Các bài tập Nguyên Hàm

GIẢI TÍCH 12



1


Câu 1. Tìm nguyên hàm sau:
a)
3
1
x
x
e
e dx
x

 

 
 

b)
3
( )(1 )
x x x
dx
x
 


c)
2 2
1
sin .cos
dx
x x


d)
2
cot .
x dx


ĐA: a)
2
1
2.
x
e C
x
 
; b)
13 7
6 6
6 7
13 6
x x C
 

c) tanx - cotx +C d) – cotx– x + C.
Câu 2. Tìm nguyên hàm:.
a)
os2xdx
I c

; b)
2
sin x
dx

; c)
sin( 4 )
x dx



d)
2
( 3)
x
I dx
x x





ĐA : a)
1

sin2x +C
2
I 
;b)
1 1
sin 2
2 4
x x C
 

c)
1
os4x+C
4
c
. d)
2 5
ln ln 3
3 3
I x x C
    

Câu 3. Tìm nguyên hàm sau:
a)
2
2
1
1
dx
x

 

 
 

; b)
2
x
sin os
2 2
x
c dx
 

 
 


c)
3
2
3 4 os
os
c x
dx
c x



Đáp án: a)

2 4
1 2
x x
 
 
; b) x - cosx +C; c) tanx - 4sinx +C
Câu 4. Tìm nguyên hàm sau:
a)
2
1
xdx
x


. b)
2
(1 )
2 3
x
dx
x x

 

c)
2 3
9
x x dx



Đáp án : a)
2
1
ln 1
2
x C
  
. b)

2
1
ln 2 3
2
x x C
   
c)

3
3
2
2
( 9)
9
x C
 

Câu 5. Tìm nguyên hàm sau: a)
sinx.cosx
dx

I 

. b)
sinx
dx
I 


c)
2
1
xdx
I
x




Đáp án : a)
ln tan
x C

. b)

ln tan
2
x
C

c)

2
1
I x C
   

Câu 6. Tìm a)
4
x x
dx
e e



; b)
2
2
1
x
x
e
I dx
e




c)

sin2
4 os2x

x
I dx
c




d)
3sinx - cosx
dx
I 

; e)
1
tan
2 1 2 1
x dx
x x
 

 
  
 

.
Đáp án: a)
1 2
ln
4 2
x

x
e
C
e



; b)

2
ln(1 )
x
I e C
  
; c)

1
ln(4 os2x)+C
2
I c  

d)
1
ln
2 2 12
x
I tg C

 
  

 
 
; e)


3 3
1
(2 1) (2 1) ln osx
6
x x c C
    


Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số sau theo phép biến đổi tương ứng:
a)
2
2 1x
dx
x x



(u=x
2
+x) b)
2 2
1
( 2 5)
x
dx

x x

 

2
( 2 5)
u x x
  

c)
2
3
.
x
x e dx


(u = - 3x
2
)
d)
1
x
x
e
dx
e


(u=1+e

x
). e)
sinx
1-cosx
dx

(u = 1 - cosx) f)
3
ln x
dx
x


(u=lnx).
GIẢI TÍCH 12



2

Đáp án: a)
2
2
x x C
 
. b)

2
1
2( 2 5)

C
x x


 
c)
2
3
6
x
e
C

 
d) ln(1+e
x
) + C
e) ln|1-cosx| + C. f)
2
3
(ln )
2
x C


Câu 8. Tìm nguyên hàm sau bằng phép đổi biến số:
a)
2
(ln )
dx

x x

; b)

os x
c
dx
x

; c)

3
sin osxdx
xc


Đáp án : a)
1
ln
C
x


. b)

2sin
x C


c)

4
1
sin
4
x C


Câu 9. Sử dụng các phép biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm sau:
a)
3
x x dx


b)

2
1
x x dx


c)
3
2 2
( 1)
x dx
x 


d)
sinx - cosx

dx


Đáp án : a)

