Rut gon bieu thuc chua CBH, CBB - BD HSG

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ

ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ

ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố









Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn

: 15/09/11




Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 20/09/11

Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 4
44
4

Rút gọn và tính giá trị biểu thức
Buổi 1
Các phép tính về căn thức - rút gọn biểu thức










A/Mục tiêu

Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Thực hiện thành thạo các phép tính về căn thức
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng biến đổi, rút gọn và trình bày
- Rèn luyện khả năng t duy, sáng tạo, linh hoạt của học sinh
Thái độ
- Học sinh tích cực, chủ động
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:


- HS:

Ôn tập các công thức biến đổi căn thức bậc hai
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức

-

- sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số



II.

Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
(15 phút)
- Yêu cầu HS viết các công thức tổng quát về biến đổi căn thức bậc hai ?
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(120 phút)
A - Các phép tính về căn thức

I - Lí thuyết
*) Các công thức biến đổi căn thức
1)
2
A A
=

2)
AB A B ( với A 0 và B 0)
=

3)
A
A
(với A 0 và B > 0)
B
B
=

4)
2
A B A B (với B 0)
=

5)
2
A B A B (với A 0 và B 0)
=

2
A B A B (với A < 0 và B 0)
=

6)
A 1
AB (với AB 0 và B 0)
B
B
=

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

7)
A B

A
(với B > 0)
B
B
=

8)
(
)
2
2
C A B
C
(với A 0 và A B )
A B A B
=



9)
(
)
C A B
C
(với A 0 , B 0 và A B)
A B
A B
=

*) Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai ta làm nh sau :
- Quy đồng mẫu số chung (nếu có)
- Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , theo thứ

tự đã biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng
- Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng)
II Bài tập vận dụng
*) Bài tập 1: Tính M =
4 7 4 7
+

Hớng dẫn:
Cách 1:
2
8 2 7 7 2 7 1 7 1
4 7
2 2
2

+ + + +
+ = = =




Tơng tự

2
7 1
4 7
2


=




Từ đó tìm đợc M =
7 1 7 1
2
2
2 2 2
+
= =

Cách 2: Tính M
2
, sau đó tính M
Cách 3: Sử dụng công thức căn phức tạp
2 2
A A B A A B
A B
2 2
+
=
*) Bài tập 2: Rút gọn biểu thức M =

7 3 7 3
7 2
+


Hớng dẫn: Tơng tự bài tập 1 ta tính M
2
= 2 => M =
2
(M > 0)
*) Bài tập 3: Cho hai số có tổng bằng
19
và có hiệu bằng
7
. Tìm tích
của hai số đó
Hớng dẫn:
Giả sử hai số có tổng bằng
19
và có hiệu bằng
7
là a và b, ta có
a + b =
19
và a - b =
7
.


Trờng THCS Hồng Hng

Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi

ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần

nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố









Ta tìm đợc a =
19 7
2
+
và b =

19 7
2


Thực hiện tính a.b = 3
*) Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau
a) A =
6 2 2 3 4 2 3+ +

b) B =
5 3 29 12 5


c) C =
(
)
(
)
3 5 . 10 2 3 5
+
Hớng dẫn:
(
)
(
)
a) 6 2 2 . 3 3 1 6 2 2 2 3 6 2 4 2 3
6 2 3 1 4 2 3 3 1
+ + = + = +
= + = + = +

b) Tơng tự B = 1
c) Tơng tự : C = 8
*) Bài tập 5: Thực hiện các phép tính sau
a) A =
13 6 4 9 4 2+ +

b)B =
31 2 . 6 5 2 . 3 3 5 2 . 3 3 5 2+ + + + + + + +

Hớng dẫn:
a) A =
(
)
2
13 6 4 2 2 1 13 6 2 1 19 6 2 3 2 1
+ + = + + = + = +

b) Trớc hết tính
3 3 5 2 . 3 3 5 2+ + + + +

=
9 3 5 2 6 5 2

+ + = +



=> B =
31 2 . 6 5 2
+ + +

.
6 5 2
+

31 2 31 2 959
= + =

*) Bài tập 6: Tính giá trị biểu thức
A =
2
15a 8a 15 16
+
với a =
3 5
5 3
+

Hớng dẫn:
Trớc hết thu gọn biểu thức A =
a 15 4


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Tính a =
8 15

15
; Từ đó tìm đợc A =
8 15
15 4 8 4 4
15
= =

*) Bài tập 7: Tính các tổng sau
a) A =
1 1 1

1 2 2 3 99 100
+ +
+ + +

b) B =
1 1 1

1 5 5 9 2001 2005
+ +
+ + +

Hớng dẫn:
a) Trục căn thức ở mẫu của mỗi số hạng, tính đợc A = -1 +
100 9
=

b) Trục căn thức ở mẫu của mỗi số hạng, tính đợc B =
2005 1
4

*) Bài tập 8: Tính các tổng sau
Cho A =
1 1 1

1 2 2 3 120 121
+ + +
+ + +

Và B =
1 1 1

1 2 35
+ + +
Chứng minh : A < B
Hớng dẫn:
Để tính A ta sẽ trục căn thức ở mẫu của mỗi số hạng rồi khử liên tiếp đợc A
= 10
Để tính B ta biến đổi nh biểu thức A bằng phơng pháp làm giảm

( )
2 2 2 2
B
2 1 2 2 2 3 2 35
2 2 2 2
B
1 1 2 2 3 3 35 35
1 1 1 1
B 2( )

1 2 2 3 3 4 35 36
B 2( 2 1 3 2 4 3 35 34 36 35 )
B 2. 6 1 10
= + + + +
= + + + +
+ + + +
> + + + +
+ + + +
> + + + + +
> =

Vậy A < B
*) Bài tập 9: Chứng minh rằng
( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b a b
a b
a b
+ + = +
+
+

