Chuyên đề tích phân và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (531.58 KB, 14 trang )
Chuyờn tớch phõn & ng dng Vn Hong
1
1. Bng nguyờn hm ca cỏc hm s.
2. Cỏc phng phỏp tớnh tớch phõn:
a) Phng phỏp i bin s:
* Loi 1:
Dng:
2 2
a x dx
,
2 2
dx
a x
t x = asint.
Dng:
2 2
dx
x a
t x = atant,
2 2
( )
dx
ax b c
t
tan ax b c t
* Loi 2:
( ( )) '( ) .
b
a
f u x u x dx
t t = u(x).
+ Nhiu khi phi bin i mi xut hin u(x)dx.
+ Ta cng cú th bin i:
( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x
b) Phng phỏp tớch phõn tng phn:
Dng:
( )sin ,
b
a
P x xdx
( )cos ,
b
a
P x xdx
( ) ,
b
x
a
P x e dx
t u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = e
x
dx).
Dng:
2 2
, ,
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
x x
t u = x, dv =
2
cos
dx
x
hoc dv =
2
sin
dx
x
.
3. Mt s tớch phõn thng gp:
a) Tớch phõn hu t:
( )
( )
b
a
P x
dx
Q x
P(x), Q(x) l cỏc a thc.
+ Nu bc P(x) bc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nu bc ca P(x) < bc Q(x) dựng phng phỏp i bin hoc
phng phỏp h s bt nh.
b) Tớch phõn cha cỏc hm s lng giỏc.
+ Nm vng cỏc cụng thc bin i.
c) Tớch phõn hi quy:
Dng
sin ,
b
x
a
e xdx
cos .
b
x
a
e xdx
t u = sinx (u = cosx), dv = e
x
dx. Tớch phõn tng phn 2 ln.
Dng:
sin(ln ) , cos(ln ) .
b b
a a
x dx x dx
t u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tớch phõn tng phn 2 ln.
d) Tớch phõn hm s chn, l:
Nu y = f(x) liờn tc trờn on [-a; a] v:
+ y = f(x) chn thỡ
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
.
+ y = f(x) l thỡ:
( ) 0
a
a
f x dx
.
e) Tớch phõn dng
( )
1
x
f x
dx
a
trong ú f(x) l hm s chn.
Cỏch gii: Tỏch thnh 2 tớch phõn :
0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
Xột tớch phõn
0
( )
1
x
f x
dx
a
i bin s x = -t.
Kt qu ta c
0
( )
( )
1
x
f x
dx f x dx
a
.
f) Tớch phõn dng:
0 0
( ) ( )
a a
f a x dx f x dx
trong ú f(x) l hm
s liờn tc trờn [0; a].
i bin x = a - t.
Bi 1: Tớnh tớch phõn
1
3
2
0
1
x
I dx
x
.
HD: t t = x
2
+ 1 hay x = tant. S I =1/2(1-ln2).
Bi 2: Tớnh tớch phõn
ln3
3
0
( 1)
x
x
e
I dx
e
HD: t t = mu a v dng
b
a
u du
. S
2 1 I
Bi 3: Tớnh tớch phõn
0
2
3
1
( 1 )
x
I x e x dx
HD Tỏch thnh 2 tớch phõn. S I=3/4e
-2
- 4/7
Bi 4: Tớnh tớch phõn
2
6
3 5
0
1 cos .sin .cos
I x x dx
HD: t =
6
3
1 cos x
cos
3
x = 1- t
6
. S I =12/91
Bi 5: Tớnh tớch phõn
2 3
2
5
1
. 4
I dx
x x
HD: nhõn t v mu vi x ri t
2
4 t x
. S I=1/4.ln5/3
Bi 6: Tớnh tớch phõn
4
0
1 cos2
x
I dx
x
HD:a v dng tớch phõn tng phn. S I = /8-1/4.ln2
Bi 7: Tớnh tớch phõn
1
3 2
0
1
I x x dx
;
1
2 2
0
1
J x x dx
Bi 8: Tớnh tớch phõn
3
2
4
cos . 1 cos
tgx
I dx
x x
HD: Bin i v dng
3
2 2
4
tg
cos . tg 1
x
I dx
x x
.t
2
1 tgt x
Bi 9 :Tớnh tớch phõn :
2
1
1 1
x
I dx
x
(i hc khi A 2004)
t
2 2
1 1 1 2t x t x x t dx tdt
1 0; 2 1x t x t
1 1 1
2 3
2
0 0 0
1
3 2
0
1 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 11
2 2 2 ln 1 2 2 2 ln 2 4ln2
3 2 3 2 3
t t t
I tdt dt t t dt
t t t
t t
t t
Bi 10:Tớnh tớch phõn :
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
(i hc khi A 2005)
2
2
1
2 2
0 0 2
2
2 3
1
ẹaởt 1 3cos 1 3cos 2 3sin
2
sin . caọn : 0 2; 1
3 2
1 2
2 1
2cos 1 sin
3 3
2sin cos sin
1 3cos 1 3cos
2 2 1 2 2
3 3 3 9 3
t x t x tdt xdx
tdt
xdx ẹoồi x t x t
t tdt
x xdx
x x x
I dx
t
x x
t t t
2
1
2 16 2 2 1 34
3 9 3 9 3 27
Bi 11 : Tớnh tớch phõn :
2
2 2
0
sin2
cos 4sin
x
I dx
x x
(i hc khi A 2006)
2 2 2 2
2
2 2
1 1
1
ẹaởt cos 4sin 1 3sin 2 6sin cos
2
3sin2 sin2 .ẹoồi caọn : 0 1; 2
3 2
2
2 2 4 2 2
3
3 3 3 3 3
t x x t x tdt x xdx
tdt
xdx xdx x t x t
tdt
I dt t
t
Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
2
d
P
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
TRỊN XOAY.
1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x);
x = a; x = b có diện tích: S
D
=
( ) ( )
b
a
f x g x dx
2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi
quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
V
Ox
=
2
( )
b
a
f x dx
3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi
quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
V
Oy
=
2
( )
b
a
f y dy
Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong
3
1
1
y
x x
2
3 3
1
3 3
2 2 2
2
3
3 3
1 1 1
3
2
2 2
2
3
3 3
1 1
1
1 1
Ta có : , 1;2 , 0
1 1
1
1
1
1 1
1 '
1 1 3 1 1 1
ln ln 1
3 3 3
1 1
1 1
ln2 ln9 ln2 .
3 3
S dx x
x x x x
x x
dx x
S dx dx
x
x
x x x x
x
x
dx dx x x
x x
x x
4 1
ln2 ln9
3 3
S đvdt
Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường : x + y = 0 và x
2
– 2x + y = 0
2
2 2
Diện tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường : , 2
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là :
2 3 0 0 3
y x y x x
x x x x x x x
3 3
2 2 2
0 0
2 3 0;3 , 3 0Vậy S x x xdx x xdx x x x
3
3
2 3
2
0
0
3 27 9
nên 3 9
2 3 2 2
x x
S x x dx đvdt
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = (e + 1)x, y = (1 + e
x
)x (Đại học khối A – 2007)
1 1
0 0
1
0
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : 1 1
0
0
0
1
1 1 ;
0;1 , ta luôn có 0, vậy
x
x
x
x x
x x
x
e x e x
x
x
x e e
x
e e
S e x e xdx x e e dx
x x e e S x e e dx
u x du dx
Đặt
dv e e dx
1
1
2
1
0
0
0
1 1
2 2 2
x x
x x x
v e e dx ex e
ex e e
S x ex e ex e dx e e đvdt
Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x
2
và đường thẳng (d) qua
M(1;5) có hệ số góc là k.
Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P)
và (d) có diện tích nhỏ nhất.
2
2 3
2 2
3 3
2 2 3 3
2 2
2
1 5 3 5
2
5 5
2 2
5
2
5
2
5
. 5
3 2 3 9 3
3
3.18
B
B
A
A
x
x
x
x
B A
B B A A
B A B A B A
B A B A A A B B
kx
S k x x dx k x x
kx kx
k x x k x x
k
x x k x x x x
k
x x x x k x x x x
k k k k
k
k
2 2 2
3
3
2
2
min
90 18 2 6 5 12 60
54
1 1
12 60 6 24 Vậy S 6
54 54
k k k k k
k k k k
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x
2
, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ bằng 3.
