Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 9 docx

Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 79
Baøi 22. (ĐH 2006A): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢
lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
ĐS:
3
3
12
a
V =
Baøi 23. (ĐH 2006B): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2aAD =
, SA = a và SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ^ (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB.
ĐS:
3
2
36
a
V =
Baøi 24. (ĐH 2006D): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA
= 2a và SA ^ (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính
thể tích của hình chóp A.BCMN.
ĐS:
3
33
50
a
V =

Baøi 25. (ĐH 2006A–db1): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a,
AA' =
3
2
a
và
·
0
60
BAD =
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'.
Chứng minh AC' ^ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
ĐS:
3
3
16
a
V =
Baøi 26. (ĐH 2006A–db2): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
.
Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3
a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
ĐS:
3

103
27
Va
=
Baøi 27. (ĐH 2006B–db1): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60
BAD =
, SA ^ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua
AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối chóp
S.AB'C'D'.
ĐS:
3
3
18
a
V =
Baøi 28. (ĐH 2006B–db2): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác
đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A'BC). Tính tana và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
ĐS: tana =
22
23
ba
a
-
;
222
3

6
aba
V
-
=
Baøi 29. (ĐH 2006D–db1): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là
đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC)
bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 80
ĐS:
3
22
2
3
16
ab
V
ab
.=
-

Baøi 30. (ĐH 2006D–db2): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh bằng a và điểm K
thuộc cạnh CC¢ sao cho CK =
2
3
a
. Mặt phẳng (a) đi qua A, K và song song với BD, chia
khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
ĐS:

33
12
2
33
aa
VV;==
Baøi 31. (ĐH 2007A): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ^ BP và tính thể tích khối CMNP.
ĐS:
3
3
96
a
V =
Baøi 32. (ĐH 2007B): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh MN ^ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
ĐS:
2
4
a
d =
Baøi 33. (ĐH 2007D): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
·
·
0
90
ABCBAD==

, BC = BA = a, AD = 2a. SA^(ABCD),
2aSA =
. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách
từ H đến (SCD).
ĐS:
3
a
d
=

Baøi 34. (ĐH 2007A–db1): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
= 52a
và
·
0
120
BAC =
. Gọi M là trung điểm CC
1
. Chứng minh MB ^ MA
1
và tính khoảng cách

d từ A đến (A
1
BM).
ĐS:
5
3
a
d =
Baøi 35. (ĐH 2007A–db2): Cho hình chóp SABC có góc
·
(
)
0
60
SBCABC(),()=, ABC và SBC
là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
ĐS:
3
13
a
d =

Baøi 36. (ĐH 2007B–db1): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ^
(ABCD). AB = a,
2aSA =
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,
SD. Chứng minh SC^(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.
ĐS:
3
2

27
a
V =
Baøi 37. (ĐH 2007B–db2): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và
điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P)
tại A lấy điểm S sao cho
·
(
)
0
60
(SAB)SBC,()=. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 81
trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC.
ĐS:
3
6
12
R
V =
Baøi 38. (ĐH 2007D–db1): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = AC = a, AA
1

=
2a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng
minh MN là đường vuông góc chung của AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của tứ diện MA
1
BC
1
.
ĐS:
3
2
12
a
V =
Baøi 39. (ĐH 2007D–db2): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là
trung điểm của đoạn AA

1
. Chứng minh BM ^ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng BM và B
1
C.
ĐS:
30
10
a
d =
Baøi 40. (ĐH 2008A) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a
3
và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là
trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2
đường thẳng AA’ và B’C’.
ĐS:
3
1
24
a
V ;cos
j
==

Baøi 41. (ĐH 2008B): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a
3

và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và
DN.
ĐS:
3
35
35
a
V ;cos
j
==
Baøi 42. (ĐH 2008D): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB =
BC = a, cạnh bên AA’ = a
2
. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng
trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B¢C.
ĐS:
3
27
27
aa
Vd;==
Baøi 43. (CĐ 2008): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
·
·
BADABC
0
90
==
,

AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA, SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối
chóp S.BCNM theo a.
ĐS: V =
a
3
3
.
Baøi 44. (ĐH 2009A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
0
60
. Gọi I là
trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS: V =
3
315
5
a
.
Baøi 45. (ĐH 2009B) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có BB¢ = a, góc giữa đường
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 82
thẳng BB¢ và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
; tam giác ABC vuông tại C và
·
0