5 3
2 2
2
( 3) 2( 3)
5
x x C
   

b)
7 5 3
2 2 2
2 4 2
( 1) ( 1) ( 1)
7 5 3
x x x C
     

c)
2
2
1 1
ln(1 )
2 1
x C
x

 
  
 

 

d)

1
ln tan
2 8
2
x
C

 
 
 
 

Câu 10. Tính nguyên hàm:
a)
.
x
x e dx


. b)
2
sin3

x
e xdx


c)



ln 1
x x
e e dx


d)
2
5 x
x e dx


Đáp án : a)
.
x x
x e e C
 
  
. b)
2
1
(2sin3 3 os3 )
13

x
e x c x C
 


c)
( 1) ln( 1) 1
x x
e e C
 
   
 

d)

 
2
4 2
1
2 2
2
x
e x x C
  

Câu 11. Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
a)
os3
xc xdx


; b)
3
ln
x xdx


c)
ln
y ydy


d)
2 x
x e dx



e)

2
sin
x
dx
x

f)
2
cos
sin
x x

dx
x


Đáp án : a)
1 1
sin3 os3
3 9
x x c x C
 
b)
4 4
1 1
ln
4 16
x x x C
 

c)
3 3
2 2
2 4
ln
3 9
y y y C
 

d)
x x
xe e C

 
  

e)

cot ln sin
x x x C
  
f) ln tan
sinx 2
x x
C

 

Câu 12. Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong mỗi trường hợp sau:
a) F(x) =
sin
x
x
và f(x) =
1 sin
cos
x
x
x x
 

 
 

b) F(x) =
ln
x x x

và f(x) = lnx.
Câu 13. Tìm: a)


4
5 3cos 7
x x
 

dx; b)
2
3
3
2
3 5x x
x

 
 
 
 

dx.
Đáp án : a)
5

3sin 7
x x x
  
C. b)
4 1
3
3 3
9 5
4 3
4
x x x
  
C.


GIẢI TÍCH 12



3

Câu 14. a) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin4x.cosx biết F


2



b) Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x.tanx thỏa mãn F
3

3 4

 

 
 
. Tính F
4

 
 
 
.
Đáp án : a) F(x) =
1 1 26
os5x- os3x+
10 3 15
c c

b) F
1 3 3 1
sin
4 4 2 2 2 3 2 12
    

 
     
 
 
.

Câu 15. Tìm hàm số f(x) biết f’(x) =


4sin 2 1 osx
x x c  
và


( ) ax+b ox+
f x dx c

C.
Đáp án : f(x) =


2cos 2 1 sinx
x x 
.
Câu 16. Cho
4 0
a b
 
. Xác định hai số a và b biết F(x) =
ax+b
4
x

là nguyên hàm của hàm số
f(x) và ta có 2f



2
x

(F(x)
1

)f’


x
. Đáp số: a = 1 và b tùy ý.
Câu 17. Tìm a)
os3xcosxdx
c


b)
2
os2xtan
c xdx

c)
2
1
3 4
dx
x x
 


d)
3
1
dx
x x



Đáp án : a)
1 sin 4 sin 2
2 4 2
x x
 
 
 
 
C b)
sin 2
t anx+x+
2
x
x  
C
c)
1 1
ln
5 4
x
x




C d)
 
1
ln ln 1 ln 1
2
x x x
     
C
Câu 18. Cho hàm số f(x) =
2
2
3 3
3 2
x x
x x
 
 

a) Tìm A, B, C sao cho: f(x) =
 
2
1 2
1
A B C
x x
x
 

 

. b) Tìm họ nguyên hàm của f(x).
Đáp án: a) A =
7

, B =
12

, C = 13. b)
7
( ) 12ln 1 13ln 2
1
f x x x
x
     


C.
Câu 19. Cho hàm số f(x) =
asinx+bcosx
csin d cos
x x


a) Xác định các số A, B để f(x) = A + B
cos sin
sin cos
c x d x
c x d x


 
 