2
2
tiếp tuyến tại điểm M là : '
9 2.3 3 6 9
0
tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường :
9
6 9
6
9
pt tung độ giao điểm của 2 đường là 9 36
6
M M M
pt y y y x x x
y x y x
y x x y x
Diện
y
y x x
y
y y y y
9
2
0
9
9
3
2
0
0
18 81
9 9
18 81 0 9. 0;9 : 0
6 6
2
9 9 27 27 9
Vậy : 18
6 12 6 3 4 2 4
y
y y
y y y S y dy y y
y
y y y
S y dy đvdt
Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép
quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục
Ox và đường
sin 0y x x x
2
2
0 0
0
0
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : x sin 0
sin 0
sin sin
Ox
x
x
x
x
x
V x x dx x xdx
2 3
0 0 0
0
1 cos2
cos2
2 2 2 4 2 4 2
x x
x dx xdx x xdx I I
3
0
0 0
1
cos2
sin2
2
1 1
sin2 sin 2 0 cos2 0
2 2 4 4
Ox
du dx
u x
Đặt
dv xdx
v x
x
I x xdx x V đvtt
Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx ,
y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)
2
2 2
1
1 1
2
3
2 2
1
3
2
2
1
1
0 ( )
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : ln 0
ln 0 1
ln ln
2ln
ln
2
ln ln
3 3
3
e e
Ox
e
e
x loại
x x
x x
Vậy V x x dx x xdx I
x
du dx
u x
x e
x
Đặt I x x xdx
x
dv x dx
v x dx
3
2
2
3 3
I
3
2 2
3 3 3 3 3 3
2
2
1
1 1
3
3 3
' ln ' ; ' '
3
1 1 2 1
ln
3 3 3 9 3 9 9 9
5 2
2 2 1
.
3 3 9 27
e e
e
Ox
dx x
Đặt u x du dv x dx v x dx
x
x e x e e e
I x x dx
e
e e
V đvtt
2 2
2
có pt đt (d) : 5 1 5
hoành độ giao điểm của (P) và (d) :
3 5 3 5 0
6
12 60 0, ( ) luôn cắt (P) ở A và B.
6
A
B
Ta y k x y kx k
Pt
x kx k x kx k
k
x
k k k d
k
x
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
3
2005
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
KQ:
34
27
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
I dx
x
KQ:
2ln 2 1
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005
2
sin
0
cos cos
x
I e x xdx
KQ:
1
4
e
Bài 4. Tham khảo 2005
7
3
0
2
1
x
I dx
x
KQ:
141
10
Bài 5. Tham khảo 2005
3
2
0
sin
I xtgxdx
KQ:
3
ln2
8
Bài 6. Tham khảo 2005
4
sin
0
.cos
x
I tgx e x dx
KQ:
1
2
ln 2 1 e
Bài 7. Tham khảo 2005
2
1
ln
e
I x xdx
KQ:
3
2 1
9 9
e
Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005
1
3 2
0
. 3
I x x dx
KQ:
6 3 8
5
Bài 9. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005
3
1
3
3 1 3
x
I dx
x x
KQ:
6ln3 8
Bài 10. CĐ GTVT – 2005
1
5 2
0
1
I x x dx
KQ:
8
105
Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
2
3
0
sin5
x
I e xdx
KQ:
3
2
3. 5
34
e
Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005
3
3 5
0
1.
I x x dx
KQ:
848
105
Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
I dx
x
KQ:
1
ln 2
2
Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005
0
2
1
2 4
dx
I
x x
KQ:
3
18
Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
2
1
ln
e
x
I dx
x
KQ:
2
1
e
Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005
7
3
3
0
1
3 1
x
I dx
x
KQ:
46
15
Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005
2
0
cos3
sin 1
x
I dx
x
KQ:
2 3ln 2
Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
2
3
2
2
2 2
0 0
sin sin
;
sin 2 cos
sin 2cos .cos
2
xdx x xdx
I J
x
x x
x x
KQ:
ln 2
3
3 4
I
J
Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
1
ln
e
I x xdx
KQ:
2
1
4
e
Bài 20. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005
2
4
0
sin
I x xdx
KQ:
2
4
2
Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005
2
3 2
2
0
2 4 9
4
x x x
I dx
x
KQ:
6
8
Bài 22. CĐ Tài Chính – 2005
1
3
0
1
xdx
I
x
KQ:
1
8
Bài 23. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005
2
1
1 ln
e
dx
I
x x
KQ:
6
Bài 24. CĐSP Hà Nội – 2005
2004
2
2004 2004
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
KQ:
4
Bài 25. CĐSP KonTum – 2005
3
2
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
KQ: 2
2006
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2006
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x
KQ:
2
3
Bài 2. Tham khảo 2006
6
2
2 1 4 1
dx
I
x x
KQ:
3 1
ln
2 12
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2006
1
2
0
2
x
I x e dx
KQ:
2
5 3
2
e
Bài 4. Tham khảo 2006
2
0
1 sin2
I x xdx
KQ:
1
4
Bài 5. Tham khảo 2006
2
1
2 ln
I x xdx
KQ:
5
ln4
4
Bài 6. ĐH, CĐ Khối B – 2006
ln5
ln3
2 3
x x
dx
I
e e
KQ:
3
ln
2
Bài 7. Tham khảo 2006
10
5
2 1
dx
I
x x
KQ:
2ln 2 1
Bài 8. Tham khảo 2006
1
3 2ln
1 2ln
e
x
I dx
x x
KQ:
10 11
2
3 3
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
4
Bài 9. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
1
2
0
ln 1
I x x dx
(Đổi biến
2
1 t x
, từng phần)KQ:
1
ln2
2
Bài 10. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006
2
2
1
ln 1
x
I dx
x
KQ:
3
3ln 2 ln3
2
Bài 11. CĐ Nông Lâm – 2006
1
2
0
1
I x x dx
KQ:
2 2 1
3
Bài 12. ĐH Hải Phòng – 2006
1
2
0
1
x
I dx
x
KQ:
1
ln 2
2
Bài 13. CĐ Y Tế – 2006
2
4
sin cos
1 sin 2
x x
I dx
x
KQ:
ln 2
Bài 14. CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006
3
2
0
ln 5
I x x dx
KQ:
1
14ln14 5ln5 9
2
Bài 15. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006
2
3
0
cos2
sin cos 3
x
I dx
x x
KQ:
1
32
Bài 16. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006
4
0
1 cos
I x xdx
KQ:
2
1
8
Bài 17. CĐ KTKT Đông Du – 2006
4
0
cos2
1 2sin 2
x
I dx
x
KQ:
1
ln3
4
Bài 18. CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006
ln 2
2
0
2
x
x
e
I dx
e
KQ:
8
2 3
3
Bài 19. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006
3
2
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
KQ: 2
Bài 20. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006
4
2
0
cos
x
I dx
x
KQ:
2
ln
4 2
Bài 21. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006
3
1
3
3 1 3
x
I dx
x x
KQ:
6ln3 8
Bài 22. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006
9
3
1
. 1
I x x dx
KQ:
468
7
Bài 23. CĐ Bến Tre – 2006
3
1
1
ln
e
x
I xdx
x
KQ:
3
2 11
9 18
e
Bài 24.
1
2 3
0
2
I x x dx
KQ:
2
3 3 2 2
9
Bài 25.
2
2
0
2 1 cos
I x xdx
KQ:
2
1
1
2 4 2
Bài 26.
1
2
3
0
1
x
I x e x dx
KQ:
2
1
4 14
e
Bài 27. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006
2
0
sin3
2cos3 1
x
I dx
x
KQ: Không tồn tại
Bài 28. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006
1
2
0
ln 1
I x x dx
KQ:
1
ln2
2
Bài 29. CĐ Xây dựng số 2 – 2006
2
1
1
5
x x
I dx
x
KQ:
32
10ln3
3
Bài 30. CĐ Xây dựng số 3 – 2006
1
3
0
cos sin
I x x xdx
KQ:
5
4
Bài 31. CĐ GTVT III – 2006
2
0
cos
5 2sin
x
I dx
x
KQ:
1 5
ln
2 3
2
0
2 7 ln 1
J x x dx
KQ:
24ln3 14
Bài 32. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006
4
8
0
1
I tg x dx
KQ:
76
105
Bài 33. CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006
4
2
3
4 3
3 2
x
I dx
x x
KQ:
18ln 2 7ln3
Bài 34. CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006
3
6
0
sin3 sin 3
1 cos3
x x
I dx
x
KQ:
1 1
ln2
6 3
Bài 35. CĐSP Hưng Yên - Khối D
1
, M– 2006
3
2
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
KQ:
2
3
3
3 3 2 2
8
Bài 36. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006
4
4 4
0
cos sin
I x x dx
KQ:
1
2
Bài 37. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006
4
0
cos2
1 2sin 2
x
I dx
x
KQ:
1
ln3
4
Bài 38. CĐSP Trung Ương – 2006
2
0
sin sin 2
I x xdx
KQ:
2
3
Bài 39. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
1
2
0
3
x
I dx
x
KQ :
4 1
ln
3 4
Bài 40. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006
2
2
1
cos
I x xdx
KQ:
2
2
4
Bài 41. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006
2
1
1 ln
e
dx
I
x x
KQ:
4
Bài 42. CĐKT Y Tế I – 2006
2
4
sin cos
1 sin2
x x
I dx
x
KQ:
ln 2
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
5
Bài 43. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006
3
4
ln
sin 2
tgx
I dx
x
KQ:
2
1
ln 3
16
Bài 44. CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006
2
3
2
0
sin 2 1 sin
I x x dx
KQ:
15
4
Bài 45. CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006
0
ln
e
x
I dx
x
KQ:
4 2 e
Bài 46. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006
1
2
0
1
2 2
I dx
x x
KQ:
4
Bài 47. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006
7
3
3
0
2
3 1
x
I dx
x
KQ:
46
15
Bài 48. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006
4
2
0
cos
x
I dx
x
KQ:
2
ln
4 2
Bài 49. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D
1
– 2006
2
1
4 1 ln
I x xdx
KQ:
6ln 2 2
Bài 50. CĐSP Hà Nội Khối D
1
– 2006
3
6
sin .sin
3
dx
I
x x
KQ:
2
ln2
3
.
