Hàm số bậc hai

§3. HÀM SỐ BẬC HAI

A . LÝ THUYẾT
1) Đònh nghóa
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng
2
yax bxc
=
++, trong đó a, b, c
là những hằng số và a
≠ 0.
Tập xác đònh của hàm số bậc hai là R.
2) Sơ lược về tònh tiến đồ thò song song với trục tọa
độ
a) Tònh tiến một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm M
0
(x
0
; y
0
). Với số k > 0 đã cho,
ta có thể dòch chuyển điểm M
0
:
- Lên trên hoặc xuống dưới (quy ước là luôn theo phương của trục
tung)
- Sang trái hoặc sang phải (quy ước là luôn theo phương của trục
hoành)

Khi dòch chuyển điểm M
0
như thế, ta còn nói rằng tònh tiến điểm
M
0
song song với trục tọa độ
b) Tònh tiến một đồ thò
Cho số k > 0. Nếu ta tònh tiến tất cả các điểm của một đồ thò (G)
lên trên k đơn vò thì tập hợp các điểm thu được tạo thành 1 hình (G
1
). Ta
nói : tònh tiến (G) lên trên k đơn vò thì được (G
1
), hoặc (G
1
) có được khi
tònh tiến (G) lên trên k đơn vò.
Ta cũng phát biểu tương tự khi tònh tiến (G) xuống dưới, sang trái
hay sang phải.
Đònh lý :
Trong mặt phẳng tọa độ, cho (G) là đồ thò của hàm số y = f(x), p và
q là 2 số tùy ý. Khi đó :
1. Đồ thò hàm số y = f(x) + q có được khi tònh tiến (G) lên trên
q
đơn vò nếu q > 0, xuống dưới q đơn vò nếu q < 0.
2. Đồ thò hàm số y = f(x + p) có được khi tònh tiến (G) sang phải
p
đơn vò nếu p < 0, sang trái
p
đơn vò nếu p > 0.

3) Đồ thò của hàm số bậc hai
a) Nhắc lại về đồ thò hàm số y = ax
2
(a
≠
0)


2
Ta đã biết, đồ thò hàm số y = ax
2
(a
≠
0) là một parabol
()
0
P có các
đặc điểm sau :
•
Đỉnh của parabol
(
)
0
P là gốc tọa độ.

•
Parabol
()
0
P có trục đối xứng là trục tung.

•
Parabol
()
0
P
hướng bề lõm lên trên khi a > 0 và xuống dưới
khi a < 0.

b) Đồ thò hàm số y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)
Ta đã biết :
⎛⎞
−
⎛⎞
++= + + −+= + −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
2
22 2
22
2
bbb bb4ac
ax bx c a x 2 x c a x
2a 4a 4a 2a 4a

Do đó, nếu đặt
Δ= − =−
2
b
b4ac;p
2a
và
Δ
=
−q
4a

Thì hàm số y = ax
2
+ bx + c có dạng : y = a(x-p)
2
+ q.
Kết luận :
Đồ thò của hàm số y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) là một parabol có đỉnh I
Δ
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
b

;
2a 4a
, nhận đường thẳng
=
−
b
x
2a
làm trục đối xứng và hướng
bề lõm lên trên khi a > 0, xuống dưới khi a < 0.
4) Sự biến thiên của hàm số bậc hai
Khi a > 0, hàm số nghòch biến trên khoảng
⎛⎞
−∞ −
⎜⎟
⎝⎠
b
;
2a
, đồng biến
trên khoảng
⎛⎞
−+∞
⎜⎟
⎝⎠
b
;
2a
và có giá trò nhỏ nhất là
Δ

−
4a
khi =−
b
x
2a
.
Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng
⎛⎞
−∞ −
⎜⎟
⎝⎠
b
;
2a
, nghòch biến
trên khoảng
⎛⎞
−+∞
⎜⎟
⎝⎠
b
;
2a
và có giá trò lớn nhất là
Δ
−
4a
khi =−
b

x
2a
.
Chú ý về cách vẽ parabol :
• Xác đònh đỉnh của parabol.
•
Xác đònh trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol.
•
Xác đònh một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao
điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng
với chúng qua trục đối xứng.


