Một số dạng bài tập về lũy thừa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (546.81 KB, 20 trang )
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 1
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN
I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
1
22
3
4 3 3 4
1
2 2 1
3
:
2
y x y
x x y xy y
D x y x y
x xy y x x y
( đáp số : D=1 )
b.
2
11
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
23
a a a a
B
a a a a
Giải
a/
1
1
2
2 2 3 3
3
3
4 3 3 4
1
2
2 2 1
3
1
:3
2
y x y x y x y
x y x y
x x y xy y
D x y x y xy
x xy y x x y x y x y
xy
1
31
3
:1x y x y
b/
2
22
1 1 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
11
22
2 3 3
4 9 4 3 4 9 4 3
9
2 3 1
23
aa
a a a a a a a
Ba
aa
aa
a a a a a
aa
Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
0;
n n n n
n n n n
a b a b
A ab a b
a b a b
b.
1 1 1 1
1 -1
1 1 1 1
1
ax
4
a x a x
B xa
a x a x
Giải
a.
22
22
4
n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
a b b a
a b a b a b b a a b
A
a b a b b a
b a a b
a b b a
a b a b
a b a b
b/
22
1 1 1 1 2 2 2 2
1 -1
1 1 1 1
2
1 1 1 1
ax
4 4 ax 4 ax 2 ax
xa
a x a x x a x a x a x a
B xa
a x a x x a x a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau
2
11
22
. 1 2 :
ab
a a b
ba
b.
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 2
Giải
2
2
2
11
2
22
2
11
. 1 2 : 1 : .
ba
a b a
a a b a b
b a b b b
ab
.
b/
11
1 9 1 3
22
42
4 4 2 2
1 5 1 1 1 1
2
4 4 2 2 4 2
11
1 1 2
11
a a b b
a a b b
aa
a a b b a a b b
Bài 2. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau :
a.
22
3 3 3
33
a b a b ab
b.
11
33
33
:2
ab
ab
ba
Giải
a/
22
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
33
a b a b ab a b a a b b a b a b
b/
1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
11
11
33
33
33
1 1 2 2 2 1 1
11
3 3 3 3 3 3
33
:2
2
a b a b a b a b
a b a b
ab
ba
a b a b a b
ab
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
3
2
11
3
2
44
3
3
:
a b a
A a b
ba
ab
b.
2
2
2
4
4
4
2
a
B
a
a
a
Giải
a/
3
31
2
1 1 1 1 1 1
22
3
2
22
4 4 4 4 4 4
31
2 3 3
11
3
3
3
22
44
11
: : :
a b a a b a a a b
A a b a b a b
a b b ab
ba
ab
ba
ab a b
22
22
2
2
2
2: 0
2
44
2: 0
4
4
4
2
4
a
a
aa
B
a
a
a
a
a
a
a
a
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
1
22
2
22
11
2 5 2
22
x x x x
Ax
x x x x
. Với
3,92x
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 3
b.
5
3
3
5
2
22
10
5
2 27
3 32 2 .3
23
y
By
y
. Với y = 1,2
Giải
a/
1
1
22
2 2 3
2 2 2
22
22
4 2 5 2
1 1 4 10
2 5 2 5 2 8 2
22
4 5 2
xx
x x x x x
A x x x
x x x x
x x x
Với x=
2 2 2
3,92 3,92 4 0,08 2 4 0,16x x x
5
3
3
1
1
5
5
2
3
3
1
1
5
2
2 2 2
10
5
2
1
1
5
5
2
2 3.
2 27
3 32 2 .3 3.2 2 3
23
23
y
y
B y y
y
y
5
5
1 2 1 2
11
2 2 2
5 5 5 5
22
2 2 .3 3 3.2 2 3y y y y y
. Với y=1,2 suy ra
2
1,44y
Bài 5. Rút gọn biểu thức sau :
a.
41
1
2
33
3
3
22
3
33
8
. 1 2
24
a a b b
Aa
a
a ab b
ĐS: A=0
b.
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
82
6
2 4 2
b a a b a b
B
a b a a b b
Giải
a/
1
4 1 1
1
22
3
3 3 3
33
3
2 2 2 1 1 2 1 1
3
3 3 3 3 3 3 3 3
8
8
. 1 2 .