60
BAC =
.
Hình chiếu vuông góc của điểm B¢ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam
giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A¢.ABC theo a.
ĐS: V =
3
9
208
a
.
Baøi 46. (ĐH 2009D) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB = a, AA¢ = 2a, A¢C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A¢C¢, I là giao điểm
của AM và A¢C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (IBC).
ĐS: V =
3
4
9
a
, d =
25
5
a
.
Baøi 47. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA =
a
2
. Gọi M, N và P
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN

vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
ĐS: V =
a
3
6
48
.
Baøi 48. (ĐH 2010A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết
SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
a
3
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
ĐS: V =
a
3
53
24
; d =
a
23
19
.
Baøi 49. (ĐH 2010B) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có AB = a, góc giữa hai mặt
phẳng (A¢BC) và (ABC) bằng
0
60
. Gọi G là trọng tâm tam giác A¢BC. Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

ĐS: V =
a
3
33
8
; R =
a
7
12
.
Baøi 50. (ĐH 2010D) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn
AC, AH =
AC
4
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm
của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
ĐS: V =
a
3
14
48
.
Baøi 51. (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
đáy bằng 45
0
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
ĐS: V =
a

3
5
6
.
Baøi 52. (ĐH 2011A)
ĐS:
Baøi 53. (ĐH 2011B)
ĐS:
Baøi 54. (ĐH 2011D)
ĐS:
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 83


ĐỀ THI TỐT NGHIỆP

Baøi 1. (TN 2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
()
a
:
xyz
–10
++=

và đường thẳng (d):
1
111
xyz
-
==

-
.
1. Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng
()
a
với
các mặt phẳng tọa độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm
tương ứng của mặt phẳng
()
a
với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm của (d)
với mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và bán
kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
ĐS: 1) 2)
Baøi 2. (TN 2003) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi
các hệ thức: A(2;4;-1), 4
OBijk
=+-
uuurrrr
, C(2;4;3), 22
ODijk
=+-
uuurrrr
.
1. Chứng minh rằng AB  AC, AC AD, AD AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung  của hai đường thẳng AB và
CD. Tính góc giữa  và mặt phẳng (ABD).
3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện
(a) của (S) song song với mặt phẳng (ABD).

ĐS: 1) V =
4
3
2)
D
:
x
yt
zt
2
42
1
ì
=
ï
=-
í
ï
=-+
î
;
5
sin
5
j
=
3) xyzxyz
222
36270
++ +=

; zz
12
212212
():0;():0
22
aa
-+
+=-=
.
Baøi 3. (TN 2004) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –1; 2), B(1;
3; 2), C4; 3; 2), D(4; –1; 2).
1. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
2. Gọi A¢ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A¢, B, C, D.
3. Viết phương trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm A’.
ĐS: 2) xyzxyz
222
52210
++ +=
3)
xyz
34210
+++=
.
Baøi 4. (TN 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và hai đường thẳng
lần lượt phương trình:
(S): xyzxyz
222
22430
++-++-=

, (D
1
):
xy
xz
220
20
ì
+-=
í
-=
î
, (D
2
):
xyz
1
111
-
==

.
1. Chứng minh (∆
1
) và (∆
1
) chéo nhau.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường
thẳng (∆
1

) và (∆
2
).
ĐS: 2) PyzPyz
12
():3320;():3320
+++=++-=

Baøi 5. (TN 2006–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(1; 2;
1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
1. Viết phương trình đường thẳng OG.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt
II. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
thi Tt nghip i hc Trn S Tựng
Trang 84
cu (S).
S: 1)
xyz
OG :
120
==
2) xyzxy
222
220
++ =
3) xy
23100
+-=
.

Baứi 6. (TN 2006pb)
1. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).
a) Vit phng trỡnh mt phng i qua ba im A, B, C. Tớnh din tớch tam giỏc ABC.
b) Gi G l trng tõm DABC. Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh OG.
S: a)
ABCxyz
():3260
++-=
;
ABC
S
314
D
=
b) xyz
22
2
1149
(1)
3236
ổửổử
-+-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ
.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
a) Chng minh DABC vuụng. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng AB.
b) Gi M l im sao cho
MBMC
2=-

uuuruuur
. Vit phng trỡnh mt phng i qua M v vuụng
gúc vi ng thng BC.
S: a)
{
ABxtyzt
:1;1;2
=-+==-
b) xyz
28
30
3
-+-=

Baứi 7. (TN 2007kpb) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d cú phng
trỡnh:
xyz
211
123
-+-
== v mt phng (P) cú phng trỡnh:
xyz
320
-++=
.
1. Tỡm to giao im M ca ng thng d vi mt phng (P).
2. Vit phng trỡnh mt phng cha ng thng d v vuụng gúc vi mt phng (P).
S: 1) M(1; 3; 2) 2)
xz
350