áp dụng tính M =
2
2
2
999 999
1 999
1000

1000
+ + +

Hớng dẫn:
Bình phơng hai vế ta đợc đpcm, áp dụng tính M nh sau:


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án

nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

( )
( )
2
2 2 2
999
1 1 1
M 999
1000
999 1
999 1
999
1 1 1
M 999
999 1 1000 1000
999 999
M 1 999 1000
1000 1000


= + + +

+

= + +
= + + =

*) Bài tập 10:
Rút gọn biểu thức A =
(4 15 )( 10 6 ) 4 15
+

Hớng dẫn:
(
)
(
)
(
)
(
)
A 4 15 . 4 15 . 4 15 . 5 3 2
8 2 15 . 16 15 5 3 5 3 5 3 2
= + +
= + = + =

*) Bài tập 11: Chứng minh rằng:
A =
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10
+ + + + = +

Hớng dẫn:
Cách 1: Sử dụng công thức căn phức tạp
2 2
A A B A A B
A B
2 2

+
=


(
)
(
)
2
A 8 40 8 5 8 40 8 5
8 64 40 8 5 8 64 40 8 5
A ( )
2 2
8 64 40 8 5 8 64 40 8 5
( )
2 2
8 2 5 2
8 24 8 5
A 2. 2. 12 4 5
2 2
10 2 10 2
= + + + +
+
= +
+
+
+
+
= = = +
= + = +

Cách 2:
(
)
(
)
2
2
2
A 16 2 64 2 10 2 5 16 2 64 40 8 5
16 2 2 5 2 12 4 5 A 12 4 5 10 2 10 12

= + + = +


= + = + => = + = + = +
B - rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai

I - Lí thuyết
Các bớc thực hiện nh sau:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Bc 1: iu kin biu thc cú ngha (cn thc xỏc nh, mu khỏc
khụng nu bi toỏn cha cho)
Bc 2: Phõn tớch cỏc mu thnh nhõn t (ỏp dng thnh tho cỏc phộp
bin i cn thc)

+ p dng quy tc i du mt cỏch hp lý lm xut hin nhõn
t chung.
+ Thng xuyờn ý xem mu ny cú l bi hoc c ca mu khỏc
khụng.
Bc 3: Tin hnh quy ng rỳt gn, kt hp vi iu kin ca bi
kt lun.
Bc 4: Lm cỏc cõu hi ph theo yờu cu ca bi toỏn.
+ Tuõn th nghiờm ngt cỏc phộp bin i phng trỡnh, bt
phng trỡnh.
+ Kt hp cht ch vi iu kin ca bi toỏn nhn nghim, loi
nghim v kt lun.
II Bài tập
*) Bài tập 1 : (đề thi HSG huyện Gia Lộc năm học 2004 - 2005)

Cho biểu thức B =
2 2
x x x x
x x 1 x x 1
+

+ + +

a) Rút gọn biểu thức A =
1 B x 1
+ +
với
0 x 1


b)

Tìm x để A < 2

Hớng dẫn:
a) Với x
0

=>
(
)
2
3 3
1
x x 1 x 0
2 4 4
+ + = + + >

Và
(
)
2
3 3
1
x x 1 x 0
2 4 4
+ = + >

Vậy để B có nghĩa thì
x 0

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2
2
2
x x x x 1 x x x x 1
B
x 1 x
2 x x x 1
2 x
x x 1
B 2 x (x 0)
+ + + +
=
+
+ +
= =
+ +
=

A =
(
)
2
1 2 x x 1 1 x 1 1 x 1
+ + = =

Vì
0 x 1

=>
x 1

nên A =
x

Tóm lại A =
x
(
0 x 1

)
b) A < 2


x
< 2

x < 4, kết hợp với điều kiện ta có

0 x 4
<



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P

PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

*) Bài tập 2: Cho biểu thức P =
(
)
2 x 3
x x 3 x 3
x 2 x 3 x 1 3 x

+
+
+

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với x =
14 6 5


c) Tìm GTNN của P
Hớng dẫn:
a) Trớc hết chúng ta tìm ĐKXĐ:
x 0,x 9


Khi đó : P =

(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
2
x x 3 2 x 3 x 3 x 1
x 8
x 1
x 1 x 3
+ +
+
=
+
+

b)
(
)
2
x 14 6 5 5 3 x 5 3 3 5
= = => = =

P =
58 2 5
11


c)
x 8 x 1 9 9 9

P x 1 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
+ +
= = = + = + +
+ + + +

=>
P 2 9 2 4
=

Dấu = xảy ra


9
x 1 x 4
x 1
+ = <=> =
+

Vậy min P = 4

x = 4
IV.
Luyện tập
Luyện tập Luyện tập
Luyện tập -

- Củng cố
Củng cố Củng cố
Củng cố

(30 phút)



Bài 1: Rỳt gn cỏc biu thc sau:
a)
A 8 8 20 40
= + + +
b)
15 4 12
B ( 6 11)
6 1 6 2 3 6

= + +

+

.
Hớng dẫn:
a) Cách 1:
2 2
2
A 8 8 20 40 5 2 1 2 2 1 2 5 1 2 2 5
= + + + = + + + + +
.
=
( )
2

5 2 1 5 2 1
+ + = + +
.
Cỏch 2 :
( )
2 2
2
A 8 8 20 40 5 2 5 2 2 5 2 2 2 1 1
= + + + = + + + + +
.
=
( ) ( ) ( )
2 2
2
5 2 5 2 1 2 1 5 2 1
+ + + + = + +
=
5 2 1
+ +

b)
15 4 12
B ( 6 11)
6 1 6 2 3 6

= + +

+

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 6 1 6 1 2 6 2 6 2 4 3 6 3 6
( 6 11)
6 1 6 2 3 6

