Tài liệu ôn thi đại hoc 2014

Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ BỔ KHUYẾT
CHUYÊN ĐỀ :
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
THƯỜNG GẶP
Giáo viên báo cáo : Phạm Đỗ Hải
Đơn vị : Trường THPT Tây Nam
MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY.
BÀI TOÁN 1 : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PP : 1) Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn đồng biến ( nghịch biến) trên R
(Thường là hàm số bậc 3)
+ Tập xác định.
+ Tính y’.
+ Hàm số luôn đồng biến trên R khi y’ ≥ 0 (y’ ≤ 0)∀x∈R.
Từ đó dùng pp đồ thị hoặc sử dụng a >0 và ∆ ≤ 0 (a<0 và ∆ ≤ 0)
2) Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng cho
trước.
PP + Tập xác định.
+ Tính y’.
+ Hàm số luôn đồng biến trên R khi y’ ≥ 0 (y’ ≤ 0)∀x∈R.
Từ đó dùng định lí về dấu của tam thức bậc 2 hoặc pp đồ thị.
* Lưu ý : + Giả sử tồn tại
( )
K
Max f x
thì f(x) ≤ g(m), ∀x∈K ⇔
( )
K
Max f x
≤ g(m)
+ Giả sử tồn tại

( )
K
Min f x
thì f(x) ≥ g(m), ∀x∈K ⇔
( )
K
Min f x
≥ g(m).
Ví dụ 1 Cho hàm số y = − x
3
− 3x
2
+ mx + 4, trong đó m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).
Giải
Tập xác định : D = R
y’ = – 3x
2
– 6x + m
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞)
⇔ y’ = – 3x
2
– 6x + m ≤ 0, ∀ x > 0
⇔ 3x
2
+ 6x ≥ m, ∀ x > 0 (*)
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 1
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) = 3x
2

+ 6x trên [0 ; + ∞) . (Do g(x) liên tục tại x = 0)

Từ đó ta được : (*) ⇔ m ≤ 0.
Ví dụ 2 Cho hàm số
3 2
y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2 ; + ∞)
Giải.
Tập xác định : D = R
2
y' 6x 6(2m 1)x 6m(m 1)= − + + +
.
1
2
x m
y' 0
x m 1
=

= ⇔

= +

(y’= 0 có
01)(4)12(
22

>=+−+=∆ mmm
)
Hàm số đồng biến trên
( )
+∞;2

⇔
y' 0≥

2>∀x
⇔
21 ≤+m
⇔
1≤m
.
Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số
2
2x 3x m
y
x 1
− +
=
−
đồng biến trên khoảng (3 ; +∞)
Giải
Tập xác định : D = R \ {1}
Khi đó ta có
( )
2
2

2x 4x 3 m
y' 0, x 3
x 1
− + −
= ≥ ∀ >
−
⇔ 2x
2
– 4x + 3 – m ≥ 0, ∀x ∈(3 ; +∞)
⇔ 2x
2
– 4x + 3 ≥ m, ∀x ∈(3 ; +∞)
Xét hàm số g(x) = 2x
2
– 4x + 3 trên khoảng [3 ; +∞) (do g(x) liên tục tại x = 3)
Ta có g’(x) = 4x – 4 > 0, ∀x ∈[3 ; +∞)
⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (3 ; +∞)
⇒ g(x) > f(3) = 9
Vậy để 2x
2
– 4x + 3 ≥ m, ∀x ∈(3 ; +∞) thì m ≤ g(3) = 9
Ví dụ 4 Cho hàm số y = x
3
– ax
2
– (2a
2
– 7a + 7)x + 2(a – 1)(2a – 3).
Tìm a để hàm số đồng biến trên [2 ; + ∞)
Giải

Tập xác định : D = R
Ta có y’ = 3x
2
– 2ax – (2a
2
– 7a + 7)
Điều kiện để hàm số đồng biến trên [2 ; +∞) là y’ ≥ 0 ∀x ∈ [2 ; + ∞ )
⇔ 3x
2
– 2ax – (2a
2
– 7a + 7) ≥ 0 (*), ∀x ∈ [2 ; + ∞ )
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 2
x
g(x)
+∞
0
+∞
0
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Ta có ∆’ = 7a
2
– 21a + 21 > 0, ∀a
Gọi x
1
, x
2
(x
1
< x

