Chuyên đề tích phân và ứng dụng

Trường THPT Lai Vung 2
S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
Hội đồng bộ môn Toán
Chuyên đề:
Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT
Năm học 2010 – 2011
1
Trường THPT Lai Vung 2
Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG
(Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT)
A) Tóm tắt kiến thức cơ bản :
Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau :
1) Bảng các nguyên hàm:
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
hợp đơn giản
Nguyên hàm của những
hàm số hợp

Cxdx +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=

+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=
∫
xCx
x
dx
Cedxe
xx
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
x
x

Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cxdx
x
+=
∫
tan
cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
tan ln cosxdx x c= − +
∫
cot ln sinxdx x c= +
∫
kdx kx C= +
∫
( )
( )

( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫
α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1
≠++=
+
∫
xCbax
abax
dx
Ce
a

dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+

∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
Cudu +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+

∫
α
α
α
α
C
u
duu
( )
0ln ≠+=
∫
uCu
u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=

∫
sincos
Cuudu +−=
∫
cossin
Cudu
u
+=
∫
tan
cos
1
2
Cudu
u
+−=
∫
cot
sin
1
2
2) Các tính chất tích phân:
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]
•
( ) 0
a
a
f x dx =
∫
;

( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
2
Trường THPT Lai Vung 2
•
. ( )
b
a
k f x dx =
∫
( )
b
a
k f x dx
∫
( k là hằng số)
•
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
•
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +

∫ ∫ ∫
( với a < c < b )
3) Các công thức lượng giác:
a) Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa
* cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a
b) Công thức hạ bậc:
* sin
2
a =
1 cos2
2
a−
* cos
2
a =
1 cos 2
2
a+
c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
*
[ ]

1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= + + −
*
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= + + −
*
[ ]
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − + − −
4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
*
1
n
n
a a
=
và
m
n m
n
a a
=

*
. .
n n n
a b a b=
;
n
n
n
a a
b
b
=
* a
0
= 1; a
1
= a ; a
-n
=
1
n
a
*
.a a a
α β α β
+
=
;
a

a
a
α
α β
β
−
=
*
( )
. .a b a b
α
α α
=
;
a a
b b
α
α
α
 
=
 ÷
 
*
( )
.
a a
β
α α β
=

5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
* a
2
– b
2
= (a+b)(a – b)
*
( )
2
2 2
2a b a ab b± = ± +
*
3 3 2 2
( )( . )a b a b a a b b± = ± +m
*
( )
3
3 2 2 3
3 3a b a a b ab b± = ± + ±
3
Trường THPT Lai Vung 2
B) Ví dụ và bài tập:
I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần
phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ
bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính các tích phân
a) I
1
=
1

3
0
(3 1)x dx−
∫
b) I
2
=
2
2
0
x
e dx
− +
∫
c) I
3
=
0
1
3
2 1
dx
x
−
− +
∫
Giải:
a) I
1
=

1
3
0
(3 1)x dx−
∫
=
( )
1
4
4
4
0
1 (3 1) 1 5
. 3 1 ( 1)
3 4 12 4
x −
 
= − − − =
 

Vậy: I
1
=
5
4
b) I
2
=
2
2

0
x
e dx
− +
∫
=
2
2
0
1
1
x
e
− +
−
= – ( e
–
2+2
– e
2
) = e
2
–1
Vậy: I
2
= e
2
–1
c) I
3

=
0
1
3
2 1
dx
x
−
− +
∫
=
0
1
1
3. ln 2 1
2
x
−
− +
−
=
3
(ln1 ln 3)
2
− −
Vậy: I
3
=
3
ln3

2
Ví dụ 2: Tính các tích phân
a) J
1
=
( )
2
2
2
0
1x dx+
∫

b) J
2
=
1
0
2 3
2
x
dx
x
+
−
∫
c) J
3
=
8

6
6
1
2x x
dx
x
+
∫
Giải:
a) Ta có: (x
2
+ 1)
2
= (x
2
)
2
+2.x
2
.1 + 1
2
= x
4
+ 2x
2
+ 1
suy ra J
1
=
( )

