Chủ đề 1. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng potx

Chủ đề 1. N guyên hàm, tích phân và ứng dụng
I. Mục đích yêu cầu
1. Kiến thức: H/s nắm vững các khái niệm nguyên hàm, tích phân, các tính chất
của nguyên hàm, tích phân và các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân.
2. Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng áp dụng các phương pháp tính nguyên hàm , tích
phân. Rèn l uyện kỹ năng tính toán chính xác, kỹ năng làm bài thi.
3. Tư duy, tính cách: Phát triển tư duy logic, tư duy biện chứng, tư duy hàm, rèn
luyện tính qui củ cẩn thậ n, thói quen tự kiểm tra.
II. Phương tiện:
1. Giá o vi ên: Giáo án, sách giáo khoa, đồ dùng dạy học.
2. Học sinh: Đồ dùng học tập.
III. Phương pháp: Kết hợp các phương pháp thuyết trình, đàm thoại, gợi mở vấn
đề.
IV. Tiến trình
A. Ổn định lớp
B. Kiểm tra bài cũ: HS nhắc lại các tí nh chất, công thức liên quan đến nguyên hàm,
tích phân.
C. Bài m ới.
Thời
gian
Nội dung Hoạt động
10’ Bài 1. Tính

(2x
2
− 3x + 5)dx
Hướng dẫn:

(2x
2
−3x +5)dx =


2x
2
dx +

(−3x)dx +

5dx
= 2

x
2
dx−3

xdx+5

dx =
2x
3
3
−
3x
2
2
+5x+C
Học sinh lên bảng
Giáo viên chữa
Bài 2. Tính

x

2
(5 − x)
4
dx
Hướng dẫn
Ta có x
2
(5 − x)
4
= x
6
− 20x
5
+ 150x
4
− 500x
3
+
625x
2
.
Suy ra họ các nguyên hàm cần tìm là
x
7
7
−
10
3
x
6

+ 30x
5
− 125x
4
+
625
3
x
3
+ C
HS là m bài
Giáo viên chữa bài
1
Bài 3. Tính

x
3
x + 2
dx
Hướng dẫn:

x
3
x + 2
dx =

(x
3
+ 8) − 8
x + 2

dx =

x
3
+ 8
x + 2
dx −

8
x + 2
dx
=

(x
2
−2x +4)dx −8

dx
x + 2
=
1
3
x
3
−x
2
+4x −
8 ln |x + 2| + C.
HS lên bảng làm
bài

Giáo viên chữa
bài.
Bài 4. Tính

x sin 2xdx
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức

udv = uv −

vd u(∗)
Đặt

u = x
dv = sin 2xdx
⇒



du = dx
v = −
1
2
cos 2x
Ta có

x sin 2xdx = −
x
2
cos 2x −


(−
1
2
cos 2x)dx =
−
x
2
cos 2x +
1
4
sin 2x + C
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 5. Tính

sin
2
x
2
dx
Giải:
Dùng công thức hạ bậc, ta có

sin
2
x
2
dx =
x −sin x

2
+ c
HS là m bài
GV chữa bài
Bài 6. Tính


3 sin x −
2
cos
2
x

dx
Giải:


3 sin x −
2
cos
2
x

dx = 3

sin xdx −
2

x
cos

2
x
dx
= −3 cos x − 2 tan x + C
HS là m bài
GV chữa bài
Bài 7. Tính

(e
2x
+ 5)
3
e
2x
dx
Giải:

(e
2x
+ 5)
3
e
2x
dx =

(e
2x
+ 5)
3
1

2
d(e
2x
+ 5)
=
(e
2x
+ 5)
4
8
+ C
HS lên bảng làm
bài
GV hướng dẫn
2
Bài 8. Tính

e
x
dx
e
x
+ 1
Giải:

e
x
dx
e
x

+ 1
=

d(e
x
+ 1)
e
x
+ 1
= ln(e
x
+ 1) + C
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 9. Tính

1
√
3x + 1
dx
Hướng dẫn:
Đặt u = 3x + 1 ⇒ du = 3dx

1
√
3x + 1
dx =
2
3


du
2
√
u
=
2
3
√
3x + 1 + C
HS là m bài
GV chữa bài
Bài 10. Tính

1
x
2
− 3x + 2
dx
Hướng dẫn
y =
1
x
2
− 3x + 2
=
1
x −2
−
1
x − 1

.
Suy ra họ nguyên hàm cần tìm là
ln |x −2|−ln |x − 1| + C = ln |
x − 2
x − 1
| + C
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 11. Tính

1
0
(2x + 1)
3
dx.
Giải.

