Nguyên hàm và tích phân

/>I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
2. f(x) =
2
4
32
x
x +
3. f(x) =
4
3
xxx ++
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x −

5. f(x) =
2
1
x
x −
6. f(x) =
3

21
xx
−
7. f(x) =
x
x
2
)1( −
8. f(x) =
3
1
x
x −
9. f(x) =
2
sin2
2
x

10.f(x) = tan
2
x 11. f(x) = cos
2
x 12. f(x) = (tanx – cotx)
2
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1

14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
15.f(x) = sin3x f(x) = 2sin3xcos2x 17. f(x) = e
x
(e
x
– 1)
18. f(x) = e
x
(2 +
)
cos
2
x
e
x−
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
20. f(x) = e
3x+1

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2. f’(x) = 2 – x

2
và f(2) = 7/ 3. f’(x) = 4
xx −
và f(4) = 0
4. f’(x) = x -
2
1
2
+
x
và f(1) = 2 5. f’(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3
6.f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
=−== fff
x
b
ĐS. f(x) =
2
51
2
2
++
x
x
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I =
∫
dxxuxuf )(')].([
bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x)
dxxudt )('=⇒
 I =
∫ ∫
= dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
15
(5 1)x dx−
∫
2.
12
( 2)x x dx−
∫
3.
∫
−
5
)23( x
dx
4.
dxx
∫
− 25

5.
∫
−12x
dx
6.
∫
+ xdxx
72
)12(
7.
∫
+ dxxx
243
)5(
8.
xdxx .1
2
∫
+
9.
∫
+
dx
x
x
5
2
10.
( )
5

2
xdx
x −
∫
11.
dx
x
x
∫
3
ln
12.
∫
+
2
)1( xx
dx
13.
∫
+
dx
x
x
3
2
25
3
14.
∫
+

dxex
x 1
2
.
15.
∫
xdxx cossin
4
16.
cot xdx
∫

17.
∫
dx
x
x
5
cos
sin
18.
∫
x
tgxdx
2
cos
19.
∫
xdxx
23

sincos
20.
∫
x
dx
cos
21.
∫
tgxdx
22.
∫
dx
x
e
x

23.
∫
− 3
x
x
e
dxe
24.
∫
dx
x
e
tgx
2

cos
25.
∫
− dxx .1
2
26.
∫
−
2
4 x
dx
27.
∫
− dxxx .1
22
28.
∫
+
2
1 x
dx
29.
∫
−
2
2
1 x
dxx
30.
∫

++ 1
2
xx
dx
31.
∫
x
dx
sin
32.
dxxx .1
∫
−
33.
∫
+1
x
e
dx
34.
dxxx .1
23
∫
+
35.
3
sin
dx
x
∫

36.
3
os
dx
c x
∫
37.
3
tan
dx
x
∫
38.
3
osc xdx
∫
39.
3
sin xdx
∫
40.
(sinx+ cos )
sinx cos
x dx
x−
∫
41.
2
2 2
dx

x x+ +
∫
42.
sin 4 sinx xdx
∫
43.
3
sin
cos
x
dx
x
∫
44.
1
( ln )
x
x
xe
dx
x e x
+
+
∫
45.
3
sin cosx xdx
∫
46.
cos3 sinx xdx

∫
47.
2
3 1
dx
x +
∫
48.
2 3
(1 )
dx
x+
∫
49.
3 2
1x x dx−
∫
50.
2
1
dx
x x +
∫
51.
2
(2 1)
xdx
x +
∫
52.

3
1 3
x
x
dx
−
∫
53.
2
2 1
x dx
x +
∫
54.
4
1
dx
x x +
∫
55.
3
1 3
x
x
dx
−
∫
56.
2
1

dx
x x −
∫
57.
33 2
1x x dx−
∫
1
/>2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ ∫
−= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
∫ ∫
−= vduuvudv
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
xdxx sin.
2.
∫
xdxx cos
3.
∫
xdxx ln
4.
∫
xdxln
5.

∫
xdxx 2sin
6.
∫
dxex
x
.
7.
∫
xdxx 2cos

8.
∫
++ xdxxx cos)32(
2
9.
∫
+ xdxx sin)5(
2
10.
dxx
∫
2
ln
11.
∫
dxe
x
12.
∫

dxxsin

13.
∫
dx
x
x
2
cos
14.
∫
+
dx
x
x
2
)1ln(
15.
∫
x
xdxln
6.
∫
+ dxx )1ln(
2
17.
∫
xdxe
x
cos.