2 4 2 4 2
a a b
a a b b a
A a a
a
a ab b a a b b a b
22
22
33
33
2 1 1 2 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
88
0
8
2 4 2 4 8
a a b a a b
aa
ab
a a b a b a b a b b
b/
1 1 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 2 1 1 2 1 1
2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2
8 2 8
66
2 4 2 2
42
a b a b
b a a b a b b a a b
B
a b a a b b b a
b a b a
2
2 1 1 2 1 1
3 3 3 3 3 3
22
33
33
11
33
4 2 2
8 8 6
6 6 8
2
b a b a a b
b a b a ab
a b ab
ba
ba
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 4
Bài 6. Rút gọn biểu thức sau
a.
1
51
3 7 1 1
2
33
2 4 4 2
A= 3 .5 :2 : 16: 5 .2 .3
( đáp số : A= 15/2 )
b.
1
1
2
43
0,25
1
0,5 625 2 19. 3
4
B
Giải
a/
1
1
51
3 7 1 1
1
2
51
3 7 1 1
2
22
33
2 4 4 4
2
33
2 4 4 2
42
3 5 2 .5 2 3 3 5 15
A= 3 .5 :2 : 16: 5 .2 .3
2 2 2
b/
13
1 4 2.
1
22
43
0,25 4
4
3
1 1 3 1 8 19
0,5 625 2 19. 3 5 19 16 5 10
4 2 2 27 27
3
B
Bài 7 . Rút gọn biểu thức sau :
a.
11
1
11
22
44
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a b
A a b
a a b a b
b.
3 3 3 3
4 4 4 4
11
22
a b a b
B ab
ab
Giải
a/
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4
3 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 4 4 4 4 4
2 4 4 2 4 4 4 4
1
: : .
a b a b a b a b a b a a b
A a b a b
a a b a b a b
a a b a a b a b
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
b a b b
a
a a b
b/
3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
11
2 2 2 2
22
a b a b a b a b a b a b a b
B ab a b
a b a b
ab
Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau :
3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
11
22
ax
x a x a
C
xa
xa
(đáp số C=1)
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 5
. b. Chứng minh :
3
3 3 3 3
2 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b
Giải
a/
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
3 3 1 1 1 1
11
1
2 2 2 2 2 2
22
2
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
ax
x a x x a a
x a x a x a
C x a
xa
x a x a
x a x a
2
11
22
2
11
22
1
xa
xa
b. Chứng minh :
3
3 3 3 3
2 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b
3 3 3 3 3 3
2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2 2 4 2
2 2 3 3a a b b a b a b a a b b a b a a b a b b
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 4 2 2 2 8 4 4 8 8 4 6 6 4 8
2 2 2a b a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
Bài 9.
a. Không dùng bảng số và máy tính hãy tính :
33
847 847
66
27 27
( đáp số : =3 )
b. Chứng minh rằng :
8
4
8
4
8
8
1
3 2 3 2 3 2
32
Giải
a/ Đặt y=
3
33
3
3
847 847 847 847 847
6 6 12 3 6 6 12 3 36
27 27 27 27 27
y y y
32
3
125
12 3 12 5 5 12 0 3 3 4 0 3
27
y y y y y y y y
b/
88
4 4 4
88
4 4 4
1 3 2 3 2 3 2 3 2 ; 3 2 3 2 3 2VP
3 2 3 2 3 2 1 VT
Bài 10 .Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5
3
. 2 2 2aA
. b.
11
16
:0B a a a a a a
c.
2
4
3
0C x x x
d.
5
3
0
ba
D ab
ab
Giải
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 6
11
1 1 1
55
31 3
1 3 1
3 3 5
5
3
25 10
2 2 2
. 2 2 2 2 .2 .2 2 .2 2 .2 2 2aA
b/
1
11
2
1
15
11
22
11 11 11 7 11
3 3 1
2
16
22
1
1
16 16 6 8 16
2 4 4
11
16
: . : . : :
a
B a a a a a a a a a a a a a a a
a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ
Bài 1. Đơn giản các biểu thức :
a.
21
2
1
.a
a
b.
24
4
.:a a a
c.
3
3
a
d.
3
2. 1,3 3 2
.:a a a
Giải
a.
21
21
2 2 1 2 1 2
1
.a a a a a a
a
. b/
1
1
2
24
4
2
.:
a
a a a a a a
a
c/
3
3 3. 3 3
a a a
d/
2. 1,3
3
2. 1,3 3 2 1,3
2
.
