Khóa luận tốt nghiệp: Bước đầu nghiên cứu lớp hàm điều hòa dưới

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán Lý - Tin, các thầy cơ trong tổ bộ mơn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT,
Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán
và đặc biệt là thầy giáo - Thạc sĩ Vũ Việt Hùng đã tận tình tạo điều kiện,
quan tâm, giúp đỡ em trong suốt q trình thực hiện khóa luận. Những
ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của q thầy cơ, bạn bè đã tạo điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận này.
Khóa luận của em khơng tránh khỏi những thiếu sót và kết quả cịn
chưa được như mong muốn. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp
ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên Khoa Tốn - Lý - Tin để
khóa luận này được hoàn thiện hơn.

Sơn La, tháng 04 năm 2014.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Thúy Hằng.


Mục lục

Lời cảm ơn

1

Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2 Hàm điều hòa dưới
2.1

21

Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2

Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.3

Tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.4

Tính duy nhất của hàm điều hòa dưới . . . . . . .

24

2.1.5

Một số tính chất khác . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Dãy các hàm điều hòa dưới

. . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Định lý biểu diễn của hàm điều hòa dưới trên Rm . . . . .

39

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

53

2


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết hàm điều hịa và các tính chất của nó cho ta rất nhiều ứng
dụng phải kể đến đó là tính chất bất biến qua hình cầu tâm và bán kính
bất kỳ, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực đại (Giá trị cực đại hoặc
cực tiểu trên miền đạt được trên biên),... Trong giải tích phức, các hàm
điều hịa dưới có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm chỉnh
hình, đặc biệt là trong lý thuyết thế vị phức. Việc định nghĩa và xét các

tính chất của hàm điều hịa dưới phải thơng qua các hàm nửa liên tục.
Ngồi những tính chất đặc trưng của hàm điều hịa, hàm điều hịa dưới
cịn có các tính chất quan trọng khác, đặc biệt là định lý biểu diễn của
hàm điều hòa dưới.
Ở trường ĐH Tây Bắc nghiên cứu về lớp các hàm điều hòa dưới vẫn
chưa được nghiên cứu một cách cụ thể, gây khó khăn cho sinh viên khi tìm
tài liệu tham khảo, đặc biệt đối với sinh viên lớp Tốn, khoa Tốn - Lý Tin.
Xuất phát từ lí do đó em mạnh dạn nghiên cứu khóa luận: Bước đầu
nghiên cứu lớp hàm điều hịa dưới.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận này là nghiên cứu một số tính chất của hàm
điều hòa dưới, dãy và biểu diễn của hàm điều hịa dưới. Từ đó, nhằm cung
cấp tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường Đại học
Tây Bắc.
Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hịa dưới bao gồm các tính
chất cơ bản, giá trị trung bình...
Trình bày dãy các hàm điều hòa dưới và định lý biểu diễn hàm điều
hòa dưới.


3. Đối tượng nghiên cứu.
Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hịa dưới và một số tính
chất liên quan khác.
Tìm hiểu một số tính chất liên quan dãy các hàm điều hòa dưới, biểu
diễn của hàm điều hịa dưới.
4. Phạm vi, phương pháp nghiên cứu
Trong khóa luận chỉ tập chung vào định nghĩa, phân tích rõ một vài tính

chất cơ bản và các tính chất hay gặp của hàm điều hịa dưới như: ngun
lý cực đại, tính chất giá trị trung bình, tính duy nhất của hàm điều hịa
dưới, hàm điều hịa dưới và tính lồi,...
Ngồi ra, em cịn phân tích một số tính chất của dãy các hàm điều hòa
dưới, biểu diễn của hàm điều hòa dưới.
Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, hỏi ý kiến chuyên gia, Seminar, thảo luận.
5. Cấu trúc đề tài
Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 2 chương với
những nội dung chính sau đây:
Chương một nhắc lại một số kiến thức mở đầu để người đọc theo dõi
dễ dàng hơn trong phần sau. Hàm nửa liên tục, hàm điều hịa, hàm chỉnh
hình.
Chương hai trình bày các vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm điều
hòa dưới, định nghĩa, tính chất cơ bản, một số tính chất khác của hàm
điều hòa dưới, dãy các hàm điều hòa dưới, biểu diễn của hàm điều hòa dưới.

4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này cung cấp cho ta những kiến thức cơ bản về hàm nửa
liên tục, hàm điều hịa và hàm chỉnh hình để người đọc dễ dàng theo dõi
nội dung sau của khóa luận.
1.1

Hàm nửa liên tục

Cho x ∈ Rm là một điểm trên không gian Euclid m chiều, E là tập Borel

và f (x) là hàm xác định trên E sao cho f (x) = ∞.
Tập
M (f, x, ) := sup{f (x ) : |x − x | < , x ∈ E}.

(1.1.1)

Hàm f ∗ (x) := lim M (f, x, ) được gọi là hàm chính quy hóa nửa liên tục
→0

trên của f (x).
Mệnh đề 1.1.1. Các khẳng định sau đúng.
(1) f (x)

f ∗ (x).