+ + +

= + +

+


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

(
)
(
)
(
)
3 6 1 2 6 2 4 3 6 ( 6 11)

= + + + +

=
( 6 11)

( 6 11)
+
=-115.
Bài 2: Thu gn:
a)
2 3 6 8 4
P
2 3 4
+ + + +
=
+ +
; b)
3 5 3 5
Q
10 3 5 10 3 5
+

=
+ + +

c)
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
R
+
= +
+ +
; d)
S 4 7 4 7 2
= +

Hớng dẫn:
a)
2 3 6 8 4 2 3 2 6 8 2
P
2 3 4 2 3 4
+ + + + + + + + +
= =
+ + + +

=
6 8 2
1
2 3 4
+ +
+
+ +

=
(
)
2 2 3 2
1
2 3 4
+ +
+
+ +
= 1 +
2
.
b)
3 5 3 5
Q
10 3 5 10 3 5
+
=
+ + +

(
)
(
)
2 3 5 2 3 5
2 5 6 2 5 2 5 6 2 5
+
=
+ + +

(
)
(
)
2 3 5 2 3 5
3 5 1 3 5 1
+
=
+
=
(
)
( )
(
)
( )
2 2
2 8 5 12 2 8 5 12
3 5 1 3 5 1
+
=


6 2
11
=

c)
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2

R
+
= +
+ +

2( 3 3) 2( 3 3)
4 2 3 4 4 2 3 4
+
= +
+ +


2( 3 3) 2( 3 3)
3 1 4 3 1 4
+
= +
+ +

2 2
2( 3 3) 2( 3 3)
3 9
+ +
=


24 2
4 2
6
= =

d) Nhân cả hai vế với
2
. Kết quả: S = 0
Bài 3: Tớnh giỏ tr ca biu thc:
a)
(
)
2
3 5 3 5
A = +
b)
227 30 2 123 22 2
+ +

Hớng dẫn:
a)
(
)
2
3 5 3 5
A = +
= 6 -
(
)
(
)
2 3 5 3 5
+
= 2

b)
227 30 2 123 22 2
+ + =
( ) ( )
2 2
15 2 11 2
+ +
= 26.
V.
Hớng dẫn về
Hớng dẫn về Hớng dẫn về
Hớng dẫn về nhà
nhànhà
nhà
(15 phút)
- Xem lại các bài đã chữa
- Giải các bài tập sau:
Bài 1: Thực hiện các phép tính
1)
2 2
2 2
149 76
457 384



6)
9 4 5 9 80
+

7)
243754832 +



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P

PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

2)
34
1
23
1
12
1
+
+
+
+
+

3)
1 33 1
48 2 75 5 1
2 3
11
+

4)
0a Với
+ a49a16a9

5)
a a b
ab
b b a
+ +

8)
246223 +

9)
222.222.84 ++++


8 2 2 2 3 2 2
10)
3 2 2 1 2
+ +
+


11)
6 11 6 11
+



Bài 2: Cho biểu thức A =
2 1
1 1 1
x x
x x x x x

+
+ +

+ +

:
2
1x

a. Tìm điều kiện xác định.
b. Chứng minh A =
1
2
++ xx

c. Tính giá trị của A tại x = 8 -
28

d. Tìm max A.
Bài 3: Cho biểu thức P =
n4
4n4
2n
1n
2n
3n


+
+

+
( với n

0 ; n
4

)
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với n = 9
Bài 4: Cho biểu thức M =
2
( ) 4
a b ab a b b a
a b ab
+

+
( a , b > 0)
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm a , b để M = 2
2006

D/Bổ sung




*******************************

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 22/09/11




Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 27/09/11

Chủ đề
Chủ đềChủ đề

Chủ đề

4
44
4

Rút gọn và tính giá trị biểu thức
Buổi 2
Luyện tập










A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Thực hiện thành thạo việc rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết bài tập tổng hợp, chứng
minh đẳng thức , . . .
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng biến đổi, rút gọn và trình bày
- Rèn luyện khả năng t duy, sáng tạo, linh hoạt của học sinh
Thái độ
- Học sinh tích cực, chủ động

- có ý thức tự giác trong học tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:


- HS:


C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số

II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
(15 phút)
- HS1:

Giải bài tập 2 đã cho ở buổi học trớc
- HS2:

Giải bài tập 3 đã cho ở buổi học trớc
- HS2:

Giải bài tập 4 đã cho ở buổi học trớc

III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(80 phút)
*) Bài tập 1: Cho biểu thức

x 2
x 3
1 2
P
x x 1 x 1 2 2 x 2x x

+

=





a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với x =
3 2 2

Hớng dẫn:
Nhân tử thứ nhất không nên quy đồng mẫu mà ta cần trục căn thức ở
mỗi mẫu
, nhân tử thứ hai ta quy đồng mẫu, từ đó ta thu đợc kết quả rất nhanh
chóng đỡ phải tính toán phức tạp

a) ĐKXĐ:
x 1,x 2,x 3




Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn

n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

( )
(
)
(
)
x 3 x 1 2
x x 1 2 x x 2
P
1 x 3
x 2 x

+

+
=






(
)
(
)
x 2 2 x
P x 2
x

x 2 x

= =


(
)
(
)
2
b)x 3 2 2 2 1 x 2 1
2 2 1
1
P 2 1
2 1 2 1
= = => =

= = = +


*) Bài tập 2: Cho biểu thức
2x x 1 2x x x x
1 1
P :
1 x
1 x x 1 x x

+ +
= +

+


a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với x =
7 4 3

c) Chứng minh P > 1
Hớng dẫn:
a) ĐKXĐ:
x 0,x 1


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1
x 1 x
P :
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x
x 2 x 1

2 x 1 2 x 1
P :
1 x 1 x x
x 1 x
2 x 1 x
1
P : 2 x 1
1 x 1 x x
x 1 x
2 x 1 1 x x x x
P : 2 x 1 .
x 1 x 1 x 1 x x
1 x 1 x x
2 x 1
P .
2 x 1
x 1 x