.:
aa
a a a a
a
Bài 2. Đơn giản các biểu thức :
a.
2 2 2 3
2
23
1
ab
ab
b.
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
1a a a a
aa
(đáp số :
3
1a
)
c.
57
2 5 3 7 2 7
3 3 3 3
ab
a a b b
(đáp số :
57
33
ab
) d.
1
2
4a b ab
(đáp số :
ab
Giải
a/
2 3 2 3
2 2 2 3 2 3 2 3 2
22
23
23
2 3 2 3
2
11
a b a b
a b a b a b a
ab
ab
a b a b
b/
2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3
3
4 3 3
3 3 3 2 3
1 1 1 1
1
11
a a a a a a a a a
a
aa
a a a a
c/
5 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3
57
57
33
2 5 3 7 2 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3 3 3
a b a a b b
ab
ab
a a b b a a b b
d/
1
22
22
4 2 4a b ab a b a b a b a b a b
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 7
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số ,
sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha .
Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy
thừa dạng bất đẳng thức .
Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
35
30 20
b.
3
4
57
c.
3
17 28
d.
5
4
13 23
e.
32
11
33
f.
57
44
Giải
a/
35
30 20
. Ta có
15 15
55
3
35
15 15
33
5
30 30 243.10
30 20
20 20 8.10
b/
3
4
57
. Ta có :
3
12
4 12
3
4
4
12
3
12
5 5 125
75
7 7 2401
c/
3
17 28
. Ta có :
6
3
6
3
6
2
36
17 17 4913
17 28
28 28 784
d/
5
4
13 23
. Ta có :
20
5
20
4
5
4
20
4
5 20
13 13 371.293
13 23
23 23 279.841
e/
32
11
33
. Vì
32
11
32
33
f/
5 7 5 7
4 4 ; 7 5 4 4
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
1,7 0,8
22
b.
1,7 0,8
11
22
c.
1,2 2
33
22
d.
5
2
5
1
7
e.
2,5
12
1
2
2
f.
51
63
0,7 0,7
Giải
a/
1,7 0,8 1,7 0,8
2 2 ; :1,7 0,8 2 2vi
. b/
1,7 0,8 1,7 0,8
1,7 0,8
1 1 1 1
;:
1
2 2 2 2
01
2
do
c/
1,2 2 1,2 2
1,2 2
3 3 3 3
;:
3
2 2 2 2
01
2
do
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 8
d/
55
0
22
5
0
5 5 5
2
1; : 1
7 7 7
5
01
7
do
;
e/
2
2,5
2,5 6,25
12 12
12 6,25
1
2 ; : 2 2 2
2
21
do
f/
2
2
5 5 4 1
5 1 5 1
6 36 36 3
6 3 6 3
0,7 0,7 ; : 0,7 0,7
0 0,7 1
do
Bài 3. Chứng minh :
20
30
2 3 2
Giải
Ta có :
20 20
20
30
30
30
2 1 1
2 3 2
3 1 1
Bài 4. Tìm GTLN của các hàm số sau .
a.
3
xx
y
b.
2
sin
0,5
x
y
Giải
a/
3
xx
y
.
Đặt
2
1 1 1
0 0 ' 2 1 0 axy=y
2 2 4
t x y x x t t t y t t m
Do vậy :
1
44
4
3 3 3 3
xx
y GTLNy
b/
2
sin
0,5
x
y
. Vì :
22
2 sin 1 sin
11
0 sin 1 0 0,5 0,5 0,5
22
xx
x y GTLNy
Bài 5. Tìm GTNN của các hàm số sau “
a.
22
xx
y
b.
13
22
xx
y
c.
22
sin os
55
x c x
y
e.
2
1
x
x
ye
Giải
a/
2
2 2 2 0
22
xx
xx
GTNNy
y x x x
b/
13
1 3 1 3 2
22
2 2 2 2 2 2 4 min 4 2
13
xx
x x x x
y y x
xx
c/
22
2 2 2 2
sin os
sin os sin os
22
55
5 5 2 5 2 min 2 os2x=0 x=
42
sin os
x c x
x c x x c x
y y c k
x c x
e/
2
1
12
2
1
x
x
xx
y e e e e x
VẼ ĐỒ THỊ
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 9
Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a.
1
4
4
y x y x
b.
55
y x y x
c.