3
• Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dángcủa parabol
ta nối các điểm đó lại và được dáng điệu của Parabol đó.


B . BÀI TẬP
Bài 1

Gọi (d) là đường thẳng y = 2x và (d’) là đường thẳng y = 2x – 3. Ta có thể
coi (d’) là do tònh tiến (d):
a) Theo phương của trục tung, lên trên hay xuống dưới ? Bao nhiêu
đơn vò ?
b) Theo phương của trục hoành, sang trái hay sang phải ? Bao nhiêu
đơn vò ?

Giải
a) (d’) là do (d) tònh tiến theo phương trục tung, xuống dưới 3 đơn vò.

b)
(d’) là do (d) tònh tiến theo phương trục hòanh, sang phải 3 đơn vò.

Bài 2

Hàm số 43
y
x=− có đồ thò là đường thẳng
(
)
d .
a) Gọi
()
1
d là đường thẳng có được khi tònh tiến
(
)
d lên trên 4 đơn
vò. Hỏi
(
)
1
d là đồ thò của hàm số nào ?
b) Gọi
()
2
d là đường thẳng có được khi tònh tiến
(
)
d sang trái 1

đơn vò. Hỏi
()
2
d là đồ thò của hàm số nào ?

Giải:
a)
()
1
d là đồ thò của hàm số
(
)
434yx
=
−+ hay 41
y
x
=
+ .
b)
()
2
d là đồ thò của hàm số
(
)
413yx
=
+− hay 41
y
x

=
+
Bài 3
Cho 2 parapol (P): y =
2
x4x5
−
− và (P)’: y =
2
x4x5
−
+
Chỉ ra các phép tònh tiến song song với trục tọa độ để (P) thành (P’)
Giải:
Ta có (P’): y =
22 2
x4x5(x4x4)1(x2)1−+= −++=− +. Để được đồ thò
(P’) ta dời đồ thò (P) song song trục hòanh về bên phải hai đơn vò và sau
đó tiếp tục dời nó song song trục tung lên trên 1 đơn vò.


4
Bài 4
Cho hàm số f(x)=x
2 _
2x
_
1 (G).Chứng tỏ rằng khi tònh tiến (G) sang trái 1
đơn vò thì ta được đồ thò của một hàm số chẵn.
Giải

f(x) =
2
x2x1 (G) −−
=
2
(x 1) 2−−
Khi tònh tiến đồ thò (G) theo trục hòanh sang trái 1 đơn vò ta có
22
f(x1) (x11) 2 x 2+= +− −= −
hay
2
g(x) x 2=−, Hàm g có TXĐ là tập đối xứng và có đồ thò nhận trục
tung là trục đối xứng. Vậy g là đồ thò của hàm số chẵn.
Bài 5
Cho hàm số f(x) =
2x+

_

2x
−
(G) .Ta tònh tiến (G) sang phải 1 đơn
vò được đồ thò (G), rồi tiếp tục tònh tiến (G
1
) lên tên 2 đơn vò được (G
2
).
Hỏi (G
2
) là đồ thò của hàm số nào ?

Giải

f(x) 2 x 2 x=+−−
(G)
* f(x-1) =
2x1 2x1+−− −+

=
x1 3x+− − (G
1
)
*
f(x 1) 2 x 1 3 x 2−+= +− −+
(G
2
)
Vậy (G
2
) là đồ thò của hàm số f(x) x 1 3 x 2
=
+− − +
Bài 6
Cho hàm số

22
yf(x)x 4x1(x2) 5==−−=−− (G)

22
yg(x)x 2x2(x1) 3==+−=+− (G)’
a) Hỏi ta phải thực hiện liên tiếp 2 phép tònh tiến đồ thò (G) sang trái hoặc

sang phải rồi lên trên hoặc xuống dưới mấy đơn vò để được 1 đồ thò trùng
với (G)’?
b) Hỏi ta phải tònh tiến (G) sang trái hay sang phải mấy đơn vò để được đồ
thò cảu một hàm số chẵn?
Giải
a)
22
f(x3)2(x32)52(x1)3++= +− −+= + −
Vậy để(G) thành (G)’ ta tònh tiến (G) sang trái 3 đơn vò và tònh tiến lên
trên 2 đơn vò.



