Ôn thi đại học Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Chương 11
Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :
1. Để có hai đường thẳng d và d
′
vuông góc, có thể chứng minh :
•
−→
u .
−→
v = 0, ở đó
−→
u và
−→
v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d
′
.
• Góc giữa chúng bằng 90
◦
.
• d song song với đường thẳng ∆, còn d
′
vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).
• d⊥(α) mà (α) chứa d
′
, hoặc d
′
⊥(β) mà (β) chứa d.
• Khi d và d
′

cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo
của định lí Pytago, .
2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :
• d v uông góc với hai đường thẳng cắt nha u trong (α).
• d ∥ d
′
mà d
′
⊥(α).
• d⊥(β) mà (β) ∥ (α).
• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cá ch đều A, B, C).
• d là giao tuyến của hai mặt phẳ ng cùng vuông góc với (α).
• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d n ằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và
(α) thì d⊥(α).
3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :
• Góc giữa chúng bằng 90
◦
.
• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuôn g góc với mặt phẳng kia.
• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.
4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.
A
B
C
H
M
201

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• AB
2
+ AC
2
= BC
2
(Định lí Pytago);
•
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
AC
2
; AH =
AB.AC
BC
;
• AB
2
= BH.BC; AC
2
= CH.BC;
• AM =

BC
2
, nếu
C = 30
◦
thì AB =
BC
2
.
Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác.
Cho tam g iá c ABC có AB = c, BC = a, CA = b; h
a
, h
b
, h
c
và m
a
, m
b
, m
c
lần lượt là độ các đường ca o và các đường trung tuyến xuất
phát từ A, B, C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là d iệ n tích tam g iác ABC; và p =
a + b + c
2
là
nửa chu vi tam giác.
1. Định lí hàm số cosin :
a

2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A; cos A =
b
2
+ c
2
− a
2
2bc
.
2. Định lí hàm số sin :
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sinC
= 2R ⇒ a = 2R sin A.
3. Công thức trung tuyến :
m
2
a
=
2(b

2
+ c
2
) −a
2
4
.
4. Công thức diện tích tam giác:
(a) Tam giác thường
S =
1
2
a.h
a
=
1
2
b.c. sin A =
abc
4R
= pr =
p(p −a)(p −b)(p −c) ⇒ h
a
=
2S
a
, R =
abc
4S
, r =

S
p
.
(b) Tam giác ABC vuô ng tại A thì S =
1
2
AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S =
a
2
2
.
(c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S =
a
2
√
3
4
và đường cao bằng
a
√
3
2
;
5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a
2
.
6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab.
7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin
BAD =
1

2
AC.BD. sin(AC, BD).
8. Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB. AD. sin
BAD =
1
2
AC.BD.
9. Diện tích hình thang là S =
( đáy lớn + đáy nhỏ ) ×cao
2
.
10. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S =
1
2
tích hai đường chéo.
11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng

Nếu ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c k hông đồng phẳng thì vectơ
−→
d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ
−→
a ,
−→

b ,
−→
c ; nghĩa là tồn tại duy
nhất bộ ba số m, n, p sao cho
−→
d = m
−→
a + n
−→
b + p
−→
c .
Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Đặt
−−→
AA
′
=
−→
a ,
−−→
AB =
−→

b ,
−−→
AD =
−→
c . Gọi I là tâm hình bình hành CDD
′
C
′
, J là điểm tr ê n
cạnh B
′
C
′
sao cho JB
′
= k.JC
′
(k ∈ R cho trước). Hãy biểu thị các vectơ
−−→
CB
′
,
−→
AI,
−→
IJ theo ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,

−→
c .
Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
. Đặt
−→
a =
−−→
AC
′
,
−→
b =
−−→
BA
′
,
−→
c =
−−→
CB
′
. Gọi M là trung điểm AA
′
và G là trong tâm tam giác
ABC. Hãy biểu diễn các vectơ

−−→
AA
′
,
−−−→
B
′
G,
−−−→
MN theo ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c .
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 202

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ

1. Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để b iế n đổi vế này thành vế kia và ngược lại.
2. Sử dụng các tính chất của các phé p toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.
Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng
−−→
AB +
−−→
AD +
−−→
AE =

−−→
AG.
Bài 11.4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Ch ứng minh rằng
−−→
S A +
−−→
SC =
−−→
S B +
−−→
S D.
Bài 11.5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng
−−→
S A
2
+
−−→
SC
2
=
−−→
S B
2
+
−−→
S D
2
.
Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho
CA

CB
=
m
n
, với m, n > 0. Chứng minh rằng với S bất kì ta
luôn có
−−→
SC =
n
m + n
−−→
S A +
m
m + n
−−→
S B.
Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh a. Gọi O và O
′
theo thứ tự là tâm của h ai hình vuông ABCD và A
′
B
′

C
′
D
′
.
1. Hãy biểu diễn các vectơ
−−→
AO,
−−−→
AO
′
theo các vectơ
−−→
AA
′
,
−−→
AB,
−−→
AD.
2. Chứng minh rằng
−−→
AD +
−−−→
D
′
C
′
+
−−−→

D
′
A
′
=
−−→
AB.
Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và khôn g thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và
đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là :
−−→
OA +
−−→
OC =
−−→
OB +
−−→
OD.
Vấn đ ề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song

1. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể
• Chứng minh vectơ hai
−−→
AB và
−−→
AC cùng phương, tức là
−−→
AB = k
−−→
AC.
• Chọn một điểm I nào đó và chứng m inh

−→
IC = m
−−→
OA + n
−−→
OB với m + n = 1.
2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ
−−→
AB và
−−→
CD cùng phương.
3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc
−−→
AB = x
−→
u + y
−→
v trong đó các vectơ
−→
u và
−→
v có giá song song hoặc nằm trên (P).
Bài 11.9 : Cho hình h ộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′

. Xét các điểm M, N lần lượt trên các đ ường thẳng A
′
C và C
′
D sao cho
−−−→
MA
′
= k
−−→
MC,
−−−→
NC
′
= l
−−→
ND (k và l đều khác 1). Đặt
−−→
BA =
−→
a ,
−−→
BB
′
=
−→
b,
−−→
BC =
−→

c .
1. Hãy biểu thị các vectơ
−−→
BM và BN qua các vectơ
−→
a,
−→
b ,
−→
c .
2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đườn g thẳng BD
′
.
Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho
−−→
MA = m
−−→
AB. Tìm điểm N trên đường thẳn g
B
′
C và điểm P trên đường thẳng A
′

C
′
sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng (m  0).
Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các đ iể m lần lượt thuộc AB và CD sao cho
−−→
MA = −2
−−→
MB,
−−→
ND = −2
−−→
NC. Các điểm I, J, K
lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho
−→
IA = k
−→
ID,
−−→
JM = k
−−→
JN,
−−→
KB = k
−−→
KC. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàn g.
Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆, ∆
1
cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượ t tại A, B, C và A
1
, B

1
, C
1
. Với điể m O bất kì
trong không gian, đặt
−→
OI =
−−−→
AA
1
,
−−→
OJ =
−−−→
BB
1
,
−−→
OK =
−−−→
CC
1
. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 203

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B
0
, C
0

, D
0
lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G
0
là trọng tâm tam
giác BCD và B
0
C
0
D
0
. Chứng minh rằng ba điểm A, G
0
, G thẳng hàng.
Bài 11.14 : Cho hình hộ p ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. M là điểm trê n cạnh AD sao cho
−−→
AM =
1
3
−−→
AD. N là điểm tr ên đường thẳng BD
1

, P là
điểm trên đường thẳng CC
1
sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng. Tính
−−−→
MN
−−→
NP
.
Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA
′
, BC, C
′
D
′
lân lượt tại M, N, P sao cho
−−−→
NM = 2
−−→
NP. Tính
MA
MA

′
.
Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA
1
và đỉnh C
1
thuộc một đường thẳng.
2. Tính tỉ số
GA
GC
1
.
Bài 11.17 : Cho hìn h hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB

′
A
′
. M là một điểm trên OB
′
.
Mặt phẳng (MD
′
C) cắt BC
′
ở I và DA
′
ở J. Chứng minh rằng ba điểm I, M, J thẳng hàng .
Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
. Gọi G và G
′
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
, gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng AB
′

và A
′
B. Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG
′
song song với nhau.
Bài 11.19 : Cho hìn h lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
, gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA
1
, AB
1
của các mặt
bên sao cho EF ∥ BC
1
. Tìm tỉ số
EF
BC
1
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giá c ABC.A
1
B
1
C
1
, điểm M là trung điểm cạnh bên AA

