Hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
09/14/2014
CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ
Bài ❶: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
(1)
1 (2)
x y y x
x xy y
ì
ï
- = -
ï
í
ï
+ + =
ï
î


Lời giải:
Ta có :
3 3
(1) ( ) ( )x x y y f x f yÛ + = + Û =
với +
3
( )f t t t= +

2

3 1 0'( ) t tf t + > "= Î ¡
nên hàm số
( )f t
đồng biến trên
¡

Nên
(1) x yÛ =
thay vào
(2)
ta được phương trình:
2 2 2
12 2x x x x+ + = Û = ±
Với
2 2yx ± Þ = ±=

Vậy hệ có 2 nghiệm là
( ) ( ) ( )
; 2;2 ; 2; 2x y = - -

Bài ❷: Giải hệ phương trình
3 3
2 4
3 3 (1)
1 (2)
x y x y
x y
ì
ï
- = -

ï
í
ï
+ =
ï
î


Lời giải:
Ta có :
3 3
3 3 ( ) ( )x x y y f x f yÛ - - - Û =
với
3
( ) 3f t t t= -

Từ phương trình
2 4
(2) : 1 | |,| | 1 1x y x y t+ = Þ £ Þ £

Khi đó
2
'( ) 3 3 0 1f t t t- £ " £=

LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 1
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
09/14/2014
Hm s
( )f t
ngch bin trờn

( ;1)-Ơ
. Nờn
(1) x y =
thay vo
(2)
ta c:
2 4 4 2 2
1 5 1 5
1 1 0
2 2
x x x x x x
- + - +
+ = + - = = =
Vi
1 5 1 5
2 2
yx
- + - +
ị = =

Vy h cú 2 nghim
1 5 1 5 1 5 1 5
( ; ) ; ; ; .
2 2 2 2
x y
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + - + - + - +
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
= - -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

Bi : Gii h phng trỡnh
3 3 2
5 3
2 3 4 (1)
1 0 (2)
x x y y y
x y
ỡ
ù
+ - = + +
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ợ

Li gii:
3 3 2 3 3
(1) 3 4 2 ( 1) ( 1)x x y y y x x y y + = + + + + = + + +


( ) ( 1)f x f y = +
vi
3
( ) tf t t= +

2
'( ) 3 1 0 tf t t + > "= ẻ Ă
. Nờn
(1) 1 1x y y x = + = -
thay vo
(2)
ta c:

5 3
( 1) 1 0x x+ - + =
( )
4 2
3 3 0x x x x + - + =

2
4 2
4
0
0
3 3

3 3 0
0
2 4
x
x
x x x
x x
ộ
=
ờ
ộ
=
ờ
ờ

ổ ử
ờ
ờ
ữ
ỗ
+ - + =
ữ
+ - + =
ỗ
ờ
ờ
ữ
ở
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
ờ
ở

Vi
0 1x y= ị = -

Vy h cú nghim duy nht
( ) ( )
0; ; 1 .x y = -

LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 2
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
09/14/2014
Bài ❹: Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2
3 2 3 (1)
3 2 8 (2)
x x y y
x y y
ì
ï
- + = +
ï
ï
í
ï
- = +

ï
ï
î


Lời giải:
Điều kiện:
3 2
2
3 0
0
8 0
2
2 0
y y
y
y y
x
x
ì
ï
+ ³
ï
ì
ï
³
ï
ï
ï
+ ³ Û

í í
ï ï
³
ï ï
î
- ³
ï
ï
î

Khi đó
3 2
(1) 3 2 3x x y yÛ - + = +


( )
3
3
( 1) 3( 1) 3 3 3x x y yÛ - - - = + - +


( )
( 1) 3f x f yÛ - = +
với
3
( 3)f t t t-=

2
'( ) 3 3 0 1f t t t= - ³ " ³
.Hàm số

( )f t
đồng biến trên
( )
1;+¥

Nên
2
1 3 2 1 3(1) x y x x yÛ - = + Û - + = +

Kết hợp với
(2)
ta có hệ phương trình :
2
2 2
2 2
2
2 1 3
2 1 3 2 2 (1 )
9( 2) 8 9 18 8 (2 )
3 2 8
x x y
x x y x x y
x y y x y y
x y y
ì
ì ì
ï
- + = +
¢
ï ï

- + = + - - =
ï
ï ï
ï
Û Û
í í í
¢
ï ï ï
- = + - = +
- = +
ï ï ï
î î
ï
î

Thế
(1')
vào
(2')
ta được phương trình:

( ) ( )
2
2 2
2 2 89 2 218 x xx x x- - + -=

4 3 2
9 18 4 8 8 12x x x x xÛ - = - + - -

( )( )

4 3 2 3 2
4 8 17 6 0 3 5 2 0x x x x x x x xÛ - + - + = Û - - + - =

3 2
3
3
5 2 0
x
x
xx x
Û Û =
- + -
é
ê
ê
ê
ë
=
=
. Do
3 2
5 2 0 2x xx x- + - > " ³

LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 3
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
09/14/2014
Với
3 1x y= Þ =
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )

; 3;1 .x y =

Bài ❺: Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
2 3 3 (1)
1 3 2 2 0 (2)
x y x y
x x y y
ì
ï
- - = -
ï
ï
í
ï
+ - - - + =
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
1 1
0 2
x
y
ì
ï
- £ £

ï
í
ï
£ £
ï
î

Khi đó:
( ) ( )
3 2
3 3 2 3 2
3 2 3(1) 1 31 3x x x yx y y yÛ - - = - Û = -+ - +

( ) ( )
1 yf x fÛ + =
với
( )
3
3f t t t= -
.
( )
2
3 0 [ 1 ]3 1' ;f t tt - £ " Î -=
. Hàm số nghịch biến trên
( )
1;1-

Nên
11) .( x yÛ = -
Thay vào

(2)
ta được phương trình:
( ) ( )
2
2 2
1 3 2 1 1 2 0x x x x+ - - + - + + =


2 2
2 1 2 0x xÛ - - + =


2 2
2 2 1 (*)
0
x x
x
Û + = -
Û =

Do
2
(*)
2
(*)
2
2 2
1 2
VT
VP

x
x
=
=
ì
ï
+ ³
ï
ï
í
ï
- £
ï
ï
î
.
Với
1.0x y= Þ =
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;1 .x y =

Bài ❻: Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0 (1)
4 2 4 5 4 2 0 (2)
x x y y
x x y y
ì

ï
- - + - =
ï
ï
í
ï
+ - - - + =
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
2 2
0 4
x
y
ì
ï
- £ £
ï
í
ï
£ £
ï
î

LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 4
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
09/14/2014

Khi đó:
3 3 2
12 61 6 1( ) x x y yÛ - = - +


( ) ( )
( ) ( )
3
3
12 2 12 2
2
x x y y
f x f y
Û - = - - -
Û = -

Với
( )
3
12t tf t= -
.Với điều kiện
2;2 ; 0;4 2;2tx y
é ù é ù é ù
Î - Î Þ Î -
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û

Suy ra
( )
2

3 12 0 2;2' t t tf
é ù
= - £ " Î -
ê ú
ë û
. Hàm số
( )
f t
nghịch biến trên
2;2
é ù
-
ê ú
ë û

Nên
21) 2( x y y xÛ = - Û = +
thay vào
(2)
ta được phương trình :

( ) ( )
2
2 2
2 4 5 4 2 2 04 6x x xx + - - + - + + =

( )
2 2 2
2 2
4 2 2

4 2 2 2
4 2 4 5 4 6 0
4 6 3 4
16 48 36 36 9
16 57 0 16 57 0
0
x x x
x x
x x x
x x x x
x
Û + - - - + =
Û + = -
Û + + = -
Û + = Û + =
Û =

Với
0 2x y= Þ =
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;2x y =
.
Bài ❼: Giải hệ phương trình
( )
2 2
2
2 4 7 3 2 0 (1)
1 1 (2)
x x x y y x y

x y x y
ì
ï
+ + + + + + + + =
ï
ï
í
ï
+ + = - +
ï
ï
î

Lời giải: Điều kiện
2
1 0x y+ + ³

Khi đó
( ) ( ) ( )
2 2
2(1) 2 3 2 3x x x y y yÛ + + + + + = - - + -


( ) ( )
2f x f yÛ + = -
với
( )
2
3f t t t t= + +

( )
2
2
2
3 1 0'
3
t
t t t
t
f = + + + > " Î
+
¡
.Hàm số đồng biến trên
¡

Nên
2(1) 2x y y xÛ + = - Û = - -
thay vào
(2)
ta được phương trình :
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 5
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
09/14/2014
( )
2
2
2 1 2 1x x x x+ + + = + + +


2

2 2
2
2
2 4 5 2 3
3
2 3 0
2
2 4 5 4 12 9
2 8 4 0
3
2 2
2
4 2 0
x x x
x
x
x x x x
x x
x
x
x x
Û + + = +
ì
ï
ì
ï
ï
+ ³
³ -
ï

ï
Û Û
í í
ï ï
+ + = + +
ï ï
+ + =
î
ï
î
ì
ï
ï
³ -
ï
Û Û = - +
í
ï
ï
+ + =
ï
î
Với
22 2x yÞ= + =
(không thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Bài ❽: Giải hệ phương trình
( ) ( )
2
53 5 10 5 48 9 0 (1)

2 6 2 11 2 66 (2)
x x y y
x y x x y x
ì
ï
- - + - - =
ï
ï
í
ï
- + + = - + + + +
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
10, 9
2 6 0
2 11 0
x y
x y
x y
ì
ï
£ £
ï
ï
ï
- + ³

