Giáo trình hướng dẫn tìm hiểu về mô hình chung của hệ thống liên lạc phần 1 doc

2


Chương 2 Hàng đợi – Các hệ
thống thời gian liên tục
2.1. Giới thiệu lý thuyết hàng đợi
2.1.1. Hàng đợi và đặc điểm
Trong bất cứ một hệ thống nào thì khách hàng đi đến các điểm cung
cấp dịch vụ và rời khỏi hệ thống khi dịch vụ đã được cung cấp.
Ví dụ:
Các hệ thống điện thoại: khi số lượng lớn khách hàng quay số để kết
nối đến một trong những đường ra hữu hạn của tổng đài.
Trong mạng máy tính: khi mà gói tin được chuyển từ nguồn tới đích và
đi qua một số lượng các nút trung gian. Hệ thống hàng đợi xuất hiện
tại mỗi nút ở quá trình lưu tạm thông tin tại bộ đệm.
Hệ thống máy tính: khi các công việc tính toán và tuyến làm việc của
hệ thống yêu cầu dịch vụ từ bộ xử lý trung tâm và từ các nguồn khác.
Những tình huống này được diễn tả bằng hình vẽ sau:

Hình 2-1 Mô hình chung của hệ thống hàng đợi
 Người ta mô tả tiến trình đến và tiến trình phục vụ như thế nào?
 Hệ thống có bao nhiêu server?
 Có bao nhiêu vị trí đợi trong hàng đợi?
 Có bất kỳ quy tắc nội bộ đặc biệt nào không (yêu cầu dịch vụ, mức
độ ưu tiên, hệ thống còn rỗi không)?
Đặc điểm của hệ thống hàng đợi
Miêu tả của tiến trình đến (phân bố khoảng thời gian đến)

Miêu tả của tiến trình phục vụ (phân bố thời gian phục vụ)
Số lượng server
Số lượng các vị trí đợi
Các quy tắc hàng đợi đặc biệt:
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c

u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r

w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-

X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

o
m
Giáo trình hướng dẫn tìm hiểu về mô hình
chung của hệ thống liên lạc




3

 Quy tắc phục vụ (FCFS, LCFS, RANDOM)
 Thời gian rỗi (phân bố thời gian rỗi, khi mà thời gian rỗi bắt đầu )
 Mức độ ưu tiên
 Những luật khác
Với một mạng cụ thể của hàng đợi gồm có các thông tin sau:
 Sự kết hợp giữa các hàng đợi
 Chiến lược định tuyến:
Xác định (Deterministic)
Dựa vào một lớp
Thống kê
 Xử lý nghẽn mạng (khi bộ đệm tại đích bị đầy)
Số lượng khách hàng bị suy giảm
Hàng đợi gốc bị nghẽn
Tái định tuyến

Chúng ta sẽ xem xét ví dụ về các mạng hàng đợi đơn giản khác

S
S
S

S M

Hình 2-2: Ví dụ về mạng hàng đợi mở

Hình 2-3 Ví dụ về mạng hàng đợi đóng
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o

c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

c
o
m




4

Phân tích hệ thống hàng đợi hoặc mạng hàng đợi bao gồm:
 Phân tích giải tích
 Quá trình mô phỏng
 Cả hai phương pháp trên
Kết quả giải tích đạt được:
 Yêu cầu ít tính toán
 Đưa ra kết quả chính xác (không xảy ra lỗi xác suất)
Những kết quả thu được (các thông số dịch vụ) được chia thành hai
nhóm lớn:
 Dành cho người sử dụng
 Dành cho các nhà cung cấp phục vụ
Thông số quan trọng cho người sử dụng:
 Trễ hàng đợi
 Tổng trễ (bao gồm trễ hàng đợi và trễ phục vụ )
 Số lượng khách hàng trong hàng đợi
 Số lượng khách hàng trong hệ thống (gồm khách hàng chờ và
khách hàng đang được phục vụ )
 Xác suất nghẽn mạng (khi kích thước bộ đệm hữu hạn)
 Xác suất chờ để phục vụ
Thông số quan trọng cho các nhà cung cấp dịch vụ:
 Khả năng sử dụng server