 

b) Tìm
asinx+bcosx
sin cos
dx
c x d x



Đáp án : a) A =
2 2
ac bd
c d


; B =
2 2
bc ad
c d


. b) A
x

Bln

sin cos
c x d x
 
C.
Câu 20. Tìm a)
3
4 2x
e x dx



b)
6
ln
dx
x x


c)


1
n
x x dx



d)
7
4

5
x
dx
x



ĐA: a)
3
4
1
3
x
e


C; b)
5
1
5ln
x
 
C; c)
   
1
1 1
1 1
1
n n
x x

n n

   

C; d)
   
4 4
1 5
5 ln 5
4 4
x x
   
C
Câu 21. Tìm a) I =
3 4
3.
x x dx



b) J =
3 2
1 2
xdx
x
 


Đáp án : a) I =
 

4 4
1
3 3
6
x x
  
C; b) J =
 
2
2
3
3 2
2
3
ln 2 1
2 2
x
x
 

 
   
 
 
 
C.
Câu 22. Tìm a)
cot
xdx


. b)
5 2
sin os
xc dx


c)
1
sin
dx
x


d)
 
os2x
sinx+cosx+3
c
dx


GIẢI TÍCH 12



4

Đáp án : a) ln
sinx


C. b)
7 5 3
1 2 1
os os os
7 5 3
c x c x c x
   
C.
c)
1 osx-1
ln
2 os 1
c
c x


C. d)
   
2 3
1 1
2 sinx+cosx+3 3 sinx+cosx+3
  
C.
Câu 23. Tìm a)


2 osxdx
x c


b)
2x
xe dx



c)
2
sin
x
dx
x


d)


ln 1
x x dx



Đáp án : a)


2 sinx+cosx
x 
+ C; b)
2 2x x
xe e

 
 
C; c) x.cot x + ln |sin x| + C;
d)
 
2 2
1
ln 1
2 4 2
x x x
x

   
C.
Câu 24. Tìm a)
2
osx.dx
x c


b)


2
.
x
x x e dx



c)
sinx.dx
x
e


d)


2
1 ln .
x x dx



Đáp án : a)
2
sinx+2xcosx-2sinx+
x
C.; b)


2
3 3
x
e x x
  
C; c)
 
1

sinx-cosx
2
x
e

C;
d)
2 2 2
2
ln 2 ln 2
2 2 4
x x x
x x x x x
   
     
   
   
C.
Câu 25. Tìm họ nguyên hàm F(x) của mỗi hàm số sau:
a) f(x) =
2
sin 2 os 2
x c x


b) f(x) =
2
2 2
4
2cot

sin cos
x
x x

.
Đáp án : a) F(x) =
1 sin 4
cos2
2 4
x
x x
 
   
 
 
C; b) F(x)
4tan 2cot 2
x x x
  
+ C
Câu 26. Tìm a) I =
3
6
5
3sin3
x x dx
x
 
 
 

 


b) J =
3
2
1 13
2 9
x dx
x
x

 
   
 
 


Đáp án : a)
4
5
1
sin3
4
x
x
x
  
C b)
 

2
4 13
ln 9
3
x x x x
x

    
C
Câu 27. Tìm nguyên hàm F(x) của mỗi hàm số sau:
a) f(x) = sin5x.cosx biết F


2


. b) f(x) =
1 os2x
1 os2x
c
c


biết F
3
4

 

 

 
.
Đáp án : a) F(x) =
1 cos6 cos4 53
2 6 4 24
x x
 
  
 
 

b) F(x) =
tan 2
4
x x

  

Câu 28.
a) Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) =
2
1
3 2x x
x
 
thỏa mãn F(4) = 50. Tính F(2).
b) Cho hàm số f(x) =
3 3
sin os
1 sinxcosx

x c x


. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(0) =f’(0).
Đáp án : a) F(x) =
3 2
2 2
x x x
  


F(2) =
2 2 2


b) F(x) = sinx – cosx + 2
Câu 29. Tìm a)


6 6
sin os
x c x dx



b)

1 sin 2
sin osx
x

dx
x c



c)

2
2
9
x
dx
x



d)

4
3
2
x
dx
x x




Đáp số: a)
5 3 sin 4

8 8 4
x
x
 
C b)


cos sin
x x
  
C
c)
9 1 1
6 3 3
x dx
x x
 
  
 
 
 


d)
 
2
1
2ln ln 1 ln 1
2 2
x

x x x
     
C.