=
.
Baứi 8. (TN 2007pb)
1. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1; 1; 0) v mt phng (P) cú
phng trỡnh:
xyz
240
+ =
.
a) Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua im M v song song vi mt phng (P).
b) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng d i qua M v vuụng gúc vi mt phng
(P). Tỡm to giao im H ca ng thng d vi mt phng (P).
S: a) (Q):
xyz
220
+-+=
b)
{
xtytzt
1;1;2
=-+=-+=-
; H(0; 0; 2).
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im E(1; 2; 3) v mt phng (P) cú phng
trỡnh:
xyz
2260
+-+=
.
a) Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm l gc to O v tip xỳc vi mt phng (P).
b) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng D i qua im E v vuụng gúc vi (P).

S: a) xyz
222
4
++=
b)
{
xtytzt
:1;22;32
D
=+=+=-
.
Baứi 9. (TN 2007kpbln 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d v
d ln lt cú phng trỡnh:
xyz
d
121
:
121
-+-
== v
xt
dyt
zt
1
:12
13
ỡ
=-+
ù
Â

=-
ớ
ù
=-+
ợ
.
1. Chng minh rng hai ng thng d v d vuụng gúc vi nhau.
2. Vit phng trỡnh mt phng i qua im K(1; 2; 1) v vuụng gúc vi ng thng dÂ.
S: 2)
xyz
2380
-+-=
.
Baứi 10. (TN 2007pbln 2)
1. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im E(1; 4; 5) v F(3; 2; 7).
a) Vit phng trỡnh mt cu i qua im F v cú tõm l E.
b) Vit phng trỡnh mt phng trung trc ca on thng EF.
S: a) xyz
222
(1)(4)(5)44
-+++-=
b)
xyz
350
++-=
.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) v ng
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 85
thẳng d có phương trình:

xt
yt
zt
12
3
6
ì
=+
ï
=-+
í
ï
=-
î
.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N.
ĐS: a)
xyz
20
+-=
b)
{
xtytzt
12;;23
=+==+
.
Baøi 11. (TN 2008–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt
phẳng (P) có phương trình:
xyz

236350
-++=
.
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). Tìm toạ độ điểm N thuộc trục Ox sao
cho độ dài đoạn thẳng NM bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
ĐS: 1)
xyz
123
236

==
-
2)
dMP
(,())7
=
; N(7; 0; 0) hoặc N(–5; 0; 0).
Baøi 12. (TN 2008–pb)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; –2; –2) và mặt phẳng (P) có
phương trình:
xyz
2210
-+-=
.
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) sao
cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P)
ĐS: a)
xt

yt
zt
32
22
2
ì
=+
ï
=
í
ï
=-+
î

b) dAP
7
(,())
3
=
;
Qxyz
():2260
-++=
hoặc
Qxyz
():2280
-+-=
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; –1), B(2; 4; 3) và
C(2; 2; –1).

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
ĐS: a)
yz
220
+-=
b) D(1; 2; –5).
Baøi 13. (TN 2008–kpb–lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(–2; 1; –2) và
đường thẳng d có phương trình:
xyz
11
212
-+
==
-
.
1. Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
ĐS: 2)
xyz
2290
-++=
.
Baøi 14. (TN 2008–pb–lần 2)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1; –2; 0), N(–3; 4; 2) và mặt
phẳng (P) có phương trình:
xyz
2270
++-=
.

a) Viết phương trình đường thẳng MN.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).
ĐS: a)
xyz
MN
12
:
231
-+
==
-
b)
dIP
(,())2
=
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –1; 3) và mặt phẳng (P) có
phương trình:
xyz
22100
=
.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
ĐS: a)
dAP
(,())4
=
b)
{

xtytzt
2;12;32
=+= =-
.
Baøi 15. (TN 2009)
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 86
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương
trình: (S): xyz
222
(1)(2)(2)36
-+-+-=
và (P):
xyz
22180
+++=
.
a) Xác định toạ độ tâm T và bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến (P).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm toạ
độ giao điểm của d và (P).
ĐS: a) T(1; 2; 2), R = 6 b)
{
xtytzt
1;22;22
=+=+=+
; H(–2; –4; –4).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có
phương trình:
xyz
123

211
+-+
==
-
.
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với d.
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A,
tiếp xúc với d.
ĐS: a)
xyz
230
+-+=
b) dAd
(,)52
=; xyz
222
(1)(2)(3)50
-+++-=
.
Baøi 16. (TN 2010)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
b) Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
ĐS: a) (P):
yz
230
-+=
b) I
13
;1;