2
) là 2 nghiệm của phương trình y’ = 0
khi đó tập nghiệm của bất pt (*) là (–∞ ; x
1
] ∪ [x
2
; +∞ ). Vậy để hàm số đồng biến trên [2 ; + ∞ )
thì : [2 ; + ∞ ) ⊂ (–∞ ; x
1
] ∪ [x
2
; +∞ ) hay x
1
< x
2
≤ 2.
Điều kiện là
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
x x 4 x x 4
x 2 x 2 0 x x 2 x x 4 0
+ ≤ + ≤
 
 
⇔
 
− − ≥ − + + ≥
 
 

⇒
2
2a
4
3
2a 7a 7 4a
4 0
3 3

≤



− +

− − + ≥


⇔
5
1 a
2
− ≤ ≤
Ví dụ 5 Tìm tham số m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài
bằng 3.
Thầy (cô) dùng phương pháp của mình giúp học sinh phân tích và tìm ra lời giải cho bài toán

trên?
B1 : Tìm tập xác định
B2 : Tính y’
B3 : TH1 y’ ≥ 0 ,∀x∈R loại
TH2 : y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
⇒ x
2
− x
1
 = 3
B4 : Biến đổi và áp dụng định lí viét tìm m
Giải
Tập xác định D = R
y’ = 3x
2
+ 6x + m
y’ = 0 có ∆’ = 9 − 3m
Xét ∆’ ≤ 0 thì y’ ≥ 0 ,∀x∈R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R (không thoả mãn)
Xét ∆’ > 0 ⇔ m < 3 thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2

Bảng biến thiên

Theo đề bài : x
2

− x
1
 = 3 ⇔ (x
2
− x
1
)
2
= 9 ⇔
2 2
1 2 1 2
x x 2x x 9+ − =
⇔ (x
2
+ x
1
)
2
− 4x
1
x
2
= 9
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 3
x
y’
y
−∞
+∞
x

1
x
2

0 0
−
+ +
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
⇒ 4 −
4
m
3
= 9 ⇔ m = −
15
4
(thoả mãn)
Bài tập tự nghiên cứu
Bài 1 : Với giá trị nào của tham số m để hàm số
m
y x 2
x 1
= + +
−
đồng biến trên mỗi
khoảng xác định của nó.
Bài 2 Xác định m để hàm số
( ) ( )
3
2
x

y m 1 x m 3 x
3
= − + − + +
đồng biến trên khoảng (0;3).
Bài 3 Cho hàm số y = x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2. Tìm m để hàm số:
a) Đồng biến trên R.
b) Đồng biến trên khoảng (2 ; +∞).
Bài 4 Cho hàm số y = –x
3
+ 3x
2
+ mx – 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2).
BÀI TOÁN 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PP : + Tập xác định
+ Tính y’
+ Số lần đổi dấu qua các nghiệm của y’ = 0 là số cực trị
+ Tuỳ theo điều kiện tiếp theo của bài mà ta tìm và suy ra giá trị của tham số.
* Lưu ý : Định lí viét
Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số y = x
3
– (m – 3)x
2
+ (4m –1)x – m đạt cực trị tại x
1
, x
2

sao
cho x
1
< –2 < x
2
.
Giải
Tập xác định : D = R
y’ = 3x
2
– 2(m – 3)x + 4m – 1
y’ = 0 ⇔ 3x
2
– 2(m – 3)x + 4m – 1 = 0 (1)
Để hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
sao cho x
1
< –2 < x
2
thì (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn x
1
< –2 < x
2

.
⇔ (x
1
+ 2 )(x
2
+ 2) < 0 ⇔ x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2
) + 4 < 0
Áp dụng định lí viet ta có :
4m 1 4(m 3)
4 0
3 3
− −
+ + <
⇔ 8m – 1 < 0 ⇔
1
m
8
<
Ví dụ 2 Cho hàm số y = x
4
+ 2mx
2
+ 1. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị có 3 điểm

cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 1
Giải
Tập xác định D = R
Ta có : y’ = 4x
3
+ 4mx
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 4
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
y’ = 0 ⇔
2
x 0
x m
=