2007
Bài 1. ĐH, CĐ khối A – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1 , 1
x
y e x y e x
. KQ:
1
2
e
Bài 2. ĐH, CĐ khối B – 2007
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
lny x x
,
0, y y e
. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox. KQ:
3
5 2
27
e
Bài 3. ĐH, CĐ khối D – 2007
Tính tích phân
3 2
1
ln
e
I x xdx
KQ:
4
5 1
32
e
Bài 4. Tham khảo khối A – 2007
4
0
2 1
1 2 1
x
dx
x
KQ:
2 ln 2
Bài 5. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
1
0 à
1
x x
y v y
x
. KQ:
1
ln2 1
4 2
Bài 6. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2 2
à 2 y x v y x
. KQ:
1
2 3
Bài 7. Tham khảo khối D – 2007
1
2
0
1
4
x x
dx
x
KQ:
3
1 ln 2 ln3
2
Bài 8. Tham khảo khối D – 2007
2
2
0
cos
x x dx
KQ:
2
2
4
Bài 9. CĐSPTW – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương
trình
2
2 y x
;
; 1; 0 y x x x
. KQ:
7
6
Bài 10. CĐ GTVT – 2007
3
2
0
4cos
1 sin
x
dx
x
KQ: 2
Bài 11. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007
7
3
0
2
1
x
dx
x
KQ:
231
10
Bài 12. CĐ Khối A – 2007
2007
1
2
1
3
1 1
1
dx
x
x
KQ:
2008 2008
3 2
2008
Bài 13. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
2
1
ln
e
x x dx
KQ:
3
1
5 2
27
e
Bài 14. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007
4
2
1
sin
x x dx
KQ:
3 2
1
384 32 4
Bài 15. CĐ Khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y x
,
2
cos y x x
,
0x
,
x
. KQ:
2
Bài 16. CĐ Khối D – 2007
0
2
1
x dx
KQ: 1
Bài 17. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007
3
2 2
1
1
dx
x x
KQ:
3
1
3 12
Bài 18. CĐ Hàng hải – 2007
3
3
2
1
1
x x dx
KQ:
14 3
5
Bài 19. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007
0
2
1
1
x
x e x dx
KQ:
2
3 31
4 60
e
Bài 20. CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007
1
0
x
xe dx
KQ: 1
2008
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2008
4
6
0
cos2
tg x
dx
x
KQ:
1 10
ln 2 3
2
9 3
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2008
4
0
sin
4
sin 2 2 1 sin cos
x dx
x x x
KQ:
4 3 2
4
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2008
2
3
1
ln
x
dx
x
KQ:
3 2ln 2
16
Bài 4. CĐ Khối A, B, D – 2008
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
: 4 P y x x
và đường thẳng
: d y x
.KQ:
9
2
(đvdt)
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
6
Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân
Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm
Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong sách giáo
khoa. Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa nguyên hàm và vi
phân:
( ) ( )
d F x F x C
Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được
nguyên hàm. Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo
dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho
gọn bài viết).
Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm
1.
7
2
2 1 5 .
x x x dx
2.
7
sinx.cos x.
dx
3.
ln .
x dx
x
1.
7 7
2 2 2
2 1 5 . 5 . 5x x x dx x x d x x
=
8
2
1
5
8
x x C
2.
7
sinx.cos x.dx
=
7 8 8
1 1
( os x).d(cosx)= d - os x - os x+C
8 8
c c c
3.
2
ln . 1
ln . (ln ) ln
2
x dx
x d x x C
x
Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm
1.
sin3 . os2x.dx
x c
2.
1
dx
x x
3.
3
2
.
1
x dx
x
1.
1
sin3 . os2x.dx sin5 s nx .
2
x c x i dx
=
1 1
os5x-cosx
2 5
d c
=
1 1
os5x- osx+C
10 2
c c
2.
2
2
1
1
d x
dx
x x
x
2ln 1 2ln 1d x x x x C
3.
2
1
2
3
2
1
3
2
2
3
1
. 1
1 .
1
2
1
2 1
d
x
x dx
x d
x
x
x
2
2
3
3
1
4
d x
2
2
3
3
1
4
x C
Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1.
sinx
dx
2.
4
cos x
dx
1.
2
2 2
sinx
sin . os . os
2 2 2 2
x x
d d
dx
x x x x
c tg c
=
2
ln ln
2 2
2
x
d tg
x x
d tg tg C
x
tg
2.
4 2 2 2
cos x cos .cos cos
d tgx
dx dx
x x x
=
2 3
1
1 . ( )
3
tg x d tgx d tgx tg x
=
3
1
3
tgx tg x C
2. Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân.
Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân
( ).
b
a
f x dx
mà không thể
tìm nguyên hàm của f(x). Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin
gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x.
Thí dụ 1: Tính
1
1
1 2
ln .
1 2
x
dx
x
Đặt t = -x
x = -t
dx = - dt. Đổi cận: x = -1
t = 1 và x = 1
t = -1.
1 1
1 1
1 2 1 2
ln . ln .( )
1 2 1 2
x t
I dx dt
x t
1
1 1
1 1
1 2 1 2
ln . ln .
1 2 1 2
t t
dt dt
t t
=
1
1
1 2
ln . 0
1 2
t
dt I I
t
Thí dụ 2: Tính
2
2
2
.
2 1
x
x dx
Đặt t = -x
x = -t
dx = - dt. Đổi cận x = -2
t = 2 và x = 2
t = -2
Do đó:
2
2 2
2
2 2
2 1 2 1
t t
t dt
t dt
I
=
2
2 2
2
2 2
2 1 1 . .
2 . .
1 2 2 1
t
t
t t
t dt
t dt
=
2 2
2
2 3
2 2
2
. 1
.
3
2 1 2
t
t dt
t dt t I
3
2
1 1 8
. .
2 3 3
2
I t
Thí dụ 3: Tính
2
0
sinx.
sinx osx
dx
c
Đặt t =
2 2
x x t dx dt
.Đổi cận: x = 0
à 0
2 2
t v x t
Do đó:
0
2 2
0 0
2
sin .( )
2
ost. osx.
ost sint osx sinx
sin os
2 2
t dt
c dt c dx
I J
c c
t c t
Vì I + J =
2
0
sinx.
sinx osx
dx
c
+
2
0
osx.
osx sinx
c dx
c
=
2
0
1
2
2 4
0
dx x I J
Thí dụ 4: Tính
0
.sinx.sin3x.dx
x
Đặt t =
− x
x =
− t
dx = − dt. Đổi cận: x = 0
t =
, x =
t =0
Do đó:
0
.sin .sin3 .( )I t t t dt
=
0
.sin .sin3 .t t t dt
=
0 0
sin .sin3 . .sin .sin3 .t t dt t t t dt
=
0
os2t-cos4t
2
c dt I
0
1 1
os2t-cos4t . sin2 sin 4 0
4 4 2 4
0
I c dt t t
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây.
1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)
Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x)
là một nguyên hàm của f(x) thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt
buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có
được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết :
3
3
4
4
2
0
0
tan 1
cos
dx
I x
x
(?). Lưu ý :
2
1
( )
cos
f x
x
không
xác định tại
3
0;
2 4
x
nên I không tồn tại.