 Khả năng sử dụng bộ đệm
 Lợi ích thu được (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế)
 Lợi ích bị mất (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế)
Đáp ứng nhu cầu của người sử dụng
 Chất lượng dịch vụ (QoS):
 Tổn thất (PDF, mean)
 Trễ (PDF, mean)
 Jitter (PDF, mean)
Đưa ra các thông số trên để thu được:
 Hàm phân bố xác suất
 Các giá trị trung bình
 Đo được các thời điểm cực đại, cực tiểu
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m




5

Các hàm phân bố xác suất chứa đựng đầy đủ các thông tin liên quan
đến các thông số quan tâm. Tuy nhiên, việc thiết lập được các hàm
này là khó thực hiện.
Phân tích hệ thống hàng đợi được chia thành:
 Phân tích ở thời gian ngắn (dựa trên một thời điểm nhất định)
 Phân tích trong một khoảng thời gian (trạng thái ổn định) – (dựa
trên tham số vô hạn)
Cấu trúc logic của phân tích hệ thống hàng đợi
 Đo được nhiều thông số thống kê: mean-mean, moments,
transform, pdf
 Phân tích thời gian ngắn sử dụng cho các trừong hợp đơn giản- sử
dụng các phương pháp mô phỏng hay xấp xỉ
 Việc phân tích chính xác không thể cho áp dụng cho quá trình ổn
định- sử dụng các phương pháp xấp xỉ, nếu không thì dùng các

phương pháp mô phỏng.
Tiếp theo chúng ta sẽ có các kết luận sau:
Kết luận chung: các giả thiết liên quan đến đặc tính và cấu trúc
của hệ thống hàng đợi đạt được kết quả chính xác ít nhất là cho
các thông số hiệu năng trung bình với điều kiện ổn định.
2.1.2. Các tham số hiệu năng trung bình
Ví dụ về hệ thống hàng đợi đơn giản


Hình 2-4 Hệ thống hàng đợi đơn giản
λ - tốc độ đến trung bình , thời gian đến trung bình -1/λ
µ - tốc độ phục vụ trung bình, thời gian phục vụ trung bình 1/µ
Với kích thước của bộ đệm là vô hạn, quy tắc phục vụ là FCFS
(đến trước phục vụ trước )
Xét khoảng thời gian Δt, và xét những sự kiện đến trong khoảng thời
gian này:
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r

a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.

d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m




6

Hình 2-5. Các sự kiện đến trong thời gian Δt
Sự kiện A: Có 1 sự kiện đến trong Δt
Sự kiện B: không có sự kiện đến trong Δt
Sự kiện C: Có nhiều hơn 1 sự kiện đến trong Δt
Giả sử rằng Δt →0. Như vậy ta sẽ có:
- Pr{A}= λ Δt
- Pr{B}= 1- λ Δt
- Giả thiết P{C}= 0,
với 1/λ là khoảng thời gian đến trung bình (thực tế được phân bố theo
hàm mũ của tiến trình đến Poisson).

Xét khoảng thời gian Δt và xét những sự kiện đi trong khoảng thời gian
này

Hình 2-6: Các sự kiện đi trong thời gian Δt
Sự kiện A: Có 1 sự kiện đi trong Δt
Sự kiện B: không có sự kiện đi nào trong Δt
Sự kiện C: Có nhiều hơn 1 sự kiện đi trong Δt
Giả sử rằng Δt →0. Như vậy ta sẽ có:
Pr{A}= µΔt
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r