= −


Hàm số có 3 cực trị khi y’ đổi dấu 3 lần trên D ⇔ y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m < 0
Khi đó ta có 3 điểm cực trị là A(0 ; 1), B(
m− −
; 1 – m
2
), C(
m−
; 1 – m
2
)
Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương, ta có ∆ABC cân tại A, Gọi D là trung điểm
của cạnh BC thì xét ∆ADC vuông tại D ta có sinC =

AD
AC
.
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, áp dụng định lí sin trong ∆ABC ta có
2
AB AB.AC AC
2R 2 2
sin C AD AD
= ⇒ = ⇔ =

⇔ –m + m
4
= 2m
2
⇔ m
3
– 2m – 1 = 0 Giải tìm và kiểm tra lại ta được m = –1,
1 5
m
2
−
=
Ví dụ 3 Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m
2
x + m có hai điểm cực trị đối xứng
nhau qua đường thẳng x – 2y – 5 = 0

Giải
Tập xác định : D = R
Ta có y’ = 3x
2
– 6x + m
2
.
Để hàm số có hai điểm cực trị thì y’ phải đổi dấu hai lần ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ > 0 ⇔ 9 – 3m
2
> 0 ⇔
3 m 3− < <
Đường nối hai cực trị là (d) có phương trình :
( )
3
2
2 m
y m 3 x m
3 3
= − + +
Gọi A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của hàm số đã cho khi đó trung điểm I của đoạn AB có
toa độ là I(1 ; m

2
+ m – 2)
A, B đối xứng với nhau qua (∆) :
1 5
y x
2 2
= −
⇔ (d) ⊥ (∆) và I ∈ (∆)
⇒
( )
2
2
2 1
m 3 . 1
3 2
m 0
1 5
m m 2
2 2

− = −


⇔ =


+ − = −


Ví dụ 4 (2013B) Cho hàm số

3 2
2 3( 1) 6 (1)= − + +y x m x mx
, với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc
với đường thẳng y = x + 2.
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 5
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Giải
Tập xác định : D = R
2
' 6 6( 1) 6y x m x m
= − + +
Hàm số (1) có 2 cực trị A và B ⇔ y’=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (m + 1)
2
– 4m > 0 ⇔ m ≠ 1.
Ta có
= − − + +
2 2
( 1)y m x m m
là đường thẳng qua A và B


=
⊥ = + ⇔ − − = − ⇔ − = ⇔

=

2 2
0
( ): 2 ( 1) .1 1 ( 1) 1

2
m
AB d y x m m
m
Vậy m = 0 hay m = 2 thì thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 5 (2012A) Cho hàm số
4 2 2
2 1 1= − + +y x ( m )x m ( )
,với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Giải
y’ = 4x
3
– 4(m + 1)x
y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x
2
= (m + 1)
Hàm số có 3 cực trị ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1
Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị A (0 ; m
2
), B (−
1m +
; – 2m – 1); C (
1m +
; –2m – 1)
Do AB = AC nên tam giác chỉ có thể vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC
⇒ M (0; −2m–1)
Do đó BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)
⇔ 2
1m +

= 2(m
2
+ 2m + 1) ⇔ (m + 1)
2
=
1m +
⇔ (m + 1)
4
= m + 1 ⇔ (m + 1)
3
= 1
⇔ 1 = (m + 1) ⇔ m = 0
Ví dụ 6 (2014B) Cho hàm số y = x³ – 3mx + 1(1), với m là tham số thực.Cho điểm
A(2; 3). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao cho ΔABC cân tại A.
Giải
Ta có
¢ ¢
= - = =Û
2 2
3 3 , 0y x m y x m
. Đồ thị hàm số đã cho có 2 cực trị khi
¢
= 0y
có 2 nghiệm
phân biệt hay
> 0.m
Gọi
( ) ( )
- + - +; 2 1 , ; 2 1B m m m C m m m
là 2 cực trị của hàm số. Tam giác