2
2
2
0
1x dx+
∫
=
2
4 2
0
( 2 1)x x dx+ +
∫
=
2
5 3
0
2
5 3
x x
x
 
+ +
 ÷
 
=
206
15
Vậy: J
1
=

206
15
b) Ta có :
2 3 1
2 7.
2 2
x
x x
+
= − +
− −
4
Trường THPT Lai Vung 2
suy ra J
2
=
1
0
2 3
2
x
dx
x
+
−
∫
=
( )
1
1

0
0
1
( 2 7. ) 2 7ln 2
2
dx x x
x
− + = − − −
−
∫
= (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2
Vậy: J
2
= 7ln2 – 2
c)
1/2 1/6
6
1/2 1/6 1/3
1/6
6
2 2
2 2
x x x x
x x
x
x
−
+ +
= = + = +
suy ra J

3
=
( )
8
8
1/3 4/3
1
1
3
2 2
4
x dx x x
 
+ = +
 ÷
 
∫
=
4/3
3 3
8 2 8 ( 2)
4 4
 
+ × − +
 ÷
 
=
101
4
= 25,25

Vậy: J
3
=
101
4
Ví dụ 3: Tính các tích phân
a) K
1
=
4
0
sin3 .cosx xdx
π
∫
b) K
2
=
8
2
0
cos 2xdx
π
∫
c) K
3
=
1
2 1
0
1

x
e dx
−
−
∫
Giải:
a) Ta có: sin3x.cosx =
( )
1
sin4 sin2
2
x x+
suy ra K
1
=
1
2
4
0
(sin4 sin2 )x x dx
π
+ =
∫
4
0
1 1 1
cos 4 cos 2
2 4 2
x x
π

 
− −
 
 
=
1
2
Vậy: K
1
=
1
2
b) K
2
=
8
2
0
cos 2xdx
π
∫
Ta có: cos
2
2x =
1 cos4
2
x+
suy ra K
2
=

1
2
8
0
(1 cos 4 )x dx
π
+ =
∫
8
0
1 1
sin 4
2 4
x x
π
 
+
 
 
=
1
2
( )
1 4
sin 0
8 4 8
π π
 
 
+ −

 ÷
 
 
 
=
1 1
2 8 4
π
 
+
 ÷
 
Vậy: K
2
=
1
1
8 2
π
 
+
 ÷
 
c) K
3
=
1
2 1
0
1

x
e dx
−
−
∫
Ta có : e
2x–1
– 1 = 0
⇔
e
2x–1
= 1 = e
0

⇔
2x – 1 = 0
⇔
x =
1
2
[ ]
0;1∈
5
Trường THPT Lai Vung 2
Suy ra K
3
=
1
1
2

2 1 2 1
1
0
2
( 1) ( 1)
x x
e dx e dx
− −
− + −
∫ ∫
=
1
1
2
2 1 2 1
1
0
2
1 1
2 2
x x
e x e x
− −
   
− + −
 ÷  ÷
   
=
0 1
1 1 1

0
2 2 2
e e
−
   
− − −
 ÷  ÷
   
+
0
1 1 1
1
2 2 2
e e
   
− − −
 ÷  ÷
   
=
1
1
2
e
−
−
+
1
1
2
e

 
−
 ÷
 
Vậy K
3
=
1
1 1
1
2 2
e e
−
+ −
• Các bài tập tự luyện:
Tính các tích phân:
1) L =
∫
+−
1
0
24
)23( dxxx
KQ: L =
5
6
2) I =
∫
−
4

6
2
3
sin
sin1
π
π
dx
x
x
KQ: I =
2
223
−+
3) J =
dx
x
x
∫
−
+
1
0
34
2
KQ: J =
9
4ln103
+−
4) K =

dx
x
xx
∫
−
2
1
2
23
52
KQ: K = – 2
5) M =
∫
12
0
5sin.7sin
π
xdxx
KQ: M =
8
1
6) N =
4
1
2x dx−
∫
KQ: N =
5
2
7) P =

3
2
0
sin 3xdx
π
∫
KQ: P =
6
π
8) Q =
4
2
0
tan xdx
π
∫
KQ:
1
4
π
−
9) R =
/4
2 2
/6
sin .cos
dx
x x
π
π