a
c
k
.
c
o
m




7

Pr{B}= 1- µΔt
Giả thiết Pr{C}= 0, với 1/µ là thời gian phục vụ trung bình (thực tế được
phân bố theo hàm mũ.
D là sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đến AND với sự kiện của 1 hoặc
nhiều sự đi trong khoảng Δt
Giả sử Pr{D}=0, (2-1)
Thực ra, nó chỉ ra rằng khi Δt nhỏ, sự kiện nhân (vừa đi vừa đến) là
không xảy ra.
Ngoài các giả thiết trên về đặc tính của tiến trình đến và tiến trình phục
vụ, còn có thêm các giả thiết sau:
 Tiến trình đến là tiến trình Poisson với tham số λ
 Khoảng thời gian đến phân bố theo hàm mũ với tham số 1/λ
 Thời gian phục vụ phân bố theo hàm mũ với tham số 1/µ
 Tiến trình đến là độc lập với tiến trình phục vụ và ngược lại
Để phân tích hệ thống hàng đợi cần hiểu khái niệm “Trạng thái hệ
thống”. Có thể định nghĩa thông qua biến thích hợp mô tả “ Sự phát
triển theo thời gian” của hệ thống hàng đợi. Để thuận tiện cho hệ thống

hàng đợi biến được chọn sẽ là số khách hàng trong hệ thống tại thời
điểm t.
Trạng thái hệ thống tại t = N(t)= Số lượng khách hàng tại thời
điểm t (2-2)
Tức là :
p
N
(t)=Pr{N(t)=N} (2-3)
với
p
N
(t) là ký hiệu của trạng thái thứ N của hệ thống tại thời điểm t.
Pr{N(t)=N} là xác suất có N khách hàng trong hệ thống tại thời
điểm t.
Có nghĩa là có N khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t.
Sử dụng trạng thái đầu tiên tại t=0, nếu ta có thể tìm pN(t) thì có thể
mô tả hệ thống có quan hệ về mặt thời gian như thế nào?
Tiếp theo, cho thời gian Δt →0.
Xét các trạng thái có thể của hệ thống {0,1,…}(bằng đúng số lượng
khách hàng trong hệ thống) tại thời điểm t ta có thể tìm trạng thái của
hệ thống tại thời điểm t+Δt như sau:
p
0
(t+Δt )= p
0
(t)(1-λΔt)+p
1
(t)µΔt, N=0.

8

p
N
(t+Δt )= p
N
(t)(1-λ Δt-µΔt)+p
N-1
(t)λΔt+ p
N+1
(t)µΔt,
N>0 (2-4)
ta luôn có điều kiện phân bố chuẩn:
0,1)( 


ttp
i
i
(2-5)
Tức là chuẩn hóa các pi(t), t≥0, thành các tính chất phân bố rời rạc
theo thời gian.
Ta có thể tính giới hạn khi Δt →0 và có hệ phương trình vi phân:
0),()()()(
)(
0),()(
)(

11
10
0



Ntptptp
dt
tdp
Ntptp
dt
tdp
NNN
N


(2-6)
Để giải ta phảo cho điều kiện ban đầu.
Giả sử rằng hệ thống hàng đợi bắt đầu tại thời điểm t=0 với N khách
hàng ở trong hệ thống, điều kiện ban đầu được viết như sau:
p
i
(0)=0, với i≠N

p
N
(0)=1, với i=N (2-7)
Sử dụng điều kiện ban đầu phù hợp hệ thống có thể được giải để
được giải pháp thời gian ngắn (transient solution), một giải pháp phức
tạp thậm chí cho các hệ đơn giản nhất.

Bây giờ ta xét giải pháp trạng thái ổn định (equilibrium solution), t→∞.
Khi đó ta có:
0,0
)(
0,0
)(
0


N
dt
tdp
N
dt
tdp
N
(2-8)
Vì vậy,
p
0
(t)=p
0
, với N=0
p
N
(t)=p
N
, với N>0 (2-9)
Định nghĩa ρ=λ /µ với ngụ ý rằng hệ thống hàng đợi ổn định với ρ <1,
ta có:

p
1
=ρp
0

p
N+1
(t)=(1+ρ)p
N
- ρp
N-1
=ρp
N
=ρ
N+1
p
0,
N>0 (2-10)
Gỉa sử tuân theo điều kiện phân bố chuẩn, ta có:
p
i
= ρ
i
(1-ρ ), i=0,1,… (2-11)
với giải pháp trạng thái ổn định cho phân bố trạng thái với ρ <1.




