một số dạng bài tập về số phức

1
I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức
Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn
3
18 26
z i
= +

Giải:
3
18 26
z i
= +
( )
( ) ( )
3 2
3
2 3 3 2
2 3
3 18
18 26 18 3 26 3
3 26
x x y
x yi i
x y y x xy
x y y

− =

⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −


− =


Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược
1
3 , 1
3
t x y= ⇒ = =
. V
ậ
y z = 3 + i
Ví dụ 2) Cho hai số phức
1 2
;
z z
thoả mãn
1 2 1 2
; 3
z z z z= + = Tính
1 2
z z
−
Giải:
Đặt
1 1 1 2 2 2
;
z a b i z a b i
= + = +
. Từ giả thiết ta có

( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b

+ = + =


+ + + =


( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 1
a b a b a a b b z z
⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − =

Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức
Ví dụ 1) Giải phươn g t rì n h s au :
2
8 (1 ) 63 16 0
z i z i
− − + − =

Giải: Ta có
( )
2
2
' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8i i i i
∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là
1 2
5 12 , 3 4
z i z i
= − = +

Ví dụ 2) Giải phươn g t rì n h s au :
2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i
+ − − − − =
Giải: Ta có
∆
’ = 4(2 – i)
2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy p h ương trình cho hai nghiệm là:
z
1
=
i
ii
i
i
i
i
2

5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
−=
−
−
=
+
−
=
+
+
−
z
2
=
i
ii
i
i
i
i
2
1

2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
−−=
−
−
=
+
−
=
+
−
−
Ví dụ 3) Giải phươn g t rì n h
3 2
9 14 5 0
z z z
− + − =

Giải:
Ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v

ớ
i
( )
( )
2
2 1 4 5 0
z z z
− − + =
. T
ừ

ñ
ó ta suy ra
ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m là
1 2 3
1
; 2 ; 2
2
z z i z i
= = − = +

Ví dụ 4) Giải phươn g t rì n h :
3 2
2 5 3 3 (2 1 ) 0
z z z z i
− + + + + =

biết phương trình có
nghiệm t h ực
Giải:
Vì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m th
ự
c nên
3 2
2 5 3 3 0
2 1 0
z z z
z

− + + =

+ =

1
2
z
−
⇒ =
thoả mãn cả
hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương vớ i
( )
( )
2

2 1 3 3 0
z z z i
+ − + + = . Giải phương trình ta tìm ñược
1
; 2 ; 1
2
z z i z i
= − = − = +
M
M
M
Ộ
Ộ
Ộ
T
T
T
S
S
S
Ố
Ố
Ố
D
D
D
Ạ
Ạ
Ạ
N

N
N
G
G
G
B
B
B
À
À
À
I
I
I
T
T
T
Ậ
Ậ
Ậ
P
P
P
V
V
V
Ề
Ề
Ề
S

S
S
Ố
Ố
Ố
P
P
P
H
H
H
Ứ
Ứ
Ứ
C
C
C