18.
∫
dxex
x
2
3

19.
∫
+ dxxx )1ln(
2
20.
∫
xdx
x
2
21.
∫
xdxxlg
22.
∫
+ dxxx )1ln(2
23.
∫
xdxxtg
2
24.
∫
xdxx 2cos
2

TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +
∫
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫
2.
3
1
2x dx−
∫
3.
2
1
1x dx+
∫
4.

1
0
( )
x
e x dx+
∫
5.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π
π
+ +
∫
6.
1
3
0
( )x x x dx+
∫
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
∫
8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx

x
π
π
+ +
∫

9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx+ +
∫
10.
2
2
3
1
( )x x x x dx+ +
∫
11.
3
3
1
x 1 dx( ).
−
+
∫
12.

2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +
∫

13.
2+
∫
2
2
-1
x.dx
x
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x
− −
∫

15.
x 2+ + −
∫
5
2
dx
x 2

16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
+
+
∫
( ).
ln
17.
3
2
3
6
x dx
x
π
π
∫
cos .
sin
18.
4
2
0
tgx dx
x
π

∫
.
cos
19.
1
x x
x x
0
e e
e e
−
−
−
+
∫
dx
20.
1
x
x x
0
e dx
e e
−
+
∫
.
21.
2
2

1
dx
4x 8x+
∫
22.
3
x x
0
dx
e e
−
+
∫
ln
.
22.
2
0
dx
1 x
π
+
∫
sin
23.
dx
xx
∫







+
2
1
32
11
24.
∫
−
++
1
1
2
)12( dxxx
25.
∫
−−
2
0
3
)
3
2
2( dxxx
26.
∫
−

−
2
2
)3( dxxx
27.
∫
−
−
4
3
2
)4( dxx
29.
∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx
30.
∫
e
e
x
dx
1

1
31.
∫
16
1
.dxx
32.
dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
33.
dx
x
x
∫








−

8
1
3
2
3
1
4
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3.
2
0
sin
1 3
x

dx
cosx
π
+
∫
4.
4
0
tgxdx
π
∫
5.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
6.
1
2
0
1x x dx+
∫
7.
1
2
0
1x x dx−
∫

8.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
10.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
11.
2
3
1
1
1
dx
x x +

∫
12.
1
2
0
1
1
dx
x+
∫

13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +
∫
14.
1
2
0
1
1
dx
x +

∫
15.
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+
∫
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
17.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

18.
2

1
2
0
x
e xdx
+
∫
19.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
2
4
sin
cosx
e xdx

π
π
∫
22.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
23.
5
0
sin xdx
π
∫

2
/>24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
25.
2

0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
33.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
34.
2
3
1
1

1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫

38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

41.
2
1
1 1
x
dx
x+ −

∫
42.
1
0
2 1
x
dx
x +
∫
43.
1
0
1x x dx+
∫
44.
1
0
1
1
dx
x x+ +
∫
45.
1
0
1
1
dx
x x+ −
∫

46.
3
1
1x
dx
x
+
∫
47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
51.
2
2
1

(1 ln )
e
e
dx
xcos x+
∫
53.
( )
2
4
0
sin 1 cosx xdx
π
+
∫

55.
4
2
0
4 x dx−
∫
56.
1
2
0
1
dx
x+
∫

57.
dxe
x
∫
−
+
0
1
32
58.
∫
−
1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
60.
1
0
x
dx
2x 1+

∫

61.
1
0
x 1 xdx−
∫
62.
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +
∫
63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
64.

3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
65.
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x

66.
6
6 6
0
(sin cos )x x dx
π
+
∫
67.
3

2
0
4sin
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
68.
4
2
0
1 sin 2
cos
x
dx
x
π
+
∫
69.
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
70.

∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
71.
2
6
1 sin 2 cos 2
sin cos
x x
dx
x x
π
π
+ +
+
∫
72.
1
0
1
1
x
dx

e +
∫
73.
4
0
1
dx
cosx
π
∫
74.
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
75.
2
5
0
cos xdx
π
∫
76.
∫

−
−+
+
0
2
2
32
22
dx
xx
x
77.
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx

78.
4
4
0
1
cos
dx
x
π

∫
. 79.
4
2
0
sin 4
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
80.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
81.
2
2 3
0
sin 2 (1 sin )x x dx
π
+
∫
82.
2
3 2

0
cos sinx xdx
π
∫
84.
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫

87.
6
2
0
cos
6 5sin sin
x
dx
x x
π
− +

∫
88.
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
89.
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
dx
x
π
+
+
∫
90.
∫
+
2
0

2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x

91.
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
92.
3
4
0
cos2
tg x
dx
x
∫
93.
∫

−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
94.
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
95.
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx

96.
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
97.
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
98.
∫
+
−
4
0

2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
99.
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
100.
1
2
0
1 x dx−
∫

101.
∫
+
2
0
sin
cos)cos(

π
xdxxe
x
102.
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
103.
1
2
0
1
dx
1 x+
∫
104.
1
2
0
1
dx
4 x−
∫

105.