9

giải pháp trạng thái ổn định không phụ thuộc điều kiện phân bố ban
đầu. Tuy nhiên, nó cần điều kiện rằng tốc độ đến nhỏ hơn tốc độ phục
vụ.
Các tham số hiệu năng trung bình
Số lượng trung bình của khách hàng trong hệ thống
Nhắc lại rằng phân bố của trạng thái ổn định cho số lượng khách hàng
trong hệ thống khi t→∞. Ví vậy, có thể suy ra số khách hàng trung bình
trong hệ thống từ phân bố trạng thái ổn định của hệ thống như sau:










1
)1(][
00 i
i
i
i
iipNE
(2-12)
Kết quả trên không áp dụng cho số trung bình khách hàng trong hệ
thống tại một khoảng thời gian ngắn t (arbitrary time t).
Số lượng trung bình của khách hàng trong hàng đợi

Chú ý rằng số lượng khách hàng trong hàng đợi thì bằng với số lượng
khách hàng trong hệ thống trừ đi 1. Sử dụng cùng các giả thiết ta có:




















11
)1(
1
)1(][
2
0
111
ppippiNE

i
i
i
i
i
iQ

(2-13)
Chú ý rằng tổng bắt đầu từ i=1, do sự kiện khách hàng đợi chỉ đúng
khi có nhiều hơn 0 khách hàng trong hệ thống.
Chú ý rằng (i-1)!, do đang tìm số lượng khách hàng trung bình trong
hàng đợi.
Thời gian trung bình trong hệ thống
Thời gian này có thể được phân chia thành hai thành phần :
 Thời gian đợi
 Thời gian phục vụ
Tính toán các tham số hiệu năng này đòi hỏi những giả thiết thêm dựa
trên đặc tính của hệ thống hàng đợi :
 Quy tắc phục vụ khách hàng : Giả sử quy tắc “ first-come, first
served” là khách hàng được phục vụ theo thứ tự như khi đến hệ
thống
 Phân bố trạng thái ổn định p
k
, k=0,1,…, cũng giống như phân bố
xác suất của số lượng khách hàng trong hệ thống.
 Thời gian phục vụ dư trung bình của khách hàng sẽ dùng để phục
vụ khi tiến trình đến xảy ra với tốc độ 1/µ, cũng giống như vậy. Vì
vậy được gọi là đặc tính không nhớ.
Sử dụng các giả thiết cho thời gian trung bình trong hệ thống của
khách hàng :

 
)1(
111
000












k
k
k
k
k
k
p
k
pp
k
WE (2-14)
Thời gian trung bình trong hàng đợi (thời gian đợi để được phục vụ)

10

Với các giả thiết trên ta có:
 
)1(
0








k
k
Q
p
k
WE (2-15)
Chú ý rằng thời gian trung bình trong hàng đợi bằng với thời gian trung
bình hệ thống trừ đi thời gian phục vụ:


 
)1(
1
)1(

11






 WEWE
Q
(2-16)
Có thể có khả năng rằng khách hàng phải chờ để được phục vụ
Sử dụng phân bố trạng thái ổn định pk, k=0,1,…ta chú ý rằng lượng
khách hàng đến luôn phải đợi để được phục vụ nếu số lượng khách
hàng lớn hơn 0 trong hệ thống.
Vì vậy,
P
wait
=1-p
0
=ρ (2-17)
Sử dụng server
Ý nghĩa vật lý của tham số hiệu năng là nó đưa ra khoảng thời gian khi
server bận. vì vậy,
P
busy
=1-p
0
=ρ (2-18)
Các cách tiếp cận đã trình bày được sử dụng để phân tích bất kỳ một
hệ thống hàng đợi đều phải có các giả thiết sau:

 Tiến trình đến là tiến trình poisson, có nghĩa là khoảng thời gian
đến được phân bố theo hàm mũ.
 Tiến trình đến với tốc độ đến thay đổi.
 Hệ thống có một hoặc nhiều server
 Thời gian phục vụ có dạng phân bố hàm mũ
 Tiến trình đến là độc lập với các tiến trình phục vụ và ngược lại
 Có vô hạn các vị trí đợi hữu hạn trong hệ thống
Tất cả các giả thiết tạo thành lớp đơn giản nhất của hệ thống hàng đợi.

2.2. Nhắc lại các khái niệm thống kê cơ bản
2.2.1. Tiến trình điểm
Các tiến trình đến là một tiến trình điểm ngẫu nhiên, với tiến trình này
chúng ta có khả năng phân biệt hai sự kiện với nhau. Các thông tin về
sự đến riêng lẻ (như thời gian phục vụ, số khách hàng đến) không cần
biết, do vậy thông tin chỉ có thể dùng để quyết định xem một sự đến có
thuộc quá trình hay không.




11

Mô tả tiến trình
Chúng ta xem xét qui luật của tiến trình điểm thông thường, nghĩa là
loại trừ các tình huống đến kép. Xét số lần cuộc gọi đến với cuộc gọi
thứ i tại thời điểm Ti :
0 = T0 < T1 < T2 < < …… < Ti < Ti+1< …… (2-19)
Lần quan sát thứ nhất tại T0 = 0.
Số các cuộc gọi trong nửa khoảng thời gian mở [0, t] là N
t

, ở đây N
t
là
một biến ngẫu nhiên với các tham số thời gian liên tục và thời gian rời
rạc, khi t tăng thì N
t
không bao giờ giảm.
Khoảng thời gian giữa hai lần đến là:
X
i
= T
i
- T
i-1
(2-20)
Khoảng thời gian này gọi là khoảng thời gian giữa hai lần đến. Sự
phân bố của tiến trình này gọi là sự phân bố khoảng đến.
Tương ứng với hai biến ngẫu nhiên Nt và Xi, hai tiến trình này có thể
được mô tả theo hai cách:
 Cách biểu diễn số N
t
: khoảng thời gian t giữ không đổi, và ta xét
biến ngẫu nhiên N
t
cho số cuộc gọi trong khoảng thời gian t.
 Cách biểu diễn khoảng t
i
: số các cuộc gọi đến là hằng số (n), và ta
xét biến ngẫu nhiên t
i

là khoảng thời gian diễn ra n cuộc gọi.
Mối quan hệ căn bản giữa hai cách biểu diễn thể hiện đơn giản như
sau:
Nt < n khi và chỉ khi



n
i
in
tXT
1

Điều này được biểu diễn bằng đẳng thức Feller - Jensen :




tTpnNp
nt
 với n = 1, 2,… (2-21)
Phân tích tiến trình điểm có thể dựa trên cả hai cách này, về nguyên
tắc chúng tương đương với nhau. Cách biểu diễn khoảng thời gian
tương ứng với việc phân tích chuỗi thời gian thông thường.
Cách biểu diễn số không song song với phân tích chuỗi thời gian. Số
liệu thống kê được tính toán trên mỗi đơn vị thời gian và ta có các mức
trung bình thời gian.
Đặc tính của tiến trình điểm
Phần này chúng xem xét đặc tính của nó thông qua cách biểu diễn số.
Tính dừng (tính đồng nhất thời gian)(Stationarity-time homogeneity) :

Tính chất này có thể mô tả là cho dù ở vị trí nào trên trục thời gian
cũng vậy, phân bố xác suất tiến trình điểm là độc lập với thời điểm
quan sát. Định nghĩa sau đây được sử dụng trong thực tế:




12

Định nghĩa: Cho tuỳ ý t
2
> 0 và với mỗi
0k

. Xác suất mà k
cuộc gọi đến trong khoảng thời gian [t
1
, t
1
+t
2
] là độc lập với t
1
,
nghĩa là với mọi t, k ta có:




kNNpkNNp

tttttttt


)()(
121121
(2-22)
Đây là một trong nhiều định nghĩa về tính dừng của tiến trình điểm các
cuộc gọi đến.
Tính độc lập (Independence)
Tính chất này thể hiện là: tương lai của tiến trình chỉ phụ thuộc vào
trạng thái hiện tại.
Định nghĩa: xác suất có k sự kiện (với k nguyên và lớn hơn
hoặc bằng 0) trong khoảng [t
1
, t
1
+t
2
] là độc lập với các sự kiện
trước thời điểm t
1
:




kNNpnNNkNNp
tttttt
 )(|)(
120112

(2-23)
Nếu điều này đúng với mọi t thì tiến trình này là tiến trình Markov: trạng
thái tiếp theo chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại, nhưng độc lập với
việc nó đã có được như thế nào. Đây chính là tính chất không nhớ.
Nếu tính chất này chỉ xảy ra tại các thời điểm nào đó (ví dụ thời điểm
đến), thì những điểm này được gọi là các điểm cân bằng hay các điểm
tái tạo. Khi đó tiến trình có nhớ giới hạn, và ta cần lưu lại điểm tái tạo
gần nhất.
Tính đều đặn (Regularity)
Như đã nói ta loại trừ các tiến trình của nhiều cuộc gọi vào một thời
điểm, vậy ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa: một tiến trình điểm được gọi là đều đặn nếu xác
suất xảy ra với nhiều hơn một sự kiện ở cùng một thời điểm bằng
không:


0)(,0:),(2)( 

totkhitoNNp
ttt
(2-24)
2.2.2. Tiến trình Poisson
Tiến trình Poisson là tiến trình điểm quan trọng nhất bởi vì vai trò của
nó cũng quan trọng như vai trò của phân bố chuẩn trong phân bố
thống kê. Tất cả những tiến trình điểm ứng dụng khác đều là dạng
tổng quát hoá hay dạng sửa đổi của tiến trình Poisson. Tiến trình
Poisson mô tả rất nhiều tiến trình trong đời sống thực tế, do nó có tính
ngẫu nhiên nhất.

13

Đặc tính của tiến trình Poisson :
Những đặc tính cơ bản của tiến trình Poisson là:
 Tính dừng
 Tính độc lập tại mọi thời điểm
 Tính đều đặn
Hai tính chất sau là tính chất cơ bản, từ đó tiến trình Poisson có cường
độ phụ thuộc thời gian.Từ các tính chất trên người ta có thể đưa ra các
tính chất khác đủ để biểu diễn tiến trình Poisson, đó là:
 Biểu diễn số: là số các sự kiện đến trong một khoảng thời gian với
độ dài cố định được phân bố theo tiến trình Poisson.
 Biểu diễn khoảng thời gian: là các khoảng thời gian X
i
giữa các sự
kiện liên tiếp nhau được phân bố theo hàm mũ.
Tiến trình đến Poisson sử dụng trong lưu lượng viễn thông của mạng
chuyển mạch gói và mạng máy tính. Thêm vào đó tiến trình Poisson
đã được sử dụng để mô tả các tiến trình nhiễu và để nghiên cứu hiện
tượng các hố điện tử xuất hiện trong chất bán dẫn, và trong các ứng
dụng khác …
Ba vấn đề cơ bản được sử dụng để định nghĩa tiến trình đến Poisson.
Xét một khoảng thời gian nhỏ
t

(với
0



t
), như Hình 2-7.