∫
KQ:
2 3
3
10) S =
1
2
0
2 5 2
dx
x x+ +
∫
KQ:
1
ln 2
3
(HD: Phân tích 2x
2
+ 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1)
Từ đó
2
1 1 1 2 1
( )
2 5 2 ( 2)(2 1) 3 2 1 2x x x x x x
= = −
+ + + + + +
6
Trường THPT Lai Vung 2
II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I =
( )

b
a
f x dx
∫
1) Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới.
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Ví dụ 4: Tính tích phân
a) I
1
=
2
2
0
4 x dx−
∫
b) I
2
=
3
2
0
1
9
dx
x+
∫
Giải:
a) I

1
=
2
2
0
4 x dx−
∫
+ Đặt x = 2sint , t
;
2 2
π π
 
∈ −
 
 
(u(t) = 2sint)
⇒
dx = 2costdt
+ Cận mới:
x= 0
⇒
2sint = 0
⇒
sint = 0
⇒
t = 0
x = 2
⇒
2sint = 2
⇒

sint = 1
⇒
t =
2
π
+ I
1
=
2
2
0
4 x dx−
∫
=
2
2
0
4 4sin .2cott dt
π
−
∫
= 4
2
2
0
1 sin .cott dt
π
−
∫
= 4

2
2
0
cos .costt dt
π
∫
=4
2
2
0
cos tdt
π
∫
I
1
= 2
2
0
(1 cos 2 )t dt
π
+
∫
= 2
2
0
1
sin2
2
t t
π

 
+
 ÷
 
=
π
Vậy I
1
=
π
Chú ý:
+ Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số
π

là 3,141592654.
+ Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể
ghi nhớ cần tính
2 2
0
a
a x dx−
∫
, đặt x = asint , t
;
2 2
π π
 
∈ −
 
 

(u(t) = asint)
⇒
dx = acostdt rồi thực
hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ).
b) I
2
=
3
2
0
1
9
dx
x+
∫
+ Đặt x = 3tant, t
;
2 2
π π
 
∈ −
 ÷
 
⇒
dx = 3(1 +tan
2
t)dt
+ Cận mới:
x = 0
⇒

3tant = 0
⇒
tant = 0
⇒
t = 0
7
Trường THPT Lai Vung 2
x = 3
⇒
3tant = 3
⇒
tant = 1
⇒
t =
4
π
+ I
2
=
3
2
0
1
9
dx
x+
∫
=
2
4

2
0
3(1 tan )
9 9tan
t
dt
t
π
+
+
∫
=
2
4
2
0
3(1 tan )
9(1 tan )
t
dt
t
π
+
+
∫
=
1
3
4
0

dt
π
∫
=
1
3
4
0
t
π
=
1
3
.
4
π
Vậy I
2
=
12
π
Chú ý:
Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ
cần tính
2 2
0
1
a
dx
a x+

∫
, đặt x = atant , t
;
2 2
π π
 
∈ −
 ÷
 
⇒
dx = a(1 + tan
2
t)dt thực hiện các bước tiếp
tương tự.
2) Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx
+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là
α
và
β
thì
α
=u(a)
β
= u(b) .
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính.
Ví dụ 5: Tính các tích phân
a) J
1
=

2
2
1
x
xe dx
∫
b) J
2
=
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
c) J
3
=
1
3 4 5
0
( 1)x x dx−
∫
d) J
4
=
2
2

0
4 .x xdx−
∫
e) J
5
=
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x
π
+
∫
Giải:
a) J
1
=
2
2
1
x
xe dx
∫
+ Đặt u = x
2

⇒
du = 2xdx
⇒
xdx =
1
2
du
+ Đổi cận: x = 1
⇒
u = 1
2
= 1; x = 2
⇒
u = 2
2
= 4 (
α
= 1,
β
= 4)
+ J
1
=
2
2
1
x
xe dx
∫
=

4
1
1
2
u
e du
∫
=
1
2
4
1
u
e
=
1
2
( e
4
– e
1
) =
1
2
( e
4
– e)
+ Vậy J
1
=

1
2
( e
4
– e)
8
Trường THPT Lai Vung 2
b) J
2
=
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
+ Đặt u =
1 ln x+
⇒
u
2
= 1 + lnx
⇒
2udu =
1
x
dx
+ Đổi cận: x = 1

⇒
u =
1 ln1+
= 1; x = e
⇒
u =
1 ln e+
=
2

+ J
2
=
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
=
2
1
u.2udu
∫
=
2
3
2