1
2
0
1
dx
x x 1− +
∫
106.
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
107.
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
108.
2
2
2
2

0
x
dx
1 x−
∫
109.
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
3
/>110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
101.
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+

∫
112.
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
113.
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
114.
2
0
cos
7 cos2
x
dx

x
π
+
∫

115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
116.
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
117.

∫
++
−
0
1
2
22xx
dx
118.
∫
++
1
0
311 x
dx
119.
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx
120.
8
2
3

1
1
dx
x x +
∫
121.
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
122.
3
5 2
0
1x x dx+
∫
123.
ln2
x
0
1
dx
e 2+
∫
124.

7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫

125.
2
2 3
0
1x x dx+
∫
126.
∫
+
32
5
2
4xx
dx

II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :

u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
 
 
 
 
 
∫

( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax

dv ax dx v cosax dx
e e
= =
 
 
   
 
⇒
 
   
= =
 
   
 
   
   
 
∫

Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1
2
2
0
( 1)
x
x e
dx
x +

∫
đặt
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x

=


=

+

b/
3
8
4 3
2
( 1)
x dx
x −
∫
đặt
5
3

4 3
( 1)
u x
x dx
dv
x

=


=

−

c/
1 1 1 1
2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Tính I

1
1
2
0
1
dx
x
=
+
∫
bằng phương pháp đổi biến số
Tính I
2
=
1
2
2 2
0
(1 )
x dx
x+
∫
bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )
u x
x
dv dx
x
=




=

+

Bài tập
1.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
∫
2.
1
ln
e
x xdx
∫
3.
1
2
0
ln( 1)x x dx
+

∫
4.
2
1
ln
e
x xdx
∫
5.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
∫
6.
1
ln
e
x xdx
∫

7.
1
2
0
ln( 1)x x dx

+
∫
8.
2
1
ln
e
x xdx
∫
9.
2
0
( osx)sinxx c dx
π
+
∫
10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
+
∫
11.
2
5
1
ln x

dx
x
∫

12.
3
2
0
tanx xdx
π
∫
13.
2
2
1
ln( )x x dx
+
∫
14.
2
0
cosx xdx
π
∫
15.
1
0
x
xe dx
∫

16.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
Tính các tích phân sau
4
@ Dạng 2:
( )ln( )f x ax dx
β
α
∫
Đặt
ln( )
( )
( )
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx

=
=



⇒
 
=


=

∫
@ Dạng 3:
sin
.
 
 
 
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α

/>1)
∫
1
0
3
. dxex
x
2)

∫
−
2
0
cos)1(
π
xdxx
3)
∫
−
6
0
3sin)2(
π
xdxx
4)
∫
2
0
2sin.
π
xdxx

5.
∫
e
xdxx
1
ln
6.

∫
−
e
dxxx
1
2
.ln).1(
7.
∫
3
1
.ln.4 dxxx
8.
1
2
0
ln(3 ).x x dx+
∫
9.
2
2
1
( 1)
x
x e dx+
∫
10.
∫
π
0

.cos. dxxx

11.
∫
2
0
2
.cos.
π
dxxx
12.
2
0
sin xdx
π
∫
13.
2
5
1
lnx
dx
x
∫
14.
2
2
0
xcos xdx
π

∫
15.
1
x
0
e sinxdx
∫
16)
2
2
0
( 2 )sinx x xdx
π
+
∫
17.
e
2
1
xln xdx
∫
18.
3
2
0
x sinx
dx
cos x
π
+

∫
19.
2
0
xsinx cos xdx
π
∫
20.
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
21.
∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx

22.
1
2 2x
0
(x 1) e dx+

∫
23.
e
2
1
(xlnx) dx
∫
24.
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
25)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫
26.
∫
1
2

0
tanx xdx
27.
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx

28.
π
+
∫
/3
0
cosx.ln(1 cosx)dx
29.
∫
e
dx
x
x
1
ln
30.
2
2
1
ln(1 x)

dx
x
+
∫
31.
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx
32.
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx

III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.
∫
+−
−
5
3
2
23
12
dx
xx

x
2.
∫
++
b
a
dx
bxax ))((
1
3.
∫
+
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
4.
dx
x
xx
∫
+
++
1
0

2
3
1
1
5.
∫
+
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6.
∫
++
1
0
22
)3()2(
1
dx
xx
7.
∫
+
−
2

1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.
∫
−
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
9.
∫
+
−
1
0
2
32
)1(
dx
x

x
n
n
10.
∫
+
2
1
4
)1(
1
dx
xx
11.
∫
++
−
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.
∫
−
+−