ABC
cân ở
A
khi
=AB AC
hay
( ) ( ) ( ) ( )
- - + - = - + - - - =Û
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 0m m m m m m m m m
Phương trình cuối có nghiệm dương duy nhất là
=
1
4
m
.
Vậy giá trị cần tìm là
=
1
4
m
Ví dụ 7
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 6
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Tìm m để đồ thị hàm số y = −
1
4
x
4
+

3
2
mx
2
(1) có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.
Thầy (cô) dùng phương pháp của mình giúp học sinh phân tích và tìm ra lời giải cho bài toán
trên?
B1: Tìm tập xác định
B2 :Tính y’
B3 : hàm số có ba cực trị ⇒ y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇒ toạ độ của 3 điểm cực trị
B4 : ∆OAB đều ⇒ OA = AB ⇒ tham số m
Giải
Tập xác định D = R
y’ = −x
3
+ 3mx = −x(x
2
− 3m)
y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x
2
= 3m
Điều kiện để hàm số (1) có 3 cực trị là 3m > 0 ⇔ m > 0
Khi đó 3 điểm cực trị : O(0 ; 0) ,
2
9
A 3m; m
4
 
−
 ÷

 
,
2
9
B 3m; m
4
 
 ÷
 
∆OAB đều ⇔
OA OB
OA AB
=


=

⇒ OA = AB
⇒
4
81
3m m 2 3m
16
+ =
⇔ 3m +
4
81
m
16
= 12m ⇔ m

3
=
16
9
⇔ m =
3
2
6
3
(thoả mãn)
Bài tập tự nghiên cứu
Bài 1 Tìm m để mỗi hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước
a) y = x
4
+ 2(m – 1)x
2
+ m + 5 có 3 cực trị Đ/S : m < 1
b) y =
1
3
x
3
– x + m có hai cực trị trái dấu Đ/S :
2 2
m
3 3
− < <
c) y = –x
3
+ 3(m + 1)x

2
– (3m
2
+ 7m – 1)x + m
2
– 1 đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ
nhỏ hơn 1
Bài 2 Tìm m để đồ thị của hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ (m
2
+ 2m – 3)x + 4 có hai điểm cực trị
nằm về hai phía của trục Oy Đ/S : –3 < m < 1
Bài 3 Tìm m để hàm số y = x
3
+ 2(m – 1)x
2
+ (m
2
– 4m + 1)x – 2m
2
– 2 có hai điểm cực trị
x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện
( )

1 2
1 2
1 1 1
x x
x x 2
+ = +
Đ/S : m = 1, m = 5
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 7
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Bài 4 Tìm m để hàm số
( )
3 2 2
1
y x m 2 x (5m 4)x m 1
3
= + − + + + +
đại cực trị tại x
1
, x
2
sao
cho x
1
< –1 < x
2
Đ/S: m < –3
Bài 5 Tìm m để đồ thị của hàm số y =
1
3
x

3
– mx
2
– x + m + 11 hai điểm cực trị
( ) ( )
1 1 2 2
x ; y , x ;y
sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Đ/S :
2 13
mind
3
=
khi m = 0
Bài 6 Cho hàm số
( )
4 2 2
m
y x 2m x 1 C
= − +
(1). Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là
ba đỉnh của một tam giác vuông cân Đ/S : m = –1, m = 1
Bài 7 Cho hàm số
( ) ( )
3 2
m
y x 3x 3 1 m x 1 3m C
= − + − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại ,
cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có
diện tích bằng 4 Đ/S : m = 1

Bài 8 Cho hàm số y = − x
3
+ 3mx
2
−3m – 1.Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực
tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua
đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0 Đ/S : m = 2
Bài 9 Cho hàm số
3 2 2 3
y x 3mx 3(m 1)x m m= − + − − +
1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị
đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng
2
lần khoảng
cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Đ/S :
3 2 2m = − −
,
3 2 2m = − +
.
BÀI TOÁN 3 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PP :
* Dạng 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
; y
0
)
B1 : phương trình tiếp tuyến có dạng y = y’(x
0
)(x – x
0

