một số dạng bài tập về số phức

1


I) D
Ạ
NG
ĐẠ
I S
Ố
C
Ủ
A S
Ố
PH
Ứ
C
D
ạ
ng 1) Bài toán liên quan
ñế
n bi
ế
n
ñổ
i s
ố
ph
ứ
c
Ví d
ụ

1) Tìm s
ố
nguyên x, y sao cho s
ố
ph
ứ
c z=x+yi tho
ả
mãn
3
18 26
z i
= +

Gi
ả
i:
3
18 26
z i
= +
( )
( ) ( )
3 2
3
2 3 3 2
2 3
3 18
18 26 18 3 26 3
3 26

x xy
x yi i
x y y x xy
x y y

− =

⇔ + = + ⇔
⇔ − = −

− =



Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ằ
ng cách
ñặ
t y=tx ta
ñượ
c
1
3, 1
3
t x y
=

⇒
= =
. V
ậ
y z=3+i
Ví d
ụ
2) Cho hai s
ố
ph
ứ
c
1 2
;
z z
tho
ả
mãn
1 2 1 2
; 3
z z z z
= + =
Tính
1 2
z z
−

Gi
ả
i:

Đặ
t
1 1 1 2 2 2
;
z a bi z a b i
= + = +
. Từ giả
thiết ta có
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b

+ = + =


+ + + =



( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
2 1 1 1

a b a b a a b b z z
⇒
+ =
⇒
− + − =
⇒
− =

Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệ
m phức
Ví d
ụ
1) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:
2
8(1 ) 63 16 0
z i z i
− − + − =

Gi
ả
i:
Ta có
( )
2
2
' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8

i i i i
∆ = − − − = − − = −
T
ừ

ñ
ó tìm ra 2 nghi
ệ
m là
1 2
5 12 , 3 4
z i z i
= − = +

Ví d
ụ
2) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:
2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0
i z i z i
+ − − − − =

Gi
ả
i:
Ta có

∆
’ = 4(2 – i)
2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. V
ậ
y ph
ươ
ng trình cho hai nghi
ệ
m là:
z
1
=
i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)
1(2
4)2(2

−
=
−
−
=
+
−
=
+
+
−

z
2
=
i
i
i
i
i
i
i
2
1
2
1
2
)
1)(
(

1
)
1(2
4
)
2(2
−
−=
−
−
=
+
−
=
+
−
−

Ví d
ụ
3) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 2
9 14 5 0
z z z
− + − =

Gi
ả
i:
Ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
( )
2
2 1 4 5 0
z z z
− − + =
. T
ừ

ñ
ó ta suy ra
ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m là
1 2 3

1
; 2 ; 2
2
z z i z i
= = − = +

Ví d
ụ
4) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3 2
2 5 3 3 (2 1) 0
z z z z i
− + + + + =
bi
ế
t ph
ươ
ng trình có
nghi
ệ
m th
ự
c
Giả
i:
Vì ph

ươ
ng trình có nghi
ệ
m th
ự
c nên
3 2
2 5 3 3 0
2 1 0
z z z
z

− + + =

+ =

1
2
z
−
⇒
=
tho
ả
mãn c
ả

hai ph
ươ
ng trình c

ủ
a h
ệ
:Ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
( )
2
2 1 3 3 0
z z z i
+ − + + =
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình ta tìm
ñượ
c
1
; 2 ; 1

2
z z i z i
= − = − = +

www
.
l
a
i
s
ac
.
pa
g
e.
tl
M

M

M
Ộ

Ộ

Ộ
T

T


T

S

S

S
Ố

Ố

Ố

D

D

D
Ạ

Ạ

Ạ
N

N

N
G


G

G

B
B
B
À

À

À
I
I
I
T

T

T
Ậ

Ậ

Ậ
P

P

P


V

V

V
Ề

Ề

Ề

S

S

S
Ố

Ố

Ố

P

P

P
H


H

H
Ứ

Ứ

Ứ
C
C
C

Ng
u
yễ
n

T
r
un
g
Kiê
n
2

Ví d
ụ
5) Gi
ả
i ph

ươ
ng trình:
3 2
(1 2 ) (1 ) 2 0
z i z i z i
+ − + − − =
bi
ế
t ph
ươ
ng trình có
nghi
ệ
m thu
ầ
n
ả
o:
Gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử
nghi
ệ
m thu
ầ
n