+ +

+
= +

+ + +

= +

+






= +




+





+ +
=

+


+

= =

1 x x
x
+

b)
(
)
2
x 7 4 3 2 3 x 2 3
= = => =
Thay số ta tìm đợc P = 3
c)
1 x x
1 1
P x 1 2 x 1 2 1 1
x x x
+
= = + = =

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Do đó
P 1

, dấu = xảy ra

1
x
x
=

x = 1
Nhng x = 1 không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy P > 1
*) Bài tập 3: Cho x, y, z > 0
và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của
biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y
x z
P
x y x z y z y x z x z y
= + +

Hớng
dẫn:
Ta quy đồng với mẫu thức chung là
(
)
(
)
(
)
x y y z z x


Kết quả: P = 1
Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến
*) Bài tập 4: Cho biểu thức
x 2
5
1
P
x 2 x x 6 3 x

=
+

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của P
Hớng dẫn:
a) ĐKXĐ:
x 0,x 9

Mẫu thức chung
(
)
(
)
x 2 x 3
+
, kết quả : P =
x 4
x 2
+
+

b) P= 1 +
2
x 2
+

Pmax


2
x 2
+
max

(
x 2
+

)min

x = 0
Lúc đó Max P = 2
*) Bài tập 5: Cho biểu thức
P =
x y x y
x y 2xy
: 1
1 xy
1 xy 1 xy

+
+ +


+ +




+


a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với x =
2
2 3
+

c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Hớng dẫn:
a) ĐKXĐ:
x 0,y 0,xy 1


Kết quả: P =
2 x
x 1
+

b) x =
2
2 3
+
=
(
)
2
3 1
. Từ đó ta tính đợc P =
6 3 2
13
+



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố









c) Ta có: x + 1
1

=> P =
2 x
x 1
1 (theo cô - si)

x 1 x 1
+
=
+ +

Dấu = xảy ra

x = 1 và y
1

, y
0


Vậy max P = 1

x = 1 và y
1

, y
0


*) Bài tập 6: Cho biểu thức
y
x 2 z
P
xy x 2 yz y 1 zx 2 z 2
= + +
+ + + + + +

Biết xyz = 4, tính
P

Hớng dẫn:
ĐKXĐ: x, y, z
0

. Kết hợp với xyz = 4 ta đợc x, y, z > 0 và
xyz 2
=

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với
x
, thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ ba
bởi
xyz
ta đợc
(
)
xy
x 2 z
P 1
xy x 2 2 xy x
z x 2 xy
= + + =
+ + + +
+ +

Vậy

P
= 1
*) Bài tập 7 : Cho biểu thức
2
2
1 x
1 x 1 1
A 1
x
1 x 1 x x
1 x 1 x


+


= +



+

+


a) Tìm điều kiện để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tính giá trị của A khi
1 1
x hoặc x

2 2

= =

Hớng dẫn:
a) ĐKXĐ:
1 x 1,x 0
<

b)
Với nhân tử thứ nhất ta rút gọn ở số hạng thứ hai, sau đó quy đồng nhân tử
thứ nhất, cuối cùng ta thu đợc kết quả
2 2
1 1 x 1 x
1
A .
x x
x

+

=



Xét hai trờng hợp:
TH1:
1 x 0
<

2
2 2 2
1 1 x 1 x 1 1 x
1
A .
x x x x

+ +

= =




TH2:
0 x 1
< <

Tơng tự A = - 1
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

1
c)x A 1
2
1
x A 7 4 3

2
= => =

= => =

*) Bài tập 8 : Cho biểu thức
D =
(
)
(
)
1 1 x 2
x 3 : x 1 :
x 1 x 1 x
+
+ +


a) Tìm điều kiện của x để biểu thức D xác định
b) Rút gọn D
c) Khi x =
6 20
+
thì D = ?
d) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho D có giá trị nguyên
Hớng dẫn:
a) Biểu thức D xác định


x 0,x 2

x 1
1
x 1 0
x 1








+


<=>
x 0,x 1,x 2


b)
( )( ) ( )
2
2
2
x 3 x 1 1 x 1 1
x 2 x 4x 4 x 1 x
D : : . .
x 1 x 1 x x 1 x 2
x 2x
x 2

x 2

+
+ +

= =
+




=
+

c) x =
6 20
+
=
(
)
2
5 1 5 1
+ = +

=> D =
5 1 2 5 1
5 1 2 5 3
+
=

+ + +

d) D =
x 2 4
1
x 2 x 2

=
+ +

D là số nguyên khi
4
x 2
+
là số nguyên. Muốn vậy x + 2 phải là ớc của 4, cuối
cùng ta tìm đợc các giá trị của x là - 3; - 1; - 4; - 6
*) Bài tập 9 : Cho biểu thức
x 2 x
1
F 1 :
x 1
x 1 x x x x 1

= +


+
+

a) Rút gọn biểu thức F
b) Tìm F = ? khi x =
4 2 3
+

c) Tìm x = ? để F > 1
Hớng dẫn:


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á

áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG

GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

a) Viết lại biểu thức
( )
(
)
x 2 x
1
F 1 :
x 1
x 1
x 1 x 1



= +



+

+




Biểu thức có nghĩa khi

( )
(
)
x 0,x 1 0, x 1 0
2 x
1
0
x 1
x 1 x 1

+






+


, tìm đợc
x 0
x 1






Rút gọn biểu thức F =

x 1 x
x 1
+ +


b) x =
4 2 3
+
=
(
)
2
3 1
+
. Tính đợc F =
3 2 3
+

c) F > 1


x 1 x
x 1
+ +

> 1

x 2
0
x 1
+
>


Vì
x 0 nên x + 2 > 0 . Vậy ta cần có x - 1 >
0 <=> x > 1


Tóm lại x > 1 thì F > 1
*) Bài tập 10 : Cho biểu thức
3 3
3 3
x y x x y y
1 1 2 1 1
A . :
x y
x y x y
x y xy