5
b) Xét
22
f(x 2) (x 2 2) 5 x 5− = +− −= − (Với chú ý là hàm đưa về dạng :
y=ax
2
+c)
Ta có:
2
22
t(x) x 5, ( )
t( x) ( x) 5 x 5 t(x) t( x)
t
D tập xác đònh đối xứng qua O
⎫
=− ∈
⎪

⎬
−=− −= −⇒ =−
⎪
⎭
\

⇒ t là hàm số chẵn
Vậy để (G) trở thành đồ thò của một hàm số chẵn thì ta tònh tiến (G) sang
trái hai đơn vò.
Bài 7
Cho hàm số
x2
y
(1 x ) x 1
+
=
−−
có đồ thò là (G)
a) Tìm miền xác đònh của hàm số và xem điểm nào dưới đây thuộc đồ thò
(G): A(0;2), B(5;
7
8
− ), C(-2;0), D(2;4).
b) Khi tònh tiến (G) sang phải hai đơn vò ta được đồ thò của hàm số nào?
Giải
a) Hàm số xác đònh khi và chỉ khi
x10
x1 x1
x1
x10 x 1

(1 x ) x 1 0
−>
⎧
>>
⎧⎧
⎪
⇔⇔⇔>
⎨⎨⎨
−≠ ≠
−−≠
⎪
⎩⎩
⎩

Vậy D =
(1 ; + )∞

Các điểm thuộc đồ thò (G) là B(5 ; -
7
8
) và D (2;4 )
b) Khi tònh tiến (G) sang phải hai đơn vò ta được đồ
thò:
(x 2) 2 x
f(x 2) f(x)
(1 x 2). x 2 1 (3 x) x 3
−+
−= ⇒ =
−+ −− − −

Bài 8
Cho
2
23
y
xx=++ (P
1
) và
2
1
43
2
y
xx
=
−+ (P
2
)
a)
Tìm toạ độ giao điểm của (P
1
) và (P
2
)
b)
Tìm m để đường thẳng (d) : y = m cắt cả (P
1
) và (P
2

). Gọi M
1
và N
1

là giao điểm của (d) và (P
1
) ; M
2
và N
2
là giao điểm của (d) và


6
(P
2
). Tìm m để M
1
N
1
= M
2
N
2
, sau đó tìm các độ dài các đoạn
thẳng này với các giá trò tìm được của m.
Hướng dẫn giải
a) (0 ; 3) và (4 ; -5)
b)

Ta có :
()
(
)
()
11 11 11
22
2
11
2
4
243 164
NM MN MN
M
Nxx xx xx
mm
=− =+ −
=−−+ =−

Vì
1
M
x
và
1
N
x
là nghiệm của phương trình : -x
2
+ 2x + 3 = m

()
(
)
()
22 22 22
22
2
22
2
4
8462 408
NM MN MN
M
Nxx xx xx
mm
=− =+ −
=− − = +

Vì
2
M
x
và
2
N
x
là nghiệm của phương trình :
2
1
43

2
x
xm
⎛⎞
−+=
⎜⎟
⎝⎠

Do M
1
N
1
= M
2
N
2
16 4 40 8 2mmm⇔− =+ ⇔=−
Thay x = -2 vào ta được M
1
N
1
= M
2
N
2
= 26.