(2) (αf )∗ (x) = αf ∗ (x).
(3) (f ∗ )∗ (x) = f ∗ (x) và (f1 + f2 )∗ (x)
(4) (max (f1 , f2 ))∗ (x)
(min (f1 , f2 ))∗ (x)

∗
∗
f1 (x) + f2 (x).

∗
∗
max (f1 , f2 )(x).

∗
∗

min (f1 , f2 )(x).

Chứng minh. (1) Hiển nhiên f (x)

f ∗ (x).

5


(2) Theo định nghĩa của f ∗ (x), ta có:
(αf )∗ (x) = lim sup{(αf )(x ) : |x − x | < , x ∈ E}
→0

(αf )∗ (x) = lim sup{αf (x ) : |x − x | < , x ∈ E}
→0

(αf )∗ (x) = α lim sup{f (x ) : |x − x | < , x ∈ E}
→0

= αf ∗ (x).
Vậy (αf )∗ (x) = αf ∗ (x).
(3) Ta có:
(f ∗ )∗ (x) = lim sup{f ∗ )(x ) : |x − x | < , x ∈ E}
→0

= lim sup{lim sup{f (x ) : |x − x | < , |x − x | < ; x , x ∈ E}
→0

→0

= lim sup{f (x ) : |x − x | < , x ∈ E}
→0

= f ∗ (x).
Mặt khác:
(f1 + f2 )∗ (x) = lim sup{(f1 + f2 )(x ) : |x − x | < , x ∈ E}
→0

= lim sup{f1 (x ) + f2 (x ) : |x − x | < , x ∈ E}
→0

lim sup{f1 (x ) : |x − x | < , x ∈ E}
→0

+ lim sup{f2 (x ) : |x − x | < , x ∈ E}.
→0

Khi đó ta được (f1 + f2 )∗ (x)

∗
∗
f1 (x) + f2 (x).

Tương tự với chứng minh (4)
Hàm f (x) gọi là nửa liên tục trên tại x nếu f ∗ (x) = f (x).
Lớp các hàm liên tục trên E ký hiệu là C + (E).
Hàm f (x) gọi là nửa liên tục dưới nếu −f (x) là hàm nửa liên tục trên. Ký
hiệu f ∈ C − (E).
Mệnh đề 1.1.2 (Hàm đặc trưng nửa liên tục). Cho G ⊂ Rm là một tập
mở. Khi đó hàm đặc trưng χG là hàm nửa liên tục dưới trên Rm . Nếu

F ⊂ Rm là tập đóng thì χF là nửa liên tục trên.
6


Mệnh đề 1.1.3. Nếu f ∈ C + ∩ C − thì f là hàm nửa liên tục.
Chứng minh. ∀ > 0 cho trước bất kỳ.
Do f ∈ C + ∩ C − nên ta có:
f ∗ (x) = lim sup{f (x ) : |x − x | < }.
→0

−(−f )∗ (x) = lim inf{f (x ) : |x − x | < }.
→0

Do f (x) ∈ C + tại x nên f ∗ (x) = f (x).
Suy ra |f (x) − f (x )| < .
Vậy f (x) liên tục.
Những mệnh đề sau cho ta một vài phép tính trên lớp C +
Mệnh đề 1.1.4 (Tính chất C + ). (1) Nếu f ∈ C + (E) thì αf ∈ C + (E),
∀α

0.

(2) Nếu f1 , f2 ∈ C + thì f1 + f2 , max (f1 , f2 ), min (f1 , f2 ) ∈ C + .
Định lý 1.1.1. Hàm f ∈ C + khi và chỉ khi GA là tập mở, ∀A ∈ R.
Chứng minh. Cho f (x) = f ∗ (x), x ∈ G. Khi đó:
{f (x) < A} ⇒ {f ∗ (x) < A}.
⇒ {M (f, x, ) < A}, ∀ đủ bé.
Do đó, lân cận của x.
V ,x := {x : |x − x | < } ⊂ GA .
Ngược lại, tập GA mở. Đặt A = f (x0 ) + δ, δ > 0 bất kỳ.

Do đó δ = 0.
⇒ f ∗ (x0 ) = f (x0 ).
Cho F là một tập đóng. Tập F A := {x ∈ F : f (x)

A}.

Hệ quả 1.1.1. f ∈ C + khi và chỉ khi F A là tập đóng với mọi A.
Ta định nghĩa tập M (f, K) = sup{f (x) : x ∈ K}, K - compact.

7


Định lý 1.1.2 (Weierstrass). Cho K ⊂ Rm là tập compact và f ∈ C + (K).
Khi đó ∃x0 ∈ K sao cho:
f (x0 ) = M (f, K).
Nghĩa là f đạt cận trên đúng của nó trên bất kỳ tập compact.
Chứng minh. Tập
Kn := {x ∈ K : f (x)

1
M (f, K) − }.
n

Kn là tập đóng bởi Hệ quả (1.1.1), khác rỗng bởi định nghĩa của M (f, K)
giao của chúng là khác rỗng và bằng tập:
Kmax := {x ∈ K : f (x)
Nghĩa là ∃x0 ∈ K sao cho f (x0 )

M (f, K)}.

M (f, K).

M (f, K) đúng với bất kỳ x ∈ K.