1
2
2
y x y x
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Bài 2. Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
22
2
xx
y
. Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử :
12
1 2 1 2
12
1 2 1 2
12
2 2 1
2 2 1 2 2 1
11
2 2 2 2 2
22
xx
x x x x
xx
x x x x
xx
1 1 2 2
12
12
2 2 2 2
22
x x x x
xx
y x y x
. Vậy hàm số luôn đồng biến trên R .
Bài 3. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a.
3
x
y
b.
2
x
y
e
c.
3
32
x
y
d.
1
3
32
x
x
y
Giải
a/
3
x
y
. Do
1
33
x
y
. Là một hàm số đồng biến
b/
2
x
y
e
. Do
22
01
x
y
ee
Là một hàm số nghịch biến
c/
3
32
x
y
. Do
33
3 3 2 1
3 2 3 2
x
y
là một hàm số nghịch biến
d/
1 1 3 2
3
3
32
3 3 2
x
x
x
x
y
là một hàm số đồng biến (
3 2 3
)
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a.
1
2
1
log
5
x
y
x
b.
2
15
5
1
log log
3
x
y
x
c.
2
3
log
1
x
y
x
f.
2
0,3 3
2
log log
5
x
y
x
d.
2
12
2
1
log log 6
1
x
y x x
x
e.
2
2
1
lg 3 4
6
y x x
xx
g.
1
log
23
x
y
x
Giải
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 10
a/
1
2
1
log
5
x
y
x
. Điều kiện :
1
2
1
1
log 0
12
1
1 0 0 1
1
1
11
1
1
1 1 1 1
0
0
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x x x x
x
x
Vậy D=
1;
b/
2
15
5
1
log log
3
x
y
x
. Điều kiện :
2
2
15
2
3
22
5
2
2
1
2
log log 0
0
3
3
1
1
1 5 14
3
0 log 1 0
33
1
05
3
1
3
05
3
x
xx
x
x
x
x x x
x
xx
x
x
x
x
x
3 1 2
3; 2 2;7
3 2 7
xx
x
xx
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9
125 7
11
log 4
log 8 log 2
42
81 25 .49
b.
25
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
c.
77
3
1
log 9 log 6
log 4
2
72 49 5
d.
69
log 5 log 36
1 lg2
36 10 3
Giải
a/
3
9
3
9
125 7 5 7
11
11
log 4
2log 2
4 log 4
log 8 log 2 2log 2
42
42
81 25 .49 3 5 7
=
5
37
1
2 .3log 2
1 log 4 log 4
3
3
3 5 7 4 4 19
4
b/
25
4
25
4
1
log 3 3log 5
2 1 log 5
log 3 6log 5
1 log 5
6
2
16 4 4 2 16.25 3.2 592
c/
77
5
7 7 5
1
log 9 log 6
log 4
log 9 2log 6 2log 4
2
91
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
4,5=22,5
d/
6 9 6
log 5 log 36 log 25
1 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30
II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9 9 9
log 15 log 18 log 10A
b.
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B
c.
36 1
6
1
log 2 log 3
2
C
d.
1 3 2
4
log log 4.log 3D
Giải
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 11
a/
33
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A
b/
24
3
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
c/
36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C
d/
1 3 2 4 2 3 4 2 2
4
11
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
22
D
Bài 2. Hãy tính
a.
22
log 2sin log os
12 12
Ac
b.
3
3 3 3 3
44
log 7 3 log 49 21 9B
c.
10 10
log tan4 log cot4
d. D
4 4 4 4
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
x
Giải
a/
2 2 2 2 2
1
log 2sin log os log 2sin . os log sin log 1
12 12 12 12 6 2
A c c
b/
33
3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4
log 7 3 log 49 21 9 log 7 3 49 21 9 log 7 3 1B
c/ C=
10 10
log tan4 log cot4 log tan4.cot4 log1 0
d/
45
3 2 4
4 4 4 4 4 4 4 4
2
1 1 6.3 3
log log 216 2log 10 4log 3 log 6 log 10 log 3 log
3 3 10 50
xx
Bài 3. Hãy tính :
a.