Thí dụ 1 : Tính
7
3
3
0
( 1)
3 1
x dx
I
x
(ĐH Ngoại ngữ HN-1999)
7 7
2 1
3 3
3 3
3
0 0
1 [(3x 1) 2]dx 1
[(3x 1) 2(3 1) ]d(3x 1)
3 9
3 1
I x
x
7
5 2
3
3 3
0
1 3 46
(3 1) 3(3 1)
9 5 15
x x
Thí dụ 2 : Tính
1
2 2
0
( 3 2)
dx
I
x x
(ĐH Ngoại thương HN-1999)
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
7
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
2
1 2 1 2
( 1) ( 2)
dx dx
I dx dx
x x x x
x x
1
1 1
0
1 2 3
( 1) ( 2) 2ln 2ln
2 3 4
x
x x
x
.
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách
cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối.
Thí dụ 3 : Tính
3
2
1
2 .
I x x x dx
3 0 2 3
2 2 2 2
1 1 0 2
2 . 2 . 2 . 2 .I x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
0 2 3
2 2 2
1 0 2
4 3 4 3 4 3
2 . 2 . 2 .
0 2 3
2 2 2
4
4 3 4 3 4 3
1 0 2
x x x dx x x x dx x x x dx
x x x x x x
2. Phương pháp biến đổi số :
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì
( )
b
( )
[u(x)].u'(x)dx ( )
u b
a u a
f f t dt
Thí dụ 4 : Tính
4
2
7
9
dx
I
x x
(Học viện KTQS - 1999)
Đặt
1
t
x
1
x
t
2
dx
dt
t
.
Đổi cận :
7x
1
7
t
; x = 4
1
4
t
.
Do đó :
1
1
1
7
4
7
2
2 2
1
1 1
4
4
7
1 (3 ) 1 1 7 1 7
ln (3 ) 1 3 ln ln
3 3 3 2 6 4
9 1 (3 ) 1
dt d t
I t t
t t
Thí dụ 5 : Tính
1
4
1
1 2
x
x dx
I
(Đề Học viện BCVT - 1999)
Đặt t = x x = t dx = dt.
Đổi cận : x = 1 t = 1 ; x = 1 t = 1 ta có :
1 1 1 1
4 4 4
1
4 5
4
1
1 1 1 1
( ) .( ) 2 . 1 2
5 5
1 2 1 2 1 2
t
t t
t dt t dt t dt
I t dt t I I
1
5
I
.
Chú ý : - Để tính
( )
b
a
f x dx
không nhất thiết phải tìm nguyên
hàm F(x) của f(x).
- Cách tích phân dạng
( )
1
x
g x dx
a
với a > 0 và g(x) là hàm số
chẵn, đều làm như trên.
Thí dụ 6 : Tính
1
1
2
ln
2
x
dx
x
Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó :
-1
1 -1 1 1 1
-1 1 -1 -1 -1
2-x 2+t 2+t 2-t 2-t
I= ln dx= ln (-dt)= ln dt= ln dt=- ln dt=-I.
2+x 2-t 2-t 2+t 2+t
I = 0.
Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ
luôn bằng 0.
+ Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số :
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f u du f t dt
=
Thí dụ 7 : Tính
0
1 sinx
x
dx
Đổi biến số u =
x x u
. Ta có :
0 ; 0.x u x u
Mặt khác : dx = -du.
0
0 0 0
1
( )
1 sinx 1 sinu 1 s inu
1 sin
x u
I dx u du du du
u
2
2
0 0
1 1
2
2 2 4
u
os
sin os
2 4
2 2
u u
d I d I
u
u
c
c
Do đó : I =
2
2 4
0
u
tg
.
Chú ý : Nếu gặp tích phân
( )
b
a
f x dx
mà tính mãi không được,
các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ
trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng.
Thí dụ 8 : Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần
hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có :
0
( ) ( )
a T T
a
f x dx f x dx
Ta có
( ) ( ) ( )
a T T a T
a a T
f x dx f x dx f x dx
(*). Xét
( )
a T
T
J f x dx
,
đặt u = x - T x = u + T dx = du.Đổi cận : x = T u = 0 ; x = a + T u = a,
do đó :
0 0 0
( ). ( ) ( )
a a a
J f u T du f u du f x dx
.Thay vào (*) ta có đpcm.
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của
hàm số tuần hoàn.
Thí dụ 9 : Tính
2007
0
sinx
dx
Chứng minh dễ dàng hàm số y =
sinx
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là
.
Do đó :
2007 2 2007
0 0 2006
sinx sinx sinx s inxdx dx dx dx
0 0
2007 sinx 2007 sinx. 2007 osx 5014
0
dx dx c
3. Sử dụng công thức tích phân từng phần :
Ta có :
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu
Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương
pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải
kết hợp với phương pháp đổi biến :
Thí dụ 10 : Tính
2
0
sin
I xdx
(Đề ĐH Đà Lạt - 1999)
Đặt
t x
2
x t
dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 t = 0 ;
2
x
t = nên :
0
0 0 0
2 sin 2 . (cos ) 2 cos cosI t tdt t d t t t tdt
=
0
2 sin 2t
Thí dụ 11 : Tính I =
1
5
0
. .
x
x e dx
Giải : Xét
1
0
. .
n x
n
I x e dx
. Đặt
1
;
n n x x
u x du nu dv e dx v e
.
Theo công thức tích phân từng phần ta có :
1 1 1 1
1
1
0 0 0 0
1 1
. . .
0 0
n x n x n x
n n
I x e dx udv uv vdu x e n x e dx e nI
với mọi n nguyên và n >1.Ta có :
1 1
1
0 0
1 1
. . 1
0 0
x x x x
I x e dx xe e dx e e
.
2 1 3 2
4 3 5 4
2 2; 3 3( 2) 6 2 ;
4 4(6 2 ) 9 24; 5 5(9 24) 120 44
I e I e I e I e e e
I e I e e e I I e I e e e
Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương
tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho
n = 2;3;4;5.
Chuyờn tớch phõn & ng dng H Vn Hong
8
CC BI TON CHN LC
1. Tớnh tớch phõn :
2 3
2
5
4
dx
I
x x
(A 2003)
2 2 2
2 3 4 4 4
2
2 2
3 3 3
5
4
4
4
3
3
3
4 4 2 2
ẹoồi caọn : 5 3; 2 3 4
2 2
1
4
2 2 2 2
4
4
1 1 1 1 1 2
ln 2 ln 2 ln
4 2 2 4 4 2
1 1 1
ln ln
4 3 5
ẹaởt t x t x tdt xdx tdt xdx
x t x t
t t
xdx tdt dt
I dt
t t t t
t t
x x
t
dt t t
t t t
1 5
ln
4 3
2. Tớnh tớch phõn :
1
3 2
0
1
I x x dx
(D b 2A 2003)
2 2 2 2 2
1
1 0 1
3 5
2 2 2 2 4
0 1 0
0
1 1 1 2 2
caọn : 0 1; 1 0
1 1 2
1 1
3 5 3 5 15
ẹaởt t x t x x t xdx tdt xdx tdt
ẹoồi x t x t
t t
I x x xdx t t tdt t t dt
3. Tớnh tớch phõn :
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
(B 2004)
2
3 2
1 3ln 1 3ln 2
3
dx dx tdt
ẹaởt t x t x tdt
x x
1 1; 2x t x e t
2
2 2
2 5 3
4 2
1 1
1
1 2 2 2 2 32 8 1 1 116
3 3 9 9 5 3 9 5 3 5 3 135
t tdt t t
I t t t dt
Tớnh tớch phõn :
ln5
ln3
2 3
x x
dx
I
e e
( B 2006)
ln5 5 5 5
2 2
ln3 3 3 3
5
5
5
3
3
3
. ln3 3, ln5 5
1 2
2 3 3 2 1 2 1 2
1 1 2 3 1 3
ln 2 ln 1 ln ln ln ln
2 1 1 4 2 2
x x
x
x x
ẹaởt t e dt e dx x t x t
t t
e dx dt dt
I dt
e e t t t t t t
t
dt t t
t t t
4. Tớnh tớch phõn :
2
0
sin2 cos
1 cos
x x
I dx
x
(B 2005)
2
2 2
0 0
2
2
1 2 2
2 2
2 1 1
1
2sin cos cos sin cos
2
1 cos 1 cos
1 cos sin ; caọn : 0 2, 1
2
1
2 1 1
2 2 2 2 2 2 ln
2
1
2 2 4 ln2 2
2
x x x x x
I dx dx
x x
ẹaởt t x dt xdx ẹoồi x t x t
t dt
t t t
I dt t dt t t
t t t
2ln2 1
5. Tớnh tớch phõn :
2
4
0
1 2sin
1 s 2
x
I dx
in x
(B 2003)
4
0
2
2
1
1
0 1
cos2
ẹaởt 1 sin2 2 cos2 .