) + y
0
. (1)
B2 : Tính x
0
hoặc y
0
(nếu chưa có)
B3 : Tính y’ và y’(x
0
)
B4 : Thế vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
* Dạng 2 Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k
B1 : Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm
B2 : phương trình tiếp tuyến có dạng y = y’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
. (1)
B3 : Giải phương trình y’(x
0
) = k tìm x
0
và tính y

0
.
B4 : Thế vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1 Cho hàm số
2x 3
y
x 2
−
=
−
có đồ thị (C).Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 8
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Giải
Lấy điểm
1
M m;2
m 2
 
+
 ÷
−
 
( )
C∈
(điều kiện m ≠ 2). Ta có :
( )
( )
2

1
y' m
m 2
= −
−
.
Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình :
( )
( )
2
1 1
y x m 2
m 2
m 2
= − − + +
−
−

Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là :
2
A 2;2
m 2
 
+
 ÷
−
 

Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)
Ta có :

( )
( )
2
2
2
1
AB 4 m 2 8
m 2
 
= − + ≥
 
−
 
 
. Dấu “=” xảy ra khi m = 1 ; m = 3
Ví dụ 2 Cho hàm số
x 3
y
x 1
−
=
+
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB
Giải
Vì OA = 4OB và
∆
OAB vuông tại O nên có
1
tan

4
OB
A
OA
= =
⇒
Tiếp tuyến AB có hệ số góc k =
1
4
±
Phương trình y’(x
0
) = k
0
2
0
0
3
4 1

5
( 1) 4
=

⇔ = ⇔ ⇔

= −
+

x

x
x
Với x
0
= 3
⇒
y
0
= 0, tiếp tuyến có phương trình
1
( 3)
4
y x= −
Với x
0
= −5
⇒
y
0
= 2, tiếp tuyến có phương trình
1 1 13
( 5) 2
4 4 4
y x y x= + + ⇔ = +
Ví dụ 3 Cho hàm số
x 1
y
2(x 1)
−
=

+
có đồ thị (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho
tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường
thẳng d: 4x + y = 0.
Giải.
Gọi M
0
0
0
1
;
2( 1)
 
−
 ÷
+
 
x
x
x

( )C∈
là điểm cần tìm. Gọi
∆
tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình.
∆
:
'
0
0 0

0
1
( )( )
2( 1)
x
y f x x x
x
−
= − +
+
( )
0
0
2
0
0
1
1
( )
2( 1)
1
x
y x x
x
x
−
⇒ = − +
+
+
Gọi A =

∆ ∩
ox
⇒
A(
2
0 0
2 1
2
x x− −
−
;0); B =
∆ ∩
oy
⇒
B(0;
2
0 0
2
0
2 1
2( 1)
x x
x
− −
+
).
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 9
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Khi đó
∆

tạo với hai trục tọa độ
∆
OAB có trọng tâm là: G
2 2
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
;
6 6( 1)
x x x x
x
 
− − − −
−
 ÷
+
 
.
Do G
∈
d:4x + y = 0
⇒
2 2
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
4. 0
6 6( 1)

x x x x
x
− − − −
− + =
+
⇔
( )
2
0
1
4
1x
=
+
(vì A, B
≠
O nên
2
0 0
2 1 0x x− − ≠
)

0 0
0 0
1 1
1
2 2
1 3
1
2 2

x x
x x
 
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
 
+ = − = −
 
 
Với
0
1 1 3
x M ;
2 2 2
 
= − ⇒ − −
 ÷
 
; với
0
3 3 5
x M ' ;
2 2 2
 
= − ⇒ −
 ÷
 
.