ả
o c
ủ
a ph
ươ
ng trình là z=bi thay vào ph
ươ
ng trình ta có
( ) ( )
3 2
2 3 2
(1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0
bi i bi i bi i b b b b b i
+ − + − − = ⇔ − + − + + − =

2
3 2
0
1
2 2 0
b b
b z i
b b b

− =

⇔
⇒
=
⇒

=

− + + − =


là nghi
ệ
m, t
ừ

ñ
ó ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
(
)
2
(1 ) 2 0
z i z i z
− + − + =
. Gi
ả

i pt này ta s
ẽ
tìm
ñượ
c các nghi
ệ
m
Ví d
ụ
6) Tìm nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình sau:
2
z z
=
.
Gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình có nghi

ệ
m: z=a+bi thay vào ta có
( )
2
a bi a bi
+ = +

2 2
2
a b a
ab b

− =
⇔

= −

Gi
ải hệ trên ta tìm ñược
1 3
( , ) (0;0),(1;0),( ; )
2 2
a b
= − ±
. V
ậ
y ph
ươ
ng
trình có 4 nghi

ệ
m là
1 3
0; 1;
2 2
z z z i
= = = − ±

D
ạ
ng 3) Các bài toán liên quan
ñế
n modun c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c:
Ví d
ụ
1) Tìm các s
ố
ph
ứ
c z tho
ả
mãn
ñồ
ng th

ờ
i các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
1 2 2
z i z i
+ − = − +
và
5
z i
− =

Gi
ải:
Gi
ả
s
ử
z=x+yi (x,y là s
ố
th
ự
c) .T
ừ
gi
ả

thi
ế
t ta có
1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
x y i x y i
x y i

+ + − = − + −


+ − =



( )
( )
2
2 2 2
2
2
1 ( 2) ( 2) (1 )
1 5
x y x y
x y

+ + − = − + −

⇔


+ − =


2
3
10 6 4 0
y x
x x
=

⇔

− − =

1, 3
x y
⇔ = =
ho
ặ
c
2 6
,
5 5
x y
= − = −
. V
ậ
y có 2 s
ố
ph

ứ
c tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n.
Ví d
ụ
2) Xét s
ố
ph
ứ
c z tho
ả
mãn
;
1 ( 2 )
i m
z m R
m m i
−
= ∈
− −

a) Tìm m ñể
1

.
2
z z
=

b)Tìm m
ñể

1
4
z i
− ≤

c) Tìm s
ố
ph
ứ
c z có modun l
ớ
n nh
ấ
t.
Gi
ả
i:
a) Ta có
( )
(
)
( )( )

( )
2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
1 2
(1 ) 2 (1 2 )
1 2
1 2 1 2
1 4
i m m mi
i m m m m m m
z
m mi
m mi m mi
m m
− − −
− − − + + − +
= = =
− +
− + − −
− +

3

( )
2 2
2

2 2 2
2
2
(1 ) (1 )
1
1
1 1 1 1
1
m m i m m m
i z i
m m m m
m
+ + +
= = +
⇒
= −
+ + + +
+

( )
2
2
2
2
1 1 1
. 1 2 1
2 2
1
m
z z m m

m
+
⇒
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±
+

b) Ta có
2
2 2 2 2
1 1 1 1
1
4 1 1 4 1 1 4
m m m
z i i
i
m m m m
 
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤
 
+ + + +
 
⇔

2 4 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
16 1
(1 ) (1 ) 16 1 6
15 15

m m m
m m m
m m m
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤
+ + +

c) Ta có
( )
2
max
2
2
2
1 1
1 | | 1 0
1
1
m
z z m
m
m
+
= = ≤
⇒
= ⇔ =
+
+

Ví d
ụ

3) Trong các s
ố
ph
ứ
c z tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
2 4 5
z i
− − =
Tìm s
ố
ph
ứ
c z có
modun l
ớ
n nh
ấ
t, nh
ỏ
nh
ấ
t.