Bất đẳng thức đối f (x0 )

Mệnh đề 1.1.5 (Tính liên tục phải của M (f, K)). Nếu fn ∈ C + (K) và
fn ↓ f thì M (f, K) ↓ M (f, K).
Chứng minh. Ta có:
lim M (fn , K) := M

n→∞

tồn tại. Tập:
Kn := {x ∈ K : fn (x)

M }.

Giao của các Kn đóng, khác rỗng là một tập khác rỗng và có dạng:
Kn = {x : f (x)

M }.

n

Do vậy M (f, K)

M.

Bất đẳng thức còn lại là hiển nhiên.

Định lý 1.1.3. f ∈ C + (K) khi và chỉ khi tồn tại dãy hàm liên tục {fn }
và fn ↓ f .
Chứng minh. Điều kiện đủ.
A
Cho fn ∈ C + (K) và fn ↓ f . Tập Kn := {x ∈ K : fn (x)
8

A} là dãy tập


đóng khác rỗng.
Nếu tập K A := {x : f (x)

A} khác rỗng thì K là tập đóng vì
n

A
Kn = K A .

+

Do đó f ∈ C (K) bởi Hệ quả (1.1.1).
Điều kiện cần.
Tập:
fn (x, y) := f (y) − n|x − y|.
Các dãy hàm có các tính chất sau:
a) Đơn điệu giảm trong n và

f (x) nếu x = y
lim fn (x, y) =

n→∞
−∞ nếu x = y.
b) Cố định n, hàm fn liên tục tại x, thống nhất với y vì
|fn (x, y) − fn (x , y)|

n|x − x |.

c) fn là nửa liên tục trên trong y.
Từ Mệnh đề (1.1.5) và c) suy ra lim My (fn (x, y), K) = My ( lim fn (x, y), K).
n→∞

n→∞

Từ b) suy ra hàm fn (x) := My (fn (x, y), K) liên tục.
Từ a) suy ra hàm đã cho đơn điệu giảm tới f (x).
Xét họ hàm nửa liên tục trên {ft : t ∈ T ⊂ (0, ∞)}. Dễ dàng chứng minh
được mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1.6. Nếu ft ∈ C + thì inf ft (x) ∈ C + .
t∈T

Tập fT (x) := sup ft (x). Hàm fT nửa liên tục trên nếu T là hữu hạn và ft
t∈T

liên tục. Không thể thay thế sup trong định nghĩa của fT bằng sup, ở đó
T

T0

T0 hữu hạn đếm được. Tuy nhiên bất đẳng thức sau đúng.
Định lý 1.1.4 (Bổ đề Choquet’s). Tồn tại tập đếm được T0 ⊂ T sao cho:

(sup ft )∗ (x) = (sup ft )∗ (x).
T0

T

Chứng minh. Cho {xn } là tập đếm được trù mật trên Rm và
đó hình cầu Kn,j := {x : |x − xn | <

j}

9

j

→ 0. Khi

phủ mỗi điểm x ∈ Rm vô hạn.


Đánh lại chỉ số ta được dãy {Kl : l ∈ N}, l tồn tại bất kỳ bởi định nghĩa
của supKl , x0 ∈ Kl . Khi đó:
sup fT (x)

fT (x0 ) +

Kl

1
.
2l

(1.1.2)

Từ định nghĩa của sup, tồn tại tl sao cho:
T

fT (x0 ) < ftl (x0 ) +

1
.
2l

Do đó:
1
.
(1.1.3)
2l
Từ bất đẳng thức (1.1.2) và (1.1.3) khi đó bất kỳ l, tồn tại tl sao cho:
fT (x0 ) < sup{ftl (x) : x ∈ Kl } +

1
sup{ftl (x) : x ∈ Kl } + .
l
Bây giờ, tập T0 = {tl }. Rõ ràng fT0 (x) fT (x) và do đó:
sup{fT (x) : x ∈ Kl }

∗
fT0 (x)

∗

fT (x).

(1.1.4)

(1.1.5)

Ta đi chứng minh bất đẳng thức đối.
Cho x ∈ Rm , chọn một dãy con {Klj } dần tiến tới x. Từ (1.1.4) ta có:
∗
fT (x)

lim sup sup fT (x )

j→∞

x ∈Klj

lim sup sup ftlj (x )

j→∞

x ∈Klj

lim sup sup fT0 (x )

j→∞

x ∈Klj

∗

= fT0 (x).

Suy ra:
∗
fT (x)

∗
fT0 (x).

10

(1.1.6)


1.2

Hàm điều hòa

Cho D là miền trên C (D là miền mở liên thông). Ta ký hiệu số phức
z = x + iy ∈ D; x, y ∈ R.
Chú ý 1.2.1. +) h(x) là đạo hàm riêng của h theo biến x; hxx , hyy , hxy , hyx
là đạo hàm riêng cấp hai của h.
+) C 2 (D) là không gian các hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm h : D −→ R gọi là hàm điều hòa trên D nếu
h ∈ C 2 (D) và hxx + hyy = 0 trên D.