++−
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
13.
∫
+
2
0
2
4
1
dx
x
14.
∫
+
1
0
4
1
dx
x
x

15.
dx
xx
∫
+−
2
0
2
22
1
16.
∫
+
1
0
32
)1(
dx
x
x
17.
∫
+−
4
2
23
2
1
dx
xxx

18.
∫
+−
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
19.
∫
+
−
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
20.
∫
+
1

0
3
1
1
dx
x
21.
∫
+
+++
1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22.
∫
+
−
1
0
2
4
1
2
dx

x
x
23.
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
24.
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +
∫
25.
dxx
x
x
∫







−−
+
−
2
0
1
2
13
26.
∫
−
+
3
2
1
2
dx
x
x
27.
dx
x
x
∫







−
+
−
1
0
3
1
22
28.
∫
+
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
29.
dx
x
xx
∫
+

++
1
0
2
3
32

30.
∫
−






+−
−
−
0
1
12
12
2
dxx
x
x
31.
dxx
x

xx
∫
−








+−
−
++
0
1
2
12
1
1
32.
dxx
x
xx
∫









+−
+
−+
1
0
2
1
1
22
33.
∫
++
1
0
2
34xx
dx

IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1.
xdxx
4
2
0
2
cossin
∫

π
2.
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
3.
dxxx
∫
2
0
54
cossin
π
4.
∫
+
2
0
33
)cos(sin
π
dxx
5.
∫
+
2

0
44
)cos(sin2cos
π
dxxxx
6.
∫
−−
2
0
22
)coscossinsin2(
π
dxxxxx
7.
∫
−+
2
0
441010
)sincoscos(sin
π
dxxxxx
8.
∫
−
2
0
cos2
π

x
dx
9.
∫
2
3
sin
1
π
π
dx
x
10.
∫
+
2
0
sin2
1
π
dx
x
11.
∫
+
2
0
2
3
cos1

sin
π
dx
x
x
12.
∫
3
6
4
cos.sin
π
π
xx
dx
13.
∫
+
2
0
cos1
cos
π
dx
x
x
14.
∫
−+
4

0
22
coscossin2sin
π
xxxx
dx
15.
∫
−
2
0
cos2
cos
π
dx
x
x
16.
∫
+
2
0
sin2
sin
π
dx
x
x
17.
∫

+
2
0
3
cos1
cos
π
dx
x
x
5
/>18.
∫
++
2
0
1cossin
1
π
dx
xx
19.
∫
−
2
3
2
)cos1(
cos
π

π
x
xdx
20.
∫
−
++
+−
2
2
3cos2sin
1cossin
π
π
dx
xx
xx
21.
∫
4
0
3
π
xdxtg
22.
dxxg
∫
4
6
3

cot
π
π
23.
∫
3
4
4
π
π
xdxtg
24.
∫
+
4
0
1
1
π
dx
tgx
25.
∫
+
4
0
)
4
cos(cos
π

π
xx
dx
26.
∫
+
π
2
0
sin1 dxx
27.
∫
++
++
2
0
5cos5sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
28.
∫
++
4
0
13cos3sin2
π
xx

dx
29.
∫
+
4
0
4
3
cos1
sin4
π
dx
x
x
30.
∫
+
++
2
0
cossin
2sin2cos1
π
dx
xx
xx
31.
∫
+
2

0
cos1
3sin
π
dx
x
x
32.
∫
−
2
4
sin2sin
π
π
xx
dx
33.
∫
4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
x
34.

∫
+
2
0
32
)sin1(2sin
π
dxxx
35.
∫
π
0
sincos dxxx
36.
∫
−
3
4
3
3 3
sin
sinsin
π
π
dx
xtgx
xx
37.
∫
++

2
0
cossin1
π
xx
dx
38.
∫
+
2
0
1sin2
π
x
dx
39.
∫
2
4
53
sincos
π
π
xdxx
40.
∫
+
4
0
2

cos1
4sin
π
x
xdx
41.
∫
+
2
0
3sin5
π
x
dx
2.
∫
6
6
4
cossin
π
π
xx
dx
43.
∫
+
3
6
)

6
sin(sin
π
π
π
xx
dx
44.
∫
+
3
4
)
4
cos(sin
π
π
π
xx
dx
45.
∫
3
4
6
2
cos
sin
π
π

x
xdx
46.
dxxtgxtg )
6
(
3
6
π
π
π
∫
+
47.
∫
+
3
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx
48.
∫
−
+
0
2