+ + +


= + + +

+


+
a) Tìm
điều kiện để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Cho xy = 16. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất
Hớng dẫn:
a) ĐK: x > 0, y > 0

(
)
2
1 1 2 1 1 2 1 1
b) .
x y x y
x y x y xy
x y
x 2 xy y
xy xy


+ + + = + +

+

+
+ +
= =

( )
(
)
( )
3 3
3 3
x y x y
x y x x y y x y
xy x y xy
x y xy
+ +
+ + + +
= =
+
+

=> A =
(
)
2
x y
xy x y
.
xy
x y xy
+
+
=
+

c) xy = 16 => A =
2 xy
x y
2. 16
1 (theo cô-si)
16 16 16
+
= =

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Min A = 1 khi
x y 1 x y 1
= = <=> = =

*) Bài tập 11 : Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
3 3
a b a b
ab với a > b > 0
a b
a b

+






(
)
2
1 x x 1 x x
b)B 1 x : x x 1 với x > 0 và x 1
1 x 1 x


+
= + +




+



Hớng dẫn:
a) áp dụng HĐT hiệu hai lập phơng để rút gọn, đợc
a b
+

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )( )
( )
2 2
2
2 2
2
b)Rút gọn biểu thức trong các ngoặc trớc
B 1 x x 1 x 1 1 1 x : x 1 1
1 x 1 x
2
1
1 x
x 1

= + + = +


+
= + =

*) Bài tập 12 : Chứng minh các đẳng thức sau
a)
x 1
1 1
: 1 x 1 với x 0,x 1
x x 1 x x 1 x 1

+
+ + =


+ +


b)
a b 1 a b b b a
a
a ab 2 ab a ab a ab

+
+ + =


+ +


với
a b,a 0,b 0

> >
Hớng dẫn:
a) Rút gọn
1 1
x x 1 x x 1
+
+ +
=
x 1 x 1
+ +

=> A =
(
)
x 1 x 1
x 1 x 1 : x 1
x 1
+ +
+ + =


b) Rút gọn
b b
a ab a ab
+
+
=
2 b
a b

(
)
(
)
(
)
a b 1
1
B
a a b a a b
a b a
1
B
a
a
a a b
+
= +
+ +
+
= = =
+

*) Bài tập 13 : Chứng minh
a)
2
3 4
a ab a a

b a
. 0 với a,b > 0
a b b b
b a
+
+ =
+
+



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS

SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

b)
(
)
a b
1 1 2 1 1
ab 4ab : 1 ab với a, b > 0
b a b a a b ab

+ + + + =



c)
3 2
3 a 2 b a
a b
. với a, b > 0 và a b
a
a b
9a 2 b a a 25b
+

=

+ +

Hớng dẫn:
a) VT =
(
)
2
4
a a b
ab a a
b
.
a b b
b a
+
+

+
+

=
a b a
a a a 0 VP
b a
+
= = =
+
(đpcm)
b) Rút gọn ngoặc thứ nhất ta khử mẫu của biểu thức lấy căn, sau đó cm

(
)
(
)
(
)
(
)
3 a 2 b a b
3a 3 ab 2 ab 2b a
1
c)VT VP
a
a
a 3a 2b 25ab a 3a 2b 5 ab
+ +
+ + +
= = = = =
+ + + +

IV.
Luyện tập
Luyện tập Luyện tập
Luyện tập -

- Giả
Giả Giả
Giải
ii
i đề thi

đề thi đề thi
đề thi


(80 phút)



*) Bài tập 1 :
Đề thi vào THPT thành phố Hồ Chí Minh năm học 2010
Đề thi vào THPT thành phố Hồ Chí Minh năm học 2010 Đề thi vào THPT thành phố Hồ Chí Minh năm học 2010
Đề thi vào THPT thành phố Hồ Chí Minh năm học 2010 -

- 2011
2011 2011
2011

Tính
2 2
5 3
5 2 3 3 5 2 3 3 5
2 2
B

= + + + + +




Hớng dẫn:

2B =
(
)
(
)
2 2
5 4 2 3 6 2 5 5 4 2 3 6 2 5 3
+ + + + +

(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
5 (1 3) ( 5 1) 5 ( 3 1) ( 5 1) 3
= + + + + +

=
(
)
(
)
2 2
5 (1 3) ( 5 1) 5 ( 3 1) ( 5 1) 3
+ + + + +
=
5.3 5 20
+ =
B = 10.

*) Bài tập 2 : Đề thi khảo sát chọn HSG năm học 2009
Đề thi khảo sát chọn HSG năm học 2009 Đề thi khảo sát chọn HSG năm học 2009
Đề thi khảo sát chọn HSG năm học 2009 -

- 2010
2010 2010
2010


Rút gọn biểu thức P =
1 1 1 1
x x x x x
2 4 2 4
+ + + + + + +

Với x =
2
2 2 2 2 2 2
3 5 2.2008 1 3
1
2009 ;x ( )
4 4
1 .2 2 .3 2008 .2009
+
= + + + +

Hớng dẫn: Đặt t =
2
1 1
x t 0;x t

4 4
+ => =
Khi đó P =
2 2 2
1 1 1
t t t t t
4 4 4
+ + + + +

=> P =
1 1
t t (t 0)
2 2
+ +
=>
1
1 (0 t )
2
P
1
2t (t )
2

<

=

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Với x =
2
1
2009
4

thì t = 2009 >
1
2
nên P = 2.2009 = 4018
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3 5 2.2008 1 3
Với x ( )
4
1 .2 2 .3 2008 .2009
3
1 1 1 1 1 1 1 1