Gi
ả
i:
Xét s
ố
ph
ứ
c z = x+yi . T
ừ
gi
ả
thi
ế
t suy ra
( ) ( )
2 2
2 4 5
x y
− + − =
Suy ra t
ậ
p h
ợ
p
ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính
5
R
=

D

ễ
dàng có
ñượ
c
(2 5 sin ;4 5 cos )
M
α α
+ +
. Modun s
ố
ph
ứ
c z chính là
ñộ
dài véc t
ơ

OM.
Ta có |z|
2
=
2 2 2
(2 5 sin ) (4 5cos ) 25 4 5(sin 2cos )
OM
α α α α
= + + + = + +

Theo BDT Bunhiacopxki ta có
(
)

2 2 2
(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5
α α α α
+ ≤ + + =

5 sin 2cos 5
α α
⇒
− ≤ + ≤
5 3 5
z
⇒
≤ ≤
. V
ậ
y
min
1 2
| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos
1, 2 1 2
5 5
z
x y z i
α α α α
− −
=
⇒
+ = − ⇔ = = ⇔ = =
⇒
= +

max
1 2
| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos
3, 6 3 6
5 5
z
x y z i
α α α α
= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = =
⇒
= +

Ví d
ụ
4) Trong các s
ố
ph
ứ
c tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
2 4 2
z i z i
− − = −

.Tìm s
ố
ph
ứ
c z có
moodun nh
ỏ
nh
ấ
t.
Gi
ả
i:
Xét s
ố
ph
ứ
c z = x+yi . T
ừ
gi
ả
thi
ế
t suy ra
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 4 2 4 0
x y x y x y
− + − = + − ⇔ + − =

Suy ra t
ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M(x;y) bi
ể
u di
ễ
n
s
ố
ph
ứ
c z là
ñườ
ng th
ẳ
ng y=-x+4
Ta có
2 2 2
2
2
2
(4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2
z x y x x x x x
= + = + − = − + = − + ≥

. T
ừ

ñ
ó suy
min
2 2 2 2 2 2
z x y z i
= ⇔ =
⇒
=
⇒
= +

Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
Ví d
ụ
1) Tìm t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m M trong m
ặ
t ph
ẳ
ng ph

ứ
c bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z bi
ế
t:
a)
3
z
z i
=
−
b)
3 4
z z i
= − +
c)
4
z i z i
− + + =

4

Gi

ả
i:
G
ọ
i z=x+yi
a) Từ giả thiết ta có
2 2 2 2 2 2
9 9
3 9( ( 1) ) ( )
8 64
z z i x y x y x y
= − ⇔ + = + − ⇔ + − =

V
ậ
y t
ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M là
ñườ
ng tròn tâm
9 3
(0; ),
8 8
I R

=

b) T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có
( )
2
2 2 2
3 (4 ) 6 8 25
x y x y x y
+ = − + − ⇔ + =
. V
ậ
y t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m
M là
ñường th
ẳ
ng 6x+8y-25=0

c) Gi
ả
s
ử
z =x+yi thì
4
z i z i
− + + =
( )
( )
2 2
2 2
1 1 4
x y x y
⇔ + − + + + = ⇔

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2 2
1 16

1 4
2 1 4
1 16 8 1
1
x y
x y
x y y
x y x y x y


+ + ≤
+ + ≤


⇔ ⇔


+ − = +


+ − = − + + + + +



( )
( )
2
2
2
2

2 2
2 2 2
1 16(1)
1 16
4 4 8 4 8 16
1(2)
3 4
4
4(3)
x y
x y
x y
x y y y y
y
y

+ + ≤

+ + ≤




⇔ + + + = + + ⇔ + =
 
 
≥ −
≥ −
 




Ta th
ấ
y các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung
ñộ
các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trên (Elip)
luôn tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n y >-4. V
ậ
y t

ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M là Elip có pt
2 2
1
3 4
x y
+ =
.