2
)sin2(
2sin
π
x
x
49.
∫
2
0
3
sin
π
dxx
50.
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
51.
∫
+
2
0
12
.2sin
π

dxex
x
52.
dxe
x
x
x
∫
+
+
2
0
cos1
sin1
π
53.
∫
+
4
6
2cot
4sin3sin
π
π
dx
xgtgx
xx
54.
∫
+−

2
0
2
6sin5sin
2sin
π
xx
xdx
55.
∫
2
1
)cos(ln dxx
56.
∫
3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx
x
x
57.
dxxx
∫
−
2

0
2
cos)12(
π
58.
∫
π
0
2
cossin xdxxx
59.
∫
4
0
2
π
xdxxtg
60.
2
4 4
0
cos (sin cos )x x x dx
π
+
∫
61.
∫
2
0
3sin

cossin
2
π
xdxxe
x
62.
∫
+
4
0
)1ln(
π
dxtgx
63.
∫
+
4
0
2
)cos2(sin
π
xx
dx
64.
∫
−+
−
2
0
2

)cos2)(sin1(
cos)sin1(
π
dx
xx
xx
65.
2
2
sin 2 sin 7x xdx
π
π
−
∫
66.
3
2
0
4sin
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
67.
∫
π
0

22
sin xdxe
x
68.
∫
−
2
2
3cos.5cos
π
π
xdxx
69.
∫
−
2
2
2sin.7sin
π
π
xdxx
70.
∫
4
0
cos
2
sin
π
xdx

x
71.
∫
4
0
2
sin
π
xdx

72.
/ 2
0
sin x
dx
3 cos2x
π
+
∫
73.
∫
π
π
+
−
4/5
dx
x2sin1
xcosxsin
74.

/ 3
2
0
sin .tan .x x dx
π
∫
75.
/4
4
0
dx
I
cos x
π
=
∫

76.
/4
4
0
dx
I
sin x
π
=
∫

6
/>V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:

∫
b
a
dxxfxR ))(,(
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa
+
−
) §Æt x = a cos2t, t
]
2
;0[
π
∈
+) R(x,
22
xa −
) §Æt x =
ta sin
hoÆc x =
ta cos
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) §Æt t =

n
dcx
bax
+
+
+) R(x, f(x)) =
γβα
+++ xxbax
2
)(
1
Víi (
γβα
++ xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =
γβα
++ xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax +
1
+) R(x,
22
xa +
) §Æt x =
tgta
, t
]

2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x,
22
ax −
) §Æt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
+) R
( )
1 2 i
n n n
x x x; ; ;
Gäi k = BCNH(n
1
; n
2
; ; n

i
)
§Æt x = t
k

1.
∫
+
32
5
2
4xx
dx
2.
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
3.
∫
−
+++
2
1
2
1

2
5124)32( xxx
dx
4.
∫
+
2
1
3
1xx
dx
5.
∫
+
2
1
2
2008dxx
6.
∫
+
2
1
2
2008x
dx
7.
∫
+
1

0
22
1 dxxx
8.
∫
−
1
0
32
)1( dxx
9.
∫
+
+
3
1
22
2
1
1
dx
xx
x
10.
∫
−
+
2
2
0

1
1
dx
x
x
11.
∫
+
1
0
32
)1( x
dx
12.
∫
−
2
2
0
32
)1( x
dx
13.
∫
+
1
0
2
1 dxx
14.

∫
−
2
2
0
2
2
1 x
dxx
15.
∫
+
2
0
2cos7
cos
π
x
xdx
16.
∫
−
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
17.
∫

+
2
0
2
cos2
cos
π
x
xdx
18.
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
19.
∫
+
7
0
3 2
3
1 x
dxx

20.
∫
−
3
0
23
10 dxxx
21.
∫
+
1
0
12x
xdx
22.
∫
++
1
0
2
3
1xx
dxx
23.
∫
++
7
2
112x
dx

24.
dxxx
∫
+
1
0
815
31

25.
∫
−
2
0
5
6
3
cossincos1
π
xdxxx
26.
∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
27.

∫
−
+++
1
1
2
11 xx
dx
28.
∫
+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
29.
∫
−−
1
4
5
2
8412 dxxx
30.
∫
+

e
dx
x
xx
1
lnln31
31.
∫
+
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
32.
dxxxx
∫
+−
4
0
23
2
33.
∫
−
++

0
1
3
2
)1( dxxex
x
34.
∫
+
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.
∫
+
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos
π
dx

x
tgx
x
x
36.
∫
+
2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe
7
/>37.

+
3
0
2cos2
cos

x
xdx
38.

+
2

0
2
cos1
cos

x
xdx
39.
dx
x
x

+
+
7
0
3
3
2
40.