1
. Trên đường chéo AB
1
, BC
1
của các mặt
bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ số
EF
CM
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.21 : Cho hìn h lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA
1
, CC
1
. Hai điểm E, F lần lượt trên
các đường thẳng CM, AB
1
sao cho EF ∥ BN. Tìm tỉ số
EF
BN
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B

1
C
1
. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm tr ê n các cạnh bên AA
1
, BB
1
, CC
1
sao cho
AM
AA
1
=
B
1
N
BB
1
=
C
1
P
CC
1
=
3
4
. Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A
1

N sao cho EF ∥ B
1
P. Tìm tỉ số
EF
B
1
P
.
Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất
thuộc DC
1
sao cho MN ∥ BD
1
. Tính tỉ số
MN
BD
1
.
Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′

C
′
D
′
. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD
′
và DB sao cho
−−→
MA = k
−−−→
MD
′
,
−−→
ND = k
−−→
NB
(k  0, k  1).
1. Chứng minh rằng MN ∥ (A
′
BC) ;
2. Khi đường thẳng MN ∥ A
′
C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD
′
và DB.
Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′

C
′
D
′
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD
′
; G, G
′
lần lượt là tr ọng tâm của các tứ d iện
A
′
D
′
MN và BCC
′
D
′
. Chứng minh rằ ng đường thẳng GG
′
và mặt phẳng (ABB
′
A
′
) song song với nhau.
Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng

Muốn chứng minh các vectơ
−→
a ,
−→

b ,
−→
c đồng phẳng chúng ta có thể :
1. Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ
−→
a,
−→
b ,
−→
c có giá cùng song song với một mặt phẳng.
2. Ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho
−→
c = m
−→
a + n
−→
b , trong đó
−→
a ,
−→
b là hai vectơ không
cùng ph ương.
Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A
′

B
′
C
′
D
′
. Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 204

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.
−−→
AB,
−−−→
A
′
C
′
,
−−−→
B
′
D
′
; 2.
−−→
AB,
−−→
BB
′

,
−−−→
B
′
C
′
; 3.
−−→
AB,
−−−→
B
′
D,
−−−→
C
′
D
′
.
Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho
−−→
AM = 3
−−−→
MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
−−→
NB = −3
−−→
NC.
Chứng minh rằng ba vectơ
−−→

AB,
−−→
DC,
−−−→
MN đồng phẳng.
Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường
chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ
−−→
BD,
−→
IK,
−−→
GF đồng phẳng.
Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các
điểm M, N sao cho
AM
AC
=
BN
BD
= k (k > 0).
Chứng minh rằng ba vectơ
−−→
PQ,
−−→
PM,
−−→
PN đồng phẳng.
Bài 11.30 : Cho hai hình bình hàn h ABCD và AB
′

C
′
D
′
có chung đỉnh A. Chứng minh rằng các vectơ
−−→
BB
′
,
−−−→
CC
′
,
−−−→
DD
′
đồng phẳn g.
Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA
′
B
′
C
′
D
′
có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Chứng minh rằng
các vectơ
−−→
AA
′

,
−−→
BB
′
,
−−−→
CC
′
,
−−−→
DD
′
đồng phẳn g.
Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB
1
sao cho AM = BN. Chứn g
minh rằng ba vectơ
−−−→
MN,
−−→
AB,
−−−→

B
1
D đồng phẳng.
Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC. Gọi M, N, P là ba điểm trong không gian được xác định từ các hệ thức vectơ sau :
−−→
OM =
−−→
OA + α
−−→
OB −2
−−→
OC;
−−→
ON = (α + 1)
−−→
OA + 2
−−→
OB +
−−→
OC;
−−→
OP = (α − 2)
−−→
OB + 2
−−→
OC
với α là số thực. Tìm α để ba vectơ
−−→
OM,
−−→

ON,
−−→
OP đồng phẳng.
Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng các phân giác tron g của các góc
yOz, zOx và phân giác ngoài của xOy thu ộc
một mặt phẳng.
Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D
1
song song với DA
1
và AB
1
. Mặt phẳng này cắt đường
thẳng BC
1
tại M, và giả sử
−−→
BM = k
−−−→
BC
1
. Hãy tính k ?

Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q là trung điểm cá c cạnh AB và CD. R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao
cho
AR
AC
=
BS
BD
. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB
′
và A
′
C
′
. Điểm K thuộc B
′
C
′
sao cho
−−−→
KC
′
= −2
−−−→

KB
′
.
Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K c ùng thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho
−−→
MA = k
1
−−→
MC ; N là điểm
thuộc BD sao cho
−−→
NB = k
2
−−→
ND. Chứn g minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k
1
= k
2
.
Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho
−−→
AM =
1
3
−−→
AB,
−−→
BN =
2

3
−−→
BC,
−−→
AQ =
1
2
−−→
AD,
−−→
DP = k
−−→
DC. Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng .
11.2 Hai đường thẳng vuông góc
Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ

1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu
−−→
OA =
−→
a ,
−−→
OB =
−→
b thì (
−→
a ,
−→
b ) = (
−−→

OA,
−−→
OB) =
AOB. Đặc biệt
• Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức
(
−−→
OA,
−−→
OB) = (
−−→
AO,
−−→
BO) = AOB.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 205

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức
(
−−→
AO,
−−→
OB) = (
−−→
OA,
−−→
BO) = 180
◦
− (
−−→

OA,
−−→
OB) = 180
◦
−
AOB.
2. Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos(
−→
u ,
−→
v ) =
−→
u .
−→
v
|
−→
u |.|
−→
v |
.
Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
1.
−−→
AC và
−−→
CD; 2.
−−→
CH và
−−→

CD.
Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
1.
−−−→
A
′
C
′
và
−−→
AB; 2.
−−−→
A
′
C
′
và
−−→
AB
′
; 3.
−−→

A
′
B và
−−−→
B
′
D
′
.
Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa
hai vectơ
−−→
OM và
−−→
BC.
Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = S B = SC = AB = AC = a và BC = a
√
2. Tính góc giữa hai vectơ
−−→
AB và
−−→
SC.
Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b

1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a
′
và b
′
cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc
giữa a và b bằng góc giữa a

′
và b
′
.
2. Tính qua góc giữa hai vectơ, cụ thể
• Nếu (
−−→
AB,
−−→
CD) ≤ 90
◦
thì (
AB, CD) = (
−−→
AB,
−−→
CD).
• Nếu (
−−→
AB,
−−→
CD) > 90
◦
thì (
AB, CD) = 180
◦
− (
−−→
AB,
−−→

CD).
Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB, CD) =
cos(
−−→
AB,
−−→
CD)
.
Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
1. AC và DA
′
; 2. BD và AC
′
.
Bài 11.45 : Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA. Gọi M là trung điểm của OB. Tính côsin góc
giữa các cặp đườ ng thẳng :
1. AM và BC ; 2. AM và OP, với P là trung điểm BC.
Bài 11.46 : Cho hình chóp S.ABCD c ó đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A⊥BC.
1. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và BC.
2. Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc S B và S D sao cho IJ ∥ BD. Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng AC và IJ không
phụ thuộc vào vị trí củ a I và J.
Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất cả cá c c ạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC. Tính côsin góc g iữa hai đườn g thẳng AB và

DM.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 206

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết
AB = CD = 2a và MN = a
√
3.
Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B). Tìm vị trí của M để mặt phẳng qua M
và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết d iện có diện tích lớn nhất.
Vấn đ ề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Muốn chứng minh AB⊥CD ta thường chứng minh góc giữa AB và CD bằng 90
◦
hoặc chứng minh
−−→
AB.
−−→
CD = 0.
Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi M, N lần lượ t là trung điểm của AD và BB
′
. Chứng minh rằng MN⊥A

′
C.
Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c.
1. Chứng minh rằng AC⊥BD ;
2. Tính cosin góc giữa hai vectơ
−−→
AB,
−−→
CD.
Bài 11.52 : Trên các đường chéo D
1
A, A
1
B, B
1
C, C
1
D của các mặt của hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
lấy các điểm M, N, P, Q sao
cho :
−−−−→
D
1

