thức cơ bản và toàn diện về giải Toán
2.2.4. Nắm vững một số phương pháp giải Toán cơ bản
Việc xác định hướng giải một bài tập có liên quan mật thiết với việc lựa
chọn phương pháp và công cụ thích hợp để giải một bài tập. Theo Nguyễn Thái
Hoè trong [4] " Một bài tập chỉ có thể có lời giải tốt khi chọn được phương
pháp và công cụ thích hợp với hướng giải đã có ". Không tìm được phương
pháp giải phù hợp với bài tập có thể đưa đến các sai lầm: Đặt điều kiện sai,
biện luận không hết các trường hợp, không theo trình tự lôgic, không có cách
25
25