1 sin2
2
4
1 1 1
Vaọy ln ln2
2 2 2
x t
x
I dx t x dt xdx
x
x t
dt
I t
t
6. Tớnh tớch phõn :
3
3
1
dx
I
x x
(D b 1 B 2004)
3 3
2
2 2 2
1 1
4 4 4
4
2
2 2 2
4
2
1 2
ẹaởt 1 2 .
1 1
3 4
1
1 1 1 1 1 1
ln 1 ln
2 2 2 1 2
1 1
1 1 1 3 1 1 3
ln ln ln ln
2 2 4 2 2 2
x t
dx xdx
I t x dt xdx
x x x x
x t
t t
dt
I dt dt t t
t t
t t t t
t
t
7. Tớnh tớch phõn :
2
sin
0
cos cos
x
I e x xdx
(D 2005)
2 2
sin 2
0 0
cos cos
x
I e xdx xdx A B
2
sin
0
1
1
0
0
2 2
2
2
0 0
0
cos : ẹaởt sin cos .
ẹoồi caọn : 0 0, 1. 1
2
1 cos2 sin2
cos
2 2 4 4
1
4
x
t t
Tớnh A e xdx t x dt xdx
x t x t A e dt e e
x x x
Tớnh B xdx dx
Vaọy I A B e
8. Tớnh tớch phõn :
1
2
0
1I x dx
2 2
gaởp , ta ủaởt sin , ;
2 2
Khi a x x a t t
t
sin ; cos .
2 2
x t t dx tdt
i cn
0 sin 0 0; 1 sin 1
2
x t t x t t
2 2 2
2 2
0 0 0
2 2
2
2
0 0
0
1 sin cos cos cos cos cos
1 cos2 1 1
cos sin2
2 2 4 4
I t tdt t tdt t tdt
t
tdt dt t t
9. Tớnh tớch phõn :
1
2
0
1
dx
I
x
2 2
1
gaởp , ta ủaởt , ;
2 2
Khi x atgt t
a x
2
2
4 4
2
0 0
; 1
2 2
0 0 0; 1 1
4
1
4
4
1
0
ẹaởt x tgt t dx tg t dt
x tgt t x tgt t
tg t dt
I dt t
tg t
10. Tớnh tớch phõn :
1
2
0
1
dx
I
x x
1
2
2
2
0
3
2
3 3
2
6 6
6
1 3 3
. ẹaởt ; 1
2 2 2 2 2
1 3
2 2
3 1 1 3 3
0 ; 1 3
2 2 6 2 2 3
3
3
1
2 3 2 3 2 3
2
3 3
3 3 3 3 6
4 4
dx
I x tgt t dx tg t dt
x
x tgt tgt t x tgt tgt t
tg t dt
I dt t
tg t
3
9
Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
9
11. Tính tích phân :
3
2
2
lnI x x dx
(D – 2004)
2
2
3 3 3 3
3
3
2
2
2
2 2 2 2
3
2
2 1
ln
Đặt :
x 2x-1
1
I= udv= uv - vdu= xln x -x - dx =3ln6-2ln2- 2+ dx
x-1
x x-1
=3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3
x
u x x
du dx
x x
dv dx
v x
12. Tính tích phân :
1
2
0
2
x
I x e dx
(D – 2006)
2x
2x 2x
1 1
1 1 1
2
1
2x 2x 2 2x
0
0 0 0
0 0
du=dx
u=x-2
Đặt : Þ
1
dv=e dx
v= e dx= e
2
1 1 1 1 5-3e
I= udv= uv - vdu= e x-2 - e dx= -e +2 - e =
2 2 2 4 4
13. Tính tích phân :
4
0
1 cos2
x
I dx
x
(Dự bị 1 – A2003)
4 4
1
2 2
0 0
2 2
4 4 4 4
4 4
1
0 0
0 0 0 0
4
1
0
1 1
:
2 2
2cos cos
cos cos
cos '
4 cos
1 1 1
ln cos ln ln 2.
4 4 4 2 2
2
u x du dx
x x
I dx dx I Đặt
dx dx
x x
dv v tgx
x x
x
I udv uv vdu xtgx tgxdx dx
x
x I I
1
ln2
8 4
14. Tính tích phân :
2
1
3
0
x
I x e dx
(Dự bị 1 D – 2003)
2
2
1 1 1
2
1
0 0 0
1 1
1
1
0
0 0
1
1 1
0 0
0
2 . Đổi cận : 0 0, 1 1
1 1
2 2 2
1
1 1
2
x t t
t t
t t t
Đặt t x dt xdx x t x t
dt
I x e xdx te te dt I
u t du dt
Đặt I udv uv vdu
dv e dt v e
te e dt e e e e I
15. Tính tích phân :
2
0
sinI x xdx
(Dự bị 1 D – 2004)
2
2 2
1
0
2 .
Đổi cận : 0 0; Vậy 2 sin 2
Đặt t x x t dx tdt
x t x t I t tdt I
2
2 2
1 2
0
0
2
sin cos
sin
Vậy cos 2 cos 2
du tdt
u t
Đặt
v tdt t
dv tdt
I t t t tdt I
2
0
0
0
2 2
1
'
'
' cos sin
' cos
Vậy I sin sin cos 1 1 2
4 2 8
du dt
u t
Đặt
v tdt t
dv tdt
t t tdt t
I I
16. Tính tích phân :
2
2
0
I x x dx
(D – 2003)
Giải phương trình x
2
– x = 0, ta được x = 0 V x = 1
x
-∞ 0 1 2 +∞
x
2
– x
+ 0 – 0 + +
1 2
1 2
2 3 3 2
2 2
0 1
0 1
- - - -
2 3 3 2
1 1 8 1 1
- -2 - - 1
2 3 3 3 2
x x x x
Vậy I x x dx x x dx
17. Tính tích phân :
2
4
2
0
1
4
x x
I dx
x
(Dự bị 2 A – 2004)
2
2 2 2
3
2
2 2 2 2
0 0 0
0
2
2
x 17 x xdx dx 16
I= x -4- + dx= -4x - +17 =- -A+17B
3 3
x +4 x +4 x +4 x +4
A : 4 2 ; 0 4, 2 8
B: Đặt 2 ; 2 1 ; 0
2 2
0 0, 2
Tính Đặt t x dt xdx x t x t
Tính x tgt t dx tg t dt x
tgt t x tg
1
4
t t
8
8
4
4
1 1 1 1
ln ln8 ln 4 ln 2 ln 2
2 2 2 2
dt
A t
t
2
4 4
4
2
0 0
0
2 1
1 1 16 17
ln 2
2 2 8 3 8
4 4
tg t dt
B dt t Vậy I
tg t
18. Chứng minh rằng :
1
3
1
2 2
9 7
8
dx
x
3 3
3
1 1
3 3
1 1
1 1 1
1;1 1 1 1 1 7 8 9
9 7
8
1 1 2 2
1 1 1 1
9 7 9 7
8 8
x thì x x x
x
dx dx
đpcm
x x
19. Chứng minh rằng :
2
2
4
5
3 2sin
2 4
xdx
2 2 2
2
2 2
4
2
2
4
; , ta có :
4 2
2 1
sin 1 sin 1 1 2sin 2 4 3 2sin 5
2 2
2 3 2sin 5 2 3 2sin 5
2 4 2 4
5
3 2sin
2 4
x
x x x x
x xdx
xdx đpcm
20. Chứng minh rằng :
1
2
0
4 5
1
2 2
x
dx
2 2
2
2
1
2
0
0;1 0 1 0 1 4 4 5
4 5
2 4 5 1
2 2
4 5
1 (điều phải chứng minh)
2 2
x x x x
x
x
x
dx
21. Tính tích phân :
4
3
1 cos2I xdx
p p p p
0 0
4 4 4 4
2
p p p p
0 0
- - - -
3 3 3 3
p
0
4
p
0 -
3
I= 2sin xdx= 2 sinx dx= 2 sinx dx+ sinx dx = 2 sinxdx- sinxdx
1 1 3 2
= 2 -cosx - -cosx = 2 - +1- -1+ = -1
2 2
2
22. Tính tích phân :
2
2
1
5 1
6
x
I dx
x x
Chuyờn tớch phõn & ng dng H Vn Hong
10
2
5 5 5 5 2 3
coự :
3 2
6 3 2 3 2
5 2
5 5 2 3
2 3 5 3
x x A B Ax A Bx B
Ta
x x
x x x x x x
A B A
x A B x A B
A B B
2
2
1
1
2 3
2ln -3 3ln 2 3ln4 - 2 ln 2 3ln3
-3 2
6ln2 -2ln2 -3ln3 4 ln 2-3ln3
dx x x
I
x x
23. Xỏc nh cỏc hng s A, B sao cho :
3 3 2
3 1
, 1
1 1 1
x A B
x
x x x
. Tỡm:
3
3 1
1
x
dx
x
3 3 2 3 3
3 3 2 2
1
3 2
3 1
1 3
1 1 1 1 1
3 1 2 3 1 3
1
1 1 1 1
A B x
B A
x A B Bx A B
A B B
x x x x x
x
dx dx C
x
x x x x
24. Tớnh tớch phõn :
2
1
2
0
ln 1
1
x x x
I dx
x
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
1
2 2
0
1
1
ln 1
1 1
ẹaởt
1 1 1
1
1
Tớnh v : ẹaởt 1 1 2 2 .