M = k
−−−→
D
1
A;
−−→
BN = k
−−−→
BA
1
;
−−−→
B
1
P = k
−−−→
B
1
C;
−−→
DQ = k
−−−→
DC
1
.
Tìm số thực k để MN⊥PQ.
Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạ nh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng OA⊥CD.
Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B

′
C
′
D
′
có cạnh bằng a. Trên c á c cạnh DC và BB
′
ta lần lượt lấy các điểm M, N không
trùng với đầu mút sao cho DM = BN. Chứng minh rằng AC
′
⊥MN.
Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng
AB⊥CD.
Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC⊥B
′
D
′
. Chứng minh rằng nếu
ABC = B
′
BA = B
′

BC = 60
◦
thì A
′
B
′
CD là hình vuông.
Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M, N lần lượt thuộc các đườn g thẳng BC, AD sao cho
−−→
MB = k
−−→
MC và
−−→
NA = k
−−→
ND, với k là
số thực khác 0 cho trước. Đặt α = (
−−−→
MN,
−−→
BA), β = (
−−−→
MN,
−−→
CD). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45
◦
.
Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
1. Chứng minh rằng AD⊥BC.
2. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, DB sao cho

−−→
MA = k
−−→
MB,
−−→
ND = k
−−→
NB. Tính góc giữa hai đường thẳng
MN và BC.
Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD =
4
3
AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Biết JK =
5
6
AB, tính góc giữa các
đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.
Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α, β, γ là góc giữa BC và AD, AC và BD, AB và
CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng a
2
cosα, b
2
cosβ, c
2
cosγ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.
11.3 Đường thẳng vuông góc với m ặt phẳng
Vấn đ ề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt nh au và nằm trong (P).
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 207

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).
3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P).
Bài 11.61 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm BC.
1. Kẻ đườn g thẳng qua A vuông góc với S I tại H. Chứng minh rằng AH⊥(S BC).
2. Gọi G
1
, G
2
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh rằng G
1
G
2
⊥(ABC).
Bài 11.62 : Cho hình chóp S.ABCD c ó đáy là hình thoi và S A = SC.
1. Chứng minh rằng AC⊥(S BD).
2. Kẻ đườn g thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I. Chứng minh rằng I cách đều A và C.
Bài 11.63 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC = a,
AS B = 90
◦
, BSC = 60
◦
, ASC = 120
◦
. Gọi O là trung điểm cạnh AC.
Chứng minh rằng S O⊥(ABC).
Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, g ọi I là trung điểm cạnh BC.
1. Chứng minh rằng BC⊥(AID).
2. Vẽ đường cao AH củ a tam giác AID. Chứng minh rằng AH⊥(BCD).

Bài 11.65 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a
√
3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên SCD
vuông tại D và có S D = a
√
5.
1. Chứng minh rằng S A⊥(ABCD) và tính S A.
2. Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đườn g thẳng CB, CD tại I, J. gọi H là hình chiếu vuông góc củ a A tr ên SC. Hãy
xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HIJ). Chứng minh rằng AK⊥(S BC), AL⊥(SCD).
3. Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 11.66 : Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường
thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Bài 11.67 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC. Chứng minh rằng
S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.
Bài 11.68 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và
BAC = 120
◦
, đồng thời S A = S B = SC = 2a.
Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC.
1. Chứng minh rằng BC⊥(S AD); 2. Tính góc giữa S B và (ABC).
Bài 11.69 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là h ình thang vuôn g (
A = 90
◦
), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời
S A = SC = S D. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD) và AC⊥(S BM).
Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

1. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
2. Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằ m trong (P).
Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a

′
của a trên (P).
3. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 208

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.70 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc c ủa điểm A trên các cạnh S B, SC, S D.
1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB), CD⊥(S AD), BD⊥(S AC).
2. Chứng minh rằng SC⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK).
3. Chứng minh rằng HK⊥(S AC), từ đó suy ra HK⊥AI.
Bài 11.71 : Hình chóp S.ABCD có đ áy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = SC, S B = S D.
1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD).
2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK⊥(S BD) và IK⊥S D.
Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nh a u. Kẻ OH vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại H. Chứng minh rằng:
1. OA⊥BC, OB⊥CA, OC⊥AB.
2. H là trực tâm của tam giác ABC.
3.
1
OH
2
=
1
OA
2
+
1
OB

2
+
1
OC
2
.
4. Tam giác ABC nhọn
5. sin
2
α + sin
2
β + sin
2
γ = 1, trong đó α, β, γ là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC).
6. S
2
∆ABC
= S
2
∆OAB
+ S
2
∆OBC
+ S
2
∆OCA
.
Bài 11.74 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các
mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông.
Bài 11.75 : Cho chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, S A⊥(ABC).

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB).
2. Gọi AH là đường cao của tam giác S AB. Chứng minh rằng AH⊥SC.
Bài 11.76 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạn h a. Mặt bên S AB là tam giác đều, S CD là tam giác vuông cân đỉnh S .
Gọi I, J lần lượt là tru ng điểm AB, CD.
1. Tính các cạnh của tam giác S IJ và chứng minh rằng S I⊥(SCD), S J⊥(S AB).
2. Gọi H là hìn h chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng S H⊥AC.
3. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥S A. Tính AM theo a.
Bài 11.77 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam g iác đều và SC = a
√
2. Gọi H, K là
trung điểm AB, AD.
1. Chứng minh rằng S H⊥(ABCD) ; 2. Chứng minh rằng AC⊥S K, CK⊥S D.
Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A
′
H⊥(ABC). Chứng minh rằng
1. AA
′
⊥BC và AA
′
⊥B
′
C
′
.

2. Gọi MM
′
là giao tuyến của mặt phẳng (AHA
′
) với mặt bên BCC
′
B
′
, trong đó M ∈ BC và M
′
∈ B
′
C
′
. Chứng minh rằng tứ giác
BCC
′
B
′
là hình chữ nhật và MM
′
là đường cao của hình chữ nhật đó.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 209

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.79 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên S A vuô ng góc với mặt đáy là (ABC). Gọi D là
điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng CD⊥CA, CD⊥(SCA).
Bài 11.80 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD)
trùng với trun g điểm M của cạnh AB; gọi N là trun g điểm AD.
1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB) và CN⊥(S D).

2. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC.
Bài 11.81 : Cho hìn h chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B. Chứng minh rằng CD⊥(S IJ), trong đó I, J tương ứng là
trung điểm của AB và CD.
Bài 11.82 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam g iá c vuông tại A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H
2
= HA.HC.
Chứng minh rằng SC⊥(S AB).
Bài 11.83 : Cho hình chóp S.ABC có
BSC = 120
◦
; CS A = 60
◦
; AS B = 90
◦
và S A = S B = SC. Chứng minh rằng ABC là tam giác
vuông và S I⊥(ABC), trong đó I là trung điểm của BC.
Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

1. Sử dụng định nghĩa : Nếu a không v uông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a
′
của a
trên mặt phẳng (P).
2. Nếu a ∥ (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0
◦
.
3. Nếu a⊥(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90
◦
.
4. Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông
góc H củ a B lên (P). Khi đó góc giữa a và (P) bằng

BAH.
(P)
A
B
H
ϕ
a
a
′
Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuô ng góc với đáy và S A = a. Tính góc giữa
nỗi cạnh bên của hình chóp với mặt đáy.
Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ g iá c S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a
√
6. Tính góc
giữa
1. SC và (ABCD); 2. SC và (S AB); 3. S B và (S AC); 4. AC và (S BC).
Bài 11.86 : Cho lăng trụ đều ABC.A
′
B
′
C
′
có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA = a
√
2.
1. Tính góc giữa đư ờng thẳng BC
′
và (ABB
′
A

′
).
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 210

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Gọi M là trung điểm CC
′
. Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và (A
′
B
′
C
′
).
Bài 11.87 : Cho tam giác ABC c ân tại A, có
A = 120
◦
, BC = a
√
3. Lấy điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác sao cho DA = a.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.
1. Chứng minh rằng AO⊥(DBC).
2. Tính góc giữa đường thẳng DA và mặt phẳng (BCD) khi
BDC = 90
◦
.
Bài 11.88 : Cho hình chó p S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và có tâm O, biết S A⊥(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm
các cạnh S A và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) b ằng 60
◦
.