Bài 9
Tìm phương trình tiếp tuyến chung của hai parabol
2

48
y
xx
=
++ và
2
84yx x=++

Giải

Gọi tiếp tuyến chung là đường thẳng y = ax + b, ta có :
2
2
48
84
x
xaxb
x
xaxb
⎧
++=+
⎪
⎨
++=+
⎪
⎩
có nghiệm kép
2
1
2

2
84160
8
4
16 4 48 0
aab
a
b
aab
⎧
Δ= − + − =
=
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
Δ= − + + =
⎪
⎩
⎩


Bài 10
Qua điểm M(0,1) vẽ tiếp tuyến với parabol
2
361
y
xx
=

−+. Tìm
phương trình tiếp tuyến đó.


7

Giải
Tiếp tuyến qua M(0,1) có phương trình y = ax + 1
Do đó :
2
361 1
x
xax−+=+ phải có nghiệm kép
06a⇔Δ= ⇒ =−

Bài 11
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
2
675
y
xx
=
−++
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
675mxx
=
−++

Giải

a) Đỉnh
71
;7
12 24
I
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
, giao với Ox tại
1
5
3
x
=
và
2
1
2
x
=
− ; giao với Oy
tại y = 5
b)
Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm giữa parabol và đường
thẳng y = m

Bài 12
Lập phương trình đường parabol biết rằng
a)
Nó đi qua 3 điểm (1 ; 1) ; (-1 ; 9) ; (0 ; 3)

b)
Nó có đỉnh D(1 ; 4) và đi qua (-1 ;1)

Giải
a) y = ax
2
+ bx + c
()
()
()
1
1
1
1;1 1
2
1; 9 9 4
3
0;3 3
Pabc
a
Pabc b
c
Pc
∈⇔++= ⎫
=
⎧
⎪
⎪
−∈⇔−+=⇒=−
⎬⎨

⎪⎪
=
∈⇔=
⎩
⎭

Phương trình (P
1
) : y = 2x
2
– 4x + 3

b) (P
2
) : y = ax
2
+ bx + c


8
()
()
()
2
2
3
4
1; 4 4
3
1; 1 1

2
13
1; 4 1
2
4
là đỉnh
a
Pabc
Pabc b
b
c
a
⎧
⎫
=
−
⎪
⎪
∈⇔++=
⎪
⎪
⎪⎪
−∈⇔−+=⇒=
⎬⎨
⎪⎪
−
⎪⎪
⇒=
=
⎪

⎭
⎪
⎩

Phương trình :
()
2
2
3313
:
424
Py x x
=− + +

Bài 13
Cho parabol P : y = x
2
– 3x + 3
a) Lập phương trình đường thẳng qua
1
1;
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
và iếp xúc với P
Có nhận xét gì về các tiếp tuyến tìm được
b) Tìm tập hợp các điểm từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến của P và 2 tiếp
tuyến bày vuông góc với nhau
c) Tìm tập hợp các điểm, từ đó không thể vễ được tiếp tuyến nào của P.

Giải
a) Phương trình đường thẳng có hệ số góc là a, đi qua
1
1;
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

(d
a
) : y = ax – a +
1
2

(d
a
) tiếp xúc với P ⇔ phương trình x
2
– 3x + 3 = ax – a +
1
2
có nghiệm
kép
2
1
210 1 2aa a⇔Δ= + − = ⇒ =− −
hoặc
2

12a =− +

Qua
1
1;
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
có 2 tiếp tuyến của P :
(d
1
)
()
3
21 2
2
yx=− + + +
(d
2
)
()
3
21 2
2
yx
=−+−

Vì a
1

a
2
= -1 nên
12
dd⊥
b) Cho K(x
1
; y
1
). Phương trình họ đường thẳng có hệ số góc là a, quay
quanh điểm K : y = ax – ax
1
+ y
1
(d
a
)


9
(d
a
) tiếp xúc với P ⇔ phương trình x
2
– 3x + 3 = ax – ax
1
+ y
1
(*) có
nghiệm số kép