3
1
u
=
2
3
3 3
( 2) 1−
) =
2
(2 2 1)
3
−
+ Vậy J
2
=
2
(2 2 1)
3
−
Ghi nhớ:
• Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx
⇒
du =
1
x
dx
• ln1 = 0 và lne = 1
c) J
3

=
1
3 4 5
0
( 1)x x dx−
∫
+ Đặt u = x
4
– 1
⇒
du = 4x
3
dx
⇒
x
3
dx =
1
4
du
+ Đổi cận: x = 0
⇒
u = 0 – 1 = –1; x = 1
⇒
u = 1
4
– 1 = 0
+ J
3
=

1
3 4 5
0
( 1)x x dx−
∫
=
0
5
1
1
4
u du
−
∫
=
1
4
0
6
1
6
u
−
=
1
24
−
+ Vậy J
3
=

1
24
−

d) J
4
=
2
2
0
4 .x xdx−
∫
+ Đặt u =
2
4 x−
⇒
u
2
= 4 – x
2

⇒
2udu = – 2xdx
⇒
xdx = –udu
+ Đổi cận: x = 0
⇒
u =
2
4 0−

= 2; x = 2
⇒
u =
2
4 2−
= 0
+ J
4
=
2
2
0
4 .x xdx−
∫
=
0
2
u.( )u du−
∫
=
0
2
2
u du−
∫
=
1
3
2
3

0
u
=
8
3
+ Vậy J
4
=
8
3
Chú ý: Học sinh cần phân biệt tích phân I
1
=
2
2
0
4 x dx−
∫
và tích phân vừa tính để tránh nhầm lẫn
về cách đổi biến.
e) J
5
=
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx

x
π
+
∫
+ Đặt u = 1 + sinx
⇒
du = cosxdx
+ Đổi cận: x = 0
⇒
u = 1 +sin0 = 1; x =
2
π
⇒
u = 1 + sin
2
π
= 2
9
Trường THPT Lai Vung 2
+ J
5
=
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x

π
+
∫
=
2
4
1
du
u
∫
=
2
4
1
u du
−
∫
=
1
3−
2
3
1
u
−
=
7
24
+ Vậy J
5

=
7
24

• Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I =
dxxx
∫
+
6
0
cos.sin41
π
KQ: I =
6
133 −
b) J =
dxxx
∫
−
2
0
2
3
3
.8
KQ: J = –4
c) K =
dxxe

x
∫
−
1
0

2
KQ: K =
e
e
2
1−
d) L =
∫
+
e
x
dxx
1
)ln3(
KQ: L =
8
13
e) M =
∫
+
21
0
2
7 x

dx
KQ: M =
73
π
g) N =
∫
+
1
0
2
x
x
e
dxe
KQ: N = ln
3
2 e+
h) P =
1
2010
0
( 1)x x dx−
∫
KQ: P =
1
4046132
(Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10
-7
)
i) Q =

1
2
0
1 .x xdx−
∫
( Đặt x = sint) KQ:
4
π
2) Tính các tích phân:
a) I
1
=
2
0
(2sin 3)cosx xdx
π
+
∫
KQ: 4
b) J
1
=
2
2
1
3x x dx+
∫
KQ:
7 7 8
3

−
c) P =
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x
+
+ +
∫
KQ: 2ln3
d) Q=
2
4
2
0
5 tan
cos
x
dx
x
π
+
∫
KQ: 16/3
e) L
1

=
2
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x
+
∫
KQ:
7
9
10
Trường THPT Lai Vung 2
g) N
1
=
2
1
1
x
x
e
dx
e −
∫
KQ: ln(e+1)
h) J

4
’
=
1
3
0
1x xdx−
∫
KQ:
32
315
(Kết quả J
4
’
máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 0,1015873016)
III) Phương pháp tích phân từng phần:
• Công thức:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
• Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính
( ). ( )
b
a
I P x Q x dx=
∫

Dạng
hàm
P(x): Đa thức
Q(x): sinkx hay
coskx
P(x): Đa thức
Q(x):e
kx
P(x): Đa thức
Q(x):ln(ax+b)
P(x): Đa thức
Q(x):
2
1
sin x
hay
2
1
cos x
Cách
đặt
* u = P(x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích phân
* u = P(x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích
phân