1. Tính độ dài MN và SO; 2. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (S BD).
Bài 11.89 : Cho hình chó p S.ABC có ABC là tam giác cân, AB = AC = a,
BAC = α. Biết S A, S B, SC đều hợp với mặt phẳng (ABC)
một góc α.
1. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Bài 11.90 : Cho lăng trụ đều ABC.A
′
B
′
C
′
có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC
′
của mặt bên BCC
′
B
′
hợp với ABB
′
A
′
góc 30
◦
.
1. Tính AA
′
.
2. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳn g (BA
′

C
′
).
3. Gọi N là trun g điểm của cạnh BB
′
. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (BA
′
C
′
).
Bài 11.91 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy ABC vuông cân tại A, AA
′
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đoạn nối trung điểm M của
AB và trung điểm N của B
′
C
′
có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên (BCC
′
B
′
) góc β.
1. Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α; 2. Chứng minh rằng cos α =
√

2 sin β.
Bài 11.92 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a. Mặt phẳng (α) qua BC hợp với AC góc
30
◦
, cắt S A, S D lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác BCNM.
Bài 11.93 : Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên S A, S B, SC cùng tạo với đáy một góc α. Gọi O là tâm đ ường tròn ngoại tiếp tam
giác đáy ABC. Chứng minh rằng SO⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.
Bài 11.94 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB = a, AC = a
√
3. Các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo
với đáy một góc 60
◦
. Tính góc tạo bởi
1. S A và (S BC); 2. S A và BC.
Bài 11.95 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB = a, AD = a
√
2.Các cạnh bên S A, S B, SC, S D cùng tạo
với đáy một góc 45
◦
. Gọi M là trung điểm AD.
1. Chứng minh rằng BM⊥S A; 2. Tính góc giữa BM và SC.
Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d.
1. Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d và có ít nhất một đường thẳng qua điểm M. Mặt phẳ ng xác định bởi hai
đường thẳng nói trên chính là mặt phẳng (α).
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 211

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nha u a, b cùng vuông góc với d th ì chọn (α) ∥ a (hoặc chứa a) và (α) ∥ b (hoặc

chứa b).
Bài 11.96 : Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a.
Gọi M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a).
1. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α). Thiết diện là hình gì?
2. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Bài 11.97 : Cho tứ diện S ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, S A⊥(ABC) và S A = 2a. Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vu ông
góc với S C. Tìm thiết diện của diện S ABC với (α) và tính diện tích của thiết diện này.
Bài 11.98 : Cho hình tứ diệ n S ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, S A⊥(ABC), S A = a. Tìm thiết diện của tứ diện S ABC
với mặt phẳng (α) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:
1. (α) qua S và vuông góc với BC.
2. (α) qua A và vuông góc với trung tuyến S I của tam giác S BC.
3. (α) qua trung điểm M của SC và vuông góc với BC.
Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.
M là trọng tâm của tam giác BCD, (α) đi qua M và vuông góc với AB, (β) đi qua M và vuôn g góc với CJ (J là điểm giữa đoạn AB).
Hãy xác định và tính diện tích các thiết diện của hìn h chóp cắt bởi các mặt phẳng (α) và (β).
Bài 11.100 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, S A = 2a. Các mặt phẳng (S AC) và (S BC) cùng
vuông góc với (ABC) và M là trung điểm của các cạnh AB. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
1. mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. 2. mặt phẳng qua M và vuông góc với SC.
Bài 11.101 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = S B = SC = AB = AC = BC = a, M là một điểm thu ộc đo ạn AB sao cho
AM = x (với 0 < x < a). Xác định và tính thiết d iệ n của h ình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của
M để diện tích thiết diện là lớn nhất.
Bài 11.102 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có cạnh bằng a. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CC

′
. Hãy xác định
và tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của MN.
Bài 11.103 : Cho hình chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a,
ABC = 60
0
. Cạnh SC = a và vuông góc với
(ABC). Giả sử M là một điểm trên đoạn S A sao cho AM = x (M không trùng với A và S). Xác định và tính diện tích thiết diện của
hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Bài 11.104 : Cho lăng tr ụ đứng OAB.O
′
A
′
B
′
có đáy là tam giác vuông cân tại O với OA = OB = a, chiều cao AA
′
= a
√
2. Gọi M là
trung điểm của OA, (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với A
′
B. Hãy xác định và tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi (α).
Bài 11.105 : Cho hình chó p S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc
với SC cắt S B, SC, S D lần lượt tại E, K, H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a
√
2.
Bài 11.106 : Trong mặt phẳng (P) vẽ hình thoi tạo bởi hai tam giác đều ABD và CBD có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng vuôn g góc với
mặt phẳng (P) tạ i A và lấy trên đó điểm S sao cho AS = a. Từ M trên đường chéo AC của hình thoi, ta vẽ mặt phẳng (Q) vuông góc
với AC. Đặt CM =

x
√
3
2
.
1. Tùy theo x, khảo sát hình dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi (Q). Tính diện tích của thiết diện.
2. Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.
Bài 11.107 : Cho hình chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a,
ABC = 60
0
. Cạnh S C = a và vuông góc với
(ABC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M ∈ S A và vuông góc với S A. Đặt AM = x. Tính diện tích thiết diện
và xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 212

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
11.4 Hai mặt phẳng vuông góc
Vấn đề 1 : Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Giả sử cần tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có các phương pháp sau :
1. Sử dụng định nghĩa : Góc giữa hai m ặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nghĩa là,
lấy a⊥(P) và b⊥(Q) thì góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.
2. Giả sử c = (P) ∩ (Q). Xét mặt phẳng (R) vuông góc với c, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b. Lúc đó, góc ϕ giữa
(P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.
Trong nh iều bài toán thường c ó sẵn đường thẳng AB (A ∈ (P) và B ∈ (Q)) vuông góc với c, ta chỉ cần kẻ AH vuông góc với c
tại H. Lúc này mặt phẳng (R) chính là mặt phẳng (ABH) và góc ϕ là góc
AHB (nếu AHB ≤ 90
◦
) và là góc 180
◦

− AHB (nếu
AHB > 90
◦
). Trong thực hành thường dùng công thức cos ϕ = cos AHB .
3. Sử dụng định lí hình chiếu : Giả sử đa giác H nằm trong mặt phẳng (P) có hình chiếu lên mặt phẳng (Q) là đa giác H
′
. Khi
đó, cos ϕ =
S
′
S
với S
′
là diện tích hình H
′
và S là diện tích hình H .
Bài 11.108 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a
√
3. Tính góc giữa c á c cặp mặt phẳng sau
1. (S BC) và (ABCD); 2. (SCD) và (ABCD); 3. (S BC) và (SCD).
Bài 11.109 : Cho tứ diện S ABC có
ABC = 90
◦
, AB = 2a, BC = a
√
3, S A = 2a và S A⊥(ABC).
1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).
2. Mọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường cao AK của tam giác AMC.
3. Tính tanϕ, với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S MC).
Bài 11.110 : Cho hình lập phương ABCD.A

′
B
′
C
′
D
′
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
1. (ABCD) và (A
′
B
′
C
′
D
′
); 2. (ABCD) và (CDD
′
C
′
); 3. (ACC
′
A
′
) và (ABB
′
A
′
); 4. (A
′

BD) và (ABCD).
Bài 11.111 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = x.
1. Xác định x để hai mặt phẳng (S BC) và (S DC) tạo với nhau góc 60
◦
.
2. Với x được xác định từ trên, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AD).
Bài 11.112 : Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
= 2a
√
5 và BAC = 120
◦
. Gọi M là trung điểm cạnh CC
1
.
Chứng minh rằng MB⊥MA
1
và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).
Bài 11.113 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường trò n đường kính AB = 2a, S A⊥(ABCD) và
S A = a
√
3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1. (S AD) và (S BC); 2. (SCD) và (S BC).
Bài 11.114 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, với AB = BC = a, S A⊥(ABC), S A = a. Gọi E và F lần lượt
là trung điểm các cạnh AB và AC. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
1. (S AC) và (S BC); 2. (S EF) và (S BC).
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 213