(
)
2
11
23 2 3 4 0axay⇔Δ= + − − + =
Qua K(x
1
; y
1
) có 2 tiếp tuyến của P và 2 tiếp tuyến này vuông góc với
nhau
⇔ phương trình (*) có 2 nghiệm và a
1
a
2
= -1
⇔ -3 + 4y
1
= -1
1
1
2
y
⇔=
Tập hợp các điểm qua đó vẽ được 2 tiếp tuyến của P và 2 tiếp tuyến này
vuông góc với nhau là đường thẳng
1
2
y
=

c) Qua K(x
1
; y
1
) không có tiếp tuyến nào của P
⇔
phương trình (*) vô
nghiệm
()
2
11
'(*) 3 2 3 4 0xy⇔Δ = − + − <
()
22
11 1 111
433 0 33xx y yxx⇔−+−<⇔>−+
Xét điểm M(x
1
; f(x
1
)) P∈
Điểm M
1
(x
1
; y
1
) như hình ta có y
1

> b(x
1
) ⇒y
1
>
2
1
x
- 3x
1
+ 3

Qua điểm M
1
không có tiếp tuyến nào của P
Vậy tập hợp các điểm qua đó không vẽ được tiếp tuyến nào của P là phần
mặt phẳng nằm phía trên đường parabol P. Có thể nhận xét là qua mỗi
điểm thuộc P chỉ vẽ được đúng 1 tiếp tuyến của P, và mỗi điểm nằm phía
dưới P vẽ được 2 tiếp tuyến của P.

Bài 14
Cho parabol : (P) :
2
11
22
yx=+


10
a) Chứng minh rằng mọi điểm M trên P cách đều trục hòanh và 1 điểm K

cố đònh.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến của P tại M tạo với MK và trục tung những
góc nhọn bằng nhau.

Giải

a) P nhận Oy làm trục đối xứng nên KOy
∈

Nếu
1
0;
2
MD
⎛⎞
≡
⎜⎟
⎝⎠
thì khỏang cách DK = DO =
1
2

(
)
0,1K⇒
Xét điểm M bất kỳ của P
2
11
;
22

M
αα
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

Khỏang cách từ M đến Ox là :
22
1111
2222
MH
αα
=+=+
Khỏang cách MK : MK =
()() ()
2
22 2
22
11 11
10
22 22
KM KM
yy xx
ααα
⎛⎞
−+−= +−+−=+
⎜⎟
⎝⎠

Vậy MK = MH
⇒ M cách đều K(0 ; 1) và Ox.
b) Phương trình đường thẳng (d
a
) có hệ số góc là a, đi qua M.
2
11
22
yaxa
αα
=− + +



11
(d
a
) tiếp xúc với P ⇔ phương trình
22
11
0
22
xaxa
αα
−
+− =
có nghiệm
kép
22
20aaa a

α
⇔Δ= − + = ⇔ =
Hệ số góc của HK là a’ =
01 1
0
HK
HK
yy
xx
α
α
−
−
=
=−
−−

a.a’ = -1
()
a
dHK⇒⊥
Tam giác MHK cân tại M nên (d
a
) là phân giác góc HMK suy ra (d
a
) tạo
với MK và Oy những góc nhọn bằng nhau.
Bài 15

Cho parabol

2
1yxx=− + − (P)
1)
Tìm tập hợp những điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến
parabol và chúng vuông góc với nhau.
2)
Đường thẳng (d)
(
)
23ymx
=
+− cắt (P) tại 2 điểm. Tìm quỹ tích
trung điểm các giao điểm ấy.
Giải
1) Gọi điểm M
o
( x
o
, y
o
) là điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến
(P)
Đường thẳng qua M
o
có hệ số góc a: y = a( x – x
o
) + y
o

