Làm quen với Bài toán cấp số nhân potx

Người soạn Pham Huy Hoat 7 -2011

1
Làm quen với Bài toán cấp số nhân

I Giới thiêu:
HS tiểu học và THCS chưa học đến Cấp số nhân nhưng đôi khi cũng
gặp một số bài toán liên quan. Hoăc bài toán thử sức/ Toán đố Tài liệu
nà giới thiệu một vài bài để HS dù học THCS hay THPT cũng làm quen
ứng dụng.
II Khái niệm & công thước cơ bản

III Một số bài toán mẫu
Bài 1 : Việt Nam có 1 bài toán cổ quen thuộc gọi là "Bài toán hạt
gạo", Bài toán này (tương tự bài toán bàn cờ Ấn độ) như sau :
Sau khi 1 Nhà thông thái lập được công lớn. Nhà vua hứa ban thưởng
cho nhà thông thái bất cứ thứ gì Ông muốn. Nhà thông thái thưa với
vua :
" Thần chỉ muốn xin cái quý nhất để sống đó chính là gạo"
Nhà vua cười và bảo :
"Ngươi chỉ xin có thể thôi à, Vậy ngươi muốn bao nhiêu hạt gạo ta
cũng chiều".
Nhưng Nhà thông thái bèn thưa rằng :
Người soạn Pham Huy Hoat 7 -2011

2
"Trong 1 bàn cờ gồm có 64 ô. Bắt đầu từ ô thứ nhất, Vua đặt vào 1 hạt
gạo. Tiếp tục ở ô thứ hai, Vua đặt vào 2 hạt gạo. Cứ thế với những ô
tiếp theo với số gạo gấp đôi số gạo ở ô liền trước nó. Cuối cùng cho
đến hết 64 ô của bàn cờ.
Tổng số hạt gạo thu được trong 64 ô đó là số gạo mà thần xin bệ hạ

ban tặng".
Nhà vua nghĩ "Như thế thì chắc chỉ có 1 bao gạo là cùng".
Nhưng sau tính ra với một con số khủng lồ.
Vậy số gạo mà Nhà thông thái cần là bao nhiêu ?

Bài Giải :
Ký hiệu số thứ tự các ô lần lượt là từ 1 đến 64, Tổng số hạt gạo trên đó
là
. S =
Khi đó, S là một cấp số nhân với công bội là 2, = 1.

. S =
Đáp số của bài toán là một con số gồm 20 chữ số . Số gạo này có thể
trải lên toàn bộ bề mặt trái đất với độ dày lên đến 2 mm.

Bài 2 - tính Khổ giấy in:
Hiện đang có các khổ giấy in:
A0, A1, A2, A3. A4 Như
hình bên. Biêt diện tich A0 =
2 A1;
A1 = 2 A2; A2 = 2 A3 theo
Người soạn Pham Huy Hoat 7 -2011

3
qui luật Cấp số nhân với công bội
q = ½. Với kích thước ghi tại hình bên , tính xem Nếu kích thước
chiều rông mỗi khổ giấy cũng theo cấp số nhân thì công bội là bao
nhiêu ?
* Hướng Giải 1:
Lấy chiều rộng của 2 khổ giấy liền kề chia cho nhau có kết quả:

Vì tỷ số chiều rộng 2 khổ giấy liền kề luôn sấp xỉ 1, 413 ~ nên
các số đo này xếp thứ tự theo Cấp số nhân “lùi”,
công bội là

*Hướng Giải 2
Vi diện tich các khổ giấy A0, A1, A2, A3. A4. theo cấp số nhân với
công bội q = ½ , mà Diện tich S = chiều dài x Chiều rộng. Do đó
chiều rộng (chiều dài) cũng theo cấp số nhân,
nhưng công bội q’ =

IV Bài thực hành : ( ap dụng cho cả HS trình độ THCS và THPT)

Bài 1:
a) Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số
nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.
b) Độ dài các cạnh của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân.
Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá 60 độ

Người soạn Pham Huy Hoat 7 -2011

4
Bài 2: Số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số
hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công
bội của cấp số đó.

Bài 3: Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số
hạng đầu là 148/9, đồng thời, theo thứ tự, chúng là sô hạng thứ nhất,
thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng

Bài 4: Chứng minh rằng nếu 3 số lập thành một cấp số
cộng thì 3 số x,y,z lập thành một cấp số nhân

**ĐA & Hướng giải

Bài 1:
a) Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số
nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.

Hướng dẫn
Goi 4 góc đó có số do lần lượt là
, q là công bội (q>0)


Ta có
Vây 4 góc đó là


Người soạn Pham Huy Hoat 7 -2011

5

b) Độ dài các cạnh của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân.
Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá 60 độ

.b. Giả sử tam giác ABC thoả , giả sử hay a là cạnh nhỏ nhất
trong tam giác. Khi đó, rõ ràng: .
Ta cần chứng minh hay
.
Thay giả thiết vào điều phải chứng minh ở trên, ta thấy đúng. ( Đ P C

M).

Bài 4: Chứng minh rằng nếu 3 số lập thành một cấp số
cộng thì 3 số x,y,z lập thành một cấp số nhân

Bài giải
lập thành cấp số cộng nên





Vậy 3 số x,y,z lập thành một cấp số nhân