Ví dụ 4 Cho hàm số
x
y
x 1
=
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết
rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải.
Giả sử
0
0
0
x
M x ; (C)
x 1
 
∈
 ÷
−
 
mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến
tiếp tuyến là lớn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng ∆ :
0
0
2
0 0
1
( )

( 1) 1
x
y x x
x x
= − − +
− −

2
0
2 2
0 0
1
0
( 1) ( 1)
x
x y
x x
⇔ − − + =
− −
Ta có d(I , ∆) =
0
2
0
4 2
0 0
2
x 1
2
1 1
1 (x 1)

(x 1) (x 1)
−
=
+ − +
− −
.
d(I ;∆) lớn nhất khi và chỉ khi
2
0
2
0
1
A (x 1)
(x 1)
= − +
−
nhỏ nhất
A ≥
2
A nhỏ nhất khi
( )
4
0
0 0
0
2
1 1 1 1
0
=


− = ⇔ − = ± ⇔

=

x
x x
x
+ Với x
0
= 0 ta có tiếp tuyến là y = −x
+ Với x
0
= 2 ta có tiếp tuyến là y = −x + 4
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 10
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Bài tập tự nghiên cứu
Bài 1 Cho hàm số
( )
1
1
1 1
x
y C
x x
= = −
+ +
. Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d
và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân
Bài 2 Cho hàm số
( )

2 3
2
x
y C
x
+
=
+
. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M
cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất . Với I là
giao hai tiệm cận
Bài 3 Cho hàm số
mxxy
+−=
23
3
. (1). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có
hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB
bằng
2
3
Bài 4 Cho hàm số y =
2
5
3
2
2
4
+− x
x

có đồ thị (C) . Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ
x
M
= a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M
cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M
Bài 5 (2014D) Cho hàm số y = x
3
– 3x – 2 (1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9
BÀI TOÁN 4 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
PP
B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = g(x) (1)
B2: Số giao điểm của (C) và (C’) là số nghiệm của phương trình (1)
B3: Biện luận phương trình (1)
Ví dụ 1 Cho hàm số
2x 2
y
x 1
−
=
+
(C). Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị
(C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB =
5
.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x
2
+ mx + m + 2 = 0 , (x≠ – 1) (1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 ⇔ m

2
– 8m – 16 > 0 (2)
Gọi A(x
1
; 2x
1
+ m) , B(x
2
; 2x
2
+ m. Ta có x
1
, x
2
là 2 nghiệm của PT(1).
Theo ĐL Viét ta có
1 2
1 2
2
2
2
m
x x
m
x x

+ = −




+

=


.
AB
2
= 5 ⇔
2 2
1 2 1 2
( ) 4( ) 5x x x x− + − =
⇔
2
1 2 1 2
( ) 4 1xx x x+ − =
⇔ m
2
- 8m - 20 = 0
⇔ m = 10 , m = – 2 ( Thỏa mãn (2))
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 11
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Ví dụ 2 Cho hàm số y = x
3
+ mx + 2 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh
tại một điểm duy nhất.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm : x
3
+ mx + 2 = 0

x
xm
2
2
−−=⇒
( x
)0≠

Xét f(x) =
2
2
2
2)('
2
x
xxf
x
x +−=⇒−−
=
2
3
22
x
x +−
Ta có x -
∞
0 1 +
∞
f’(x) + + 0 –
f(x) +

∞
–3
-
∞
–
∞
–
∞
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất
3−>⇔ m
Ví dụ 3 Cho hàm số y =
2x
x 2−
(C). Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2
điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải
Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì pt
2
2
x
x m
x
= +
−
hay x
2
+ (m − 4)x −2x = 0 (1) có 2 nghiệm
phân biệt khác 2.
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 khi và chỉ khi

2
16
4 0
m
m

∆ = +
∀

− ≠

(2).
Giả sử A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
) là 2 giao điểm khi đó x
1
, x
2
là 2 nghiệm phương trình (1). Theo định lí
viet ta có
1 2
1 2
4
(3)

2
x x m
x x m
+ = −


= −

với y
1
= x
1
+ m, y
2
= x
2
+ m
Để A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì A, B nằm khác phía đối với đường thẳng x–2=0.
A, B nằm khác phía đối với đường thẳng x – 2 = 0 khi và chỉ khi (x
1
– 2)(x
2
– 2) < 0 hay
x
1
x
2
– 2(x
1
+ x

