Tich vo huong cua 2 vecto

TRệễỉNG THPT NGUYEN THề MINH
TRệễỉNG THPT NGUYEN THề MINH
KHAI
KHAI
Giaựo Vieõn: Nguyeón Bỡnh Sụn
Giaựo Vieõn: Nguyeón Bỡnh Sụn






Xác định góc giữa 2 vectơ.
Định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ.

A
B
Quan sát 2 chiếc xe cùng cân nặng dịch chuyển từ A
đến B dưới tác động của lực F (cùng độ lớn) theo 2
phương khác nhau.
2
F
Vì sao xe 1 chuyển động chậm hơn xe 2 ????
A
B
1
F

A
B
A
B
Một nguyên nhân là do góc tạo bởi lực F của xe 1
tạo với phương ngang lôùn hơn của xe 2, nên công do
F sinh ra ở xe 1 nhỏ hơn công sinh ra ở xe 2.
1
F
2
F




Hãy xác định góc giữa 2 vectơ
a
r
và
b
r
trong các
hình dưới đây:
a
r
b
r
Hình 1
a

r
b
r
Hình 2
Góc giữa 2 vectơ
a
r
và
b
r
ký hiệu là
( )
a,b
r r




a
r
b
r
Hình 1
x
y
O
Góc giữa 2 vectơ
a
r
và

b
r
là góc giữa 2 tia Ox, Oy.
Chọn O là điểm đầu của 2 vectơ.




a
r
b
r
O
B
A
•
Góc
·
AOB
là góc giữa 2 vectơ
a
r
và
b
r
.
Hình 2
Chọn O trùng với điểm đầu của
a
r

O
O




a
r
b
r
Hình 2
O
B
A
•
Góc
·
AOB
là góc giữa 2 vectơ
a
r
và
b
r
.
Chọn O trùng với điểm đầu của
b
r
A
A

a
r
b
r
O
•
Lấy điểm O tùy ý.
Trong mặt phẳng,
•
Dựng
OA a;OB b= =
uuur r uuur r
•
Góc
·
AOB
là góc giữa 2 vectơ
a
r
và
b
r
.
A
B
a

r
b
r
Hình 2
Trong 3 cách dựng vừa nêu, góc giữa 2
vectơ
a
r
và
b
r
có thay đổi không khi
vị trí điểm O thay đổi




O
A
B
CD
I
K
N
M
Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi I, K, M, N lần lượt
là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Xác định các góc sau ?
( )
AB,IK

uur uur
( )
BC,OM
uur uuur
( )
CD,MC
uuur uuur
( )
KM,OK
uuur uuur
( )
ON,BC
uuur uur
= 45
0
= 0
0
= 180
0
= 135
0
= 90
0




O
A
B

CD
Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi I, K, M, N lần lượt
là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Xác định góc sau ?
( )
AB,IK
uur uur
K
N
M
= 45
0
I




O
A
B
CD
Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi I, K, M, N lần lượt
là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Xác định góc sau ?
( )
BC,OM
uur uuur
= 0
0
I

K
N
M




O
A
B
CD
Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi I, K, M, N lần lượt
là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Xác định góc sau ?
( )
CD,MC
uuur uuur
= 180
0
I
K
N
M




O
A
B

CD
Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi I, K, M, N lần lượt
là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Xác định góc sau ?
( )
KM,OK
uuur uuur
I
K
N
M
= 135
0




O
A
B
CD
Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi I, K, M, N lần lượt
là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Xác định góc sau ?
( )
ON,BC
uuur uur
I
K
N

M
= 90
0




cùng hướng ⇔
Hai vectơ và có quan hệ gì thì góc của chúng
lần lượt là 0
0
? ,180
0
? ,90
0
?
a
r
b
r
( )
0
a,b 0=
r r
và
a
r
b
r


ngược hướng ⇔
( )
0
a,b 180=
r r
và
a
r
b
r


vuông góc ⇔
( )
0
a,b 90=
r r
và
a
r
b
r






Tích vô hướng của 2 vectơ

a 0≠
r r
và
b 0≠
r r
ký hiệu
là một số được tính bằng:
a.b
r r
( )
a.b a . b .cos a,b=
r ur r ur r ur
•
Nếu
a 0=
r r
hoặc
b 0=
r r
thì
a.b =
r r
0




Cho ∆ABC đều cạnh a, trọng tâm G, I là trung điểm
BC. Tính các tích vô hướng sau:
A

B
C
G
I
AB.AG
uur uuur
AG.AI
uuur uur
IB.IC
uur uur
GB.AC
uuur uur
2
a
4
=
2
a
2
=
2
a
4
= −
= 0
BC.BC
uur uur
= a
2
( )

=
r r r r r r
a.b a . b .cos a,b




Cho ∆ABC đều cạnh a, trọng tâm G, I là trung điểm
BC. Tính các tích vô hướng sau:
A
B
C
G
I
AB.AG
uur uuur
= AB.AG.cos30
0
2 a 3 3
a. . .
3 2 2
 
=
 ÷
 
2
a
2
=

Cho ∆ABC đều cạnh a, trọng tâm G, I là trung điểm
BC. Tính các tích vô hướng sau:
A
B
C
G
I
= AG.AI.cos 0
0
2 a 3 a 3
. .
3 2 2
 
=
 ÷
 
2
a
2
=
= AG.AI
AG.AI
uuur uur

Cho ∆ABC đều cạnh a, trọng tâm G, I là trung điểm
BC. Tính các tích vô hướng sau:
A
B
C
G
I
IB.IC
uur uur
= IB.IC.cos180
0
a a
.
2 2
= −
2
a
4
= −
= −IB.IC




Cho ∆ABC đều cạnh a, trọng tâm G, I là trung điểm
BC. Tính các tích vô hướng sau:
A
B
C
G

I
GB.AC
uuur uur
= GB.AC.cos90
0
= 0




Cho ∆ABC đều cạnh a, trọng tâm G, I là trung điểm
BC. Tính các tích vô hướng sau:
A
B
C
G
I
BC.BC
uur uur
= BC.BC.cos0
0
= BC
2
= a
2




Cho

a 0≠
r r
và
b 0≠
r r
•
Công thức tính tích vô hướng của 2 vectơ:
a.b =
r ur
•
Nếu
a
r
và
b
r
cùng hướng thì
a.b =
r r
•
Nếu
a
r
và
b
r
ngược hướng thì
a.b =
r r
•

Nếu
a
r
và
b
r
vuông góc thì
a.b =
r r
a . b
r r
a . b−
r r
0
•
Nếu
a b=
r r
thì
2
a.a a . a a= =
r r r r r
Ký hiệu:
2
2
a a=
r r
gọi là bình phương vô hướng của
a
r

a.b =
r r
( )
a . b .cos a,b
r ur r ur




Ghi nhí
a.b =  a . b cos(a,b).
3.TÝnh chÊt cña tÝch v« h íng
•
a. b = b. a ( t/c giao ho¸n )
•
a.(b + c ) = a.b + a.c (t/c ph©n phèi)
•
( k a ). b = k ( a.b ) = a.(k b);
•
a
2
≥ 0 , a
2
= 0  a = 0
NhËn xÐt:
(a + b )
2
= a
2
+ 2a.b + b

2
( a - b )
2
= a
2
- 2a.b + b
2
( a + b ). (a - b ) = a
2
- b
2
Giống
tích 2
số quá
chừng