Để nó là tiếp tuyến của (P) thì pt sau có nghiệm kép

-x
2
+ x – 1 = a(x – x
o
) + y
o

⇔ x
2
+ (a – 1)x + 1 – ax
o
+ y
o
= 0 hay Δ = 0
Δ = a
2
+2(2x
o
– 1)a – 3 – 4y
o
= 0 (*)
Pt (*) nếu có nghiệm sẽ cho ta các hệ số góc a
1
,a
2
của các tiếp tuyến với
(P) , và để các tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ta phải có các điều kiện
'0
34 1
a

o
y
⎧
Δ>
⎪
⎨
−− =−
⎪
⎩
()
(
)
2
0
21 34 0
1
2
oo
xy
y
⎧
−
++ >
⎪
⇔
⎨
=−
⎪
⎩

Do đó, quỹ tích các điểm mà từ đó ta kẻ được 2 tiếp tuyến đến (P) và
chúng vuông góc với nhau là đường thẳng y =
1
2
−

2) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm pt:
-x
2
+ x – 1= m(x + 2) –3
⇔ x
2
+ (m – 1)x + 2m – 2= 0 (**)
Pt trên có 2 nghiệm khác nhau nên Δ > 0


12
⇔ m
2
– 10m + 9 >0
⇔ m < 1 ; m > 9
Gọi x
1
, x
2
là hoành độ giao điểm thì toạ độ trung điểm I của các giao
điểm là :
I
()
()

()
12
11
1
22
23
xxx m
ymx
⎧
=+=−+
⎪
⎨
⎪
=+−
⎩
(***)
( Vì x
1
, x
2
là nghiệm pt (**) nên theo đònh lí Viet thì x
1
+ x
2
=
b
a
− , mặt
khác I ∈ (d) nên tìm tung độ của I bằng cách thay hoành độ của I vào (d)
).

Rút m theo x và thay vào y trong hệ (***) ,ta được y = - 2x
2
– 3x – 1 , độ
htò của nó là quỹ tích các trung điểm I của các giao điểm, nó là một
parabol.
Giới hạn quỹ tích: Theo trên , ta phải có điều kiện của m : m < - 1 ; 1 < m
Vì x
1
=
()
1
1
2
m
−
+⇔- 2x
1
+ 1 =m
Từ m < 1 ⇔ - 2x
1
+ 1 < 1 ⇒ x > 0
m > 9 ⇔ - 2x
1
+ 1 > 9 ⇒ x < - 4
Vậy quỹ tích trung điểm I các giao điểm là một phần của parapol nói trên
ứng với x
(;4)∈−∞− và x (0; )
∈
+∞
Bài 16

Tìm m
để hàm số y = 2x
2
– 2mx + 1 đống biến trên ( – 1 ;3)

Giải
u Cầu Bài Tóan
()
mm
1; 3 ; 1 m 2
22
⎛⎞
⇔− ⊂ +∞⇔ ≤−⇔ ≤−
⎜⎟
⎝⎠

Bài 17
Một parabol có đỉnh là điểm
(
)
2; 2I
−
− và đi qua gốc tọa độ.
a) Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol, biết rằng
nó song song với trục tung.
b) Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ qua trục đối xứng trong câu
a).
c) Tìm hàm số cố đồ thò là parabol đã cho.
Giải

13
a) Phương trình trục đối xứng là 2x
=
− .
b)
Điểm đối xứng với
(
)
0; 0O qua trục
2x
=
−
là điểm
()
4; 0M − .
c)
Ta phải tìm
(
)
0aa
≠
, b và c sao cho hàm số
2
y
ax bx c
=
++ có
đồ thò là parabol đỉnh
(

)
2; 2I
−
−
và đi qua điểm O. từ giả thiết
ta có hệ thức sau:
2
4
2; 2
244
bbac
aaa
Δ−
−=−−=− =− và
0c
=
.
Từ đó tính được
1
,2,0
2
abc=== và hàm số cần tìm là
2
1
2
2
yxx
=
+
Bài 18

Hàm số bậc hai
(
)
2
f
xaxbxc
=
++ có giá trò nhỏ nhất bằng
3
4
khi
1
2
x = và nhận giá trò bằng 1 khi 1
x
=
.
a) Xác đònh các hệ số a, b và c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
(P) của hàm số nhận được.
b) Xét đường thẳng
ymx
=
, kí hiệu bởi
(
)
d . Khi
(
)
d cắt (P) tại hai