2
) +4 < 0 (4) thay (3) vào 4 ta được – 4 < 0 luôn đúng (5)
mặt khác ta lại có AB =
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2( ) 8x x y y x x x x− + − = + −
(6)
thay (3) vào (6) ta được AB =
2
2 32 32m + ≥
vậy AB =
32
nhỏ nhất khi m = 0 (7).
Từ (1), (5), (7) ta có m = 0 thoả mãn .
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 12
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Ví dụ 4 Cho hàm số
m x
y
x 2
−
=
+
có đồ thị là
m
(H )
, với m là tham số thực.Tìm m để
đường thẳng
d : 2x 2y 1 0
+ − =

cắt
m
(H )
tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam
giác có diện tích là
3
S .
8
=
Giải
Đường thẳng d viết lại :
1
2
y x
= −
. Để d cắt
( )
m
H
tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình
hoành độ giao điểm :
0222)()2(
2
1
2
2
=−++=⇔−≠−=
+
−
mxxxgxx

x
xm
có hai nghiệm phân biệt
khác – 2





−≠
<
⇔



≠+
>−−
⇔



≠−
>∆
⇔
2
16
17
024
0)22(81
0)2(

0
m
m
m
m
g
(*)
Gọi
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
1 1
; ; ; ; 2
2 2
A x x B x x AB x x x x AB x x x x x x
   
− − ⇒ = − − ⇔ = − + − = −
 ÷  ÷
   
uuur
Khoảng cách từ O đến d là h , thì :
2 2
1
1
2 2
2 2
h
−
= =
+

Theo giả thiết :
2 1
1 1 1 1 1 17 16 3
. 2.
2 2 4 4 2 8
2 2
m
S AB h x x
a
∆ −
= = − = = =
Hay :
1 17 16 3 1
; 17 16 3 16 8
4 2 8 2
−
= ⇔ − = ⇔ = ⇒ =
m
m m m
, thỏa mãn điều kiện (*)
Ví dụ 5 Cho hàm số y = x
3
– (3m + 1)x
2
+ (3m + 4)x – 8 (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân

Giải
Điều kiện cần : Giả sử (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
lập thành
một cấp số nhân. Khi đó phương trình x
3
– (3m + 1)x
2
+ (5m + 4)x – 8 = 0 (1) có ba nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
, x
3
.
⇔ x
3
– (3m + 1)x
2
+ (5m + 4)x – 8 = (x – x
1
)(x – x
2

)(x – x
3
)
⇔ x
3
– (3m + 1)x
2
+ (5m + 4)x – 8 = x
3
– (x
1
+ x
2
+ x
3
)x
2
+ (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
)x – x

1
x
2
x
3
.
⇒ x
1
x
2
x
3
= 8
Mặt khác (x
2
)
2
= x
1
.x
3
⇒ (x
2
)
3
= 8 ⇔ x
2
= 2
Thay x
2

= 2 vào (1) ta được m = 2
Điều kiện đủ : Với m = 2 thay vào (1) ta được : x
3
– 7x
2
+ 14x – 8 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 2)(x – 4) = 0
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 13
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
⇔ x
1
= 1 ; x
2
= 2 ; x
3
= 4 lập thành một cấp số nhân
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
Bài tập tự nghiên cứu
Bài 1 Cho hàm số
( )
2 1
1
x
y C
x
+
=
+
.Tìm tham số m để đường thẳng d : y = - 2x + m cắt đồ thị
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
3

Bài 2 Cho hàm số
( ) ( )
3 2
2 3 4
m
y x mx m x C
= + + + +
(1)
Tìm m để đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho
tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) )
Bài 3 Cho hàm số
2x 1
y
x 2
+
=
+
có đồ thị (C). Chứng minh rằng đường thẳng d: y = –x + m
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất
Bài 4 Tìm m để đường thẳng d: y = mx – 1 cắt đồ thị (C) của hàm số
2
x x 1
y
x 2
+ −
=
+
tại hai
điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị (C).
BÀI TOÁN 5 KHOẢNG CÁCH

Ví dụ 1 Cho hàm số
2x 3
y
x 2
−
=
−
có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cân của (C) tại A, B sao cho khoảng cách AB ngắn nhất
Giải
Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm,
0
0
0
2x 3
M x ;
x 2
 