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.115 : Cho ba tia Ox, Oy, Oz khô ng đồng phẳng sao cho xOy = 90
◦
, yOz = zOx = 60
◦
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (yOz) và
(zOx).
Bài 11.116 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn (C ) tâm O bán kính R. Trên đường thẳng vuông góc với (α) tại O lấy điểm S sao
cho OS = R. Gọi M và N là hai đ iểm khác nh a u trên (C ), a và b là hai tiếp tuyến với (C ) tại M và N. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(S, a) và (S, b) trong mỗi trường hợp sau :
1. MN là đường kính của đường tròn; 2.
MON = 90
◦
.
Bài 11.117 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Các mặt phẳng (S AB) và (SCD) là các tam giác vuông lần lư ợt
tại A và C, cùng hợp với đáy một góc α, biết
ABC = ϕ.
1. Chứng minh rằng SO⊥(ABCD);
2. Chứng minh (S BC) và (S AD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc β thỏa mãn cot β = cot α cos ϕ.
Bài 11.118 : Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BAC = α, S A⊥(ABC) và S A = a. Gọi ϕ là góc giữa
hai mặt bên (S AC) và (S BC).
1. Chứng minh rằng tan α. tan β =
√

1 + cos
2
α
cos α
;
2. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để β = 60
◦
.
Bài 11.119 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đ ôi một vuông góc. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)
với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1.
Bài 11.120 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
BAD = 60
◦
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
các cạnh AA
′

và CC
′
.
1. Chứng minh bốn điểm B
′
, M, D, N đồng phẳng. Tứ giác B
′
MDN là hình gì ?
2. Tính độ dài AA
′
theo a để tứ giác B
′
MDN là hình vuông.
3. Khi tứ giác B
′
MDN là hình vuông, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (B
′
MDN) và (ABCD).
Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

1. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90
◦
.
2. Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, trong đó a⊥(Q).
Bài 11.121 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đ ối xứng c ủa A qua I. Trên đườn g thẳng vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho S D =
a
√
6
2

. Chứng minh rằng (S BC)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S AC).
Bài 11.122 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, S A⊥(ABCD).
1. Chứng minh rằng (S AC)⊥(S BD).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC).
3. Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác S BD. Chứng minh rằng (ACF)⊥(S BC), (AEF)⊥(S AC).
Bài 11.123 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB =
a
√
3
3
, S O⊥(ABCD), S O =
a
√
6
3
.
1. Chứng minh rằng
ASC = 90
◦
.
2. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD).
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 214

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
3. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).
Bài 11.124 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hai điểm
nằm trên BC, DC sao cho BM =
a
2
; DN =

3a
4
. Chứng minh rằng (S AM)⊥(S MN).
Bài 11.125 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính đường cao S O theo a để hai mặt phẳng (S AB)
và (S AC) vuông góc với nhau.
Bài 11.126 : Cho hình vuông ABCD tâm O và có cạnh bằng a. Trên hai tia Bx và Dy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ở cùng
nửa mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M, N sao cho BM.DN =
a
2
2
. Đặt
BOM = α, DON = β.
1. Chứng minh rằng tan α. tan β = 1. Có kết luận gì về hai góc này ? Chứng minh rằng (ACM)⊥(ACN).
2. Gọi H là hìn h chiếu vuông góc của O lên MN. Tính độ dài đoạn OH. Từ đó chứng minh AH⊥HC và (AMN)⊥(CMN).
Vấn đ ề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

1. Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)⊥(P), (P) ∩ (Q) = c rồi chứng minh a⊥c.
2. Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với (P).
Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳn g (ABC). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ
AH vuông góc với BD, chứng minh AH⊥(BCD).
Bài 11.128 : Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam
giác BCD, vẽ đường cao DK của tam giá c ACD.
1. Chứng minh rằng AB⊥(BCD).
2. Chứng minh rằng (ABE)⊥(ADC), (DFK)⊥(ADC).
3. Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh rằ ng OH⊥(ADC).
Bài 11.129 : Cho hình chóp S.ABCD c ó đáy là hìn h chữ nhật, các cạnh AB = a
√
2, AD = a, tam giác S AB đ ều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là tru ng điểm AB.
1. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD); BC⊥(S AB) và AC⊥S D. 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SCD).

Bài 11.130 : Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho S AB là tam giác đều và (S AB)⊥(ABCD).
1. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S BC).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AD) và (S BC).
3. Gọi H và I lần lư ợt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (S HC)⊥(S DI).
Bài 11.131 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, tam giác S AB vuông tại S và có
S AB = 30
◦
. Tính
góc giữa mặt phẳng (ABC) và (S BC).
Bài 11.132 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC v uông tại A,
ABC = 60
◦
, M là trung điểm AB. Các mặt phẳng (S AB) và (SCM)
cùng vuôn g góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa SC và (ABC) là 60
◦
, tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).
Bài 11.133 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy là tam giác vuông cân tại B. Hai mặt phẳng (ABB
′
A
′
) và (ACB
′
) cùng vuông góc với
(ABC).

1. Chứng minh rằng BCC
′
B
′
là hình chữ nhật.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 215

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Biết góc giữa hai mặt phẳng (BCC
′
B
′
) và (A
′
B
′
C
′
) bằng 30
◦
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC
′
A
′
).
Bài 11.134 : Cho hình vuông ABCD. Mặt phẳn g (P) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AB. Điểm M di động sao cho
AMB =
AMD = 90
◦
.

1. Chứng minh rằng M thuộc mặt phẳng trun g trục của BD;
2. Giả sử MD cắt (P) tại M
′
. Chứng minh rằng AM
′
⊥BM
′
.
Bài 11.135 : Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Trên hai cạnh AC, BF lần
lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM = BN = x (0 < x < a
√
2).
1. Chứng minh rằng AF⊥(ABCD).
2. Gọi M
1
là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Chứng minh rằng MM
1
⊥M
1
N và MN ∥ (CDEF).
3. Tính MN theo a và x. Tìm x để MN nhỏ nhất.
4. Khi MN nhỏ nhất hãy chứng minh MN vuông góc với AC, BF và MN ∥ DE.
Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P))

Từ một điểm trên a, dựng đường thẳng b vuông góc với (P). Mặt phẳng (a, b) chính là mặt phẳng (Q) cần dựng.
Bài 11.136 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là h ình thoi tâ m O cạnh a, góc BAD = 60
◦
. Đường thẳng S O⊥(ABCD) và S O =
3a
4

.
Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
1. Chứng minh rằng (S OF)⊥(S BC).
2. Gọi O
′
, A
′
lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, A trên (S BC). Tính độ dài các đoạn thẳng OO
′
, AA
′
.
3. Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với (S BC). Xác đ ịnh thiết diện cắt bởi (P) và tính d iệ n tích thiết diện đó. Tính góc
giữa (P) và (ABCD).
Bài 11.137 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là h ình vuông cạn h a, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và
vuông góc với mặt (SCD).
1. Dựng mặt phẳng (α). Mặt phẳng (α) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
2. Tính diện tích thiết diện đó.
Bài 11.138 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a. X ác định và tính diệ n tích thiết diện
của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:
1. (α) qua tâm O của đáy, trung điểm M của S D và vuông góc với (ABCD).
2. (α) qua A, trung điểm N của CD và vuông góc với (S BC).
Bài 11.139 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
′
B
′
C
′
có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a
√

2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và A
′
C
′
. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (α) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (BCC
′
B
′
). Tính diện tích
thiết diện và tính góc tạo bởi mặt phẳng (α) với mặt phẳng đáy.
Bài 11.140 : Cho hình chó p S.ABCD có đáy là hình thang vuôn g ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh
S A⊥(ABCD) và S A = a.
1. Chứng minh rằng (S AD)⊥(SCD) và (S AC)⊥(SCB).
2. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD), tính tan ϕ.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 216

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
3. Gọi (α) là mặt phẳng chứa S D và vuông góc với (S AC). Hãy xác định (α) và tính diện tích thiết diện của hìn h chóp cắt bởi mặt
phẳng (α).
Bài 11.141 : Cho hình chó p S.ABCD có đáy ABCD là hình vuôn g cạnh a, S A⊥(ABCD). Qua A xác địn h mặt phẳng (α) vuông góc
với SC cắt S B, SC, S D lần lượt tại E, K, H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a
√
2.
Bài 11.142 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD), S A = a. Xác định và tính diện tích thiết diện
của hình chóp cắt bởi mặt phẳn g (P) chứa AN và vuông góc với (S BC), trong đó N là trung điểm củ a CD.
11.5 Khoảng cách
Vấn đề 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước

1. Trong mặt phẳng xác định bởi điểm M và đường thẳng ∆ vẽ MH⊥∆) tại H. Ta có d(M, ∆) = MH.

2. Trong không gian dựng mặt phẳng (α) qua M và (α)⊥∆, cắt ∆ tại H. Ta có d(M, ∆) = MH.
Bài 11.143 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi I là trung điểm cạnh
SC và M là trung điểm đoạn AB.
1. Chứng minh rằng OI⊥(ABCD). 2. Tính d(I, CM).
Bài 11.144 : Cho hình chóp S.ABC; ABC là tam giác vuông cân (AB = AC = a); S B⊥(ABC) và S B = a. Tính khoảng cách từ S đến
CM, với M thuộc đoạn AB và AM =
a
3
.
Bài 11.145 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, S A = AB = 2a,
ABC = 60
◦
và S A⊥(ABCD).
1. Chứng minh : BD⊥SC, từ đó suy ra khoảng cách từ O đến SC.
2. Tính d(O; S B) và d(D; SC).
Bài 11.146 : Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy
điểm O sao cho AO = 4cm. Tính d(O, BC).
Bài 11.147 : Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = a; BC = 2a). Ax và Cy cùng vuông góc với (ABC) và ở về cùng một phía. Lấy
M ∈ Ax và N ∈ Cy với AM = a, CN = a
√
5. Chứng minh rằn g AB⊥(BCy). Tính khoảng cách từ M đến BN.
Bài 11.148 : Cho góc vuông xOy và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng xOy. Khoảng cách từ A đến Ox, Oy đều bằ ng a và AO =
a
√
7
2
.
Tính khoảng cách từ A đến (xOy).
Vấn đề 2 : Dựng đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)


Bước 1 : Dựng mặt phẳng (Q) đ i qua A và vuông góc với (P).
Bước 2 : Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q). Trong (Q) kẻ đường thẳng qua A vuông góc với c tại H, AH chính là đườn g thẳng cần
dựng và AH là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P).
Nếu đã biết khoảng cách từ B đến (P), để tính k hoảng cách từ A đến (P) chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ sau :
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 217

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)).
2. Nếu AB ∩(P) = {O} thì
d(A, (P))
d(B, (P))
=
OA
OB
.
α
O
A
α
O
A
B
B
Bài 11.149 (Bài toán có bản) : Cho hình chóp S.ABC có S A⊥(ABC). Hãy dựng hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (S BC).
Bài 11.150 (Bài toán cơ bản) : Một đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng (α) c ắt mặt p hẳng này tại trung điểm O của đoạn
thẳng đó. Các đường th ẳ ng vuông góc với (α) qua A và B lần lượt cắt mặt phẳng (α) tại A
′
và B
′

. Chứng minh rằng ba điểm A
′
, O, B
′
thẳng hàng và AA
′
= BB
′
.
Như vậy ta có h ệ quả của bài toán này là : Hai điểm A và B phân biệt cách đều (P) (hoặc ∆) khi và chỉ k hi AB ∥ (P) hoặc trung điểm
M của AB thuộc (P) (tương ứng ∆).
Bài 11.151 : Cho hình chóp S.ABC có S A⊥(ABC), tam giác ABC đều cạnh a và S A = a
√
2. Xác định và tính khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (S BC).
Bài 11.152 : Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một v uông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. X ác định và tính khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
Bài 11.153 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuô ng cạnh a, các cạnh bên cùng bằng 2a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo ở
đáy.
1. Chứng minh rằng SO⊥(ABCD).
2. Xác định và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S BC).
Bài 11.154 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 6a; BC = BD = 5a; AC = AD = a
√
73. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống
(BCD). Chứng minh rằng H nằm trên tru ng tuyến BI của tam giác BCD. Tính d(A, (BCD)).
Bài 11.155 : Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B (AB = 2a, BC = a); S A⊥(ABC). Tính d(B, (S AC)).
Bài 11.156 : Cho hình chóp S.ABC có S A = h, S A⊥(ABC); M là điểm thuộc đoạn S B sao cho
MS
MB
=

1
2
, I là trung điểm của CM.
Tính d(I, (ABC)).
Bài 11.157 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a. Xác định và tính
1. d(A, (SCD)); 2. d(O, (SCD)); 3. d(B, (SCD)); 4. d(C, (S BD)).
Bài 11.158 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuô ng cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a
√
3. Gọi G là trọng tâm tam giác S AB.
Tính d(G, (S AC)).
Bài 11.159 : Cho hình chó p S.ABCD có đáy ABCD là hình vuôn g tâm O cạnh a, , S A⊥(ABCD) và S A = a
√
3, G là trọng tâm tam
giác S AB. Tính
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 218

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. d(M, (ABCD)); 2. d(A, (S BC)); 3. d(O, (S BC)); 4. d(G, (S AC)).
Bài 11.160 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ một điể m đến một mặt phẳng cho dướ i
đây.
1. Điểm A và mặt phẳng (BDB
′

D
′
) ; 2. Điểm A và mặt phẳng (A
′
BD).
Bài 11.161 : Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính d(B, (ACD)).
Bài 11.162 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ điểm A
′
đến mặt phẳng (AB
′
D
′
).
Bài 11.163 : Cho hình chóp đều S.ABC cạnh a. Xác định chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (S BC) và tính d(A, (S BC)).
Bài 11.164 : Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC = a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng S H⊥(ABCD) với S H = a.
1. Tính d(H, (SCD)). Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).
Bài 11.165 : Cho góc vuông
xOy và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông, OM = 23cm và kh oảng cách từ M tới hai
cạnh Ox, Oy đều bằng 17cm. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông.
Bài 11.166 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α), cạnh AC = a
√

2 và tạo với (α) một góc 60
◦
.
1. Tính khoảng cách CH từ C tới (α). 2. Chứng minh rằng cạnh BC tạ o với (α) một góc bằng 45
◦
.
Bài 11.167 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AB = 2a, S A = 4a. Tính :
1. d(O; (S AB)) ; 2. d(A; (SCD)).
Bài 11.168 : Cho tứ diện DABC, có ABC là tam giác vuông tại A, S B = a, AC = 2a. Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với (ABC)
góc α, mặt bên (S BC) vuông góc với (ABC).
1. Tính khoảng cách d từ D đến (ABC) theo a và α ;
2. Tìm số đo α khi biết d =
2a
√
3
, khi đó hãy tính d(C; (DAB)).
Bài 11.169 : Cho hình chóp S.ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) là 60
◦
. Các tam giác S BC và ABC đều, AB = a.
Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) trong mỗi trường hợp sau :
1. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền trong tam giác ABC.
2. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền ngoài tam giác ABC.
Bài 11.170 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A = a và S A⊥(ABCD), gọi M là trung điểm SC. Tính
1. d(A, (SCD));
2. d(B, (SCD));
3. d(O, (SCD));
4. d(C, (S BD));
5. d(M, (ABCDC));
6. d(M, (S AD)).
Bài 11.171 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam g iá c vuông tại A, AB = a, AC = a

√
3 và các cạnh bên cùng hợp với đáy một
góc 60
◦
.
1. Tình d(S, (ABC)), d(A, (S BC)), d(C, (S AB));
2. Tính cosin góc giữa S B và AC;
3. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AC).
Vấn đề 3 : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Ta xét các trường hợp sau đây:
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 219

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
b
B
A
a
A
M
′
B
M
b
b
′
a
α
I H
A

B
O
a
b
b
′
α
a)
b)
c)
a) Giả sử a, b là hai đườ ng thẳng chéo nhau và a⊥b.
- Ta dựng mặt phẳ ng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.
- Trong (α) dựng BA⊥a tại A, ta được độ dài đoạn BA là khoảng cách giữa hai đườn g thẳng chéo nhau a và b (hình a).
b) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.
Cách 1 : - Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b).
- Lấy một điểm M tùy ý trên b dựn g MM
′
⊥(α) tại M
′
.
- Từ A dựng AB ∥ MM
′
cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cách 2 : - Ta dựng mặt phẳng (α)⊥a tại O, (α) cắt b tại I (hình c).
- Dựng hình chiếu vuông góc của b là b
′
trên (α).
- Trong mặt phẳng (α), vẽ OH⊥b
′
tại H.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.
Độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Chú ý : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta thường làm như sau :
• Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b).
• Lấy điểm M ∈ b. Ta có d(a, b) = d(b, (α)) = d(M, (α)).
Bài 11.172 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung đ iể m BC. Hãy
dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
1. OA và BC; 2. AI và OC.
Bài 11.173 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
BAD = 60
◦
, S O⊥(ABCD), S O =
3a
4
.
1. Tính d(O, (S BC)) và d(A, (S BC)); 2. Tính d(AD, S B).
Bài 11.174 : Cho lăng trụ đứng ABC.A
′
B
′
C
′
có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, A
′
C
′
, B
′