Bây giờ ta xét trong Rm .
Ta định nghĩa ∆ như toán tử Laplace trong Rm .
∂2
∂2

∆ := 2 + ... + 2 .
∂x1
∂xm
Ta xây dựng trong Rm một hệ tọa độ cầu cho bởi công thức:
x1 = r sin φ0 sin φ1 ... sin φm−2 .
x2 = r cos φ0 sin φ1 ... sin φm−2 .
x3 = r cos φ1 sin φ2 ... sin φm−2 .
.
.
.
xk = r cos φk−2 sin φk−1 ... sin φm−2 .
.
.
.
xm = r cos φm−2 .
Khi đó: 0 < φ0

φj < π, j = 1, m − 2, 0 < r < ∞.

2π; 0

Đi qua điểm (r, φ0 , φ1 , ..., φm−2 ) trong các tốn tử Laplace ta có:
∆=

1

r

.
m−1

∂ m−1 ∂
1
.r
. + 2 .∆x0 .
∂r
∂r r

Tốn tử ∆x0 gọi là hình cầu và có dạng:
m−2

∆x0 :=
i=0

1 ∂ Π ∂
.
Π ∂φi Πi ∂φi

11


Trong đó:
m−2

Π :=

j

m−2

sin φj , Πi :=
j=1

sin2 φj , Πm−2 := 1.

j=i+1

Đặc biệt với m = 2 nghĩa là:
∂
1 ∂2
1 ∂
∆ = . .r. + 2 . 2 .
r ∂r ∂r r ∂φ
Ta có hàm H ∈ D (G) gọi là điều hịa nếu có phương trình:
∆H = 0.
Sau đây là một vài ví dụ về hàm điều hịa, hàm khơng điều hịa.
Ví dụ 1.2.1. a) h(z) = |z|2 = x2 + y 2 là hàm khơng điều hịa ở bất cứ điểm
nào trên C vì: ∆H = 4 = 0.
b) h(z) = ln(|z|2 ) là hàm điều hòa trên D = C \ {0}. Vì h(z) = ln(z) =
ln

x2 + y 2 và ∆H = 0 nếu z = 0).

c) h(z) = Rez = x2 − y 2 là hàm điều hòa trên C.
Định lý 1.2.1. Mọi hàm điều hịa đều khả vi vơ hạn.
Cho f (z), z = x + iy là hàm chỉnh hình trên miền G ⊂ C. Khi đó hàm
u(x, y) = Ref (z) và hàm v(x, y) = Imf (z). Hàm rn cos nϕ và rn sin nϕ,
trong đó r = |z|, ϕ = arg z là các hàm điều hòa.
Tập:


−|x|2−m
εm (x) =
log |z|

nếu m

3

nếu m = 2.

Suy ra εm (x) là hàm điều hòa với |x| = 0.

(m − 2)σm nếu m 3
Tập θm :=
2π
nếu m = 2.
Trong đó mặt cầu xác định trên R.
Ta xét tập D(G) bao gồm các hàm khả vi vô hạn và D (G) - không gian
các hàm khả vi có giá compact trên R.
Định lý 1.2.2. Cho hàm εm (x, y) xác định trên D (Rm ). Phương trình
∆x .εm (x, y) = θm .δ(x − y).
12

(1.2.7)


Trong đó δ(x) là hàm Dirac.
Bây giờ ta xét miền Ω là miền Lipschitz, nghĩa là mỗi bộ phận của ∂Ω
có thể được biểu diễn trong một vài tọa độ địa phương (x, x ), x ∈ R,
x ∈ Rm−1 có dạng x = f (x ). Trong đó f là Lipschitz, nghĩa là:

|f (x1 ) − f (x2 )|

M∂Ω |x1 − x2 |.

Trong đó M phụ thuộc duy nhất ∂Ω và không phụ thuộc vào bộ phận địa
phương này.
Cho G(x, y, Ω) là hàm Green của một miền Lipschitz Ω.
Ta đã biết hàm Green có những tính chất sau.
1) G(x, y, Ω) > 0, cho (x, y) ∈ Ω × Ω; G(x, y, Ω) = 0 cho (x, y) ì .
2) G(x, y, ã) = G(y, x, •).
3) G(x, y, •) − εm (x − y) = H(x, y).
H là hàm điều hòa trên x và y trong Ω.
4) −G(x, y, Ω1 )

−G(x, y, Ω2 ) cho Ω1 ⊂ Ω2 .

Định lý 1.2.3 (Hàm Green). Đẳng thức:
∆x G(x, y, Ω) = θm δ(x − y).

(1.2.8)

trên D (Ω).
Cho f (x) là hàm liên tục trên ∂Ω. Ta biết rằng hàm:
H(x, f ) =

f (y).

∂
.G(x, y, Ω)dsy
∂n

∂Ω

là hàm điều hòa duy nhất đúng với f trên ∂Ω.
Nghiệm duy nhất của phương trình Poisson:

∆u = p
 u|
∂Ω = f.
Cho một hàm liên tục p được tính bằng cách lấy cơng thức:
13

(1.2.9)


θm u(x, f, p) :=

f (y).