Ví d
ụ
2) Tìm t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n trong m

ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c s
ố

ph
ứ
c
( )
1 3 2
i z
ω
= + +
bi
ế
t r
ằ
ng s
ố
ph
ứ
c z tho
ả
mãn:
1
z
− ≤

2.
Giải:

Đặ
t
(
)
,
z a bi a b R
= + ∈

Ta có
1
z
− ≤
2
( )
2
2
1 4
a b
⇔ − + ≤
(1)
T
ừ

( )
( )
( )
3 2 3 1 3

1 3 2 1 3 2
3 3 3( 1)
x a b x a b
i z x yi i a bi
y a b y a b
ω
 
= − + − = − +
 
= + +
⇒
+ = + + + ⇔
⇔
 
= + − = − +
 
 
T
ừ

ñ
ó
( )
(
)
( )
2
2 2
2
3 3 4 1 16

x y a b
 
− + − ≤ − + ≤
 
do (1)
V
ậ
y t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m c
ầ
n tìm là hình tròn
( )
(
)
2
2
3 3 16
x y
− + − ≤
; tâm
(
)
3; 3

I
, bán
kính R=4.
Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
ph
ứ
c z sao cho s
ố

2
2
z
z
−
+
có acgumen b
ằ
ng
3
π
.
Gi
ả
i:
5

Gi
ả
s
ử

z=x+yi, thì
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2
2
2 2
2
2
2 2
2
x yi x yi
x yi
z
z x yi
x y
− + + +
   
− +
−
   
= =
+ + +
+ +

(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 2
4 4
2 2 2
x y yi x x
x y y
i
x y x y x y
− + + + − +
+ −
= = +
+ + − + − +
(1)
Vì s
ố
ph
ứ
c
2
2
z
z

−
+
có acgumen b
ằ
ng
3
π
, nên ta có:
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4 4
cos sin
3 3
2 2
x y y
i i
x y x y
π π
τ
+ −
 
+ = +
 
 
− + − +
v
ớ

i
0
τ
>

( )
( )
2 2
2
2
2
2
4
2
2
4 3
2
2
x y
x y
y
x y
τ
τ

+ −
=

− +


⇒


=

− +



T
ừ

ñ
ó suy ra y>0 (1) và
2 2
2 2 2
2 2
4 4 2 4
3 4 (2)
4
3 3 3
y y
x y x y
x y
   
= ⇔ + − = ⇔ + − =
   
+ −
   
.T

ừ
(1) và (2) suy ra
t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m M là
ñườ
ng tròn tâm n
ằ
m phía trên tr
ụ
c th
ự
c(Trên tr
ụ
c Ox).
D
ạ
ng 5) Ch
ứ
ng minh b
ấ
t
ñẳ
ng th

ứ
c:
Ví d
ụ
1) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
1
z
≤
thì
2 1
1
2
z
iz
−
≤
+

Gi
ả
i:
Gi
ả
s

ử
z =a+bi (a, b
∈
R) thì
2 2 2 2
1 1
z a b a b
= + ≤ ⇔ + ≤
. Ta có
2 2
2 2
4 (2 1)
2 1 2 (2 1)
2 (2 )
(2 )
a b
z a b i
iz b ai
b a
+ −
− + −
= =
+ − +
− +
.
B
ấ
t
ñẳ
ng th

ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh t
ươ
ng
ñươ
ng
v
ớ
i
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4 (2 1)
1 4 (2 1) (2 ) 1
(2 )
a b
a b b a a b dpcm
b a
+ −
≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤
⇒
− +

Ví d
ụ
2) Cho s

ố
ph
ứ
c z khác không tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
3
3
1
2
z
z
+ ≤
. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng:
1
2
z
z
+ ≤

Gi
ả
i:
D
ễ
dàng ch
ứ
ng minh
ñượ
c v
ớ
i 2 s
ố
ph
ứ
c
1 2
,
z z
b
ấ
t k
ỳ
ta có
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
Ta có
3

3
3
3
3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3
z z z z z z z
z z z z z z z
   
+ = + + +
⇒ + ≤ + + + ≤ + +
   
   

Đặ
t
1
z
z
+
=a ta có
( )( )
2
3
3 2 0 2 1 0
a a a a dpcm
− − ≤ ⇔ − + ≤
⇒

6

II) D
Ạ
NG L
ƯỢ
NG GIÁC C
Ủ
A S
Ố
PH
Ứ
C
D
ạ
ng 1: VI
Ế
T D
Ạ
NG L
ƯỢ
NG GIÁC
Ví d
ụ
1) Vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng l