1
1 ln 1 2 ln 1 2
x x x
u x x
dx
x x
du dx dx
x x x x x
xdx
dv
xdx
x
v
x
t x t x tdt xdx tdt xdx
tdt
v dt t x
t
I x x x dx x
1
1
0
0
2 ln 1 2 1
25. Tớnh :
2
ln ln ln
e
e
x x
I dx
x
(C KT A, D 2005)
2
2
2 2 2
2
1 1 1
1 1 1
1
2
2 2
1 1
1 1
1
ln 1, 2
1 3
ln ln 2
2 2 2
ln
I : ẹaởt ln 2ln2
3
2ln2 2 1 2ln2 1. 2ln2
2
dx
ẹaởt t x dt x e t x e t
x
t
I t t dt tdt tdt I I I
dt
u t
du
Tớnh I t t dt t
t
dv dt
v t
I
1
1 2ln2
2
26. Tớnh tớch phõn :
3
2
2
6
cos
sin
x
J dx
x
(S G TP 20042005)
1
sin cos . ; 1
6 2 2
ẹaởt t x dt xdx x t x t
2
1
1 1
2
2
2 2 2
1
1 1
2
6 2 2
1-t dt
cos xcosxdx 1 1 1 1
J= = = -1 dt= - -t = -1-1 - -2- =
sin x t t t 2 2
27. Tớnh tớch phõn :
1
2
6
0
9
x dx
I
x
1
2
3 2
2
3
0
1 1 1 1
2
0 0 0 0
1
1
0
0
0 0
ẹaởt 3
1 1
9
3 3
1 1 1 1 1 1
3 3 18 18 3 3
9 3 3 3 3
1 1 3 1 1 1 1
ln 3 ln 3 ln ln ln1 ln
18 18 3 18 2 18 2
x t
x dx
I t x dt x dx
x t
x
t t
dt dt
I dt dt
t t
t t t t t
t
t t
t
28. Cho
3 3
2 2
3 3 3 3
0 0
sin x cos x
; J
sin x+cos x sin x+cos x
I dx dx
.
Tớnh I bng cỏch t
2
t x
3
0
3 3
2 2
3 3 3 3
3 3
0 0
2
2
2
0
0
0
2
2
0
2
sin
2
cos cos
cos sin cos sin
sin cos
2 2
Ngoaứi ra :
2 4
x t
ẹaởt t x dt dx
x t
t
t x
I dt dt dx J
t t x x
t t
I J dx x I J
29. Tớnh tớch phõn :
3
4
3 5
4
sin cos
dx
I
x x
2
3 3 3
2 2 2
4 3 5 3 5 3
4
4
4 4 4
2 8
3 3
3
3
4
8
4
4
4 3
1
1 1
tan . 1; 3.
4 3
cos
cos cos cos
sin cos sin cos
cos cos
4. 4 3 1 4 3 1
p p p
p p p
dx
ẹaởt t x dt x t x t
x
dx dx dx
x x x
Vaọy I
x x x x tg x
x x
dt
t dt t
t
30. Tớnh tớch phõn :
1
0
sinI x dx
1
2
0
1
1
1
2
0
0
0
0 0
ẹaởt 2 . Vaọy sin 2
1 1
2
2
1
sin
sin cos
2 2 2 2 2
cos cos sin
x t
t x x t dx tdt I t tdt
x t
du dt
u t
ẹaởt
dv t dt
v t dt t
I t t t dt t
31. Tớnh tớch phõn :
2
4 2
0
sin2
sin 6sin 5
x
I dx
x x
2
2
2 2
0
2 2 2
1 1 1
2
2
1
1
sin2
ẹaởt sin 2sin cos sin2
sin 1 sin 5
0 1
4
1 1 1 1
.
4 4 4
4 4
2
2
1 1 1 1 1 1 5
ln ln 4 ln ln ln ln
4 4 4 4 3 5 4 3
xdx
I t x dt x xdx xdx
x x
x t
t t
dt
I dt dt
t t
t t t t
x t
t
t t
t
32. Tớnh tớch phõn :
0
sin
x
I xe dx
0
0
0
0
sin cos
sin cos
' cos ' sin
cos sin 1
' '
1
1 2 1
2
x x
x x
x x
x x
u x du dx
ẹaởt I e x e xdx J
dv e dx v e
u x du x dx
ẹaởt J e x e xdx e I
dv e dx v e
e
I e I I e I
33. Gii phng trỡnh :
2
0
sin2 1 cos 0 0
x
t tdt x
2
1
1
ln ln 4
4
t t
Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
11
2
2
2 2 2
2
1 cos
1 cos
3
2 2
0
2
2
3 3
3 3
2 2
2 2
u 1 cos 1 cos 2 2sin cos
2 sin2 . 0 2; u 1 cos
sin2 1 cos 2 2
3
1 cos 1 cos
2 2
2 . 0
3 3 3 3
1 cos 2 cos 1 si
x
x x
Đặt t u t udu t tdt
udu tdt t u t x x
u
t tdt u du
x x
pt
x x
n 0x x k k
34. Tính tích phân :
3
0
sin
1 sin
x
I dx
x
2
0 0
1 1 cos2 1
sin sin 1 sin 1
1 sin 2
1 cos( )
2
x
I x x dx x dx
x
x
2
0
0
1 cos2 1
sin 1
2
2cos
4 2
3 1 3 3
sin2 cos 1 1 2 4
2 4 4 2 2 2
x
x dx
x
x
x x x tg
35. Tính tích phân :
3
2
0
cos
1 sin
x
I dx
x
2
2
2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
2
0
1 sin cos
1 sin 1 sin cos
cos cos
1 sin 1 sin 1 sin
1
cos 1 sin cos cos sin cos sin2
2
1 1 1 1
sin cos2 1 0
4 4 4 2
x xdx
x x xdx
x xdx
I
x x x
x x dx x x x dx x x dx
x x
36. Tính tích phân :
1
7
10
1
1
x
I dx
x
bằng cách đổi biến t = –x
7
1 1 1 1
7 7 7
10 10 10 10
1 1 1 1
1 1
Đặt
1 1
2 0 0
1 1 1 1
x t
t x dt dx
x t
t dt
x t x
I dx dt dx I I I
x t t x
37. Tính tích phân :
1
3 2ln
1 2 ln
e
x
I dx
x x
(Dự bịB–2006)
2
2
2 2
2
1 1
2
3
1
2
1 2ln 1 2ln 2
3 1
1 1, 2 Vậy 4
2 2 1 10 2 11
4 4 2 4
3 3 3 3
dx dx
Đặt t x t x tdt tdt
x x
t
x t x e t I tdt t dt
t
t
t
38. Cho miền D được giới hạn bởi hai đường : x
2
+ y – 5 = 0
; x+ y – 3 = 0. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi
quay miền D quanh trục hồnh.
2
5
Hình phẳng D được giới hạn bởi 2 đường
3
y x
y x
2 2
2 2
2
2
2 2 4 2
1 1
2
4 2 4 2
1
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là :
5 3 2 0 1 2
5 3 25 10 9 6
11 6 16 . 1;2 , 11 6 16 0,
Ox
x x x x x x
V x x dx x x x x dx
x x x dx x x x x
2
2
5 3
4 2 2
1
1
11
11 6 16 3 16
5 3
Ox
x x
V x x x dx x x
32 88 1 11 153
44 13
5 3 5 3 5
đvtt
39. Tính tích phân :
2
0
4 5sin
dx
I
x
2
2
1 1 1 1
2
2
0 0 0 0
2
0 0
Đặt .
