Bài tập xác suất thống kê nguyễn ngọc siêng

Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Bài 1:
Hỏi có bao nhiêu cách xếp r hành khách lên n toa tàu, mỗi người có thể lên 1
toa bất kỳ và mỗi toa chứa hơn r người?
Giải.
 Để xếp r hành khách lên n toa tàu ta chia làm r giai đoạn, giai đoạn i xếp cho
người thứ i. Số cách xếp là n ( ).
 Theo quy tắc nhân số cách xếp r hành khách lên n toa tàu là:
Bài 2:
1 người chọn số PIN có 6 chữ số của thẻ ATM:
a) Hỏi có bao nhiêu số PIN người đó có thể chọn?
b) Hỏi có bao nhiêu số PIN có 6 chữ số khác nhau?
Giải:
a) Mỗi số PIN có 6 chữ số là 1 chỉnh hợp lặp chập 6 từ 10 phần tử (0, 1, 2, ….,9).
Vậy số các số Pin có 6 chữ số là:
b) Một số PIN có 6 chữ số khác nhau là 1 chỉnh hợp chập 6 từ 10 phần tử (0, 1, 2,
….,9). Vậy số các số Pin có 6 chữ số khác nhau là:
Bài 3:
1 công ty cần tuyển 4 nhân viên, có 15 người nộp hồ sơ, trong đó có 10 nam và
5 nữ. Khả năng được tuyển của mỗi người như nhau.
a) Hỏi có bao nhiêu kết quả đồng khả năng xảy ra?
b) Hỏi có bao nhiêu kết quả 4 người được tuyển gồm 2 nam 2 nữ?
Giải:
a) Mỗi kết quả đồng khả năng là chọn ra 4 người từ 15 người không kể thứ tự là 1
tổ hợp chập 4 từ 15 phần tử. Vậy số kết quả đồng khả năng xảy ra là :
b) Để có kết quả 4 người được tuyển có 2 nam 2 nữ ta chia làm 2 giai đoạn:
 Giai đoạn 1: Chọn 2 nam trong 10 nam, số cách chọn là:
 Giai đoạn 1: Chọn 2 nữ trong 5 nữ, số cách chọn là:
Vậy số kết quả của 4 người được tuyển có 2 nam 2 nữ là:
Nguyễn Phan Thanh Lâm

Trang 1
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Bài 4:
1 hộp có 6 bi đỏ 4 bi xanh, lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, tìm xác suất bi lấy ra là bi
đỏ.
Giải:
« Số kết quả đồng khả năng xảy ra là:
« Gọi A là biến cố bi lấy ra là bi đỏ.
« Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra là:
« Xác suất bi lấy ra là bi đỏ là:
Bài 5:
Một hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh lấy ngẫu nhiên ra 4 bi. Tìm xác suất 4 bi lấy ra có
2 bi đỏ và 2 bi xanh.
Giải:
« Số kết quả đồng khả năng xảy ra là:
« Gọi A là biến cố 4 bi lấy ra có 2 bi đỏ và 2 bi xanh:
« Vậy
Bài 6:
Một người mua 1 vé số có 5 chữ số tìm xác suất:
a) Để người đó trúng giải 8?
b) Để người đó trúng giải khuyến khích?
Giải:
Mỗi vé số có 5 chữ số là 1 chỉnh hợp lặp chập 5 từ 10 phần tử (0,1,… ,9), vậy
số vé số có 5 chữ số là:
Mua 1 vé số kết quả đồng khả năng xảy ra là 100.000
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 2
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG

a) Gọi A là biến cố người đó trúng giải 8, giả sử giải tám là ab, khi đó các vé
trúng giải tám là xyzab ứng với 1 chỉnh hợp lặp chập 3 : x,y,z từ 10 phần tử
(0,1,… 9), vậy số vé số trúng giải tám là:
« Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra là 1000.
« Vậy
b) Gọi B là biến cố người đó trúng giải khuyến khích.
 Giả sử giải đặc biệt là: abcde
 Các vé trúng giải khuyến khích:
• xbcde (x#a) có 9 vé.
• axcde (x#b) có 9 vé.
• abxde (x#c) có 9 vé.
• abcxe (x#d) có 9 vé.
• abcdx (x#e) có 9 vé.
« Số vé trúng giải khuyến khích là: 9.5 = 45
« Vậy số kết quả thuận lợi cho B xảy ra là 45
« Vậy
Bài 7:
Hai người A và B hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm trong khoảng thời gian từ 8h đến
9h, người đến trước đợi người kia quá 15’ bỏ đi, tìm xác suất để A, B gặp nhau.
Giải:
Quy gốc thời gian về 8h.
• Gọi x,y lần lượt là thời điểm tới điểm hẹn (đơn vị phút) của A và B, khi đó
, .
• Mỗi kết quả đồng khả năng là cặp x,y với đó , .
• Khi đó không gian mẫu các kết quả đồng khả năng.
là miền phẳng giới hạn bởi hình vuông OCDE.
• Số đo ( diện tích (OCDE) = 60
2
• Gọi F là biến cố A và B gặp nhau, khi đó mỗi phần tử của F là cặp (x,y) sao
cho khoảng cách giữa

Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 3
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Vậy là miền phẳng giới hạn bởi đa giác lồi
OIJDLM.
Số đo (F) = diện tích (OIJDLM) = 60
2
– 2.
Bài 8:
Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh lấy cùng lúc ra 3 bi, tìm:
a) Xác suất 3 bi lấy ra cùng màu.
b) Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ.
Giải:
a) Gọi A là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi đỏ.
B là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi xanh.
C là biến cố 3 bi lấy ra cùng màu.
Khi đó , hai biến cố A, B xung khắc nên:
Ta có:
Vậy
b) Gọi D là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ.
Cách 1
Gọi là biến cố đối lập của biến cố D, tức là biến cố 3 bi lấy ra đều là xanh.
Khi đó
Vậy
Cách 2
Gọi A
i
là biến cố 3 bi lấy ra đều đúng i bi đỏ (i = 1,2,3), khi đó:
các biến cố A

1
, A
2
, A
3
xung khắc từng đôi nên:
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 4
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Trong đó:
Bài 9:
Trong 1 kho chứa tivi có số liệu
chọn ngẫu nhiên 1 TV để kiểm tra, tìm xác suất để TV chọn ra là TV Sony hoặc TV
45 inches.
Giải:
Gọi A là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV sony.
B là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV 45 inches.
C là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV sony hoặc 45 inches.
Khi đó ; hai biến cố A và B độc lập nên
Từ bảng số liệu:
Vậy
Bài 10:
Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy lần lượt từng bi 1 cho tới khi lấy được 2
bi xanh thì thôi, tìm xác suất để lấy đến viên thứ 3 thì thôi.
Giải:
Gọi A
i

là biến cố lấy được bi xanh ở lần thứ i (i = 1,2,3)

là biến cố đối lập với biến cố A
i
(i = 1,2,3)
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 5
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
A là biến cố lấy đến viên thứ 3 thì thôi.
Khi đó: , hai biến cố , xung khắc nên:
•
•
Vậy
Bài 11:
Một người nhặt được 1 thẻ ATM có số PIN 6 chữ số, người đó giao dịch với
máy ATM cho tới khi giao dịch được hoặc bị thu thẻ thì thôi.
Tìm xác suất người đó giao dịch được.
Giải:
Gọi A là biến cố người đó giao dịch được.
là biến cố đối lập với biến cố A, tức là biến cố người đó bị thu thẻ.
Khi đó: nên
Ta có:
Vậy
Bài 12:
Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hỏng của bộ phận 1, bộ
phận 2, bộ phận 3 trong khoảng thời gian t tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3
a) Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t cả 3 bộ phận đều hỏng.
b) Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t có ít nhất 1 bộ phận hỏng.
c) Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t có đúng 1 bộ phận hỏng.
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 6

Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Giải:
a) Gọi A
i
là biến cố bộ phận i bị hỏng trong khoảng thời gian t (i = 1,2,3)
là biến cố đối lặp với biến cố A
i
(i = 1,2,3)
Gọi A là biến cố cả 3 bộ phận đều hỏng, khi đó A = A
1
A
2
A
3
; các biến cố A
1,
A
2,
A
3
độc
lập nên:
b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 bộ phận hỏng
Cách 1:




Vậy

Cách 2:
Gọi là biến cố đối lặp với biến cố B, khi đó:
các biến cố độc lập nên:
Vậy
c) Gọi C là biến cố có đúng 1 bộ phận bị hỏng, khi đó:
các biến cố xung khắc từng đôi nên
ta có
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 7
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Vậy
Bài 13:
Một nhà máy có 3 phân xưởng; phân xưởng 1, phân xưởng 2 , phân xưởng 3
sản xuất 1 lượng sản phẩm tương ứng 30%, 50%, 20%, biết tỷ lệ phế phẩm do phân
xưởng 1, phân xưởng 2 , phân xưởng 3 sản xuất tương ứng là 2%, 3%, 4%.
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy. Tìm xác suất sản phẩm lấy ra là phê
phẩm từ đó suy ra tỉ lệ phế phẩm của nhà máy.
Giải:
Gọi A
i
là biến cố sản phẩm lấy ra do phân xưởng i sản xuất (i = 1,2,3)
p(A
1
) = 30% = 0,3
p(A
2
) = 50% = 0,5
p(A
3

) = 20% = 0,2
Các biến cố A
1
, A
2
, A
3
hệ đầy đủ
Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm, áp dụng công thức xác suất toàn phần
ta có:
trong đó:
Vậy p(A) = 0,029 = 2,9%
Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy p = p(A) = 2,9%
Bài 14:
Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp 2 có 5 bi đỏ 3 bi xanh. Lấy
ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 rồi sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi.
a) Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ.
b) Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ, tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 1 có 1 bi đỏ và
1 bi xanh.
Giải:
Gọi A
i
là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 có i bi đỏ (i = 1,2)
Các biến cố A
1
, A
2
, A
3
tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần
ta có:
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 8
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
ta có:
Vậy
Áp dụng công thức Bayes ta có:
Bài 15:
Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp 2 có 5 bi đỏ 3 bi xanh. Lấy
ngẫu nhiên 1 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 rồi sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi.
Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ.
Giải:
Gọi A
1
là biến cố bi lấy từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 là bi đỏ.
A
2
là biến cố bi lấy từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 là bi xanh.
Hai biến cố A
1
, A
2
tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần
ta có:
Vậy
Bài 16:
Nguyễn Phan Thanh Lâm

Trang 9
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Một thùng sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính và 5 phế phẩm.
Trong qúa trình vận chuyển bị mất 2 sản phẩm không rõ chất lượng, ta lấy ngẫu nhiên
2 sản phẩm trong 18 sản phẩm còn lại.
a) Tìm xác suất 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
b) Biết 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm, tìm xác suất để 2 sản phẩm bị mất có
1 chính và 1 phế phẩm.
Giải:
a) Gọi A
i
là biến cố 2 sản phẩm bị mất có i chính phẩm (i = 0,1,2)
Gọi A là biến cố 2 sản phẩm lấy ra là chính, áp dụng công thức xác suất toàn
phần ta có:
Vậy
b) Áp dụng công thức Bayes:
Bài 17:
Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả mới và 4 quả đã sử dụng.
+ Lần 1 lấy ngẫu nhiên 1 quả thi đấu xong bỏ lại.
+ Lần 2 lấy ngẫu nhiên 2 quả thi đấu.
Tìm xác suất 2 quả lấy ra đều mới.
Giải:
Gọi A
1
là biến cố quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 1 là quả mới.
là biến cố quả bong bàn lấy ra thi đấu lần 1 là quả đã sử dụng.
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 10
Bài tập xác suất xác suất thống kê

GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Gọi A là biến cố 2 quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 2 là quả mới, áp dụng công thức
xác suất toàn phần ta có:
trong đó:
Vậy
Bài 18:
Có 2 chiếc hộp hình thức giống nhau
+ Hộp 1 có 7 bi đỏ và 3 bi xanh.
+ Hộp 2 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh.
Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 bi.
a) Tìm xác suất 2 bi lấy ra là 2 bi đỏ.
b) Biết 2 bi lấy ra là 2 bi đỏ, tìm xác suất để 2 bi đó là 2 bi đỏ thuộc hộp 1.
Giải:
a) Gọi A
i
là biến cố hộp chọn ra là hộp i (i = 1,2).
hai biến cố A
1
, A
2
tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra là bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Vậy
b) Áp dụng công thức Bayes ta có:
Bài 19:
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 11
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Một thiết bị có 2 bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hỏng của bộ phận thứ i là 0,i;

Nếu có đúng 1 bộ phận bị hỏng thì xác suất thiết bị bị hỏng là 0,6; nếu cả 2 bộ phận bị
hỏng thì thiết bị chắc chắn bị hỏng.
a) Tìm xác suất để thiết bị bị hỏng.
b) Tìm xác suất có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng.
Giải:
a) Gọi A
i
là biến cố bộ phận thứ i bị hỏng (i = 1,2)
là biến cố đối lập với biến cố A
i
Gọi B
i
là biến cố trong 2 bộ phận có i bộ phận hỏng (i = 0,1,2)
ta có là 2 biến cố đối lập nên:
; hai biến cố xung khắc nên
Hai biến cố nên:
ta có A
1
A
2
là 2 biến cố đối lập nên:
Các biến cố B
0
, B
1
, B
2
tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là biến cố thiết bị bị hỏng, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Vậy