∂
.G(x, y, Ω)dsy +
∂n

G(x, y, Ω)p(y)dy. (1.2.10)
Ω

∂Ω

Cho D là một miền mở tùy ý. Ta định nghĩa G(x, y, D) theo cách sau:
Xét dãy Ωn của một miền Lipschitz sao cho Ωn ↑ D. Dãy các hàm Green

G(x, y, Ωn ) đơn điệu giảm. Nếu nó bị chặn dưới bởi điểm nào đó thì nó
bị chặn khắp nơi với x = y. Ta sẽ sử dụng chủ yếu hàm Green cho miền
Lipschitz.
Cho G(x, y, Ka,R ) là hàm Green trên hình cầu Ka,R = {|x − a| < R.
Định lý 1.2.4 (Hàm Green trên hình cầu). Hàm:

∗


−|x − y|2−m − |y − a|x − ya,R

R
G(x, y, Ka,R ) =
|ς − z|R

log


∗
|ς − a||z − ςa,R |
∗
Trong đó ya,R = a + (y − a)

2−m

nếu m

3

nếu m = 2.

R2
là phép nghịch đảo của y tương đối tới
|y − a|2

hình cầu {|x − a| = R}.
Định lý 1.2.5 (Tích phân Poison). Cho H là hàm điều hịa trên Ka,R và
liên tục trên tập đóng. Khi đó:
R2 − |x − a|2
H(y)
dsy , x ∈ K(a, R).
|x − y|m

1
H(x) =
σm R

(1.2.11)

|x−y|=R

Đặc biệt với m = 2
2π

1
H(a + re ) =
2π
iφ

H(a + Re

iψ)

R2 − r 2
dψ.
R2 − 2Rr cos (φ − ψ) + r2

0

Định lý 1.2.6 (Giá trị trung bình). Cho H điều hòa trên G ⊂ Rm . Khi đó:
H(x) =

1
σm Rm−1

H(y)dsy .
|x−a|=R

Trong đó x ∈ G và lấy R sao cho K(x, R)
Ta lấy duy nhất tập a := x trong (1.2.11).
14

G.

(1.2.12)


Ta có thể viết (1.2.12) ở dạng
H(x) =

1
σm

H(x + Ry )dsy .
|y|=1

Định lý 1.2.7 (Harnack). Giả sử họ {hα }, α ∈ A của hàm điều hòa thỏa
mãn điều kiện:
1) Hα (x)
2) Hα (x0 )

C(K) cho x ∈ K.
B > −∞, x0 ∈ K.

Cho mỗi tập compact K

G, và C(K), B là hằng số khơng phụ thuộc vào

α.
Khi đó họ này là tiền compact trong topo đều, nghĩa là tồn tại dãy Hαn và
một hàm điều hòa H bên trong K và liên tục trên K sao cho: Hαn

H

trong mỗi K.
Định lý 1.2.8. Giả sử dãy Hn thỏa mãn điều kiện Định lý Harnack và
hội tụ tới hàm H trong D (G). Khi đó Hn hội tụ đều tới H trên mỗi tập
compact K

G. Hiển nhiên H là hàm điều hòa trên G.

Chứng minh. Tù Định lý Harnack dãy trên là dãy tiền compact. Do vậy ta
phải chứng minh tính duy nhất của H. Giả sử tồn tại hai dãy con sao cho
1
2
Hk → H 1 và Hk → H 2 trên mỗi tập compact K

G.

1
2
Bằng tính chất hội tụ Hk → H 1 và Hk → H 2 trên D . Do đó H 1 = H 2

trên D (G). Suy ra H 1 = H 2 hầu khắp nơi và do đó là hàm liên tục.
Cho D là một miền với biên ∂D trơn và cho F ⊂ ∂D.
Tập:
∂G
(x, y)dsy
∂n

ω(x, F, D) :=
F

gọi là độ đo điều hòa của F tới D. Độ đo điều hịa có thể định nghĩa cho
miền D tùy ý bởi giới hạn giống hàm Green đã có. Trong trường hợp này
cơng thức (1.2.9) có dạng
H(x, f ) :=

f (y)dω(x, y, D).
∂D

15


Tuy nhiên chúng ta không thể khẳng định rằng H(x, f ) trùng nhau với
f, x ∈ D bất kỳ. Ta chỉ có thể xem nó là tốn tử hàm xạ ảnh định nghĩa
trên ∂D tới một hàm điều hòa trên D.
Định lý 1.2.9. Cho H là hàm điều hòa trên D và thỏa mãn điều kiện
H(x)

A1 cho x ∈ F ; H(x)

A2 cho x ∈ ∂D F , trong đó A1 và A2 là

hằng số.
Khi đó H(x)

A1 ω(x, F, D) + A2 ω(x, ∂D F, D), với x ∈ D.