điểm A và B phân biệt, hãy xác đònh tọa độ trung điểm của đoạn
thẳng AB.
Giải:
a)
° Vì hàm số có giá trò nhỏ nhất bằng
3
4
khi
1
2
x
=
nên
1
22
b
a
−=
và
2
43
444
bac
aa
Δ−
−
=− = , suy ra ab
=
− và
43ac−+ =

. Vì hàm số có giá trò bằng 1 khi
1
x
=

nên
()
11
f
abc=++=
, suy ra 1c
=
(doab
=
− ). Do đó
431ac=−= và 1b
=
− . Vậy hàm số cần tìm là
2
1
y
xx
=
−+.
° Do hệ số
10a
=
> và giá trò nhỏ nhất của hàm số đạt được tại
1
2

x = nên hàm số nghòch biến trên khỏang
1
;
2
⎛⎞
−∞
⎜⎟
⎝⎠
và đồng
biến trên khỏang
1
;
2
⎛⎞
+
∞
⎜⎟
⎝⎠
.
Bảng biến thiên:


14

x

1
2

2

1
y
xx=−+


3
4


Hàm số có đồ thò như hình vẽ:
HÌNH VẼ
b) Đường thẳng
ymx
=
cắt parabol (P) tại hai điểm
()
;
AA
Ax y và
()
;
BB
B
xy
nếu chỉ nếu phương trình
2
1
x
xmx−+= hay
()

2
110xmx−+ +=có hai nghiệm phân biệt, tức là biểu
thức
()
2
2
1423mmmΔ= + − = + − dương . Khi đó, hai nghiệm
của (1) chính là
,
AB
x
x . Theo đònh lí Vi-ét, ta có 1
AB
x
xm+=+.
Từ (2) ta suy ra hòanh độ trung điểm C của đọan thẳng AB là
1
22
AB
C
xx m
x
+
+
==.
Do C là một điểm thuộc đường thẳng (d) nên tung độ
C
y
của nó
thỏa mãn

(
)
1
2
CC
mm
ymx
+
== .
Kết luận.Tọa độ trung điểm của đọan thẳng AB là
()
1
1
;
22
mm
m
C
+
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
,
với điều kiện
2
230mm+−>
.
Bài 19
Tìm hàm số bậc hai có đồ thò là parabol (P), biết rằng đường thẳng

2,5y =−
có một điểm chung duy nhất với (P) và đường thẳng
2y =
cắt
(P) tại hai điểm có hòanh độ là -1 và5. Vẽ parabol (P) cùng các đường
thẳng
2,5y =−
và
2y
=
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Giải
Đường thẳng
2,5y =−
song song với trục hoành.Do đường thẳng này
có một điểm chung duy nhất với parabol (P) nên điểm chung ấy chính
là đỉnh của parabol (P). Từ đó suy ra đỉnh của parabol (P) có tung
độ
2,5y =− . Đường thẳng 2y
=
cũng song song với trục hòanh . Do đó
trung điểm C của đọan thẳng AB nằm trên trục đối xứng của parabol.


15
Hòanh độ của điểm C là
15
2
2
x

−
+
=
=
.Vậy trục đối xứng của parabol là
đường thẳng
2x =
, suy ra hoành độ đỉnh I của (P) là
2x
=
.Tọa độ của I là
(2;-2,5).Từ đó suy ra nếu (P) là đồ thò của hàm số
(
)
2
f
xaxbxc
=
++
thì
()
12,2
2
b
fabc
a
−=−+=− = và
2
4
2,5

44
bac
aa
Δ−
−=− =−.Từ đó suy ra
11
,2,
22
ab c==−=−
và hàm số cần tìm là
2
11
2
22
yxx
=
−−
.


C . BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Viết phương trình parabol (P) khi biết :
a) (P) qua 3 điểm A (1 ; 2), B (0 ; 1), C (2 ; 3).
b) (P) qua điểm A (1 ; 2) và có đỉnh S (1 ;
1
2
).
c) (P) qua 2 điểm A (1 ; 2), B (-1 ; -4) và cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 1.