* u = ln(ax + b)
* dv = P(x)dx
* u = P(x)
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới dấu
tích phân
Ví dụ 6: Tính các tích phân
a) I
1
=
/4
0
2 cos2x xdx
π
∫
b) I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx+
∫
c) I
3
=
3
2

2 ln( 1)x x dx
−
∫

Giải:
a) I
1
=
/4
0
2 cos2x xdx
π
∫
• Đặt: u = 2x
⇒
du = 2dx;
dv = cos2xdx
⇒
v =
1
2
sin2x
• I
1
=
/4
0
2 cos2x xdx
π
∫

=
/4
0
.sin2x x
π
–
/4
0
sin 2xdx
π
∫
=
/4
0
1
sin 0 cos 2
4 2 2
x
π
π π
− +
=
1
(cos cos0)
4 2 2
π π
+ −
=
1
4 2

π
−
Vậy: I
1
=
1
4 2
π
−
11
Trường THPT Lai Vung 2
b) I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx+
∫
• Đặt: u = x +1
⇒
du = dx;
dv = e
2x
dx
⇒
v =
1

2
e
2x
• I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx+
∫
=
1
2
0
1
( 1)
2
x
x e+
–
1
2
0
1
2
x
e dx

∫
=
1
2 0 2
0
1 1
[(1 1) (0 1) ]
2 4
x
e e e+ − + −
=
2 2
1 1
(2 1) ( 1)
2 4
e e− − −
=
2
3 1
4
e −
Vậy: I
2
=
2
3 1
4
e −
c) I
3

=
3
2
2 ln( 1)x x dx
−
∫
• Đặt: u = ln(x – 1)
⇒
du =
1
1x −
dx;
dv = 2xdx
⇒
v = x
2
• I
3
=
3
2
2 ln( 1)x x dx
−
∫
=
3
2
2
ln( 1)x x −
–

3
2
2
1
x
dx
x −
∫
= 9ln2 – 0 –
3
2
1
( 1 )
1
x dx
x
+ +
−
∫
= 9ln2 –
3
2
2
( ln 1)
2
x
x x+ + −
= 8ln2 –
7
2

Vậy: I
3
= 8ln2 –
7
2
• Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu
Đặt: u = ln(x – 1)
⇒
du =
1
1x −
dx;
dv = 2xdx
⇒
v = x
2
– 1 = ( x + 1)( x – 1)
Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x. Như đã biết
2
2xdx x c= +
∫
, trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0. Trong bài
tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn.
Ví dụ 7: Tính các tích phân
a) J
1
=
∫
4
0

2
cos
π
x
xdx
b) J
2
=
2
2
1
ln xdx
x
∫
Giải:
a) J
1
=
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
• Đặt: u = x
⇒
du = dx;
12

Trường THPT Lai Vung 2
dv =
2
1
cos
dx
x

⇒
v = tanx
• J
1
=
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
=
/4
0
.tanx x
π
–
/4
0
tan xdx

π
∫
=
/4
0
tan 0 ln cos
4 4
x
π
π π
− +
=
2
ln
4 2
π
+
=
ln 2
4
π
−
Vậy: J
1
=
ln 2
4
π
−
Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm

tan ln cosxdx x c= − +
∫
thì có thể biến đổi
tanx =
sin
cos
x
x
rồi đặt u = cosx (đổi biến loại 2).
b) J
2
=
2
2
1
ln xdx
x
∫
• Đặt: u = lnx
⇒
du =
1
x
dx
dv =
2
1
dx
x
dx

⇒
v =
1
x
−
(HD:
2
2
1
x
x
−
=
nên có 1 nguyên hàm là
1
1
1
x
x
−
= −
−
)
• J
2
=
2
2
1
ln xdx

x
∫
=
2
1
1
ln x
x
−
+
2
2
1
1
dx
x
∫
=
2
1
1 1
ln 2 ln1
2 x
− + −
=
1 1
ln 2 ( 1)
2 2
− − −
=

1
(1 ln 2)
2
−
Vậy: J
2
=
1
(1 ln 2)
2
−
Lưu ý: Nếu tính
2
1
ln xdx
x
∫
thì ta lại dùng phương pháp đổi biến
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I
1
=
1
1
( 3)
x
x e dx
−
+