∗
Cho ya,R là phép nghịch đảo từ hàm Green cho hình cầu từ Định lý (1.2.4).
∗
Tập y ∗ := y0,1 . Nghĩa là phép nghịch đảo tương đối đến hình cầu đơn vị

với tâm O.
Cho G∗ := {y ∗ : y ∈ G} là phép nghịch đảo của mỗi miền D.
Định lý 1.2.10 (Phép biến đổi Kelvin). Nếu H là hàm điều hịa trên G thì:
H ∗ (y) := |y|2−m .H(y ∗ )

(1.2.13)

là điều hòa trên G∗ .
Định lý 1.2.11. Yρ (x0 ) là hình cầu trên miền Ω ⊂ S1 khi và chỉ khi hàm
H(x) = |x|ρ Yρ (x0 ) và H ∗ (x) = |x|−ρ−m+2 Yρ (x0 ) là điều hịa trên hình nón:
C(Ω) := {x = rx0 : x0 ∈ Ω; 0 < r < +∞}.
Nếu ρ = k; k

(1.2.14)

0, k ∈ Z và duy nhất trong trường hợp này. Yk (x0 ) là hình

cầu nói chung S1 , H(x) là một đa thức điều hòa thuần nhất của độ k và
H ∗ là điều hòa trên Rm {0}.
Định lý 1.2.12 (Thác triển hàm điều hòa). Cho H(x) là một hàm điều
hịa trên hình cầu KR := {|x| < R}, tồn tại hệ tọa độ trực chuẩn của hàm
hình cầu, Yk (x0 ), k = 0, ∞ tùy vào H sao cho:
∞

Ck Yk (x0 ).|x|k

H(x) =
k=0

16

(1.2.15)


cho |x| < R.
Cho bất kỳ hệ như vậy ta có:
Ck =

1
Rk

H(Rx0 )Yk (x0 )dsx0 .

(1.2.16)

S1

Định lý 1.2.13 (Liouville). Cho H điều hịa trên Rm và giả sử ta có:
lim inf R−ρ max H(x) < +∞.

R→∞

|x|=R

Khi đó H là hàm đa thức của độ q

(1.2.17)

ρ.

Chứng minh. Có thể giả sử H(0) = 0, vì H(x) − H(0) là hàm điều hịa
thỏa mãn (1.2.17).
Cho Rn → ∞ là dãy theo đó:
−ρ
Rn max H(x)

const < ∞.

(1.2.18)

|H(Rx0 )|dsx0 .

|x|=Rn

(1.2.19)

Từ (1.2.16) ta có:
Ak R−k

|Ck |

S1

Trong đó Ak = max |Yk (x0 )|.
S1

Từ tính chất giá trị trung bình ta có:
H(Rx0 )dsx0 = H(0)σm = 0.
S1

Do đó:
H + (Rx0 )dsx0

|H(Rx0 )|dsx0 = 2
S1

2σm max H(x).

|x|=R

S1

Từ (1.2.19) và (1.2.20) ta có:
|Ck |

2Ak R−k σm max H(x).
|x|=R

17

(1.2.20)


Tập R := Rn và k > ρ vượt qua giới hạn khi n → ∞. Ta có Ck = 0 cho
k > ρ. Khi đó (1.2.15) suy ra H là một đa thức điều hòa của độ q
1.3

ρ.

Hàm chỉnh hình

Cho f : D → C, D là một miền trong C.

f (z + ∆z) − f (z)
.
∆z→0
∆z
f chỉnh hình tại z nếu f là C - khả vi trên lân cận của z.

z ∈ D, f là C khả vi tại z nếu tồn tại lim

Định nghĩa 1.3.1. 1) f khả vi phức tại z ∈ Cm khi và chỉ khi
∂f
∂f
df =
dz1 + ... +
dzm .
∂z1
∂zm
2) f chỉnh hình tại z nếu f khả vi phức trong lân cận của z.
Định lý 1.3.1. Cho D là miền trên C, nếu f là hàm chỉnh hình trên D
thì h = ref là hàm điều hòa trên D.
Chứng minh. Ta giả sử f (z) = h(x, y) + ik(x, y).
Do f là hàm chỉnh hình trên D nên f là C- khả vi trên lân cận z, ∀z ∈ D.
Khi đó f thỏa mãn điều kiện Cauchy- Riemann tại z0 , ∀z0 ∈ D.

hx = ky
h = −k .
y
x
Do ref = h(x, y). Ta xét:
hxx + hyy = kyx + (−kx )y = kyx − kxy = 0 (do k liên tục).
Suy ra h = ref điều hòa trên D.
Định lý 1.3.2. Nếu h là hàm điều hòa trên D và D là miền liên thơng thì
h = ref với f là một hàm chỉnh hình trên D thì h là hàm hằng được xác
định duy nhất.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh tính duy nhất. Nếu h = ref với f
là hàm chỉnh hình và f = h + ik. Từ điều kiện Cauchy- Riemann.

f = hx + ikx = hy − ihy .
18

(1.3.21)


Vì thế nếu f tồn tại thì nó là đạo hàm thứ nhất của h và do đó nó là hằng
số duy nhất.
Từ (1.3.21) ta xây dựng hàm f định nghĩa g = hy − ihy . Thì g ∈ C(D) và
g thỏa mãn điều kiện Cauchy- Riemann bởi vì hxx = −hyy (h là hàm điều
hòa) và hxy = hyx . Do đó g là hàm chỉnh hình trên D.
Bây giờ cố định z0 ∈ D và định nghĩa f để được:
z

f (z) = h(z0 ) +

g(z)dz
z0

với tích phân trên D, z → z0 khi D là miền liên thơng.
Bằng phép xây dựng f là hàm chỉnh hình và
f = g = hx − ihy .
˜
Đặt h = ref . Theo điều kiện Cauchy- Riemann cho f
˜
˜
f = hx − ihy .
˜
˜
Từ hai phương trình trên ta có hx = hx và hy = hy .