2 3 4 2011
1 1 1 1
2011!
log log log log
Ax
x x x x
b. Chứng minh :
ax
log log
log
1 log
aa
a
bx
bx
x
2
1
1 1 1
log log log 2log
k
aa
aa
kk
x x x x
Giải
a/
2 3 4 2011
1 1 1 1
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
log log log log
x x x x
A
x x x x
log 2011!
x
. Nếu x=2011! Thì A=
2011!
log 2011! 1
b/ Chứng minh :
ax
log log
log
1 log
aa
a
bx
bx
x
Vế trái :
ax
log log log
log
log ax 1 log
a a a
aa
bx b x
bx VP dpcm
x
Chứng minh :
2
1
1 1 1
log log log 2log
k
aa
aa
kk
x x x x
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 12
VT=
2
1
log log log 1 2 3 log
2log
k
x x x x
a
kk
a a a k a VP
x
Bài 4. Tính :
a.
3
5
log
a
A a a a
b.
2
3
5
log
a
B a a a a
c.
53
32
1
4
log
a
a a a
aa
d.
0 0 0 0
logtan1 logtan2 logtan3 logtan89
e.
3 4 5 15 16
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15A
Giải
a/
11
3
3
5
25
1 1 37
log log 3
2 5 10
aa
A a a a a
b/
1
3
1
11
12
3
2
3
25
5
3
27 3
log log 1 1
10
10
aa
B a a a a a
c/
32
1
53
32
53
1
11
4
24
34 3 91
log log
15 4 60
a
a
a a a a
aa
a
d/
0 0 0 0 0 0 0 0 0
logtan1 logtan2 logtan3 logtan89 log tan1 tan89 .tan2 .tan87 tan45 0
( vì :
0 0 0 0 0 0
tan89 cot1 tan1 tan89 tan1 cot1 1
; Tương tự suy ra kết quả
e/
3 4 5 15 16 16 15 5 4 3 16
1
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
A
Bài 5. Chứng minh rằng :
a.Nếu :
2 2 2
; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b
, thì :
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
b. Nếu 0<N
1
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo
thứ tự đó ) là :
log log log
, , 1
log log log
a a b
c b c
N N N
abc
N N N
c. Nếu :
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
2log .log
log 0 , , , , , 1
log log
ac
b
ac
xz
y x y z a b c
xz
d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn :
22
7a b ab
. Chứng minh :
ln ln
ln
32
a b a b
Giải
a/ Từ giả thiết :
2 2 2
2 log log
aa
a c b c b c b c b c b
11
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
aa
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có :
2
b ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 13
1 1 1 1
2log log log
log log log log
N N N
b a c b
b a c
N N N N
log log log log log log log
log .log log .log log log log
a b b c a a b
a b c b c b c
N N N N N N N
N N N N N N N
. ( đpcm )
c/ Nếu :
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng thì
log log 2log
x z y
a c b
2log .log
1 1 2
log
log log log log log
ac
b
a c b a c
xz
y
x z y x z
d/ Nếu :
2
2
22
79
3
ab
a b ab a b ab ab
. Lấy lê be 2 vế ta có :
ln ln
2ln ln ln ln
3 3 2
a b a b a b
ab
III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 1. Tính
a.
6
log 16A
. Biết :
12
log 27 x
b.
125
log 30B
. Biết :
log3 ;log2ab
c.
3
log 135C
. Biết:
22
log 5 ;log 3ab
d.
6
log 35D
. Biết :
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3a b c
e. Tính :
49
log 32
. Biết :
2
log 14 a
Giải
a/
6
log 16A
. Từ :
3
12 3 3
33
log 27
3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
xx
xx
x x x
(*)
Do đó :
4
33
6
33
log 2 4log 2
log 16
log 6 1 log 2
A
. Thay từ (*) vào ta có : A=
2 3 .2
12 4
33
xx
x
x x x
c/ Từ :
3
2
3 3 3
2
log 5
3
log 135 log 5.3 log 5 3 3 3
log 3
a a b
C
bb
d/ Ta có :
27 3 3 8 2 2
11
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
33
a a b b
(*)
Suy ra :
2 3 2
2 2 2
6
2 2 2
31
log 3.log 5 log 7
log 5.7 log 5 log 7
.3 3
log 35
log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1
ba
b a b
D
bb
e/ Ta có :
2 2 2
log 14 1 log 7 log 7 1a a a
Vậy :
5
2
49
2
22
log 2
55
log 32
log 7 2log 7 2 1a
Bài 2. Rút gọn các biểu thức
a.
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a
b.