∫
KQ: I =
2
3 1e
e
−

b) I
2
=
∫
−
e
xdxx
1
ln)21(
KQ:
2
1
2
e−
c) I
3
=
∫
4
0
2
cos
π

x
xdx
KQ: M =
4
π
– ln
2
d) I
4
=
2
1
2ln
e
x
dx
x
∫
KQ: N = 2(1 –
e
2
)
2) Tính các tích phân:
a) K
1
=
2
0
.cos .sinx x xdx
π

∫
KQ:
8
π
b) K
2
=
2
3
1
ln x
dx
x
∫
KQ:
3 1
ln 2
16 8
−
13
Trường THPT Lai Vung 2
c) K
3
=
∫
1
0
dxe
x
KQ: J = 2

d) K
4
=
2
1
ln
e
x xdx
∫
KQ:
3
2 1
9
e +
e) K
5
=
2
0
sin
x
e xdx
π
∫
KQ:
2
1
2
e
π

+
(xem thêm bài tập 18c trang 161 SGK GT 12 nâng cao)
IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:
1) Diện tích hình phẳng:
Cơ sở lí thuyết:
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và
y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S =
( )
b
a
f x dx
∫
(1).
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x =
a; x= b được tính bởi: S =
( ) ( )
b
a
f x g x dx−
∫
(2).
Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x
2
– 1; y = 0; x = 0; x = 2.
Giải:
• Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =
( )
b
a
f x dx

∫
thì S =
2
2
0
1x dx−
∫
• Phương trình: x
2
-1= 0
⇔
x =
±
1 , nghiệm x = 1
∈
[0;2]
• Vậy S =
1
2
0
( 1)x dx−
∫
+
2
2
1
( 1)x dx−
∫
=
1

3
0
( )
3
x
x−
+
2
3
1
( )
3
x
x−
= 2 (đvdt)
Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x
2
và y = x.
Giải:
• Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x
2

= x
⇔
x
2
+ x – 2 = 0
⇔
x = 1 và x = -2
• Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =

( ) ( )
b
a
f x g x dx−
∫
thì S =
1
2
2
2x x dx
−
+ −
∫
• Vậy S =
1
2
2
2x x dx
−
+ −
∫
=
1
2
2
( 2)x x dx
−
+ −
∫
=

1
3 2
2
2
3 2
x x
x
−
+ −
=
9
2
(đvdt)
* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không
đổi dấu trên [a; b].
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
Cơ sở lí thuyết:
Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay
quanh trục Ox được tính bởi: V =
2
( )
b
a
f x dx
π
∫
(3)
14
Trường THPT Lai Vung 2
Ví dụ 10:

a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x
2
và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay
được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.,
Giải:
• Phương trình 2x – x
2
= 0
⇔
x = 0 và x = 2
• Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng cơng thức: V =
2
( )
b
a
f x dx
π
∫

Ta có V =
2 0
2 2 2 3 4
0 0
(2 ) (4 4 )x x dx x x x dx
π π
− = − +
∫ ∫
=
5
2

3 4
0
4
( )
3 5
x
x x
π
− +
=
16
15
π
(đvtt)
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x
2
và y = x
3
. Tính thể tích vật thể tròn xoay được
sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
• Phương trình – x
2
= x
3

⇔
x = 0 và x = –1
• Gọi V
1

là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = – x
2
, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox:
Có V
1
=
0
2 2
1
( )x dx
π
−
−
∫
=
1
5
π
• Gọi V
2
là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x
3
, x = 0, x = -1 và trục Ox…:
Có V
2
=
0
3 2

1
( )x dx
π
−
∫
=
1
7
π
Vậy thể tích V cần tính là: V =
1 2
V V−
=
2
35
π
(đvtt)
Chú ý: Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay
quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng cơng thức
2
( ( ) ( ))
b
a
V f x g x dx
π
= −
∫
dẫn đến kết
quả sai KQs : V =
1

105
π
đvtt.
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x
2
+ 4x và trục hoành.
KQ: S =
3
32
đvdt
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x
2
và y = – x – 2 .
KQ: S =
2
9
đvdt
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 5x
4
– 3x
2
– 8, trục Ox trên [1; 3]
KQs: S = 200 đvdt
4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay
quanh trục Ox:
a) (P): y
2
= 8x và x = 2 KQ: 16
π