C
′
. Tính khoảng các giữa các cặp đườn g thẳn g sau :
1. DE và AB
′
; 2. A
′
B và B
′
C
′
.
Bài 11.175 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hìn h vuông cạnh a, có cạnh S A = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 220

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. S B và CD; 2. SC và BD; 3. SC và AB; 4. AC và S D.
Bài 11.176 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính các khoảng cách :
1. d(A, (CDD
′
C

′
)) ;
2. d(A, CC
′
) ;
3. d(AA
′
, (BB
′
D
′
D)) ;
4. d((AIA
′
), (CJC
′
)) ;
5. d(BD, A
′
C) ;
6. d(AA
′
, BD
′
) ;
7. d(AI, JC
′
).
Bài 11.177 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
′

B
′
C
′
, mặt đáy ABC là ta m giác cân tại đỉnh A có
A = 120
◦
, cạnh bên bằng a.
1. Tính d(A, (BB
′
C
′
C)).
2. Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AA
′
và B
′
C.
Bài 11.178 : Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, AC = BD = b, AB = x, CD = y. Tính khoảng cách giữ a hai đường thẳng AB và
CD.
Bài 11.179 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh a. Tính d(A, (BDA
′

)), d((A
′
BD), (CB
′
D
′
)), d(A
′
D, D
′
C).
Bài 11.180 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
′
B
′
C
′
có cạnh bê n AA
′
= a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a
√
3.
Tính d(AA
′
, (BCC
′
B
′
)), d(A
′

, (ABC
′
)), d(A, (A
′
BC)).
Bài 11.181 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = S B = S C = S D = a
√
2. Tính d(S, (ABCD)), d(AD, S B).
Bài 11.182 : Cho hình chóp S.ABC có S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A = a
√
2, đáy ABC là tam giác vuông tại B có BA = a.
Gọi M là trung điểm của AB. Tính d(S M, BC).
Bài 11.183 : Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau góc 60
◦
, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung. Trên By, lấy điểm C sao
cho BC = a. Tính d(C, (B, Ax)), d(C, Ax) và tìm điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D.
Bài 11.184 : Cho tứ diện ABCD có bốn mặt là bốn ta m giác có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằ ng đoạn nối trung điểm hai cạnh
đối diện cũng là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó.
Bài 11.185 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
′
B
′
C
′
có cạnh bên bằng h. Biết khoảng cách giữa A
′
B
′
và BC
′

bằng d. Tính cạnh
đáy của hình lăng trụ theo d và h.
Bài 11.186 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = a, S A⊥(ABC), S A =
a
√
2
2
. Tính góc giữa hai mặt
phẳng (S AC) và (S BC); tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC, với I là trung điểm BC.
Bài 11.187 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
CBA = BAD = 90
◦
, S A = AB = BC = a và AD = 2a. Biết hai mặt
phẳng (S AB) và (S AD) cùng vuông góc với đáy.
1. Tính d(S, (BCD)); d(A, (SCD)); d(AD, (S BC)).
2. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
3. Tính d(S A, CD), d(BC, S D), d(S B, CD).
Bài 11.188 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
có ABC và ABB
′
là hai tam g iá c đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông
góc với nhau.
1. Tính d(B
′
, (ABC)); d(A, (BCC

′
B
′
)).
2. Tính góc và khoả ng cách giữa hai đường thẳng AB
′
và CC
′
.
Bài 11.189 : Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh A, chân đường cao của hình chóp trùng với trung điểm của BC và góc
giữa S A và mặt phẳng (ABC) bằng 60
◦
.
1. Tính d(S A, BC); d(B, (S AC)).
2. Gọi G là trọn g tâm tam giác S BC. Tính góc giữa (ABC) và (ABG), từ đó suy ra diện tích của tam giác ABG.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 221

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
11.6 Khối đa diện và thể tích khối đa diện
Vấn đề 1 : Phương pháp trực tiếp tìm thể tích khối chóp

Sử dụng công thức V =
1
3
S.h với hình chóp và V = S.h với hình lăng trụ, trong đó S là diện tích đáy còn h là độ dài đường cao.
1. Phương pháp xác định trực tiếp chân đường cao :
Dưới đây là một số đặc điểm thường gặp của hình chóp và vị trí chân đường cao tương ứng.
• Hình chó p có cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.
• Hình chó p đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và đường đi qua tâm của đáy (các cạnh bên bằng nhau).
• Hình chó p có hai mặt phẳng (cùng chứa đỉnh) vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

• Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính
là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Hình chóp có một mặt (chứa đỉnh) vuông góc với đáy, thì đường cao chính là đường cao (xuất phát từ đỉnh) của mặt b ên
đó.
• Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy nhữ ng góc bằng nhau hoặc các mặ t bên có các đường cao (xuấ t phát từ đỉnh) bằng
nhau thì chân đường cao cách đều các cạnh của đáy. Nếu lúc này đáy là tam giác thì chân đường cao chính tâm đường tròn
nội tiếp hoặc ngoại tiếp tam giác đáy.
2. Phương pháp gián tiếp xác định độ dài đường cao : Chúng ta sử dụng các phương pháp xác định khoảng cách từ một điể m đến
mặt phẳ ng, cụ thể
• Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P));
• Nếu AB ∩ (P) = {O} thì
d(A, (P))
d(B, (P))
=
OA
OB
.
Bài 11.190 : Cho chóp đều S.ABCD có cạn h đáy bằng a, S AC = 45
◦
. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
Bài 11.191 : Cho hình chóp S.ABC có S B = SC = BC = CA = a; hai mặt bên (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (S BC). Tính thể
tích khối chóp.
Bài 11.192 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′

có cạnh a. Lấy M ∈ AB, N ∈ C
′
D
′
. Chứng minh rằng tứ diện B
′
A
′
MN có thể tích
không đổi.
Bài 11.193 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính thể tích khối tứ
diện AB
′
MN.
Bài 11.194 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vu ông cạnh a; (S AC)⊥(ABCD); ASC = 90
◦
và S A tạo với đáy một góc α. Tính
thể tích khối chóp.
Bài 11.195 : Cho hình chóp S.ABC có
BAC = 90
◦
, ABC = α; S BC là ta m giác đều cạnh a, (S BC)⊥(ABC). Tính thể tích khối chóp.

Bài 11.196 : Cho tứ diện ABCD có AD = b và 5 cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích khối tứ diện.
Bài 11.197 : Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính cạnh của hình chóp biết thể tích của khối chóp bằng
9a
3
√
2
2
.
Bài 11.198 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Biết khoảng cách từ A đến (S BC) bằn g d, góc giữa AB và mặt phẳng (S BC) là bằng
α. Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối chóp.
Bài 11.199 : Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60
◦
.
Tính thể tích khối chóp đó.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 222

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.200 : Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân , AB = AC = 5a, BC = 6a. Các mặt bên tạo với đáy một góc 60
◦
, chân
đường cao của hình chóp nằm trong miền tron g tam giác ABC. Hãy tính thể tích khối chóp đó.
Bài 11.201 : Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc AS B bằng 2ϕ. Hãy tính thể tích khối chóp.
Bài 11.202 : Cho khối chóp S.ABC có S A⊥(ABC); đáy là tam giác ABC cân tại A, đ ộ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên S B tạo
với đáy một góc α và tạo với mặt (S AD) góc β. Tính thể tích khối chóp.
Bài 11.203 : Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, α là góc giữa hai đườn g thẳng đó. Chứng
minh rằng
V
ABCD
=
1