ượ
ng giác c
ủ
a các s
ố
ph
ứ
c:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b)
(
)
(
)
1 cos sin 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
 
 

Gi
ả
i:

a)
(
)
(
)
( )
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − −
=
+ + + +

2
2
2sin 2 sin cos sin cos
2 2 2 2 2
tan tan
2 2
2cos 2 sin cos cos sin
2 2 2
2 2

i i
i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
− −
= = = −
+ +

- Khi
tan 0
2
ϕ
>
d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− + −
   
 

   
 

- Khi
tan 0
2
ϕ
<
d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− +
   
 
   
 

- Khi
tan 0
2
ϕ
=

thì không có d
ạ
ng l
ượ
ng giác.

(
)
(
)
) 1 cos sin 1 cos sin
2sin sin cos .cos cos sin
2 2 2 2 2 2
b i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
 
 
   
= − +
   
   

2sin cos isin
2 2
π π
ϕ ϕ ϕ
 

   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh.
- Khi
sin 0
ϕ
>
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2

i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
sin 0
ϕ
<
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
( 2sin ) cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 

   
 

Ví d
ụ
2): Vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng l
ượ
ng giác c
ủ
a các s
ố
ph
ứ
c:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +

+ +
b)
[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
Gi
ả
i:
a)
( )
2
sin cos
1 cos sin
1 cos sin
2 2
tan tan
1 cos sin 2 2
2cos 2 sin .cos cos sin
2 2 2 2 2
i
i
i
i
i
i i

ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
− +
− −
= = = −
+ +
+ −

Khi
tan
2
ϕ
>0 thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là
tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π
 
   

− + −
   
 
   
 

7

Khi
tan
2
ϕ
<0 thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là -
tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π
 
   
+
   
 
   

 

Khi
tan
2
ϕ
=0 thì không t
ồ
n t
ạ
i d
ạ
ng l
ượ
ng giác.
b)
[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +

2sin sin cos .2cos cos sin
2 2 2 2 2 2
2sin cos sin
2 2
i i

i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ
   
= − +
  

   
 
   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh
- Khi

sin 0
ϕ
>
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
sin 0
ϕ
<
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:

( )
2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 
   
 

D
ạ
ng 2: MÔ
Đ
UN VÀ ACGUMEN
Ví d
ụ
1) Tìm ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o c

ủ
a s
ố
ph
ứ
c z, bi
ế
t
2
2 2 3
z i
= − +

Gi
ả
i:
Ta có:

2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ =
+
 
 

Do
ñ
ó:
2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ = +
 
 

2 2
2 cos sin
1 3
3 3
1 3
2 cos sin
3 3
z i
z i
z i
z i
π π
π π

 
= +

 


= +
 

⇔ ⇔


 
= − −


= − +

 
 


T
ừ

ñ
ó suy ra ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n

ả
o c
ủ
a z t
ươ
ng
ứ
ng là 1 và
3
ho
ặ
c -1 và
3
−

Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức:
(
)
1 3
z i
− +
bi
ế
t m
ộ
t acgumen c
ủ
a z
b
ằ

ng
3
π

Gi
ả
i:
z có m
ộ
t acgumen b
ằ
ng
3
π

nên
1 3
2 2
z z i
 
= +
 
 
 

Do
ñ
ó:

( )

1 3
z i
− +
=
1 3
( 2)
2 2
z i
 
− +
 
 
 

- Khi
2
z
>
, m
ộ
t aacgumen c
ủ
a
( )
1 3z i− +
là
3
π

- Khi

0 2
z
< <
, m
ộ
t acgumen c
ủ
a
(
)
1 3
z i
− +
là
4
3
π

8

-
Khi
2
z
=
thì
(
)
1 3
z i

− +
=0 nên acgumen không xác
ñị
nh.
Ví d
ụ
3) Cho s
ố
ph
ứ
c z có mô
ñ
un b
ằ
ng 1. Bi
ế
t m
ộ
t acgumen c
ủ
a z là
ϕ
, tìm m
ộ
t
acgumen c
ủ
a:
a)
2

2
z
b)
1
2
z
−
c)
z z
+
d)
2
z z
+

Gi
ả
i:

1
z
=
, z có m
ộ
t acgumen là
ϕ
. Do
ñ
ó
cos sin

z i
ϕ ϕ
= +

a)
(
)
(
)
2
2
cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= +
⇒
= +
⇒
= −

V
ậ
y 2z
2
có m
ộ
t acgumen là
2
ϕ

b)
(
)
cos sin cos sin 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= +
⇒
= −
⇒
= −

( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 1
cos sin cos sin
2 2
2
1 1 1
cos sin cos sin
2 2
2
i i
z
i i
z

ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π
⇒ = − − − = +
⇒
− = − − = + + +

V
ậ
y
1
2
z
−
có m
ộ
t acgumen là
ϕ π
+

c) Ta có:
2cos
z z
ϕ
+ =

N
ếu
cos 0
ϕ
>

thì có một acgumen là 0
N
ế
u
cos 0
ϕ
<
thì có m
ộ
t acgumen là
π

N
ế
u
cos 0
ϕ
=
thì acgumen không xác
ñị
nh.
d)
2
cos2 sin 2 , cos sin
z z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = + = −

( )
2

3 3
cos2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin
2 2 2 2
3
2cos cos sin
2 2 2
z z i
i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⇒
+ = + + − =
+
 
= +
 
 

V
ậ
y acgumen
2
z z
+
là
2
ϕ
n

ế
u
3
cos 0
2
ϕ
>
, là
2
ϕ
π
+
n
ế
u
3
cos 0
2
ϕ
<
và không xác
ñị
nh
n
ế
u
3
cos 0
2
ϕ

=

Ví d
ụ
4) Cho s
ố
ph
ứ
c
1 cos sin
7 7
z i
π π
= − −
. Tính mô
ñ
un, acgumen và vi
ế
t z d
ướ
i
d
ạng lượng giác.
Gi
ả
i:
Ta có:
2
2
8 4

1 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos
7 7 7 7 7
z
π π π π π
     
= − + = − = + =
     
     

Đặ
t
(
)
arg
z
ϕ
=
thì
2
8
sin sin
4
7 7
tan cot tan
4
7 14
1 cos 2sin
7 7
π π
π π

ϕ
π π
−
 
= = = = −
 
 
−

9

Suy ra:
,
14
k k z
π
ϕ π
= − + ∈

Vì ph
ầ
n th
ự
c
1 cos 0
7
π
− >
, ph
ầ

n
ả
o
sin 0
7
π
− <
nên chọn một acgumen là
14
π
−

V
ậ
y
4
2cos cos isin
7 14 14
z
π π π
 
   
= − + −
   
 
   
 

Ví d
ụ

5) Vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng l
ượ
ng giác c
ủ
a m
ộ
t s
ố
ph
ứ
c z sao cho
1
3
z
=
và m
ộ
t
acgumen c
ủ
a
1
z
i

+
là
3
4
π
−

Gi
ả
i:
Theo gi
ả
thi
ế
t
1
3
z
=
thì
( )
1
cos sin
3
z i
ϕ ϕ
= +

( )
( ) ( )

( )
1 1
cos sin cos sin
3 3
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
⇒
= − = − + −

Vì
1 2
1 2 2 cos sin
2 2 4 4
i i i
π π
 
 
+ = + = +
 
 
 
 
 

Nên
1
os sin
1 4 4
3 2
z

c i
i
π π
ϕ ϕ
 
   
= − − + − −
   
 
+
   
 

Do
ñ
ó:
3
2 2 , .
4 4 2
k k k
π π π
ϕ π ϕ π
− − = − + ⇔ = + ∈Ζ
v
ậ
y
1
os sin .
3 2 2
z c i

π π
 
= +
 
 

Ví d
ụ
6) Tìm s
ố
ph
ứ
c z sao cho:
3
1
z i
z i
+
=
+
và z+1 có m
ộ
t ácgumen là
6
π
−

Gi
ả
i:

T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
3
1
z i
z i
+
=
+
( ) ( )
2 2
2 2
3 ( 3) ( 1) 3 1
2
z i z i x y i x y i x y x y
y
⇒
+ = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +
⇒
= −

z+1 có 1 acgumen b
ằ
ng
6

π
−

t
ứ
c là
( )
1 [ os sin ] 3
6 6 2
z c i i
π π τ
τ
   
+ = − + − = −
   
   
v
ớ
i r>0.
Ta có z+1=x+1-2i suy ra
3
1
4
2
2 3 1 2
2 3 1
2
2
x
z i

x
τ
τ
τ

+ =

=

 
⇔
⇒
= − −
 
= −



− = −



D
ạ
ng 3)
Ứ
NG D
Ụ
NG S
Ố

PH
Ứ
C TRONG BÀI TOÁN T
Ổ
H
Ợ
P
Ví d
ụ
1) Tính các t
ổ
ng sau khi n=4k+1
a)
0 2 4 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
−
+ + + + +
= − + − + −

b)
1 3 5 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C

− +
+ + + + +
= − + − + −

Gi
ả
i:
10

Xét
( )
2 1
0 1 2 2
2 1 2 1 0 2
2
1 3
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
(
)
n
n n
n
n
n n n n n n n
n n
n
i C iC i C i C C C C i C C C
+

+ +
+
+ + + + + + + + +
+
+ = + + + + = − + − + − + −
M
ặt khác ta lại có:
( )
2 1
2 1
(2 1) (2 1)
1 2 cos sin 1 2 cos
sin
4 4 4 4
n
n
n n
i i i i
π π π
π
+
+
+ +
   
+ = +
⇒
+ = +
 
 
   

=
(2 1) (2 1)
(8 3) (8 3)
2 2 cos
sin
2 2 cos
sin
4 4 4 4
n
n
n n k k
i i
π π π π
+ + + +
   
+ = +
   
   

3 3
2 2 cos sin 2 2
4 4
n
n n
i i
π π
 
= + = − +
 

 

T
ừ

ñ
ó ta có
a) S=-2
n

b) S=2
n

Ví d
ụ
2) Tính các t
ổ
ng h
ữ
u h
ạ
n sau:
a)
2 4 6
1
n n n
S C C C
= − + − +

b)

1 3 5 7

n n n n
S C C C C
= − + − +

Gi
ả
i:
Xét
( )
0 1 2 2
2 4
1 3 5 7
1 1 (
)
n
n n
n n n n n n n n n n
i C iC i C i C C C i C C C C
+ = + + + + = − + − + − + − +

( )
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n
n
n n
i i i i
π π π π

   
+ = +
⇒
+ = +
 
 
   

T
ừ

ñ
ó ta có k
ế
t qu
ả

a)
2 cos
4
n
n
S
π
=
b)
2 sin
4
n
n

S
π
=

Ví d
ụ
3) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π
 
+ + + = +
 
 

Gi
ả
i:
Ta có
0 1 2 3

2
n n
n n n n n
C C C C C
= + + + +
(1)

Xét
3
2 2
cos sin 1
3 3
i
π π
ε ε
= +
⇒
=

Ta có
( )
0 1 2 2 0 1 2 2 3 4
1
n
n n
n n n
n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + +

(2)
(
)
2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 4
1
(3)
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + +

Ta có
2 2
1 0;1 os sin ;1 os sin
3 3 3 3
c i c i
π π π π
ε ε ε ε
+ + = + = − + = +

C
ộ
ng (1) (2) (3) theo v
ế
ta có
( )
( ) ( )
( )

2 0 3 6 0 3 6
2 1 1 3 2 2cos 3
3
n
n
n n
n n n n n n
n
C C C C C C
π
ε ε
+ + + + = + + + ⇔ + = + + +

3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π
 
⇔ + + + = +
 
 


11

M
Ộ
T S
Ố
BÀI T
Ậ
P T
Ự
LUY
Ệ
N
1) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau trên t
ậ
p s
ố
ph
ứ
c:
3
)
a z z
=

) 3 4
b z z i
+ = +

( )
2
2
) 4 3
c z z i
− =

2
) 2 1 0
d z z i
+ + − =

2
) 4 5 0
e z z
+ + =

2
)(1 ) 2 11 0
f i z i
+ + + =

2
) 2( ) 4 0
g z z z
− + + =

2) Tìm s
ố

th
ự
c x tho
ả
mãn b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
) 1 4 2 5
x
a i
−
+ − ≤