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 bộ phận hỏng,
là biến cố đối lập với biến cố B, tức là biến cố 2 bộ phận không hỏng.
, ta có là 2 biến cố độc lập.
Bài 20:
2 quả tên lửa bắn vào 1 mục tiêu độc lập, xác suất để quả thứ 1 và thứ 2 bắn
trúng mục tiêu là 0,6; 0,7. Nếu có 1 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bị diệt với xác
suất là 0,8, nếu cả 2 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt.
Tìm xác suất mục tiêu bị tiêu diệt.
Giải:
Gọi A
i
là biến cố có quả tên lửa thứ i bắn trúng mục tiêu (i = 1,2)
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 12
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
là biến cố đối lập với biến cố A
i
Ta có :
Gọi B
i
là biến cố trong 2 quả tên lửa có i quả tên lửa bắn trúng mục tiêu (i = 0,1,2).
, hai biến cố độ lập nên
; hai biến cố xung khắc nên
các biến cố độc lập nên
; hai biến cố độc lập nên
Các biến cố B
0
, B
1

, B
2
tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là biến cố mục tiêu bị tiêu diệt, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
trong đó:
Vậy
Bài 21:
Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 5 bi đỏ và 3 bi xanh, hộp 2 có 4 bi đỏ và 2 bi xanh,
lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 bi và hộp 2 ra 1 bi.
a) Tìm xác suất để 3 bi lấy ra đều màu đỏ.
b) Trong 3 bi lấy ra, lấy ngẫu nhiên 2 bi, tìm xác suất 2 bi lấy ra là bi đỏ.
Giải:
a) Gọi A
i
là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 1 có i bi đỏ (i = 0,1,2)
Gọi B
i
là biến cố bi lấy ra từ hộp 2 có i bi đỏ (i = 0,1)
Gọi A là biến cố 3 bi lấy ra đều màu đỏ, A=A
2
.B
1
; hai biến cố A
2
, B
1
độc lập nên
b) Gọi C
i
là biến cố 3 bi lấy ra có i bi đỏ (i = 0,1,2,3)

; hai biến cố độc lập nên
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 13
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
; hai biến cố xung khắc nên
các biến cố nên
; Hai biến cố xung khắc nên
; các biến cố độc lập nên
Các biến cố C
0
, C
1
, C
2
, C
3
, tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi B là biến cố 2 bi lấy ra từ 3 bi đó là 2 bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần
ta có:
trong đó
Vậy
Bài 22:
Một đề thi trắc nghiệm có 20 câu, trong đó mỗi câu có 5 cách trả lời và chỉ có 4
cách đúng. Sinh viên A không học bài làm bài 1 cách nhẫu nhiên, tìm xác suất sinh
viên A làm đúng 12 câu.
Giải:
• Xác suất sinh viên làm đúng 1 câu là:
• Bài toán thỏa mãn giả thiết định lý Becnuli với n = 20, p = 0,2, xác suất để sinh
viên làm đúng 12 câu là:

Bài 23:
Một giá súng có 10 cây súng cùng loại, trong đó có 6 cây loại 1 và 4 cây loại 2.
Sạ thủ bắn trúng đích ở mỗi phát với súng loại 1 và loại 2 tương ứng là 0,8; 0,6. Xạ
thủ A chọn ngẫu nhiên 1 cây và bắn 5 phát, tìm xác suất có đúng 3 phát trúng.
Giải:
Gọi A
i
là biến cố xạ thủ chọn súng loại i (i = 1,2)
ta có 2 biến cố A1, A
2
hệ đầy đủ
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 14
Bài tập xác suất xác suất thống kê
GVHD: NGUYỄN NGỌC SIÊNG
Gọi A là biến cố xạ thủ bắn 5 phát trúng 3 phát, áp dụng công thức xác suất toàn phần
ta có:
Nếu xạ thủ a chọn súng loại 1 ta có lược đồ Becnuli n = 5, p = 0,8
Nếu xạ thủ a chọn súng loại 2 ta có lược đồ Becnuli n = 5, p = 0,6
Vậy
Nguyễn Phan Thanh Lâm
Trang 15