−
 ÷
−
 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là d:
( )
( )
0

0
2
0
0
2x 3
1
y x x
x 2
x 2
−
−
= − +
−
−
A là giao điểm của d và tiệm cận đứng ⇒
0
0
0
2x 2
A x ;
x 2
 
−
 ÷
−
 
B là giao điểm của d và tiệm cận ngang ⇒ B(2x
0
– 2 ; 2)
Khoảng cách giữa A và B : AB =

( ) ( )
( )
2
2 2
0
0 0
2
0
0
2x 2
1
2x 4 2 2 x 2 2 2
x 2
x 2
 
−
− + − = − + ≥
 ÷
−
− 
AB ngắn nhất khi
( )
( )
2
0
2
0
1
x 2
x 2

− =
−
⇔
( )
4
0
x 2 1
− =
⇔
0
0
x 3
x 1
=


=

Vậy M(3 ; 3) , M’(1 ; 1)
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 14
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Ví dụ 2 Cho hàm số
2x 4
y
x 1
−
=
+
có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau
qua đường thẳng MN biết M(–3 ; 0), N(–1 ; –1).

Giải
Phương trình đường thẳng MN : x + 2y + 3 = 0
Gọi A, B đối xứng với nhau qua đoạn MN . Khi đó phương trình AB có dạng 2x – y + c = 0
⇔ y = 2x + c
Phương trình hoành độ giao điểm
2x 4
2x c
x 1
−
= +
+
⇔ 2x
2
+ cx + c + 4 = 0 (1)
Gọi A(x
1
; 2x
1
+ c), B(x
2
; 2x
2
+ c), với x
1
, x
2
là nghiệm của (1)
Khi đó trung điểm I của đạon AB là
1 2 1 2
x x 2x 2x 2c c c

I ; hay I ;
2 2 4 2
+ + +
   
−
 ÷  ÷
   
Mà I ∈ MN ⇔ c = – 4
thế c = – 4 vào (1) t được x = 0, x = 2
Vậy A(0 ; – 4), B(2 ; 0) thoả điều kiện bài toán
Ví dụ 3 (2014A,A1) Cho hàm số
( )
+
=
−
x 2
y 1
x 1
.Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho
khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
= −
y x
bằng
2
.
Giải
Điểm M thuộc (C) có tọa độ dạng
2
;
1

m
M m
m
+
 
 ÷
−
 
, điều kiện (
, 1)m R m
∈ ≠
.
Gọi đường thẳng đã cho là
∆
: x + y = 0.
Theo bài rat a có : d(M,
∆
) =
2
2
2
2
2 2
2
2 2( 1)
1
2 2 2 1
2 2( 1)
1 1
m

m
m m
m
m m
m m
+
+

+ = −
−
⇔ = ⇔ + = − ⇔

+ = − −
+


Với
2 2
2 2( 1) 2 4 0m m m m+ = − ⇔ − + =
(có
,
3 0
∆ = − <
) nên vô nghiệm.
Với
2 2
2 2( 1) 2 0+ = − − ⇔ + =m m m m

0 ( ) (0; 2)
2 ( ) ( 2;0)

= ⇒ −

⇔

= − ⇒ −

m thoa M
m thoa M
Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán là
( ) ( )
0; 2 ; 2;0M M
− −
Bài tập tự nghiên cứu
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 15
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014
Bài 1 Cho hàm số
2x 4
y
1 x
+
=
−
có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng qua A(1 ; 1) và có hệ số
góc k. Tìm k sao cho d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN =
3 10
Bài 2 Cho hàm số
x
y
x 1
=

−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng
cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất
Bài 3 Cho hàm số
3x 4
y
x 2
−
=
−
có đồ thị (C). Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm
cận.
Cho hàm số
x 2
y
2x 3
+
=
+
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp
tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân
tại gốc toạ độ O.
Hãy nêu phương pháp của anh (chị), để giúp học sinh phân tích và tìm ra lời giải cho bài
toán trên ?
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 16