2
log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x
x
B x x x x
c.
log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p
Giải
a/
2
log 1
log log 2 log log log 1 1 log 1
log
a
a b a ab b ab
a
b
A b a b b a a
b
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 14
2 2 2
log 1 log log 1 log 1 log
1
1 1 1 1 1
log log log 1 log log 1 log
a a a a a
a a a a a a
b a b b b
b ab b b b b
log 1
1
1 log
log log
a
b
aa
b
a
bb
b/
2
2
log log 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
11
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
22
x
x
B x x x x x x x x
2 2 2
2 2 2 2 2
1 3log log 8 log 9 log 3log 1x x x x x
c/
2
2
log 1
log
log log 2 log log log log log
log 1 log
a
a
a p a ap a a a
aa
p
p
C p a p p p p p
pp
2
3
log 1
log
log log
log 1 log
a
a
aa
aa
p
p
pp
pp
Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính
log
a
x
, biết
log 3;log 2
aa
bc
:
a.
32
x a b c
b.
4
3
3
ab
x
c
c.
22
4
4
3
a bc
x
ab c
Giải
a/ Ta có :
3 2 3
1
log log 3 2log log 3 2.3 1 8 2
2
a a a a
x a b c b c
b/Ta có :
4
3
3
1 1 2 28
log log 4 log 3log 4 2 6 10
3 3 3 3
a a a a
ab
x c c
c
c/ Ta có :
22
4
4
3
1 1 1 3 1 161
log log 2 log 2log 4log log 2 4 12 1
4 3 2 4 3 12
a a a a a a
a bc
x b c b c
ab c
Bài 4. Chứng minh
a.
1
log 3 log2 log log
2
a b a b
với :
22
3 0; 9 10a b a b ab
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
22
log log
aa
bc
cb
;
log .log .log 1
a b c
b c a
Trong ba số :
2 2 2
log ;log ;log
a b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a/ Từ giả thiết :
2
2 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4a b a b ab a ab b ab a b ab
Ta lấy log 2 vế :
1
2log 3 2log2 log log log 3 log2 log log
2
a b a b a b a b
b/ Chứng minh :
22
log log
aa
bc
cb
.
* Thật vậy :
12
22
log log log log log log
a a a a a a
b c c b c c
c b b c b b
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 15
*
log .log .log 1 log .log log 1
a b c a b a
b c a b a a
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
2 2 2
log log log log .log log 1
a b c a b c
b c a b c a
c a b b c a
b c a c a b
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn
hơn 1
IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn
một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả
Ví dụ 1: so sánh hai số :
34
1
log 4 log
3
. Ta có :
3 3 4 4 3 4
11
log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log
33
Ví dụ 2. So sánh :
66
log 1,1 log 0,99
37
. Ta có :
6 6 6 6 6 6
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
3 3 1;7 7 1 3 7
Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh :
a.
0,4 0,2
log 2 log 0,34
b.
53
34
32
log log
45
c.
5
5
1
log
log 3
2
23
d.
32
log 2 log 3
e.
23
log 3 log 11
f.
21
2
2log 5 log 9
28
g.
24
5
log 3 log
11
4 18
h.
31
9
8
log 2 log
9
95
k.
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
Giải
a/
0,4 0,2
log 2 log 0,34
. Ta có :
0,4 0,4
0,2 0,4
0,2 0,2
2 1 log 2 log 1 0
log 0,3 log 2
0,3 1 log 0,3 log 1 0
b/
53
34
32
log log
45
. Ta có :
55
33
35
43
33
44
5 3 3
1 0 1 log log 1 0
3 4 4
23
log log
3 2 2
54
0 1,0 1 log log 1 0
4 5 5
c/
5
5
1
log
log 3
2
23
. Ta có :
55
5
5
log 3 log 1
0
55
1
log
55
log 1
0
2
55
log 3 log 1 2 2 2 1
1
log 3 log
1
2
log log 1 3 3 3 1
2
d/
32
log 2 log 3
. Ta có :
3 3 3 3
23
2 2 2 2
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2
log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
e/
23
log 3 log 11
. Ta có :
2
32
33
1 log 3 2
log 11 log 3
log 11 log 9 2
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 16
f/
21
2
2log 5 log 9
28
. Ta có :
21
2
2
25
2log 5 log 9
log
9
2 1 2 2 2
2
25 25
2log 5 log 9 log 25 log 9 log 2 2
99
Nhưng :
21
2
2
2log 5 log 9
2
25 25 625 648
8 2 8
9 9 81 81
g/
24
5
log 3 log
11
4 18
. Ta có :
2
22
2 4 2 2
9 11
5
5 1 5
log
log 9 log
log 3 log 2log 3 log
5
11
11 2 11
9 11 81.11
4 2 2 2
5
5
Nhưng :
24
5
log 3 log
11
81.11 891 90
18 4 18
5 5 5
h/
31
9
8
log 2 log
9
95
. Ta có :
31
3
33
39
9
8
2.3
8
8
log 2 log
log
log 2 log
2log 2 log
9
8
9
9
6 36 40
9 3 3 3 5
88
8
k/
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
.