22
æö
ç÷
èø
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D có phương trình:

xyz
11
221
+-
==
-
.
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng D.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng D.
ĐS: a)
dO
(,)1
D
=
b) (P):
xyz
220
++=
.
Baøi 17. (TN 2011)
ĐS:

Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 87
ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Baøi 1. (ĐH 2002A) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai đường
thẳng:
1
240
2240

xyz
xyz
:
D
ì
-+-=
í
+-+=
î
và
2
1
2
12
xt
yt
zt
:
.
D
ì
=+
ï
=+
í
ï
=+
î

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D

1
và song song với đường thẳng
D
2
.
2. Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D
2
sao cho đoạn thẳng
MH có độ dài nhỏ nhất.
ĐS: 1)
20
Pxz
():
-=
2)
233
H
(;;).

Baøi 2. (ĐH 2002D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xy
2–20
+=

và đường thẳng d
m
:
21110
21420
mxmym

mxmzm
()()
()
ì
++-+-=
í
++++=
î
(m là tham số). Xác định m để đường
thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
ĐS:
1
2
m
.
=-

Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho đường
thẳng d:
xyz
xyz
2210
2240
ì
+=
í
+ =
î

và mặt cầu (S): xyzxym
222
460
+++-+=
. Tìm m để
đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 8.
ĐS:
Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai
đường thẳng
xaza
d
yz
1
0
:
10
ì
=
í
-+=
î
và
axy
d
xz
2
330
:
360
ì

+-=
í
+-=
î
.
1. Tìm a để hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
2. Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
2
và song song với d
1
. Tính khoảng
cách giữa d
1
và d
2
khi a = 2.
ĐS:
Baøi 5. (ĐH 2002B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D và mặt
phẳng (P) lần lượt có phương trình: D:
xyz
xyz
210
20
ì
+++=
í

+++=
î
, (P):
xyz
4210
-+-=
. Viết
phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng D trên mặt phẳng (P).
ĐS:
Baøi 6. (ĐH 2002B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương
trình:
xyz
30
-++=
và hai điểm
AB
(1;3;2),(5;7;12)

.
1. Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐS:
Baøi 7. (ĐH 2003A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A¢B¢C¢D¢ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A¢(0; 0; b) (a > 0,
b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC¢.
1. Tính thể tích khối tứ diện BDA¢M theo a và b.
2. Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A¢BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

ĐS: 1) V
BDA
¢
M
=
ab
2
4
2)
a
b
1
=
.
Baøi 8. (ĐH 2003B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8)
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 88
và điểm C sao cho AC
(0;6;0)
=
uuur
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường
thẳng OA.
ĐS: d(I, OA) = 5.
Baøi 9. (ĐH 2003D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d
k
có phương
trình:
xkyz
kxyz

320
10
ì
+-+=
í
-++=
î
. Tìm k để đường thẳng d
k
vuông góc với mặt phẳng (P) có
phương trình:
xyz
250
+=
.
ĐS: k = 1.
Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
, d
2

lần lượt có phương trình:
xyz
d
1
1
:
121
+
==

và
xz
d
xy
2
310
:
210
ì
-+=
í
+-=
î
.
1. Chứng minh rằng d
1
, d
2
chéo nhau và vuông góc với nhau.
2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
và song
song với đường thẳng D:
xyz
173
142

==

-
.
ĐS:
Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
A
(2;3;2)
,
B
(6;1;2)

,
C
(1;4;3)

,
D
(1;6;5)
-
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và
CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ
nhất.
ĐS:
Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với
(
)
Aa
0;0;3
,
Ba
(;0;0)

,
(
)
Ca
0;3;0
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và OM.
ĐS:
Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
I
(0;0;1)
,
K
(3;0;0)
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng Oxy
một góc bằng
0
30
.
ĐS:
Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương
trình: xyzmm
2
2230
++ =
và mặt cầu (S): xyz
222
(1)(1)(1)9
-+++-=
. Tìm m để

mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m vừa tìm được hãy xác định toạ độ tiếp
điểm của (P) và (S).
ĐS:
Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A
(2;1;1)
,
B
(0;1;3)
-
và đường thẳng d:
xy
yz
32110
380
ì
=
í
+-=
î
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với
AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Chứng minh rằng d vuông
góc với IK.
2. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng (Q) có phương trình:
xyz
10
+-+=
.

ĐS:
Baøi 16. (ĐH 2004A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0),
(
)
S
0;0;22
.
Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.