2. Cho đồ thò (H) của hàm số y =
x
2
−
.
a) Tònh tiến (H) lên trên 1 đơn vò, ta được đồ thò của hàm số nào ?
b) Tònh tiến (H) sang trái 3 đơn vò, ta được đồ thò của hàm số nào ?
c) Tònh tiến (H) lên trên 1 đơn vò, sau đó tònh tiến đồ thò nhận được
sang trái 3 đơn vò, ta được đồ thò của hàm số nào ?
3. Cho các hàm số :
a) y = -x
2
– 3
b) y = ( x – 3)
2
c) y = 12
2
+x
d) y = -
2
)1(2 +x
Không vẽ đồ thò, hãy mô tả đồ thò của các hàm số trên bằng cách điền
vào chỗ trống (…) theo mẫu:
-
Đỉnh của parabol là điểm có toạ độ …
-
Parabol có trục đối xứng là đường thẳng …
-
Parabol hướng bề lõm (lên trên / xuống dưới) …
4. Cho Parabol (P) : y = x

2
– 3(m
2
– 4)x + 2.
a) Đònh m để (P) tiếp xúc với trục hoành.
b) Đònh m để (P) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.


16
c) Tìm tập hợp các đỉnh của (P) khi m thay đổi.
d) Tuỳ theo m, biện luận số giao điểm của (P) và đường thẳng (D) :
y = 3x + 3m
2
.

5. Cho hàm số : y = x
2
+ 2x + m có đồ thò là (P)
a) Tìm m để (P) qua điểm A (1 ; 2).
b) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (P).
6. Cho hàm số y = ax
2
+ bx + c biết (P) qua A ( 2 ; 0) và có đỉnh
I ( 4 ; 8).
7. Viết mỗi hàm số cho sau đây thành dạng y = a(x – p)
2
+ q. Từ đó,
hãy cho biết đồ thò của nó có thể được suy ra từ đồ thò của hàm số nào
đó nhờ các phép tònh tiến đồ thò song song với các trục toạ độ và mô tả
cụ thể các phép tònh tiến đó:

a) y = x
2
– 8x + 12
b) y = -3x
2
- 12 + 9
8. Hàm số y = -2x
2
– 4x + 6 có đồ thò là parabol (P).
a) Tìm toạ độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của (P).
b) Vẽ parabol (P).
c) Dựa vào đồ thò, hãy cho biết tập hợp các giá trò của x sao cho y ≥ 0.
9. Gọi (P) là đồ thò của hàm số y = ax
2
+ c. Tìm a và c trong mỗi trường
hợp sau:
a) y nhận giá trò bằng 3 khi x = 2, và có giá trò nhỏ nhất là -1.
b) Đỉnh của parabol (P) là I(0 ; 3) và 1 trong 2 giao điểm của (P) với
trục hoành là A(-2 ; 0).
10. Cho
()
22
21 1yx m xm=− + + −

a) Đònh m để hàm số đạt cực đại tại x = -1
b) Tìm quỹ tích đònh của parabol
11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số y = x(4 – x) – 3
b) Dùng đồ thò (P) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình
:
()

440xx m−−+=
12. Vẽ đồ thò hàm số :
2
2yx x=−
13. Viết mỗi hàm số cho sau đây thành dạng
2
ya(xp) q
=
−+.


17
Từ đó hãy cho biết đồ thò của nó có thể được suy ra từ đồ thò của
hàm số nào nhờ các phép tònh tiến đồ thò song song với các trục tọa
độ.Hãy mô tả cụ thể các phép tònh tiến đó:
a)
2
yx 8x12=−+
b)
2
y3x12x9=− − +

14. Hàm số
2
y2x4x6=− − + có dồ thò là parabal(P).
a) Tim tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của (P).
b) Vẽ parabol(P).
c) Dựa vào đồ thò,hãy cho biết tập hợp các giá trò của x sao cho

y0≥


Mục đích của giáo dục là sự hình thành nhân cách
SPENCER