˜
˜
Từ đó h = h là không đổi và h và h tại z0 .
Hệ quả 1.3.1. Nếu h là một hàm điều hòa trên một miền D thì f ∈
C ∞ (D).

µt (x, t) = v (t)w(x); ∆µ(x, t) = v(t)∆w(x).
Từ đó:
0 = µt (x, t) − ∆µ(x, t) = v (t)w(x) − v(t)∆w(x)
khi và chỉ khi
v (t) ∆w(x)
=
.
v(t)
w(x)

(1.3.22)

Với mọi x ∈ U và t > 0 sao cho v(t), w(t) = 0. Chú ý rằng vế trái của
(1.3.22) chỉ phụ thuộc vào t và vế phải chỉ phụ thuộc vào x, điều này chỉ
xảy ra khi chúng là hằng số, tức là:
v (t) ∆w(x)
=
= µ(t > 0, x ∈ U ).
v(t)
w(x)
19


Khi đó:

v = µv.

(1.3.23)

∆w = µv.

(1.3.24)

Ta giải các phương trình này để tìm các hàm chưa biết w, v và hằng số µ.
Trước hết để ý rằng, nếu µ đã biết, nghiệm của (1.3.23) là v = deµt với d
là hằng số tùy ý. Vì vậy ta chỉ cần nghiên cứu phương trình (1.3.24).
Ta nói rằng λ là một giá trị riêng của toán tử −∆ trong U (với điều kiện
biên bằng không) nếu tồn tại một hàm w = thỏa mãn:

−∆w = λw trong U
w = 0
trên ∂U.
Ta gọi hàm w là hàm riêng tương ứng, ta đặt µ = −λ để tìm
µ = −de−λt w
Thỏa mãn:

(1.3.25)


µt − ∆µ = 0 trong U ì (0, )
à = 0
trờn U × (0, ∞).

(1.3.26)

Với điều kiện ban đầu µ(., 0) = dw, do đó hàm µ được xác định bởi (1.3.25)
thỏa mãn (??), với điều kiện g = dw. Tổng quát hơn nếu λ1 , λ2 , ..., λn là
các giá trị riêng w1 , ..., wn là các hàm riêng tương ứng, và d1 , ..., dn là các
hằng số, thì:

n
t

dk eλk wk .

µ=

(1.3.27)

k−1
∞

Thỏa mãn các điều kiện ban đầu µ(., 0) = µ =

dk wk . Nếu ta có thể tìm
k=1

được m, w1 ... sao cho

∞

dk wk = g

(1.3.28)

k=1

trong U . Với các hằng số d1 , d2 , ... khi đó
n
t

dk eλk wk

µ=
k−1

20

(1.3.29)


sẽ là nghiệm của bài toán (??). Đây là một cơng thức biểu diễn nghiệm
rất đẹp, nhưng nó dựa vào khả năng tìm các giá trị riêng, các hàm riêng,
và các hằng số thỏa mãn (1.3.28). Chuỗi (??) hội tụ theo một nghĩa thích
hợp nào đó.

21


Chương 2

Hàm điều hòa dưới
2.1
2.1.1

Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa

Cho u(x), x ∈⊂ Rm là hàm đo được bị chặn trên, có thể lấy bằng −∞ trên
một tập có độ đo bằng không.
Định nghĩa:
M(x, r, u) :=

1
σm rm−1

u(y)dsy

(2.1.1)

Sx,r

là giá trị trung bình u(x) trên mặt cầu Sx,r := {y :| y − x |= r}.
Hàm M(x, r, u) được định nghĩa nếu Sx,r ⊂ D nhưng có thể có nghiệm là
−∞.
Một hàm u(x) gọi là điều hịa dưới nếu nó là hàm nửa liên tục trên khác
−∞ và bất kỳ x ∈ D, ∃ = (x) sao cho bất đẳng thức:
u(x)

M(x, r, u)

đúng với tất cả r < .
Lớp các hàm điều hịa dưới trong D được ký hiệu là SH(D).
Ví dụ 2.1.1. Hàm u(x) := − | x |2−m , x ∈ Rm .
u(x) ∈ SH(Rm ), cho m

3 và hàm u(z) := log | z |, z ∈ R2 là điều hịa

dưới trên R2 .
Ví dụ 2.1.2. Cho f (z) là hàm chỉnh hình trong miền phẳng D. Khi đó
log | f (z) |∈ SH(D).
22


Ví dụ 2.1.3. Cho f = f (z1 , z2 , .., zm ) là một hàm chỉnh hình của z =
z(z1 , z2 , ..., zm ).
Khi đó u(x1 , y1 , ..., xm , ym ) := log | f (x1 + iy1 , ..., xm + iym ) | là hàm điều
hòa dưới với mỗi cặp (xj , yj ) đúng với tất cả các biến.