+
a
dxax
2
0
22
VI. MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

+=

aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3

] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x2cos22
,
Tính:


2
3
2
3
)(


dxxf
+) Tính

+
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:


++
1
1
2
)1ln( dxxx


++

2
2
2
)1ln(cos


dxxxx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 2

a
dxxf
0
)(
Ví dụ: Tính


+
1
1
24
1xx
dxx
2
2

2
cos
4 sin
x x
dx
x



+


Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:

=
+

aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1

b>0,

a)
Ví dụ: Tính:


+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x



+
2
2
1
5cos3sinsin


dx
e
xxx
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;

2

], thì

=
2
0
2
0
)(cos)(sin

dxxfxf
Ví dụ: Tính

+
2
0
20092009
2009
cossin
sin

dx
xx
x

+
2
0
cossin

sin

dx
xx
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:

=


00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
Ví dụ: Tính

+

0
sin1
dx
x
x

+

0
cos2
sin
dx

x
xx
Bài toán 6:

=+
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()(


=
bb
dxxfdxxbf
00
)()(
Ví dụ: Tính

+

0
2
cos1
sin
dx
x
xx

+

4
0
)1ln(4sin

dxtgxx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
8
/>
∫∫
=
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(
⇒
∫∫
=
TnT
dxxfndxxf
00
)()(
VÝ dơ: TÝnh
∫
−
π
2008
0
2cos1 dxx
C¸c bµi tËp ¸p dơng:

1.
∫
−
+
−
1
1
2
21
1
dx
x
x
2.
∫
−
+−+−
4
4
4
357
cos
1
π
π
dx
x
xxxx
3.
∫

−
++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
4.
∫
−
−
+
2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x
xx
5.
∫
−
+
−
2
1

2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x
6.
dxnx)xsin(sin
2
0
∫
+
π
7.
∫
−
+
2
2
5
cos1
sin
π
π
dx
x
x

8.
cot
2 2
1 1
1 (1 )
tga ga
e e
xdx dx
x x x
+
+ +
∫ ∫

(tga>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1.
∫
−
−
3
3
2
1dxx
2.
∫
+−
2
0
2
34 dxxx

3.
∫
−
1
0
dxmxx
4.
∫
−
2
2
sin
π
π
dxx
5.
∫
−
−
π
π
dxxsin1
6.
∫
−+
3
6
22
2cot
π

π
dxxgxtg
7.
∫
4
3
4
2sin
π
π
dxx
8.
∫
+
π
2
0
cos1 dxx
9.
∫
−
−−+
5
2
)22( dxxx
10.
∫
−
3
0

42 dx
x
11.
∫
−
−
3
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx
12.
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫

13.
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫
14.

2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −
∫
15.
3
x
0
2 4dx−
∫
16.
0
1 cos2xdx
π
+
∫

17.
2
0
1 sinxdx
π
+
∫

18.
dxxx
∫
−
2
0
2

VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
1. Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
2
- 2x + 4, y - 4 = x; b) y = x
2
- 2x + 3, y = 5 - x;
c) y = x
2
- 2x + 2, y = -x
2
- x + 3; d) y = x
3
- 3x, y = x;
e) y = x
2
- 2x + 4, y - 4 = x; f) y = 2x - x
2
, x + y = 2;
g) y = x

3
- 12x, y = x
2
; h) y = 2x
3
- x
2
- 8x + 1, y = 6.
Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y =
2x
12x10x2
2
+
−−
và đường thẳng y = 0.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y =
1x
xx
2
+
+−
và trục hoành.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = x
3
+ 3x
2
, trục hoành và các đường thẳng x = -2,
x = -1.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đồ thò hàm số y = x
3

- 3x + 1 và đường
thẳng x = -1.
9
/> Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thò của hàm số y =
1x
1x2
+
+
.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + sin
2
x với x ∈ [0; π].
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2π], trục hoành, trục tung và
đường thẳng x = 2π.
Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
3
, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = 4 - x;
c) y =
x
e
2
1
−
, y = e
-x
, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1.

Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
3
- 1 và tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 1 tại điểm (-1; -2).
b) (P): y = -x
2
+ 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của parabol (P) và trục tung.
c) y = x
3
- 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x = -
2
1
.
2. Thể tích vật thể tròn xoay:
Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh
trục Ox.
a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x
3
+ 1, y = 0, x = 0, x = 1.
Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục
Ox:
a) y = 5x - x
2
, y = 0; b) y = -3x
2
+ 3, y = 0.
Bài 3: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục
Ox:

a) y = 2 - x
2
, y = 1; b) y = 2x - x
2
, y = x; c) y = x
3
, y = 8 và x = 3.
Bài 4: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) y = x
2
+ 1, x = 0 và
tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y = x
2
- 2x + 2, y = 0, x = -1, x = 2.
2) y = x
2
- 2x, y = 0, x = -1, x = 2.
3) y = -x
2
+ 4x, y = 0.
4) y = x
2
+ x + 2, y = 2x + 4.
5) y = x
2
- 2x + 2, y = -x
2
- x + 3.
6) y =