2
1
2cos
2
2
cos
2
2
2 2
4 10 4 1
4 1 10
4 10sin cos
4 2
2 2
2
cos
2
x t
x dx
t tg dt
x
x t
dx
x
dt dt dt
I
x x
t t
t t
t t
x
1
1 1
0 0
0
1
0
1
2
2
1 1 1 1 1 1
ln ln 2
1
3 3 2 3 2
1
2
2
2
1
1 1 1 1 1
2
ln ln ln ln2
3 2 3 2 4 3
t t
dt dt t t
t
t
t t
t
t
40. Tính tích phân :
2
5
0
cos cos7I x xdx
2 2 2
5 5 5
0 0 0
5
6
2
2
6 5
0
0
cos cos 6 cos6 cos cos sin 6 cos sin
6sin cos
cos
Tính J : Đặt
1
cos6
cos6 sin6
6
1
sin6 cos sin6 cos sin .
6
I x x x dx x x xdx x x xdx J K
du x xdx
u x
dv xdx
v xdx x
J x x x x xdx K Vậy I
0J K
41. Tính tích phân :
1
4
1
2 1
x
x
I dx
0 1 0
4 4 4
1 0 1
4
0 1 1
4 4
1 0 0
1
4
1 1 1 1
4 4 5
4
0 0 0 0
0
. .
2 1 2 1 2 1
1 1
2 2
Đặt .
0 0 2 1 2 1 2 1
2 1
2
5
2 1 2 1 2 1
x x x
t x
t t x
x
x
x x x
x x x
I dx dx Xét J dx
t dt
x t
t dt x dx
x t dx dt J
x t
x
x dx x x
Vậy I dx dx x dx
1
5
42. Tính tích phân :
2
0
cos
cos sin
n
n n
xdx
I
x x
0
2 2
0 0
2
2 2
2
0
0 0
0
2
;
2
0
2
cos
2
sin sin
.
sin cos sin cos
cos sin
2 2
sin cos
2
2 4
sin cos
n
n n
n n n n
n n
n n
n n
x t
Đặt t x dt dx
x t
t dt
tdt xdx
I
t t x x
t t
x x
I dx dx x I
x x
Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
12
43. Tính tích phân :
4 4
4
4
sin cos
3 1
x
x x
I dx
0 0
4 4 4 4 4 4
4
0
4 4
sin cos sin cos sin cos
. .
3 1 3 1 3 1
Đặt
4 4
0 0
x x x
x x x x x x
I dx dx Xét J dx
x t
x t dx dt
x t
4 4 4 4
0
4 4
4 4
0 0
4
4 4
4 4
4 4
0 0
4 4
4 4 4
4 4 2 2
0 0 0
2
3 sin cos 3 sin cos
sin cos
3 1 3 1 3 1
3 sin cos
sin cos
3 1 3 1
3 1 sin cos
sin cos 1 2sin xcos x
3 1
1
1 sin 2x
2
t x
t t x
x
x x
x
x
t t x x
t t
J dt dt dx
x x
x x
Vậy I dx dx
x x
dx x x dx dx
4 4 4
0 0 0
4
0
1 1 cos4 3 1
1 cos4 .
2 2 4 4
3 1 3
sin4 .
4 16 16
x
dx dx x dx
x x I
44. Tính tích phân :
2
10 10 4 4
0
sin cos cos sinI x x x x dx
10 10 4 4 2 2
10 10 6 4 4 6
6 4 4 6 4 4 4 4 6 6
2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
2
có : sin cos cos sin cos sin
sin cos cos sin cos sin
sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin
cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin
cos 2
Ta x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
0
0
1 cos 2 .sin 2
1 cos sin cos 2 1 sin 2 cos 2
4 4
1 cos4 sin 4 1 1 1 cos8 15 1 1
cos4 cos4 cos8
2 16 2 2 32 32 2 32
15 1 1 15 1 1 15
: cos4 cos8 sin 4 sin8
32 2 32 32 8 256 64
x x
x x x x x x
x x x
x x x
Vậy I x x dx x x x
45. Tính tích phân :
1
3
0
1
x
I dx
x
1 1
2
2
6 6
0 0
1 1
3 2
2 2
0 0
2
0 0
.2
Đặt 2 Vậy 2
1 1 1 1
0 0
2 1
3
3 2
3
1 1 1 1
0 0 0
; 1
2 2
1
x t
t tdt t dt
t x t x tdt dx I
x t t t
du
t u
Đặt u t du t dt I du
t u u u
u tgm m
Đặt u tgm m du tg m dm
u t
2
4 4
4
2
0 0
0
1
4
1
2 2 2
3 3 3 6
1
gm m
tg m dm
I dm m
tg m
46. Tính tích phân :
3
2
0
max 1;
4
x
I dx
2 2
2
Ta lập hiệu số : 1 . Cho 0 1 0 4 2
4 4
x x
H H x x
x
-2 0 2 3
H
0
+ 0 –
3
2 3 2 3
2 2 2 3
2
0
0 2 0 2
2
x x x x 9 2 43
I= max 1; dx+ max 1; dx= dx+ dx= x + =2+ - =
4 4 4 12 4 3 12
47. Tính tích phân :
2
2
1
2 1
1
x
I dx
x x
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 1
2 1
Ta có :
1
1 1
0 1
2 3
1
1 3
1 3 3 1 1
3ln 3ln 1 3ln
1 1
1 2 1
3ln 1 3ln
2 3 2
A x Bx x Cx
x A B C
x x
x x x x x
B C A
B C x A B x A
A B B
x x
A C
x
I dx x x
x x x x x
x
1 4
3ln
2 3
48. Tính tích phân :
2
2
0
max 1; ;F x x dx
Gọi H = x – 1. H = 0 x = 1.
x
0 1 2
H
–0 +
Gọi G = x
2
– x. G = 0 x = 0 V x = 1
x
0 1 2
G
0 – 0 +
2 2
2 2
2
2 1 2
3
1
2 2
0
0 0 1
1
1 1
0 1: 1 ; 1 2: 1
8 1 10
max 1; ; 1
3 3 3 3
x x
x x x x x x
x x x x
x
F x x dx dx x dx x
49. Tính tích phân :
1
3
2
0
1
x dx
T
x x
3 2
1 1
3 2
2 2
0 0
1
1 1
5
3 2 4
0 0
0
2 2 2
2
1 2 2
5 3
2 2 2 4 2
0 1 1
1
1
1
1 1
1
1
5 5
0 1
1 1 2 2 .
1 2
1 1 .
5 3
4 2 2 2
5 3
x x x
T dx x x x dx
x x x x
x
x x dx x dx I I
x t
Đặt t x t x tdt x dx tdt xdx
x t
t t
I x x xdx t t tdt t t dt
1 1 2 2 2 2 2 1
.
5 3 15 15 15
Vậy T
50. Tính tích phân :
4
0
ln 1B tgx dx
0
4 4
0 0
4
4 4 4
4
0
0 0 0
0
4
;
4
0
4
1 2
ln 1 ln 1 ln
4 1 1
ln2
ln2 ln 1 ln 2 ln 1
4
ln2 ln2
2
4 8
x t
Đặt t x dt dx
x t
tgt
B tg t dt dt dt
tgt tgt
dt tgt dt t tgx dx I
I I
51. Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên
và tuần
hồn với chu kỳ T thì :
0
a T T
a
f x dx f x dx
Áp dụng, tính tích phân :
2004
0
1 cos2I xdx
Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
13
0 0
3
0
3
0 0 0
0
có : 1
I Đặt t
0
2
(2) vào (1) ta được
T a a T T
a a T
T
a T
a a a
a
T a T
a
Ta f x dx f x dx f x dx f x dx
x a T t a
Xét f x dx x T dt dx
x T t
I f t T dt f t T dt f t dt f x dx
Thế f x dx f x dx đpcm
Áp
2004 2004 2004
2
0 0 0
2 4 2004
0 2 2002
2 4 2004
0 2 2002
dụng : 1 cos2 2sin 2 sin
2 sin sin sin
Theo tính chất trên, ta có : sin sin sin
1002 2 s
I xdx xdx x dx
x dx x dx x dx
x dx x dx x dx
Nên I
2 2
0 0
2
0
in 1002 2 sin sin
1002 2 cos cos 4008 2
x dx xdx xdx
x x
52. Tính tích phân :
1
2004
1
sinI x xdx
0 1
2004 2004
1 0
0
2004
1
1
0 1 1
2004 2004 2004
1
1 0 0
sin sin (1)
1 1
tích phân I sin . Đặt
0 0
sin sin sin (2)
Thế (2) vào (1) ta được : 0
I x xdx x xdx
x t
Xét x xdx x t dx dt
x t
I t t dt t tdt x xdx
I
53. Tính tích phân :
2
0
sin cosD x x xdx
0
2 2
0
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2
0 0
0
0
sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos 2 sin cos
cos sin
x t
Đặt t x dt dx
x t
D t t t dt t t tdt
t tdt t t tdt t tdt x x xdx
t tdt D D t tdt
Đặt u t du t
1
1 1
3
2 2 2
0 1 1
1
0 1
1
2
sin cos
3 3 3
t u
dt
t u
u
t tdt u du u du D
54. Tính tích phân :
3
0
sin .sin2 .sin3 .cos5I x x x xdx
3
3
2
3
0
2
3
3
2
0
3
2
0
sin sin2 sin3 cos5 sin sin 2 sin3 cos5 (1)
3 3
sin sin2 sin3 cos5 Đặt 3 .