đvtt
15
Trường THPT Lai Vung 2
b) y = x
2
và y = 3x KQ:
5
162
π
đvtt
c) y =
sin
2
x
; y = 0; x = 0; x =
4
π
KQ:
2 2
8
π
−
đvtt
V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
2
= 2x +1 và y = x -1
(TNTHPT năm 2001 – 2002 )
Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =
1x2x

1x3x3x
2
23
++
−++
, biết F(1) =
3
1

2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y=
2x
12x10x2
2
+
−−
và trục hoành Ox.
(TNTHPT năm 2002 – 2003 )
Bài 3: Cho hàm số y =
3
1
x
3
– x
2
(C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và
các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox.
(TNTHPT năm 2003 – 2004 )
Bài 4: Tính tích phân: I =
∫
+

2/
0
2
.cos).sin(
π
dxxxx
(TNTHPT năm 2004 – 2005 )
Bài 5: a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số :
y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
b. Tính tích phân: I =
∫
−
2/
0
2
cos4
2sin
π
dx
x
x
(TNTHPT năm 2005– 2006)
Bài 6: Tính tích phân J =
∫
e
dx
x
x

1
2
ln
. (TNTHPT năm 2006– 2007)
Bài 7: Tính tích phân I
1
2 3 4
1
(1 )x x dx
−
= −
∫
(TNTHPT năm 2007– 2008)
Bài 8: Tính tích phân I =
0
(1 cos )x x dx
π
+
∫
(TNTHPT năm 2008– 2009)
Bài 9: Tính tích phân I
1
2 2
0
( 1)x x dx= −
∫
(TNTHPT năm 2009– 2010)
VI) Một số bài tập nậng cao :
Chúng tơi đề nghị các bài tập ở phần sau dành cho các em học sinh khá, giỏi. Các em học
sinh chỉ muốn ơn tập để thi TNTHPT khơng nhất thiết phải làm các bài tập dưới đây.

Bài 1: Tính các tích phân
1) I
1
=
3
1
1 1
dx
x x+ + −
∫
KQ:
1
8 4 2
3
I
−
=
16
Trường THPT Lai Vung 2
2) I
2
=
1
3
0
( 1)
xdx
x +
∫
KQ: I

2
=
1
8
3) I
3
=
/2
3
0
4sin
1 cos
xdx
x
π
+
∫
KQ: I
3
= 2
4) I
4
=
/2
3 3
0
sin .cosx xdx
π
∫
KQ:

1
12
5) I
5
=
2
/4
0
1 tan
1 tan
x
dx
x
π
−
 
 ÷
+
 
∫
KQ:
1
4
π
−
6) I
6
=
0
1 sin2xdx

π
+
∫
KQ:
2 2
Bài 2: Tính các tích phân
1) J
1
=
1
0
1
x
dx
e+
∫
KQ: J
1
=
1
1 ln
2
e+
−
2) J
2
=
1
3
2

0
1
x
dx
x x+ +
∫
KQ: J
2
=
2 2 1
15
−
0,12189 ≈
3) J
3
=
/3
2
0
cos
3 2sin
xdx
x
π
−
∫
KQ: J
3
=
4 2

π
4) J
4
=
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
KQ: J
4
=
3
9
π
5) J
5
=
/2
0
2 sin
dx
x
π
+
∫
KQ: J
5

=
3
9
π
6) J
6
=
/4
4
0
cos
dx
x
π
∫
KQ: J
6
=
4
3
7) J
7
=
/2
2 2 2 2
0
sin .cos
cos sin
x xdx
a x b x

π
+
∫
( a, b>0) KQ: J
7
=
1
a b+
8) J
8
=
1 5
2
2
4 2
2
1 5
1
1
x
dx
x x
+
+
+
− +
∫
KQ: J
8
=

2
π
9) J
9
=
/2
/4
ln(1 cot )x dx
π
π
+
∫
KQ: J
9
=
ln 2
8
π
Chú ý: Khi dùng máy tính cầm tay 570ES để kiểm tra kết quả, vì trong phím hàm không có cotx,nếu học
sinh nhập tích phân
/2
/4
1
ln(1 )
tan
dx
x
π
π
+

