ĐỀ HSG TOÁN 12 SPHN 2011-2012

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
———–***———–
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Toán học
Ngày thi thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Giải hệ phương trình









x
2
+
3

y
2
+ 1 =

y
2
+ 9 + 5
y
2

+
3
√
z
2
+ 1 =
√
z
2
+ 9 + 5
z
2
+
3
√
x
2
+ 1 =
√
x
2
+ 9 + 5
Câu 2. Cho dãy số (a
n
)
n≥1
được xác định bởi a
1
= 1 và a
n

=
2n − 3
2n
a
n−1
với mọi
n ≥ 2. Ta lập dãy số (b
n
)
n≥1
như sau: b
n
=
n

i=1
a
i
, với n = 1, 2, 3, . . Chứng minh
rằng dãy số (b
n
)
n≥1
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, có trực tâm H. Đường tròn với tâm
là trung điểm của BC và đi qua H cắt đường thẳng BC tại các điểm A
1
, A
2
; đường

tròn với tâm là trung điểm của CA và đi qua H cắt đường thẳng CA tại các điểm
B
1
, B
2
; đường tròn với tâm là trung điểm của AB và đi qua H cắt đường thẳng AB
tại các điểm C
1
, C
2
. Chứng minh rằng các điểm A
1
, A
2
, B
1
, B
2
, C
1
, C
2
cùng nằm
trên một đường tròn.
Câu 4. Xét lưới ô vuông vô hạn. Hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có cạnh
chung. Ta cần tô mầu n ô sao cho với mỗi ô được tô mầu có đúng một số lẻ các ô
kề với ô đó cũng được tô mầu. Hỏi có thể thực hiện được hay không khi
(1) n = 2010
(2) n = 2011
www.VNMATH.com

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
———–***———–
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Toán học
Ngày thi thứ hai
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho a, b, c là ba số dương, chứng minh rằng
(a + b + c)
3
ab(a + c)
−
4(a + b + c)
a
≥ c

4
b
−
5
a + c

.
Câu 2. Mỗi số n nguyên dương, ta kí hiệu T (n) =
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
.
Hàm số f : Z → Z được gọi là may mắn nếu phương trình
T (x)
T (y)

= f (y) vô
nghiệm hoặc chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên dương (x, y).
(1) Chứng minh rằng nếu f(x) = k
2
với mọi x ∈ Z, trong đó k > 1 là một số
nguyên cho trước thì f là may mắn.
(2) Cho q(x) =
n

j=0
a
j
x
j
là một đa thức hệ số nguyên thỏa mãn q

−
1
2

= 0 và a
n
lẻ. Chứng minh rằng hàm số g(x) = (x + 1)(x + 3) (q(x))
2
(với x ∈ Z) là may
mắn.
Câu 3. Cho tam giác không đều ABC. Đường tròn nội tiếp tâm I của tam giác ABC
tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại A
0
, B

0
, C
0
. Gọi A
1
, B
1
, C
1
theo thứ
tự là chân các đường phân giác trong góc I của các tam giác IBC, ICA, IAB; A
2
,
B
2
, C
2
theo thứ tự là chân các đường phân giác trong của các góc A
0
, B
0
, C
0
của
tam giác A
0
B
0
C
0

và I
0
là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác A
0
B
0
C
0
. Chứng
minh rằng
(1) IA
1
song song với I
0
A
2
.
(2) Các đường thẳng A
1
A
2
, B
1
B
2
, C
1
C
2
đồng quy tại một điểm nằm trên đường

thẳng II
0
.
Câu 4. Có hai đội quần vợt thi đấu với nhau, mỗi đội có n đấu thủ (10 ≤ n < 2
10
).
Biết rằng hai đấu thủ bất kì thuộc hai đội gặp nhau đúng một trận, và không có
kết quả hòa. Chứng minh rằng có 10 đấu thủ thuộc cùng một đội nào đó mà một
đấu thủ bất kì thuộc đội còn lại phải thua ít nhất một trong 10 đấu thủ trên.
www.VNMATH.com