GIẢI TÍCH 12



5

Câu 30. Cho hàm số f(x) =
2
1
4 5
x x
 

a) Tìm A, B sao cho: f(x) =
1 5
A B
x x

 

b) Tìm họ nguyên hàm của f(x).
Đáp án : a) A =
1
6

, B =

1
6

b) F(x) =
1 5
ln
6 1
x
x



C.
Câu 31. Cho hàm số f(x) =
sinx-3cosx
2sin osx
x c


a) Xác định các số A, B để f(x) = A + B
2cos sinx
2sin osx
x
x c

 
 

 
. b) Tìm

sinx-3cosx
2sin osx
dx
x c



Đáp số: a) A =
1
5

, B =
7
5


b)
1 7
ln 2sin cos
5 5
x x x
   
C
Câu 32. Tìm a)


5
2 3
2
x x dx




b)
 
4
1
dx
x x



c)
9 5
dx
x x



d)
5 3
2
x x dx



e)
2 2
2
xdx

x x
 


f)
3
dx
x x



Đáp số: a)
 
6
3
1
2
18
x
 
C ; b)
4
4
1
ln
4 1
x
x



C ; c)
4
4 4
1 1
ln
4 4 1
x
x x
  

C;
d)
   
5 3
3 3
2 2 2
2
3 5 3
x x
 
 
 
 
 
 
 
C; e)
2
2
1 2 1

ln
3
2 2
x
x
 
 
 

 
 
 
C ; f)
3 2
3
ln 1
2
x
 
C
Câu 33. Tìm a)
5
os
c xdx


b)

2
4sin 2sin 2 3cos2

dx
x x x
 


c)

 
2
osx
sinx+cosx
c
dx


d)
4
tan
os2x
x
dx
c


Đáp án : a)
5 3
1 2
sin sin sin
5 3
x x x

  
C b)
1 tan 3
ln
2 tan 1
x
x



C c)
ln sin cos
x x
 
C
d)
3
tan 1 tan 1
tan ln
3 2 tan 1
x x
x
x
 

   
 

 
C

Câu 34. Tìm a)
ln
x
dx
x


b)
2
tan
x xdx


c)
2 2
sin
x xdx


d)


2
ln
x dx



e)



2
ln 1
x x dx



f)


ln 1
x x
e e dx



g)


sin 2
x x dx



h)
2 1x
xe dx
 


Đáp án : a)
2 ln 4
x x x
 
C; b)
tan ln cos
x x x
 
C; c)
3 2
sin 2 cos2 sin 2
6 4 2 4
x x x x x x
   
C
d)
2
ln ln
x x x x x
  
C; e)
 
2
2 2
1
ln 1
2
x
x x


  
C ; f)


ln 1 ln 1
x x x x
e e e e
    
C
g)




cos 2 sin 2
x x x
    
C; h)
2 1 2 1
1 1
2 4
x x
xe e
   
  
C.
Câu 35. a) CMR nếu


2 2

ln
y x x a
  
thì
2 2
1
'y
x a





0
a


b) Tìm
2 2
x a dx



Đáp án : b) I =


2 2 2 2 2
1
ln
2

x x a a x x a
 
    
 
 
C.
Câu 36. Tìm a)


sinx osx.dx
x c

b)


sinx sinx.dx
x
e 

c)


2
sinx
os
x
dx
c x



d)
2
cos
sin
x x
dx
x