Ta có :
6
6
6
6 6 6
1
log 2 log 5
1
2
log
log 2 log 5 log 10
3
10
3
1 1 1
6 6 6 18
6 10 1000
Bài 2. Hãy so sánh :
a.
25
log 10 log 30
b.
37
log 5 log 4
c.
3
1
2ln 8 lne
e
Giải
a/
25
log 10 log 30
. Ta có :
22
25
55
log 10 log 8 3
log 10 log 30
log 30 log 36 3
b/
37
log 5 log 4
. Ta có :
33
37
77
log 5 log 3 1
log 5 log 4
log 4 log 7 1
c/
3
1
2ln 8 lne
e
. Ta có :
3
3
2ln 2.3 6
1
8 ln 2ln
1
8 ln 8 1 9
e
e
e
e
Bài 3. Hãy chứng minh :
a.
13
2
1
log 3 log 2
2
b.
55
log 7 log 4
47
c.
37
log 7 log 3 2
d.
22
log 5 log 3
35
e.
1
log3 log19 log2
2
f.
5 7 log5 log 7
log
22
Giải
a/
13
2
1
log 3 log 2
2
. Ta có :
13
2
3
3
1 1 1
log 3 log 2 *
1
1
2
log
log
2
2
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 17
Nhưng :
3 3 3
33
1 1 1 1 1
log 0 log 2 log 2
11
2 2 2
log log
22
b/
55
log 7 log 4
47
. Ta có :
5
5 7 5 7 5
log 7
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7
. Vậy 2 số này bằng nhau
c/
37
log 7 log 3 2
. Ta có :
3 3 7 3
3
1
log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
d/
22
log 5 log 3
35
. Ta có :
2
5 2 5
22
log 5
log 3 log 5.log 3
log 5 log 3
3 5 5 5
e/
1
log3 log19 log2
2
. Ta có :
1
log3 log 10 log3 log3 10 log 900
2
19 361
log19 log2 log log
24
361 1
log 900 log log3 log19 log2
42
f/
5 7 log5 log 7
log
22
. Ta có :
5 7 5 7 log5 log 7
5. 7 log log 5. 7
2 2 2
Bài 4. Hãy so sánh :
a.
33
65
log log
56
b.
11
33
log 9 log 17
c.
11
22
log loge
d.
22
53
log log
22
Giải
a/Ta có :
33
33
33
65
log log 0
65
55
log log
56
56
log log 0
66
. Hoặc :
33
65
65
log log
56
56
31
b/
11
33
log 9 log 17
. Ta có :
11
33
1
01
log 9 log 17
3
9 17
c/
11
22
log loge
. Ta có :
11
22
1
01
log log
2
e
e
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
2
22
x
y x x e
b.
2
sinx-cosx
x
ye
c.
xx
xx
ee
y
ee
d.
2
ln 1yx
e.
ln x
y
x
f.
1 ln lny x x
Giải
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 18
a/
2 2 2
2 2 ' 2 2 2 2
x x x x
y x x e y x e x x e x e
b/
2 2 2 2
sinx-cosx ' cosx+sinx 2 sinx-cosx 3sin osx
x x x x
y e y e e x c e
c/
22
4
'
x x x x x x x x
xx
xx
x x x x
e e e e e e e e
ee
yy
ee
e e e e
d/
2
2
2
ln 1 '
1
x
y x y
x
e/
22
ln 1 1 1 ln
' . ln
xx
y y x x
x x x x
f/
ln 1 ln 1 2ln
1 ln ln '
x x x
y x x y
x x x
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
22
ln 1y x x
b.
2
2
log 1xx
c.
3
2
lnyx
d.
2
4
log
4
x
y
x
e.