∫
thay cho J
9
thì máy báo lỗi do tanx không xác định tại
2
π
. Hãy
thử dùng cung phụ để chuyển từ cot sang tan.
17
Trường THPT Lai Vung 2
10) J
10
=
7
2
1
1
1
dx
x +
∫
KQ:
2ln( 2 1)+
Bài 3:
a) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Chứng minh
( ) ( )
b b
a a
f x dx f a b x dx= + −
∫ ∫

b) Áp dụng tính I =
3
6
ln(tan )x dx
π
π
∫
KQ: I = 0
Bài 4:
a) Cho hàm số f(x) liên tục trên [0, 1]. Chứng minh
2
0
(sin )f x dx
π
∫
=
2
0
(cos )f x dx
π
∫
b) Áp dụng tính I =
/2
0
cos
cos sin
x
dx
x x
π

+
∫
KQ: I =
4
π
Bài 5: Tính các tích phân
1) K
1
=
/2
2
0
sinx xdx
π
∫
KQ: K
1
=
2
4
16
π
+
2) K
2
=
2
2
1 1
( )

ln ln
e
e
dx
x x
−
∫
KQ: K
2
=
2
2
e
e−
3) K
3
=
5/4
1
ln( 1 1)x x dx+ + −
∫
KQ: K
3
=
3 3
ln 2
4 8
−
4) K
4

=
/2
0
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
KQ: K
4
=
2
2ln
2 2
π
+
5) K
5
=
7
2
2
1
1 x
dx
x
+
∫

KQ: K
5
=
2 2
2ln(1 2)
7
+ +
6) K
6
=
7
2 2
1
1
1
dx
x x+
∫
KQ: K
6
=
2 2
7
VII) Một số đề thi cao đẳng và đại học các năm trước có liên quan đến tích phân:
Bài 1: Tính tích phân: I =
/2
3 2
0
(cos 1)cosx xdx
π

−
∫
(Khối A năm 2008– 2009)
HD: Viết I =
/2
5
0
cos xdx
π
∫
–
/2
2
0
cos xdx
π
∫
= I
1
– I
2
I
1
=
/2
2
0
(1 sin )cosx xdx
π
−

∫
(Đặt u = sinx) KQ: I =
8
15 4
π
−
Bài 2: Tính tích phân: I
3
2
1
3 ln
( 1)
x
dx
x
+
=
+
∫
(Khối B năm 2008– 2009)
18
Trường THPT Lai Vung 2
HD: Dùng từng phần với u = 3 + lnx, dv =
2
1
( 1)x +
dx KQ:
1 27
(3 ln )
4 16

+
Bài 3: Tính tích phân: I =
3
1
1
1
x
dx
e
=
−
∫
(Khối D năm 2008– 2009)
HD: Đặt u = e
x
suy ra x = lnu suy ra dx =
1
du
u
KQ: ln(e
2
+ e + 1) – 2
Bài 4: Tính tích phaân: I
1
2
0
( )
x x
e x e dx
−

= +
∫
(CĐKhối A,B,D năm 2008– 2009)
HD: Viết I
1
0
x
e dx
−
= +
∫
1
0
x
xe dx
∫
….
KQ: I =
1
2
e
−
Bài 5: Tính tích phaân: I
1
2 2
0
2
1 2
x x
x

x e x e
dx
e
+ +
=
+
∫
(Khối A năm 2009– 2010)
HD: Viết I
1
0
1 2
x
x
e
dx
e
=
+
∫
+
1
2
0
x dx
∫
= I
1
+ I
2

Tính I
1
dùng đổi biến đặt u = 1 + 2e
x
KQ:
1 1 2 1
ln
2 3 3
e+
+
Bài 6: Tính tích phân I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
x x+
∫
(Khối B năm 2009– 2010)
HD:Đặt t = 2 + lnx KQ:
3 1
ln
2 3
−
Bài 7 : Tính tích phân
1
(2 )ln
3

e
x
x xdx−
∫
(Khối D năm 2009– 2010)
HD: Tách làm hai tích phân một dùng từng phần, một dùng đổi biến
KQ:
2
1
2
e
−
Bài 8: Tính tích phân I
1
0
2 1
1
x
dx
x
−
=
+
∫
(CĐKhối A,B,D năm 2008– 2009)
KQ: 2 – 3ln2
19