í
ï
ï
- + + ³
ï
ï
î

Khi đó
( ) ( )
50 5 3 10 5 45 3 9 0(1) x x y yÛ - + - + - - - =


( ) ( )
3 3
5 10 3 10 5 9 3 9
10 9
x x y y
f x f y
Û - + - = - + -
Û - = -

Với
( )
3
5 3 , 0f t t t t= + ³
.
( )
2
3' 15 0 0t tf t= + > " ³

.
Hàm số đồng biến trên
( )
0;+¥
. Nên
10 9(1) 1x y y xÛ - = - Û = -
thay vào
(2)
ta được phương trình :
( )
2
2 1 6 2 1 11 66x x x x x- - + + = - + - + +

LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 6
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
09/14/2014

2
2
7 10 2 66
7 10 2 66 0

x x x x
x x x x
Û + + = - + +
Û + - - + - - =

Bài ❾: Giải hệ phương trình
3
2

2 2 1 3 1 (1)
1 2 2 1 (2)
y x x x y
y x xy x
ì
ï
+ - = - -
ï
ï
í
ï
+ = + +
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
11 x- £ £

Khi đó
3
2) 2 1(1 1 3y y x x xÛ + = - - + -


( )
( )
( )
( )
3

3
3
2 2 1 1 1 3 1
2 2 1 1
1
y y x x x
y y x x
f y f x
Û + = - - - + -
Û + = - + -
Û = -

Với
( )
3
2 , 0t tf t t= + ³
.
( )
2
1' 06 0f t t t+ > " ³=
.
Hàm số đồng biến trên
( )
0;+¥
. Nên
(1) 1y xÛ = -
thay vào
(2)
ta được:
2 2

1 1 2 2 2 1x x x x x- + = + + -

Đặt
( )
cos , 0;tx t p= Î
. Ta được phương trình
2 2
1 cos 1 2cos 2 cos 1 cost t t t- + = + -


2 2
2 sin 2 cos 1 2 cos sin
2
2 sin cos 2 sin 2
2
sin sin 2
2 4
t
t t t
t
t t
t
t
p
Û = - +
Û = +
æ ö
÷
ç
÷

Û = +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 7
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
09/14/2014

( )
4
2 2
4 2 6 3
,
3 4
2 2
4 2 10 5
t
t k t k
k m
t
t m t m
p p
p p
p p
p p p
ộ ộ

ờ ờ
+ = + = - +
ờ ờ
ẻ
ờ ờ
ờ ờ
+ = - + = +
ờ ờ
ở ở
Â

Do
( )
3 3
cos
10 10
0; t xt
p p
pẻ ị = ị =

Vi
3 3 3
cos 1 cos 2 sin
10 10 20
x y
p p p
ị = -= =
(tha món iu kin)
Vy h cú nghim duy nht
( )

3 3
cos ; 2 sin
10 20
;x y
p p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Bi : Gii h phng trỡnh
1
1 (1)
1 1 1
1 4 2 2 (2)
x y
x y
x y
x y
ỡ
ù
-
ù

ù
- + + =
ù
ớ
+ - +
ù
ù
ù
- + + =
ù
ợ

Li gii: iu kin
0 1
0 1
x
y
ỡ
ù
Ê Ê
ù
ớ
ù
Ê Ê
ù
ợ

Khi ú
( )
( )

1
1
1 1
1 1 1
(1)
x y
x y
x
y
-
+ = + -
+ -
+ - -


( )
( ) 1f x f y = -
vi
( )
, 0
1 1
t
t tf t
t
= +
+ -

( )
( )
( )

2
1
1 1
2
'
2 1
1 0 0
1 1
t
t t
t t
t t
t
f
+ - +
-
= + > "
+ -

Hm s ng bin trờn
( )
0;+Ơ
.Nờn
1 1(1) x y y x = - = -
thay vo
(2)
c:
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 8
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
09/14/2014

1 4 1 2 2x x- + + - =


1 5 2 2
1 3
1 5 0
2 2
1 1
2 2
0
1 3
1 5
2 2
1 1 1
0
1 3
2
1 5
2 2
1
2
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
- + - =
- - + - - =

- -
+ =
- + - +
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
- + =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ố ứ
ữ

ỗ
- + - +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
=

Do
1 1
0 0;1
1 3
1 5
2 2
x
x x
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ộ ự
ỗ

+ > " ẻ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ
ở ỷ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
- + - +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vi
1 1
2 2
x yị ==
. Vy h cú nghim duy nht
( )
2
;
1 1
;
2
x y

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Bi : Gii h phng trỡnh
( )
3
3 2 2 2 1 0 (1)
2 2 2 5 (2)
x x y y
x y
ỡ
ù
- - - - =
ù
ù
ớ
ù
+ + + =
ù
ù
ợ

Li gii:
Bi : Gii h phng trỡnh
( )( )
2 2
6 3
4 1 2 (1)
27 8 2 (2)
x x y y
x x y
ỡ
ù
+ + + + =
ù
ù
ớ
ù
= - +
ù
ù
ợ

LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 9
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
09/14/2014


Lời giải:
Bài ⓭: Giải hệ phương trình







LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 10