2
3
9
log
5
x
y
x
f.
1
log
2
x
y
x
Giải
a/
23
2 2 2 2
22
ln 1 ' 2 .ln 1 2 .ln 1
2 1 2 1
x x x
y x x y x x x x
xx
b/
2
2
2
21
log 1 '
1 ln2
x
y x x y
xx
c/
21
3
2
33
3
2 1 2
ln ' ln ' ln
3
3 ln
y x y x x
x
xx
d/
2
2
2
4 1 16 4 16
log ' :
4 ln2 4
4 ln2
4
xx
yy
xx
x
x
e/
2
2 2 2
3
2
2
2 5 9
9 1 9 10 9
log ' :
5 ln3 5
5 9 ln3
5
x x x
x x x x
yy
xx
xx
x
f/
11
1 1 1
log ' :
ln10
2 16 2
8 ln10 1
xx
xx
yy
x x x x
xx
II. GIỚI HẠN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
a.
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
xx
x
b.
0
ln 3 1
lim
sin2
x
x
x
c.
0
ln 4 1
lim
x
x
x
d.
5 3 3
0
lim
2
x
x
ee
x
e.
0
1
lim
11
x
x
e
x
f.
3
0
ln 1
lim
2
x
x
x
Giải
a/
0 0 0
ln 3 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 2 1
lim lim lim 3 2 1
32
32
x x x
x x x x
x
xx
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 19
b/
00
ln 3 1
3
ln 3 1
3
3
lim lim
sin 2
sin 2 2
2
2
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
, c/
00
ln 4 1 ln 4 1
lim lim4 4
4
xx
xx
xx
d/
5
5 3 3 3
3
0
0
1
5
lim lim 5
2 2. 5 2
x
x
x
x
e
e e e
e
xx
, e/
00
11
lim lim 1 1 1.2 2
11
xx
xx
ee
x
x
x
Bài 2. Tìm các giới hạn sau
a.
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
b.
23
0
lim
5
xx
x
ee
x
c.
3
0
1
lim
x
x
e
x
d.
1
lim
x
x
xe x
e.
0
sin3
lim
x
x
x
f.
2
0
1 os5
lim
x
cx
x
Giải
a/
00
ln 2 1
2
ln 2 1
2
lim lim 2
tan
tan
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
b/
2 3 2 3
0 0 0
1 1 2 3 1
lim lim lim3
5
5 5 3 5 5 5
.2
2
x x x x
x x x
e e e e
xx
x
c/
33
00
11
lim lim3 3
3
xx
xx
ee
xx
d/
1
11
1
lim lim 1 lim 1
1
x
xx
x x x
e
xe x x e
x
e/
00
sin3 sin3
lim lim3 3
3
xx
xx
xx
f/
2
2
2
00
5
2sin
1 os5 25
2
lim lim
2
45
25 2
xx
x
cx
x
x
Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a.
2
0
osx os3
lim
sin
x
c c x
x
b.
2
1
lim t anx
os
x
cx
c.
3
lim 2 sin
x
x
x
d.
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
Giải
a/
2
2 2 2
0 0 0
2sin2 sin
osx os3 4cos .sin
lim lim lim 4
sin sin sin
x x x
xx
c c x x x
x x x
b/
2
1
lim t anx
os
x
cx
.
Đặt :
1 1 1 1 ost
tanx= tan cot
2 2 osx 2 sin sint
cos
2
c
t x x t t t
ct
t
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 20
2
2sin
2
tan
t
2
2sin os
22
t
t
t
c
. Khi
0
2
tan
12
2
; 0 lim tanx lim
2 os
2
t
x
t
xt
t
c x t
c/
3
lim 2 sin
x
x
x
. Đặt :
0
;0
13
lim 2 sin lim 6 3 3
31
2 2 3 6 3
xt
xt
t x t
x t t
xx
xt
d/
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
. Đặt :
; ; 0
44
2 2cos
2 1 ost+sint
2 2cos
4
4
sin sint
sin
4
x t x t
xt
t
c
x
t
x
Do đó :
2
t t t
2sin 2sin os sin os
2 1 ost+sint
2 2 2 2 2
2 2 2 tan 2
tt
sint 2
2sin os os
2 2 2
tt
cc
c
t
t
cc
Vậy :
4
2 2cos
lim lim 2 tan 2 2
2
sin
4
to
x
xt
x