2
4
1
x
, y =
2
2
1
x
+ 3x.
7) y = x, y = 0, y = 4 - x.
8) y = x
2
, y =
2
8
1
x
, y =
x
8
.
9) y =
23
2
+− xx
, y = 2.
10) y =
34
2

+− xx
, y = x + 3.
11) (P): y = x
2
, x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ x = 1.
13) (P): y = -x
2
+ 4x - 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M
1
(0; -3), M
2
(3; 0).
14) (P): y = -x
2
+ 4x và các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(
2
5
; 6).
15) y = tgx, y = 0, x = 0, x =
4
π
.
16) y = lnx, y = 0, x =
e
1
, x = e.
10
/>17) y =
2
2

x
, y =
2
1
1
x+
.
18) y = -
2
4 x−
, x
2
+ 3y = 0.
19) y =
4
4
2
x
−
, y =
24
2
x
.
20) y = x
2
1 x+
, x = 0, x = 1.
21) y =
x

e
2
1
−
, y = e
x
, x = 1.
22) y
2
= 2x, y = x, y = 0, y = 3.
23) y
2
= 2x + 1, y = x - 1.
24) y =
x
, x + y - 2 = 0.
Bài 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox.
2) y = tgx, y = 0, x = 0, x =
4
π
, quay xung quanh trục Ox.
3) y =
x
4
, y = 0, x = 1, x = 4, quay xung quanh trục Ox.
4) y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e, quay xung quanh trục Ox.
5) y =
3
3

x
, y = x
2
, quay xung quanh trục Ox.
6) y = 2x
2
, y = 2x + 4, quay xung quanh trục Ox.
7) y = 5x - x
2
, y = 0, quay xung quanh trục Ox.
8) y
2
= 4x, y = x, quay xung quanh trục Ox.
9) y = x
)1ln(
3
x+
, y = 0, x = 1, quay xung quanh trục Ox.
10) y =
2
1
2
xe
x
, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox.
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x
-1
, trục hồnh , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1

b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trục hồnh , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trục hồnh , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hồnh , trục tung và đường thẳng x = 2
π
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x
-1
, trục hồnh , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trục hồnh , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trục hồnh , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hồnh , trục tung và đường thẳng x = 2
π
Bài 1 : Cho (p) : y = x
2
+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ĩ diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng trên
có diện tích nhỏ nhất.
Bài 2: Cho y = x
4
- 4x
2
+m (c) T×m m ®Ĩ h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diƯn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x
bằng nhau.

Bài 3 : Xác định m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi





=
≤≤
−
=
0
1
3
y
xo
xx
y
có hai phần diện tích bằng nhau.
Bài 4 : (p): y
2
=2x chia hình phẳng giới hạn bởi x
2
+y
2
= 8 Thành hai phần. Tính diện tích mỗi phần.
11
/>Bài 5 : Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi








+
−
=
+
++
=
4
2
4
22
1
1
32
a
axa
y
a
aaxx
y
Tìm a để diện tích là lớn nhất
Bài 6 : Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H
1
):
2
2

x
y 4
4
x
y
4 2

= −




=


2) (H
2
) :
2
y x 4x 3
y x 3

= − +


= +


3) (H
3

):
3x 1
y
x 1
y 0
x 0
− −

=

−

=


=


4) (H
4
):
2
2
y x
x y

=


= −



5) (H
5
):
2
y x
y 2 x

=


= −


6) (H
6
):
2
y x 5 0
x y 3 0

+ − =

+ − =

7) (H
7
):
lnx

y
2 x
y 0
x e
x 1

=



=


=

=


8) (H
8
) :
2
2
y x 2x
y x 4x

= −


= − +



9) (H
9
):
2
3 3
y x x
2 2
y x

= + −



=


10) (H
10
):
2
y 2y x 0
x y 0

− + =

+ =

11)






−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
12)





=∆
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x
13)




−=
+=
1
12
2
xy
xy
14)





=+
−−=
03
4
2
2
yx
xy
15)






=
=−+
=
0
02
y
yx
xy
16







+
=
=
2
2
1
1
2
x
y
x
y
17




===
=
3,0,
2
2
yyxy
xy
18)





==
==
ex
e
x
yxy
,
1
0,ln
19.