Ví dụ 2.1.4. Tất cả các hàm điều hòa đều là hàm điều hịa dưới (theo
Định lý giá trị trung bình).
Hàm điều hịa có một số tính chất cơ bản sau.
2.1.2

Tính chất cơ bản

Định lý 2.1.1. Hàm điều hịa dưới có các tính chất cơ bản sau:
1) Nếu u ∈ SH(D) thì c.u ∈ SH(D), c là hằng số, c

0.

2) Nếu u1 , u2 ∈ SH(D) thì u1 + u2 ∈ SH(D) và max[u1 , u2 ] ∈ SH(D).
3) Giả sử un ∈ SH(D), n = 1, 2, ... là dãy hội tụ đến u và đơn điệu giảm
hoặc đều trên mỗi tập compact D. Khi đó u ∈ SH(D).
4) Giả sử u(x, y) ∈ SH(D1 ), ∀y ∈ D2 và là hm na liờn tc trờn D1 ì D2 .

Cho à là một độ đo trên D2 sao cho µ(D2 ) < +∞. Khi đó hàm u(x) :=
u(x, y)dµy là hàm điều hòa dưới trên D1 .
5) Cho V ∈ SO(m) là phép biến đổi trực giao của không gian Rm và
u ∈ SH(Rm ) thì u(V, •) ∈ SH(Rm ).
Định lý 2.1.2 (Nguyên lý cực đại). Cho u ∈ SH(D), G ⊂ Rm và u(x)
khác hằng số. Khi đó bất đẳng thức sau đúng:
u(x) < sup lim sup u(y), x ∈ D.
x ∈∂D y→x y∈D

Nghĩa là cực đại không đạt được trong miền D.
Cho K

D là tập compact với phần trong K 0 khác rỗng và cho fn là dãy

hàm giảm, liên tục trên K, dần tới u ∈ SH(D). Dãy này tồn tại theo tiêu
chuẩn thứ hai của hàm nửa liên tục.
Xét dãy {H(x, un )} của hàm điều hòa trên K 0 và H|∂K = fn .
23


Dãy hội tụ đơn điệu tới hàm điều hòa H(x) trong K 0 .
Từ Định lý (2.1.1) giới hạn này phụ thuộc duy nhất vào u. Nghĩa là nó
khơng phụ thuộc vào dãy fn . Hàm điều hòa H(x) := H(x, u, K) là hàm
trội điều hịa ít nhất của u trong K.
Định lý 2.1.3. Cho u ∈ SH(D). Khi đó với bất kỳ K

D, u(x)

H(x, u, K), x ∈ K.
Nếu h(x) là một hàm điều hòa trên K 0 và thỏa mãn điều kiện h(x)

u(x),

x ∈ K 0 thì:
h(x), x ∈ K 0 .

H(x, u, K)
2.1.3

Tính chất giá trị trung bình

Cho M(x, r, u) định nghĩa bởi M(x, r, u) :=

1
u(y)dSy và
σm .rm−1 Sx,r

N (x, r, u) như sau:
N (x, r, u) :=

1
ωm r m

u(y)dy.
Kx,r

Trong đó ωm là thể tích hình cầu KO,1 .
Định lý 2.1.4 (Tính chất giá trị trung bình). Các tính chất sau đúng:
1) M(x, r, u) và N (x, r, u) không giảm, đơn điệu.
2) u(x)

N (x, •)

M(x, •).

3) lim M(x, r, u) = lim N (x, r, u) = u(x).
r→0

r→0

Chứng minh. 1) Chọn m = 2, ta có:
2π

1
M(z0 , | z |, u) =
2π

u(z0 + zeiφ )dφ.
0

Từ u(z, φ) := u(z0 + zeiφ ) là dãy hàm điều hòa dưới thỏa mãn điều kiện
(4) của Định lý (2.1.1), M(z0 , |z|, u) là hàm điều hòa dưới trên z và trên
KO,r bất kỳ.

24


Bằng Nguyên lý cực đại ta có:

M(z0 , r1 , u) = max M(z0 , |z|, u)

SO,r1

max M(z0 , |z|, u)
SO,r2

= M(z0 , r2 , u).

Cho r1 < r2 .
Tính đơn điệu của N (x, r, u) theo sau từ bất đẳng thức:
1

S m−1 M(x, rS u )dS

N (x, r, u) = m

(2.1.2)

0

và đơn điệu của M(x, u, r).
2) Hiển nhiên từ định nghĩa của hàm điều hòa dưới và (2.1.2).
3) Cho M (u, x, r) định nghĩa bởi:
M (u, x, r) := sup{u(x ) : |x − x | < r, x ∈ E}.
Ta có M (x, r, u)

M (u, x, r) và M (u, x, r) → u(x) vì u(x) là hàm nửa liên

tục trên. Do đó: từ 2) ⇒ 3).
2.1.4

Tính duy nhất của hàm điều hịa dưới

Định lý 2.1.5 (Tính duy nhất của hàm điều hịa dưới). Nếu u, v ∈ SH(D)
và u = v hầu khắp nơi thì u ≡ v.
Cho α(t) định nghĩa bởi:

−1



1 − t2
α(t) = C.e


0

25

nếu t ∈ (−1, 1)
nếu t ∈ (−1, 1).
/