4 4
1 2 2 3 2008 2009 2009
+
= + + + +

= + + + + =



Suy ra t =
1 1
2009 2
<
do đó P = 1
*) Bài tập 3 : Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2006
Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2006 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2006
Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2006 -

- 2007
2007 2007
2007


Rút gọn biểu thức
A =
2
2
1 a 1 1 a
1 a
(với - 1 < a < 1)
a
1 a 1 a
1 a a 1

+


+

+
+


Hớng dẫn: Trớc hết rút gọn biểu thức trong ngoặc
(
)
(
)
(
)
2
2 2
1 a
1 a
1 a 1 a
1 a a 1
1 a 1 a 1 a
1 a 1 a
1 a 1 a 1 a
1 a 1 a 1 a 1 a
1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a
1 a 1 a 1 a 1 a
1 a 1 a 2 1 a 1 a 1
1 a 1 a 2a a

+

+
+
+
+
= +
+
+
+ + +
= + =
+ + +
+ + + +
+ + + +
= = =
+ +

Thực hiện phép nhân cho ta kết quả
A =
2
1 a 1
a

.
2
1 a 1
a
+
= - 1
*) Bài tập 4 : Đề thi chính thức chọn HSG

Đề thi chính thức chọn HSG Đề thi chính thức chọn HSG
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Ninh Hòa
huyện Ninh Hòahuyện Ninh Hòa
huyện Ninh Hòa
Cho biu thc
( ) ( )
( )
2
4 1 4 1
1
1
1
4 1
x x x x
Q
x
x x
+ +

=





a) Tỡm iu kin ca x Q cú ngha
b) Rỳt gn biu thc Q
Hớng dẫn: Q cú ngha
1
x

>
v
2
x


( ) ( )
( )
2
4 1 4 1
1
1
1
4 1
x x x x
Q
x
x x
+ +

=





( ) ( )
2
1 2 1 1 1 2 1 1
2

1
4 4
x x x x
x
Q
x
x x
+ + + +

=

+



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá

á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số

ốố
ố









( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 1 1
2
1
2
x x
x
Q
x
x
+ +

=

1 1 1 1
2
2 1
+ +

=

x x
x
x x

*) Nu 1 < x < 2 ta cú:
1 1 1 1 2
2 1
x x x
Q
x x
+ +
=

=
2
1

x

*) Nu x > 2 ta cú:
1 1 1 1 2
2 1
x x x

Q
x x
+ +
=


2
1
=

x

*) Bài tập 5 : Đề thi HSG chính thức cấp tỉnh
Đề thi HSG chính thức cấp tỉnhĐề thi HSG chính thức cấp tỉnh
Đề thi HSG chính thức cấp tỉnh
Cho biểu thức A =
3 2( 3) 3
2 3 1 3
x x x x
x x x x
+
+
+

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Hớng dẫn:
a) ĐKXĐ : x

0 ;

9
x


A =
3 2( 3) 3
( 1)( 3) 1 3
x x x x
x x x x
+

+ +

A =
3 2( 3)( 3) ( 3)( 1)
( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 3)( 1)
x x x x x x
x x x x x x
+ +

+ + +

A =
3 2 12 18 4 3
( 1)( 3)
x x x x x x
x x
+
+

A =
3 8 24
( 1)( 3)
x x x x
x x
+
+
=
( 3)( 8)
( 1)( 3)
x x
x x
+
+
=
8
1
x
x
+
+

b) A =
1 9 1 9 9 9
1 1 2
1 1 1 1 1
x x
x x
x x x x x
+

= + = + = + +
+ + + + +

do
1 0
x
+ >
và
9
0
1x
>
+
áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
9 9
1 2 ( 1). 2 9 6
1 1
x x
x x
+ + + = =
+ +

6 2 4
A

=

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4
9
1

1
+ =
+
x
x

2
( 1) 9 1 3 4( / )
+ = + = =
x x x t m

*) Bài tập 6 : Cho biểu thức B =
2014134126
2345
++ xxxxx

Không dùng máy tính, hy tính giá trị của B khi x=
53
53
+



Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Ta có x =
2
3 5 (3 5) 3 5
2
3 5 (3 5)(3 5)

= =
+ +

2x =
3 5

3 - 2x =
5
x
2
- 3x + 1 = 0
Ta có: B =
2014134126
2345
++ xxxxx

= (x
2
- 3x + 1)(x
3
- 3x
2
+2x +5) +2009
= 0. (x

3
- 3x
2
+2x +5) +2009 = 2009
Vậy khi x=
53
53
+

thì B = 2009
*) Bài tập 7 :
a. Cho
2 2
x 6x 13 x 6x 10 1
+ + =

Hy tính giá trị của
2 2
A x 6x 13 x 6x 10
= + + +

b. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình (x + 2y)(3x + 4y) = 96
Hớng dẫn:
a) Đặt
2
x 6x 13 a
+ =
;
2
x 6x 10 b

+ =

=> a
2
- b
2
= 3
=> (a - b)(a + b) = 3; Ta có a - b = 1 => 1.(a + b) = 3
Vậy
2 2
x 6x 13 x 6x 10
+ + +
= 3
b) Ta có (x + 2y)(3x + 4y) = 96; x + 2y + 3x + 4y = 4x + 6y
Nên (x + 2y) và (3x + 4y) là chẵn;
Mặt khác 2 < x + 2y < 3x + 4y
Vì vậy ta xét 96 = 4.24 = 6.16 = 8.12
Xét các trờng hợp:
+ = =