2 2
3 0
sin 3 sin 6 2 sin 9 3 cos 15 5
sin sin2 sin3 cos5
I x x x xdx x x x xdx
x t
Xét J x x x xdx x t dx dt
x t
J t t t t dt
t t t t
3 3
2 2
0
sin sin2 sin3 cos5 (2).
Thế (2) vào (1) ta được 0
dt x x x xdx
I
55. Tính tích phân :
1
2
1
1 1
x
dx
I
e x
0 1 0
2 2 2
1 0 1
0 1 1 1
2
2 2 2
1 0 0 0
2
Xét
1 1 1 1 1 1
0 0
1 1
.
1
1 1 1 1 1 1
; 1
2 2
x x x
t x
t t x
dx dx dx
I J
e x e x e x
x t
Đặt x t dx dt
x t
dt e dt e dx dx
J Vậy I
x
e t e t e x
Đặt x tgu u dx tg u
2
4 4
4
2
0
0 0
0 0 0
1 1
4
1
4
1
x tgu u
du
x tgu u
tg u du
I du u
tg u
56. Giải phương trình theo ẩn x :
1
1 ln
18
x
e
t
dt
t
1
2
1 ln
1 ln
2
0
0
1
0
1 ln
Đặt 1 ln
1 ln
1 ln
2 2
x
e
x
x
t u
t dt
Gọi I dt u t du
e
t t
t x u x
x
u
I udu
5
2
2
7
1 ln
1 ln 6 ln 5
18 1 ln 36
1
2
1 ln 6 ln 7
x e
x
x x
pt x
x x
x
e
57. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) :
2
4 4
1
x x
y
x
, tiệm cận xiên của (C) và hai đường
thẳng x = 2, x = 5
2
5 5
2 2
5
5
2
2
4 4 1
số viết thành : 3
1 1
1
lim 0 nên TCX của (C) là 3
1
1 1 1
3 3 Với 2;5 0
1 1 1
1
ln 1 ln 4 ln1 2 ln
1
x
x x
Hàm y x
x x
Vì y x
x
Vậy S x x dx dx x
x x x
nên S dx x
x
2 đvdt
58. Cho hình giới hạn elip :
2
2
1
4
x
y
quay quanh trục
hồnh. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên.
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
3
2 2
2 2
2
4 1
1 1 4
4 4 4 2
elip có a 4 2, 1 1 nên hình giới hạn elip có : 2 2
8 8 8
4 4 8 8
4 4 3 4 3 3 3
Ox
x x x
Elip y y y x
Vì a b b x
x
V y dx x dx x đvtt
59. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do
quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường
tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2.
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
Oy
2 2 2
2
2
2
pt đường tròn tâm I 3;0 ,R 2 là x 3 y 4
x 3 4 y x 3 4 y x 3 4 y
Vì đường tròn có tâm I 3;0 ,R 2 nên 2 y 2
V 3 4 y 3 4 y dy 6.2 4 y dy 12 4 y dy
Gọi I 4 y dy Đa
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
Oy
y 2 sin u 1 u
2
ët y 2sin u u ; dy 2cosudu
2 2
y 2 sinu 1 u
2
1
I 4 4sin t2cosudu 4 cos u cos udu 4 cos udu 2 1 cos2u du 2 u sin2u
2
2 2 V
2 2
2
24 đvtt
Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
14
60. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2 2
4 và
4
4 2
x x
y y
(Đại học khối B – 2002)
2 2 2 4 4 2
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
hoành độ giao điểm 2 đường là :
8 2 2
4 4 4 0
4 4 32 32 4
4 2
16 (vô lý)
4 Với 2 2;2 2 , 4 0
4 4
4 2 4 2
nên 4 4
4 4
4 2
pt
x x x x x x
x x
x
x x x x
S dx x
x x x
S dx dx
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
4 4 4
2 2
4 4 4 4
4 2
1
16 Đặt 4sin ; 4 cos
2 2 2
2
2 2 sin
2 4
2
2 2 sin
2 4
1
16 16sin .4 cos 8 cos cos 8 cos 4 1 cos2
2
x
dx A B
A x dx x t t dx tdt
x t t
x t t
A t tdt t tdt tdt t dt
4
4
4
2 2
2 2
2 3
2 2
2 2
1 1 1
4 sin2t 4 2 4
2 4 2 4 2
1 8
16 2 16 2
3
4 2 12 2 12 2
8 4
2 4 2
3 3
t
x x
B dx
Vậy S A B đvdt
Tính tích phân :
3
3
2
3
3
cot . sin sin
sin
gx x xdx
A
x
3
3
2
3
2 2
3
2 2
3 3
2
2
3
2 2
3
1
1
0
5
3
3 3
8
3
3
2
3
3
1
0
0
3
sin sin
cot .
cot . 1 1 cot
sin
sin sin
1
cot . cot
3
3
. cot
sin sin
0
2
3 3 1 9
8 8 81 24
x x
gx
gx g x
x
A dx dx
x x
x t
gx g x
dx
dx Đặt t gx dt
x x
x t
t
A t t dt t dt
61. Tính tích phân :
2
1
ln
1
e
e
x
I dx
x
2
2
1
1
1
1 1 1
1
ln
1
1
1
1
1
.ln 1
1
1
1
1 1
ln ln 1
1
1 1
1
ln ln ln ln 1.
1
1 1
1
e
e
e
e
e e e
e
e
e e e
e
e
dx
u x
du
x
dx
Đặt
dx
dv
v
x
x
x
dx
I x A
x
x x
x x
dx
A dx dx x x
x x
x x x x
x e
e
e V
x e
e
0ậy I
62. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2
4 3 và 3y x x y x
(Đại học khối A – 2002)
2
2 2
2 2
hoành độ giao điểm của 2 đường là : 4 3 3
3 3
3 0
4 3 3 5 0
0 5 5
4 3 3 3 6 0( )
pt x x x
x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x x VN
x
0 5
2
4 3 3x x x
0
–
0
5 5 5
2 2
0 0 0
5
2
0
5
2 2
0
3 4 3 3 4 3
55
3
2 2
4 3 Giải pt 4 3 0 ta được : 1 3
S x x x dx x dx x x dx
x
x I I
I x x dx x x x x
x
0 1 3 5
2
4 3x x
+ 0 – 0 +
1 3 5
2 2 2
0 1 3
1 3 5
3 3 3
2 2 2
0 1 3
có : 4 3 4 3 4 3
4 4 20 28
2 3 2 3 2 3
3 3 3 3 3 3 3
55 28 109
đvdt
2 3 6
Ta I x x dx x x dx x x dx
x x x
x x x x x x
S
63. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường :
; 2 ; 0y x y x y
. Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy.
2
2 2
1 1
2
2 2
2 4
0 0
1
2
4 2 4
0
0
Miền D giới hạn bởi
2 2
1 nhận
Pt tung độ giao điểm : y 2 2 0
2 loại
2 2
x 0;1 , 2 0 4 4
4 2
Oy
Oy
y x y x y
y x x y
y
y y y
y
V y y dy y y dy
y y nên V y y y dy
y y
1
3 5
2
0
1 1 32
4 2
3 5 3 5 15
y y
đvtt
64. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y =
xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)
2
2 2
1
1 1
2
3
2 2
1
3
2
2
1
1
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là :
0 ( )
ln 0
ln 0 1
ln ln
2ln
ln
2
ln ln
3 3
3
e e
Ox
e
e
x loại
x x
x x
Vậy V x x dx x xdx I
x
du dx
u x
x e
x
Đặt I x x xdx
x
dv x dx
v x dx
3
2
2
3 3
I
2 3
2
3 3 3 3 3 3
2
2
1
1 1
3
3 3
'
' ln
'
'
3
1 1 2 1
ln
3 3 3 9 3 9 9 9
5 2
2 2 1
.
3 3 9 27
e e
e
Ox
dx
du
u x
x
Đặt
dv x dx x
v x dx
x e x e e e
I x x dx
e
e e
V đvtt