==
==
3
;
6
cos
1
;
sin
1
22
ππ
xx
x
y
x
y
20): y = 4x – x
2
; (p) và tiếp tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)
21)





−=
+−=

+−=
114
42
54
2
xy
xy
xxy
22)





−=
−+−=
−+−=
153
34
56
2
2
xy
xxy
xxy
23)










=
=
=
=
ex
y
x
y
xy
0
1

24)



+=
−=
5//
/1/
2
xy
xy
25)






=
=
xy
xy
2
3
26)



=
+−−=
0
2//3
2
y
xxy

27)



−=
+=
xy
xy

4
2
2
28)





=
++=
+−=
1
54
22
2
2
y
xxy
xxy
29)





+−=
−=
7
/1/

2
2
xy
xy

12
/>30)





=−=
=
=
1;2
0
3
xx
y
xy
31)





==
=
−=

π
xx
y
xxy
;0
3
cos2sin
32)





=
++=
0
2
3
y
x
xy

33)



+=
+=
2
2

2
xy
xxy
34)





==
−+=
−=
4;0
63
22
2
2
xx
xxy
xxy
35)



=
+−=
6
/65/
2
y

xxy
36)





=
−−=
=
2
12
2
2
2
y
xxy
xy
37)



=
+−=
2
/23/
2
y
xxy

38)



+=
+−=
1
/65/
2
xy
xxy
39)





−=
+−=
2
2
/23/
xy
xxy
40)



=
+−=

3
/34/
2
y
xxy

41)





=
=
=
−
1x
ey
ey
x
Ï
42)





==
−
=

1;0
62
2
xx
xx
x
y
43)



−=
=
π
//
/sin/
xy
xy
44)





=
−−=
=
8
44
2

2
2
y
xxy
xy
45)





=
=++
=
0
0122
2
2
y
yx
xy
46)



−=
0
)(
2222
a

xaxy
47)



=
+=
yx
xy
π
sin
)1(
2
48)



=
−=
2
/1/
2
x
xy
49)



=
−=

2
/1/
2
x
yx
32)





=
=
+=
0
sin
)1(
2
x
xy
yx
33)







=

−=
24
4
4
2
2
x
y
x
y
34)









=
−
=
=
=
0;
1
2
1
;0

4
y
x
x
y
x
x
35)





−==
=
=
−
xyx
y
y
x
3;0
0
5
2
36)






=+
=
16
6
22
2
yx
xy
37)









=
=
=
x
y
x
y
xy
27
27
2

2
38)





=
−=
xy
xy
4
)4(
2
32
39)







==
=
=
10,
10
1
0

/log/
xx
y
xy
40)





=
=
2
2
xay
yax
(a>0) 41)





≤≤
+=
=
π
x
xxy
xy
0

sin
2
42)





−=
=
22
2
)1(827
2
xy
xy
43) x
2
/25+y
2
/9 = 1 với hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x
2
vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giới
hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
45)



=

−+−=
0
342
23
y
xxxy
13
/>TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức:



[ ]
dxxfV
b
a
2
)(
∫
=
π

[ ]
dyyfV
b
a
2
)(
∫
=

π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x
2
+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
y x;y 2 x;y 0= = − =
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
2
y (x 2)= −
và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
2 2
4 ; 2y x y x= − = +
.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
2
1
;
1 2
x
y y
x
= =

+
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x
2
và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y
2
= 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y =
22
1
.
x
ex
; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x
)1ln(
3
x+
; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1)




=
−=
4
)2(
2
y
xy
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
2)



=
==
4
4,
22
y
xyxy
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
3)





===
+
=
1,0,0

1
1
2
xxy
x
y
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
4)



=
−=
0
2
2
y
xxy
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
14
a
b
0
=
y
)(:)( xfyC
=
b
ax
=

bx
=
x
y
O
b
a
x
y
0
=
x
O
)(:)( yfxC
=
by
=
ay
=
/>5)





==
=
=
exx
y

xxy
;1
0
ln.
quay quanh trục a) 0x;
6) (D)





=
+−=
>=
1
103
)0(
2
y
xy
xxy
quay quanh trục a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x
2
7)





=

=
xy
xy
2
quay quanh trục a) 0x;
8) Miền trong hình tròn (x - 4)
2
+ y
2
= 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y
9) Miền trong (E):
1
49
22
=+
yx
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
10)





≤≤=
=
=
10;,1
0
xx
y

xey
Ï
quay quanh trục 0x;
11)







==
=
+=
π
π
xx
y
xxy
;
2
0
sincos
44
quay quanh trục 0x;
12)



−=

=
xy
xy
310
2
quay quanh trục 0x;
13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kình R = 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y
14)







==
−
=
2;0
4
4
xx
x
y
quay quanh trục 0x;
15)






==
=
−=
0;0
2
1
yx
y
xy
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
15