t



t




tt



t

Hình 2-7 Khoảng thời gian sử dụng để định nghĩa tiến trình
Đó là:
 Xác suất của một tiến trình đến trong khoảng thời gian
t

được
định nghĩa là )t(ot





, với 1t



và

là hằng số tỷ lệ lý
thuyết.
 Xác suất không có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian
t

là
)t(ot1






 Tiến trình đến không có nhớ: một tiến trình đến trong khoảng thời
gian t

là độc lập với các tiến trình trước đó và các tiến trình trong
tương lai.
Nếu lấy một chu kỳ T, tìm xác suất p(k) của k tiến trình đến trong thời
gian T được cho bởi:


!
)(

k
eT
kp
T
k



 với k = 0, 1, 2, 3…… (2-25)
Nó được gọi là phân bố Poisson. Đây là một phân bố chuẩn
1)(
0



k
kp
và giá trị kỳ vọng là :




14





0
)()(

k
TkkpkE

(2-26)
Phương sai :
)()(
222
kEkE
k


hay:
TkE
k

 )(
2
(2-27)
Tham số

 là hằng số tỷ lệ, được xem là tham số tốc độ:
T
kE )(



Phương trình (2-25) mô tả tốc độ đến trung bình của tiến trình Poisson.
Bình thường giá trị trung bình E(k) tiến tới không tương đương với

T

lớn:
TkE
k
./1)(/


với nghĩa là

T lớn, phân bố có quan hệ chặt
chẽ với giá trị trung bình

T. Do đó nếu một thông số (ngẫu nhiên) số
các tiến trình đến n trong khoảng thời gian T lớn (‘lớn’ theo nghĩa

T
>>1, hoặc T >> 1/

), n/T có thể đánh giá

. Cũng chú ý là
T
e)0(p


. Khi

T tăng với phân bố đỉnh E (k) =

T, xác suất không
có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian T tiến đến không với e mũ

T.
2.3. Định luật Little
Xem xét một hệ thống hàng đợi, khách hàng đến là một tiến trình ngẫu
nhiên. Các khách hàng đến hệ thống ở các thời điểm ngẫu nhiên và
chờ được phục vụ thì khách hàng sẽ rời khỏi hệ thống.
2.3.1. Công thức Little
Chúng ta có ký hiệu như sau:
)
(
t
N
= Số cuộc gọi đến hệ thống tại thời điểm t.
t

= Số cuộc gọi đi đến hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t).
t

= Số cuộc gọi rời khỏi hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t).
i
T
= Thời gian của cuộc gọi thứ i trong hệ thống (thời gian phục vụ).
Như vậy:
t
N - Số lượng cuộc gọi trung bình đến hệ thống trong (0,t) là :


t
tt
dtN
t

N
0
1

t

- Mật độ cuộc gọi trong khoảng (0,t) là :
t
t
t



t
T
- Thời gian trung bình của cuội gọi trong hệ thống là :




t
i
i
t
t
TT


1
1

Giả sử các giới hạn sau đây tồn tại :




15

t
t
t
t
t
t
TTNN

 lim;lim;lim


Có công thức sau:
T
N


(2-28)
Công thức trên có tên gọi là Định lý Little
Số cuộc gọi trung bình trong hệ thống bằng tích mật độ cuộc gọi
với thời gian chiếm kênh trung bình.
2.3.2. Chứng minh công thức Little

Chứng minh công thức Little bằng phương pháp hình học theo như
minh họa dưới đây.



Hình 2-8

Xét trong khoảng (0,t) :
Diện tích phần gạch chéo:
 
 

t
tt
ttdtNS
0
)()(


Mặt khác diện tích này cũng bằng : S= 1.


t
i
Ti

1

Như vậy


t
dttN
0
)(
=


t
i
Ti

1

t
i
i
t
o
t
t
t
T
t
dtN
t








1
1

tức là :
ttt
TN


(*)
Nếu giới hạn sau đây tồn tại :