+ = =

x 2y 4 x 16
(Loại)
3x 4y 24 y 6


+ = =

+ = =

x 2y 6 x 4
(Thỏa mn)
3x 4y 16 y 1

+ = =



+ = =

x 2y 8 x 4
(Loại)
3x 4y 12 y 6

*) Bài tập 8 : Tớnh : A =
5210452104 ++++

Hớng dẫn:
Vỡ
52104 ++
> 0;
52104 +
> 0 A > 0 (1)
A
2

=
52104)52104)(52104(252104 ++++++++

=
52101628 +

=
152528 ++
=
2
)15(28 +

=
1528 +
= 8 + 2
25
=
2
)15( +
(2)


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ

ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố









T (1) v (2) suy ra: A =
15 +

*) Bài tập 9 : Cho biu thc: A =
2
4 4
x x x
+

a. Tỡm iu kin xỏc nh ca biu thc A.
b. Rỳt gn biu thc A.
Hớng dẫn:

a. Bin i biu thc c: A =
2
( 2) 2
x x x x
=

iu kin xỏc nh ca A l:
2 2
0
2 1
4x 4




+

x
x x x
x x

b. Nu
x 2

thỡ
( 2) 2
x x =

Nu
1

x

<2 thỡ
( ( 2)) 2x 2
x x
=

*) Bài tập 10 : Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2008
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2008 Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2008
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2008 -

- 2009
2009 2009
2009
a) Gi
ả
i ph
ơ
ng tr
ì
nh
3 2
1
x x x
3
=
.
b) Cho c
á
c s

ố
d
ơ
ng x, y, z th
ỏ
a m

n
đ
i
ề
u ki
ệ
n xyz = 100. T
í
nh gi
á
tr
ị
c
ủ
a
bi
ể
u th
ứ
c
y
x 10 z
A

xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10
= + +
+ + + + + +
.
Hớng dẫn:
a) Ph
ơ
ng tr
ì
nh
đ
cho t
ơ
ng
đơ
ng v
ớ
i ph
ơ
ng tr
ì
nh
3 3 2
4x x 3x 3x 1
= + + +
(
)
3
3
4x x 1

= +
3
x 4 x 1
= +
(
)
3
4 1 x 1
=

Nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ơ
ng tr
ì
nh:
3
1
x
4 1
=


b) Ta c
ó

xyz 10

=

xy
x 10 z
A
xy x 10 xyz xy x xz 10 z xyz
= + +
+ + + + + +


( )
xy
x 10 z
A
xy x 10 10 xy x
z x 10 xy
= + +
+ + + +
+ +


xy
x 10
A
xy x 10 10 xy x x 10 xy
= + +
+ + + + + +
= 1
*) Bài tập 11 : Cho biu thc P =
2 9 3 2 1

5 6 2 3
x x x
x x x x
+ +

+

a. Rỳt gn P
b. Tớnh giỏ tr ca P khi x =
2
3 5


c. Tỡm x P < 1
Hớng dẫn:
a) K
0; 4; 9
x x x


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

P =
( ) ( ) ( )( )
2 9 9 2 3 2 2 1
3

2 3 2 3
x x x x x x x
x
x x x x
+ + + +
= =



b) Khi
2
3 5
x =

ta cú P =
4
2
2
1
1
1
2(3 5)
1 5
3 5
5 1
2
2 4 5 3 5
3
3 3
5 1

3 5 2(3 5)
+
+
+

+


= = =






c) P <1 thỡ
1 4
1 1 0 9; 4
3 3
x
x x
x x
+
< < <


*) Bài tập 12 : Đề thi chọn HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2007
Đề thi chọn HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2007 Đề thi chọn HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2007
Đề thi chọn HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2007 -

- 2008
2008 2008
2008
Cho biểu thức:
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
x x x
A x
x x x
x


+ +
=




+ + +




1. Rút gọn biểu thức
A
.

2. Tìm các giá trị nguyên của
x
để biểu thức
A
nhận giá trị nguyên.
Hớng dẫn:
1.
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
x x x
A x
x x x
x


+ +
=




+ + +

Ta có:
(
)
2
3 2 3 4 3 1 3 0;1 3 0, 0
x x x x x
+ + = + + > + >
, nên điều kiện để A có nghĩa là
(
)
(
)
(
)
3
4
3 8 3 2 3 2 3 4 0, 0 3 2 0
3
x x x x x x x
= + +

( )
(
)
3
3
3
1 3
6 4 3
3

3 2 3 4 1 3
3 2
x
x x
A x
x x x
x

+
+

=

+ + +




(
)
( )( )
( )
6 4 3 2 3
3 3 1 3
3 2 3 2 3 4
x x x
A x x x
x x x

+

= +

+ +


( )( )
( )
3 4 2 3
3 2 3 1
3 2 3 2 3 4
x x
A x x
x x x

+ +

= +

+ +

=>
(
)
2
3 1
3 2
x
A
x

=

(
4
0
3
x

)
2.
(
)
(
)
(
)
2 2
3 1 3 2 2 3 2 1
1
3
3 2 3 2 3 2
x x x
A x
x x x
+ +
= = = +


Với

x
là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì
3 3 3 9
3 2 1 3
3 1
3 1
x x
x x
x
x

= =

= =


=
=



(vì x

Z
và
0
x

). Khi đó:
4

A
=

*) Bài tập 13 : Cho biểu thức B =
2014134126
2345
++ xxxxx

Không dùng máy tính, hy tính giá trị của B khi x=
53
53
+


Hớng dẫn:


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii

iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng

gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s

ss
số
ốố
ố









Ta có x =
2
3 5 (3 5) 3 5
2
3 5 (3 5)(3 5)