6
AB.CD.d. sinα.
Bài 11.204 : Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và S A⊥(ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt
phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Bài 11.205 : Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa
mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất.
Bài 11.206 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau :
AB = CD = a; AC = BD = b; AB = BC = c.
Bài 11.207 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A
′
B
′
C
′
có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp A.BC
′
A
′
.
Bài 11.208 : Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng (P) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy một điểm S . M ặ t phẳng (Q) qua A vuông góc với S B tại K cắt S M tại H. Tìm vị trí của M đ ể
thể tích khối chóp S.AHK lớn n hất. Chứng minh rằng khi đó cung
AM nhỏ hơn cung BM.
Bài 11.209 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a. Cạnh bên của lăng trụ bằn g a và

vuông góc với đáy.
1. Chứng minh rằng 6 đỉnh của lăng trụ n ằm trên một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.
3. Tính góc giữa mặt phẳng (CA
′
B
′
) và mặt đáy (ABC).
Bài 11.210 : Cho lăng trụ đứ ng ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
A = 60
◦
. Đường chéo A
′
C của lăng trụ hợp
với đáy một góc bằng 60
◦
.
1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối lăng trụ đó.
2. Hai mặt ph ẳng (P) và (Q) chứa DD
′
cắt các cạnh AB, A
′

B
′
, BC và B
′
C
′
lần lượt tại M, M
′
, N và N
′
. Giả sử AM = x, BN = y.
Tìm x, y để (P) và (Q) chia lăng trụ thành ba phần tương đương (có thể tích bằng nhau).
Bài 11.211 : Cho lăn g trụ đứng ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy ABC là tam giác cân tại A. Góc giữa AA
′
và BC
′
là 30
◦
và khoảng cách giữa
chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên chứa AA
′
là 60
◦
. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 11.212 : Cho lăn g trụ đều ABC.A
′
B
′
C
′
. Mặ t phẳng (A
′
BC) cách A một khoảng bằng
a
√
3
4
và hợp với BC
′
một góc α với sin α =
√
15
10
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 11.213 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy là tam giác đều cạnh a và A
′
A = A
′

B = A
′
C = b.
1. Chứng minh rằng BCC
′
B
′
là hình chữ nhật.
2. Xác định b theo a để mặt bên (ABB
′
A
′
) hợp với đáy góc 60
◦
.
3. Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối lăng trụ theo a với giá trị b vừ a tìm được.
Bài 11.214 : Cho lăng trụ đứng ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A
′
có hình chiếu trùng với tâm O của tam giác ABC.
Cạnh bên hợp với đáy một góc 45
◦
.
1. Tính thể tích của khối lăng trụ.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 223

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.
Bài 11.215 : Cho lăng tr ụ ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc α, đáy là hình th oi góc
A = α và AC = 2a. Mặt
chéo ACC
′
A
′
vuông góc với đáy.
1. Chứng minh rằng BDD
′
B
′
là hình chữ nhật và các mặt bên bằng nhau.
2. Tính thể tích khối lăng trụ.
3. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.
Bài 11.216 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C

′
có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC = 2a, BAC = 2α. Đỉnh A
′
cách đều ba đỉnh A, B, C. Các
cạnh bên hợp với đáy một góc 60
◦
.
1. Tính thể tích khối lăng trụ.
2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.
Bài 11.217 : Cho lăng trụ ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
A = 60
◦
. Hình chiếu của A
′
xuống dưới mặt phẳng
(ABCD) trù ng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Cho biết BAA
′
= 45
◦
.
1. Tính thể tích khối lăng trụ.
2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

Bài 11.218 : Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có khoảng cách giữa hai đường thẳ ng AB và A
1
D bằng 2 và độ dài dg
chéo mặt bên bằng 5.
1. Hạ AK⊥A
1
D (K ∈ A
1
D). Chứng minh rằng AK = 2.
2. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
Bài 11.219 : Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1

C
1
là một tam giác đều. Mặt phẳng (A
1
BC) tạo với đáy m ột góc 30
◦
và tam giác
A
1
BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 11.220 : Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy là hình bình hành và
BAD = 45
◦
. Các đường chéo AC
1
và DB
1
lần lượt
tạo với đáy AC
1
và DB
1

lần lượt tạo với đáy những góc 45
◦
và 60
◦
. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.
Bài 11.221 : Cho khối hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,
A
1
AB = BAD = A
1
AD = α (0
◦
< α < 90
◦
).
Hãy tính thể tích của khối hộp.
Bài 11.222 : Cho khối hộp ABCD.A
′
B
′
C
′

D
′
có đáy là hình chữ nhật với AB = a
√
3, AD = a
√
7. Hai mặt bên (ABB
′
A
′
) và (ADD
′
A
′
)
lần lượt tạo với đáy những góc 45
◦
và 60
◦
. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết cạnh bên bằng 1.
Bài 11.223 : Cho khối lăng tr ụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
mà mặt bên ABB
1
A
1

có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa CC
1
và mặt phẳng
(ABB
1
A
1
) bằng 7. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
Cho khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng
√
2. Cho biết mặt phẳng (AA
1
B) vuông góc với
mặt phẳng (ABC), AA
1
=
√
3, góc A
1
AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (AA
1
C) và mặt phẳng (ABC) bằng 60
◦
. Hãy tính thể tích khối lăng

trụ.
Bài 11.224 : Cho hai đường thẳng chéo nhau Ax, By. Gọi C và D là hai điểm di động lần lượt trên Ax, By sao cho
a
AC
+
b
BD
= k (a, b
là độ dài cho trước, k là số thực dương cho trước).
1. Chứng minh rằng đoạn CD luôn luôn cắt một đoạn thẳng cố định.
2. Xác định vị trí của C, D để thể tích tứ diện ABCD nhỏ nhất.
Bài 11.225 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳn g (ABC) tại A, ta lấy điểm M. Gọi H là trực
tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác BCM.
1. Chứng minh rằng MC⊥(BHK) và HK⊥(BCM).
2. Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích tứ diện KABC.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 224

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.226 : Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a, lấy điểm M sao cho AM = x(0 ≤ x ≤ a). Trên nửa đường
thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng hình vuông tại điểm A, lấy điểm S sao cho S A = y(y > 0).
1. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S BC).
2. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCA).
3. Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
4. Biết rằng x
2
+ y
2
= a
2
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.

Bài 11.227 : Hình lăng trụ đứng ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy ABC là một tam giác vuông tại a và AC = b,
C = 60
◦
. Đồng thời đường chéo
BC
′
của mặt bên BB
′
C
′
C tạo với mặt phẳng (AA
′
C
′
C) một góc 30
◦
.
1. Tính độ dài đoạn A
′
C ; 2. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 11.228 : Cho chóp tứ giác đều S.ABCD.
1. Biết AB = a và S A = l, tính thể tích khối chóp theo a và l.
2. Biết S A = l và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α. Tính thể tích khối chóp theo α và l.
Bài 11.229 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

1. Biết AB = a và góc giữa mặt bên và đáy bằng α, tính thể tích khối chóp theo a và α.
2. Biết độ dài của đoạn thẳng nối đỉnh hình chóp với trung điểm của một cạnh đáy bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ,
tính thể tích khối chóp theo d và ϕ.
Bài 11.230 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Hơn nữa góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy
bằng 60
◦
và hình chiếu H của đỉn h A lên mặt phẳng (A
′
B
′
C
′
) trùng với trung điểm của cạnh B
′
C
′
.
1. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy.
2. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC
′
.
3. Tính góc giữa mặt phẳng (ABB
′
A

′
) và mặt đáy.
4. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 11.231 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điể m của các cạnh S B, BC, CD. Chứng m inh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khố i tứ
diện CMNP.
Bài 11.232 : Cho lăng trụ đều ABC.A
′
B
′
C
′
có chiều cao bằng h và hai đườn g thẳn g AB
′
, BC
′
vuông góc nhau. Tìm thể tích khối lăng
trụ đó.
Bài 11.233 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB bằng a và góc S AB bằng α. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a và α.
Bài 11.234 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhậ t có AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng a
√
2. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 11.235 : Cho hình lập phương OBCD.O
1
B
1
C
1

D
1
có độ dài mỗi cạnh bằng a.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng O
1
B và B
1
C.
2. Gọi N là trun g điểm của BD
1
. Tính thể tích khối chóp ONBB
1
.
3. Gọi M là một điểm bất kì thuộc OO
1
. Chứng minh rằng tỉ số thể tích k hối chóp MBCC
1
B
1
và hình lăng trụ OCBO
1
B
1
C
1
không
phục thuộc vào vị trí điểm M.
Bài 11.236 : Chứng minh rằng nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích của tứ diện đó lớn nhất là
1
8

.
Bài 11.237 : Kí hiệu S và V lần lượt là diện tích toàn phầ n và thể tích của hình chóp đều n - giác.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 225