1
0
(2x + 1)
3
dx =
1
2

1
0
(2x + 1)
3
d(2x + 1)

=
1
2
(2x + 1)
4
4
|
1
0
=
1
8
(81 − 1) = 10
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 12. Tính

2
1
√
x + 2dx.
Giải.
Đặt u = x + 2 ⇒ du = dx
Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 3; x = 2 ⇒ u = 4.
Vậy

2
1
√
x + 2dx =


4
3
u
1/2
du =
2
3
u
3/2
|
4
3
=
2
3
(
√
4
3
−
√
3
3
)
=
16 − 6
√
3
3

HS là m bài
GV chữa bài
3
Bài 13, Tính

1
0
x(x − 1)
2007
dx
Giải.
Đặt t = x − 1 ⇒ dt = dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −1; x = 1 ⇒ t = 0

1
0
x(x −1)
2007
dx =

0
−1
(t+1)t
2007
dt =

0
−1
(t
2008

+
t
2007
)dt
=

t
2009
2009
+
t
2008
2008





0
−1
=
−1
2009. 2008
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 14. Tính
π
6
0
cos 3xdx.

Giải.
Đặt t = 3x ⇒ dt = 3d x
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
π
6
⇒ t =
π
2
Do đó
π
6
0
cos 3xdx =
1
3
π
2
0
cos tdt =
1
3
sin t



π
2
0
=
1

3
.
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 15. Tính

π
4
π
4
tan xdx.
Hướng dẫn:
Đặt t = cos x
ĐS: 0
Nhận xét: Có thể nhận thấy ngay kết quả trên
nếu để ý rằng hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 16. Tính

π
2
−
π
2
sin 2x sin 7xdx.
Giải.

π
2

−
π
2
sin 2x sin 7xdx =

π
2
−
π
2
−
cos 9x −cos 5x
2
dx
=
1
2

(−
1
9
sin 9x)



π
2
−
π
2

+ (
1
5
sin 5x)



π
2
−
π
2

=
4
45
.
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 17. Tính

2
1
x
2
− 2x
x
3
dx.
Giải.


2
1
x
2
− 2x
x
3
dx =

2
1

1
x
−
2
x
2

dx = ln x|
2
1
+
2
x
|
2
1
=

ln 2 −1
HS là m bài
GV chữa bài
4
Bài 18. Tính

1
−1
2
(x − 2)(x + 3)
dx.
Giải.

1
−1
2
(x − 2)(x + 3)
dx =
2
5

1
−1
dx
x − 2
−
2
5

1

−1
dx
x + 2
=
2
5
(ln |x − 2|−ln |x + 3|)|
1
−1
=
2
5
ln
1
6
.
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 19. Tính

1
−1
2x + 1
√
x
2
+ x + 1
dx.
Giải.
Đặt u = x

2
+ x + 1 ⇒ du = (2x + 1)dx
Đổi cận: x = −1 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 3

1
−1
2x + 1
√
x
2
+ x + 1
dx =

3
1
1
√
u
du = 2
√
u|
3
1
=
2(
√
3 − 1)
HS là m bài
GV hướng dẫn
Bài 20. Tính


2
1
dx
(2x − 1)
2
.
Giải.

2
1
dx
(2x − 1)
2
=
1
2

2
1
(2x − 1)
−2
d(2x − 1)
=
1
2

−1
2x − 1





2
1
=
1
3
HS là m bài
GV hướng dẫn
D. Củng cố: Nhấn mạnh các phương pháp, các dạng đặc biệt, các kỹ thuật biến đổi
cơ bản.
E. BTVN: SGK, Sách ôn tập.
5