= =
+ +

2x =
3 5
3 - 2x =
5
x
2
- 3x + 1 = 0
Ta có: B =

2014134126
2345
++ xxxxx
= (x
2
- 3x + 1)(x
3
- 3x
2
+2x +5) +2009
= 0. (x
3
- 3x
2
+2x +5) + 2009 = 2009
Vậy khi x=
53
53
+

thì B = 2009
*) Bài tập 14 : Cho biểu thức
(
)
1
122
1
2

+
+

++

=
x
x
x
xx
xx
xx
P

a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P;
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q
2
=
nhận giá trị là số nguyên.
Hớng dẫn:
a) ĐK:
0;1
>

xx

(
)
(
)
(
)
(
)
1
11212
1
1
3

+
+
+

++

=
x
xx
x
xx
xx
xx
P

(

)
(
)
( ) ( )
1212
1
11
+++
++
++
= xx
xx
xxxx
P

(
)
22121 ++= xxxxP

12212 +=++= xxxxxxP

b)
4
1
"";
4
3
4
3
2

1
1
2
==+






=+= xxxxP
. Vậy
4
3
min =P

c)
1
22
+
==
xx
x
P
x
Q
với
0
>
x

và
1

x

Cho nên
112
1
1 =>+
x
x
=>
20
<
<
Q
. Mà


Q

Vậy ta có:
013121
1
2
=++==
+
xxxxx
xx
x

Đặt
0>= ax
ta có:
0
4
5
2
3
013
2
2
=






=+ aaa
0
2
5
2
3
2
2
=

a

0
2
5
2
3
2
5
2
3
=

+









aa
2
53
;
2
53
21

=
+
= aa

Vậy

=









=
+
=
+
=








+
=
2

537
2
53
2
537
4
5614
2
53
2
2
2
1
x
x

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

KL:






+

2
537
;
2
537
x
thì


Q

*) Bài tập 15 : Đề thi chính thức chọn HSG huyện Diễn Châu
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Diễn ChâuĐề thi chính thức chọn HSG huyện Diễn Châu
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Diễn Châu


Cho biểu thức M =






+
+

+

2

1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:








+

+
2
10
2
2
x
x
x

a. Rút gọn M

b. Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất.

Hớng dẫn:
a)






+
+

+

2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
=

+
+


+ 2
1
)2(3
6
)2)(2(
2
xxxxx
x
=
2( 2) ( 2)
( 2)( 2)
x x x
x x
+ +
+
=
6
( 2)( 2)
x x

+

+

+
2
10
2
2
x
x
x
=
2
( 2)( 2) (10 )
2
x x x
x
+ +
+
=
6
2
x
+

M =
6
2
.
)2)(2(
6
+
+

x
xx
=
x

2
1

b) Nếu x

2 thì M

0 nên M không đạt GTLN.
Vậy x

2, khi đó M có cả tử và mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt
GTLN thì mẫu là (2 x) phải là GTNN, mà (2 x) là số nguyên dơng

2 x = 1

x = 1.Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1.
*) Bài tập 16 : Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải DơngĐề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2005
năm học 2005 năm học 2005
năm học 2005 -

- 2006
2006 2006
2006
1) Rút gọn biểu thức:
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1 1
=
+ + + +
a b ab
A
a b b a b a a b

2) Tìm x, y là các số chính phơng để A = 2
3) Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010
Q
= + + + +

Hớng dẫn:
1) ĐK: x

0; y

0; x

1; y

1; x
2
+ y
2
> 0
Mẫu thức chung:
(
)
(
)
(
)
1 1+ +
a b b a

(
)
(
)
(
)
( )( )( )
1 1
1 1
+ +
=

+ +
a a b b ab a b
A
a b b a
=
(
)
( )( )( )
1 1
+ + +
+ +
a a a b b b ab a b
a b b a

=
( )
(
)
(
)
( )( )( )
1 1
+ + +
+ +
a b a a b b ab a b
a b b a
=
(
)
(

)
(
)
( ) ( ) ( )
1 1

+ + +

+ +
a b a b a ab b ab
a b b a


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )( )

1 1 1 1
1 1
1 1 1
1
1 1 1 1

+ + + + +

=
+ +


+ +
+ + +


= =
+ + + +
a b a a b a b a a
a b b a
a b a a b b b
a b a a b b b a
a b b a a b b a



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
á
o
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố










(
)
(
)
(
)
(

)
( )( )( )
1 1
1 1
+ + +
= = +
+ +
a b a b a ab b
a ab b
a b b a

2) A = 2


2
a ab b
+ =


(
)
(
)
1 . 1 1
a b
=
(1)
Vì a, b là số chính phơng suy ra
,
a b

là số tự nhiên.
Nên (1) tơng đơng với
1 1
1 1
1 1
1 1
a
b
a
b


=




+ =




=




+ =

Suy ra
2 4
0
0
a a
b
b

= =




=
=




3) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 1 2 3 1 1 2
4
k k k k k k k k k k k+ + = + + + + +

với
k

ằ

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2009.2010.2011
Q
= + + + +

( ) ( ) ( )
1 1 1
1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 2009.2010
.2011.2012 2008.2009.2010.2011
4 4 4
= + + +

( )
1
1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 2009.2010.20
11.2012 2008.2009.2010.2011
4
= + +

( )
1
2009.2010.2011.2012 4087371731776
4
= =
. Vậy
4087371731776

Q
=

*) Bài tập 17 : Đề thi ch
Đề thi chĐề thi ch
Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010
ính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 ính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010
ính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 -

- 2011
2011 2011
2011
Rỳt gn biu thc:
3 2
4 16 21 9
1
x x x
A
x
+
=


Hớng dẫn:
* Phõn tớch 4x
3
-16x
2
+ 21x - 9 = (2x - 3)
2

(x - 1)
* /k x > 1
* A=|2x - 3|
*
3
2x 3 x
2
A
3
3 2x 1<x<
2




=






*) Bài tập 18 :
Cho biểu thức :

+
+
+

+
+

+








+
=
65
2
3
2
2
3
.
1
1
xx

x
x
x
x
x
x
x
M

a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của x để M >0.
Hớng dẫn:
(Loại vì
1 0
b
+ >
)