2
1 7
) log 1
4
i
b x
+
− ≤

2
1 2 2
)1 log
0
2 1
x i

c

+ + −

− ≥
 
−
 

3) Tìm s
ố
ph
ứ
c z sao cho
( 2)( )
A z z i
= − +
là s
ố
th
ự
c
4) Tìm s
ố
ph
ứ
c z tho
ả
mãn
ñ

i
ề
u ki
ệ
n
7
5;
1
z i
z
z
+
=
+
là s
ố thự
c
5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
2
2
) 9
a z z
− =

2
) 4
2
z i
b
z i
−
=
+

)3 3
c z i z z i
+ = + −

) 3 4 2
d z i
+ − =

) 1
e z z i
+ ≥ +

) 4 3
f z z i
= + −

2
) 1
2

z i
g
z i
−
>
+

)2 2
h z i z z i
− = − +

1
3
2 2
)log ( ) 1
4 2 1
z
k
z
− +
>
− −

6) Trong các s
ố
ph
ứ
c tho
ả
mãn

ñ
i
ề
u ki
ệ
n
3
2 3
2
z i
− + =
. Tìm s
ố
ph
ứ
c z có modun l
ớ
n
nh
ấ
t,nh
ỏ
nh
ấ
t.
7) Tìm s
ố
ph
ứ
c z tho

ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
(
)
(
)
1 2
z z i
− +
là s
ố
th
ự
c và
z
nh
ỏ nhất.
8) Tìm m
ộ
t acgumen c
ủ
a s
ố
ph

ứ
c z khác 0 bi
ế
t
z z i z
+ =

9) Tìm s
ố
ph
ứ
c z tho
ả
mãn
2
2
z z
+ =
và
2
z
=

10) Gi
ả
i h
ệ
pt sau trong t
ậ
p s

ố
ph
ứ
c:
2 2
2 2
)
4
z i z z i
a
z z

− = − +


− =



1 2
1 2
3
)
1 1 3
5
z z i
b
i
z z
+ = −



+

+ =



2
1 2
2
2 1
1 0
)
1 0
z z
c
z z

− + =


− + =



12 5
8 3
)
4

1
8
z
z i
d
z
z

−
=

−


−

=

−


3 2
2010 2011
2 2 1 0
)
1 0
z z z
e
z z


+ + + =


+ + =



11) Cho ph
ương trình
3 2
2 (2 1) (9 1) 5 0
z i z i z i
− + + − + =
có nghi
ệ
m
th
ự
c. Hãy tìm t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
12) Tìm ph

ầ
n thự
c ph
ần
ả
o củ
a
2011
2011
1
w
w
z
= +
biết
1
w 1
w
+ =

13) Tìm n nguyên d
ươ
ng
ñể
các s
ố
ph
ứ
c sau là s
ố

th
ự
c, s
ố

ả
o:
2 6
)
3 3
n
i
a z
i
 
− +
=
 
 
+
 

4 6
)
1 5
n
i
b z
i
+

 
=
 
− +
 

7 4
)
4 3
n
i
c z
i
+
 
=
 
−
 

3 3
)
3 3
i
d z
i
 
−
=
 

 
−
 


12

14) Cho n nguyên d
ươ
ng, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( )
0 2 4 6
2 2
2 2 2 2
2
2
3 9 27 3 2 cos
3
n
n n
n n n n n
n
C C C C C
π
− + − + + − =

15) Tìm s
ố
ph
ứ
c z sao cho
2
z z
= −
và m
ộ
t acgumen c
ủ
a z-2 b
ằ
ng m
ộ
t acgumen
c
ủ
a z+2 c
ộ
ng v
ớ
i
2
π

16) Gi
ả
i ph

ươ
ng trình
a)
2 2 0
0
2
tan 10 4 2
os10
z
z i
c
= + + −
b)
2 2 0
0
2
cot 12 6 7
sin12
z
z i
= + + −


M
ọ
i th
ắ
c m
ắ
c xin vui lòng liên h

ệ
th
ầ
y Nguy
ễ
n Trung Kiên 0988844088
www.MATHVN.com