Khóa luận tốt nghiệp toán học Định lý Osofsky cho vành nửa đơn

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
    
NGUYỄN THỊ LÝ
TOÁN TỬ DƯƠNG
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Bộ môn : Giải tích
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
GV hướng dẫn
THS.LƯƠNG HÀ
Huế, tháng 5 năm 2011
1
MỤC LỤC
Lời mở đầu 3
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert . . . . . . . . 4
1.2 Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 10
2.1 Định nghĩa toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Các tính chất của toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 DẠNG PHÂN TÍCH CỰC CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 27
3.1 Một số định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Dạng phân tích cực của một toán tử . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
2
LỜI MỞ ĐẦU
Giải tích hàm là một trong những ngành toán học đóng vai trò quan trọng
trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học.
Trong chương trình học của chúng em, bộ môn Giải tích hàm đã được đưa
vào và trở thành một học phần quan trọng ở học kì hai năm thứ ba và học kì

một năm thứ tư. Việc nghiên cứu các tính chất của các toán tử tuyến tính liên
tục là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích hàm. Đặc biệt là các toán
tử tự liên hiệp có một số tính chất giống với các số thực và toán tử dương có
một số tính chất giống với các số dương. Chính vì những tính chất đặc biệt đó,
khoá luận này của em đi sâu nghiên cứu về lớp các toán tử dương trong không
gian Hilbert.
Khóa luận này nhằm mục đích nghiên cứu, hệ thống các tính chất của toán
tử dương trong không gian Hilbert đồng thời tìm hiểu về dạng phân tích cực
của một toán tử tuyến tính liên tục.
Nội dung nghiên cứu của em tuy không phải là những kết quả mới được tìm
thấy, nhưng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽ
đem lại nhiều kiến thức bổ ích và thú vị cho độc giả. Nội dung khoá luận gồm
ba chương:
Chương I: Một số kiến thức chẩn bị.
Chương II: Toán tử dương trong không gian Hilbert.
Chương III: Dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân
nên khoá luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm
góp ý của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Huế, ngày 8 tháng 5 năm 2011
Tác giả
3
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.1 (Toán tử liên hợp). Cho X, Y là hai không gian Hilbert,
A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục. Lúc đó toán tử tuyến tính liên
tục A
∗

: Y −→ X được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A nếu
Ax, y = x, A
∗
y, ∀x ∈ X, y ∈ Y.
Định nghĩa 1.1.2 (Toán tử tự liên hợp). Cho X là một không gian Hilbert,
A ∈ L(X). A gọi là tự liên hợp nếu
x, Ay = Ax, y, ∀x, y ∈ X
Định lý 1.1.3. Cho X là một không gian Hilbert phức và A ∈ L(X). Điều
kiện cần và đủ để A tự liên hợp là Ax, x ∈ R với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.4 (Toán tử chiếu). Cho X là một không gian vectơ trên
trường K (R hoặc C) và X = M ⊕N trong đó M, N là các không gian con của
X. Khi đó, mỗi phần tử x ∈ X được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x = y + z với y ∈ M và z ∈ N. Ánh xạ
P : X −→ X
x −→ y
được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao) của không gian X lên
không gian con M, kí hiệu P
M
.
∗ Nếu X một không gian Hilbert và M là một không gian con đóng của X
4
thì mọi vectơ x ∈ X đều có thể biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng:
x = y + z, với y ∈ M, z ∈ M
⊥
. Lúc đó ánh xạ P được gọi là toán tử chiếu (hay
phép chiếu trực giao) của không gian X lên không gian con đóng M. Kí hiệu
P
M
.
Định nghĩa 1.1.5 (Toán tử đẳng cự). Cho X, Y là hai không gian Hilbert và

toán tử tuyến tính T : X −→ Y sao cho T x = x với mọi x ∈ X. Lúc đó T
được gọi là toán tử đẳng cự.
Định nghĩa 1.1.6 (Toán tử unita). Nếu T là toán tử đẳng cự và toàn ánh thì
T được gọi là một toán tử unita.
Định lý 1.1.7. Cho X, Y là hai không gian Hilbert và T : X −→ Y là một
toán tử tuyến tính. Lúc đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) T là toán tử đẳng cự ;
(ii) T liên tục và T
∗
.T = I
X
(I
X
là toán tử đồng nhất trong X);
(iii) T bảo toàn tích vô hướng : T x
1
, T x
2
 = x
1
, x
2
 với mọi x
1
, x
2
∈ X.
Định lý 1.1.8. Cho X, Y là hai không gian Hilbert và U : X −→ Y là một
toán tử tuyến tính. Lúc đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) U là một toán tử unita;

(ii) U là một phép đẳng cấu của X lên Y ;
(iii) U liên tục và U
∗
U = I
X
, U
∗
U = I
Y
(I
X
, I
Y
là các toán tử đồng nhất lần
lượt trong X và trong Y );
(iv) U liên tục và U
∗
= U
−1
.
Định nghĩa 1.1.9. Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert
X vào không gian Hilbert Y . Khi đó:
(a) Tập hợp
A
−1
(0) = {x ∈ X : Ax = 0}
được gọi là không gian con không của A và kí hiệu là N(A);
5
(b) Tập hợp
A(X) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ X}

được gọi là miền giá trị của A và kí hiệu là R(A).
Định lý 1.1.10. Nếu A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục của
không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y thì
X = N(A) ⊕R(A
∗
) và Y = N(A
∗
) ⊕ R(A)
trong đó A
∗
là toán tử liên hợp của A.
Định nghĩa 1.1.11 (Toán tử đẳng cự bộ phận). Giả sử X và Y là hai không
gian Hilbert. Một toán tử tuyến tính V : X −→ Y được gọi là toán tử đẳng cự
bộ phận nếu X = M ⊕N trong đó M và N là những không gian con đóng trực
giao với nhau, sao cho:
(i) V x = 0 khi x ∈ N,
(ii) V x = x khi x ∈ M.
Nhận xét: Rõ ràng N(V ) = N. Nếu đặt L = R(V ) thì L = V (X) = V (M).
Không gian con M ⊂ X được gọi là miền gốc, còn L ⊂ Y được gọi là miền
ảnh của toán tử đẳng cự bộ phận V.
Định nghĩa 1.1.12 (Toán tử chuẩn tắc). Toán tử tuyến tính liên tục N trong
không gian Hilbert X được gọi là một toán tử chuẩn tắc nếu N giao hoán với
toán tử liên hợp N
∗
của nó, tức là N
∗
N = NN
∗
.
Vậy các toán tử tự liên hợp, toán tử unita trong không gian Hilbert X đều

là những toán tử chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.1.13. Cho X là không gian định chuẩn phức. A ∈ L(X) và
λ ∈ C . Nếu tồn tại x = 0 trong X sao cho Ax = λx thì λ được gọi là một
giá trị riêng của toán tử A và x là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ.
λ ∈ C là giá trị phổ của A nếu không tồn tại toán tử ngược liên tục (A−λI)
−1
.
Tập các giá trị phổ gọi là phổ của toán tử A, kí hiệu là σ(A).
Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ ∈ σ(A).
6
Định lý 1.1.14. Cho X là một không gian Banach phức. Khi đó σ(T ) = ∅ với
mọi T ∈ L(X).
Định lý 1.1.15. Cho X là một không gian Hilbert phức và T ∈ L(X) là một
toán tử tự liên hợp. Khi đó σ(T ) ⊂ R.
Định nghĩa 1.1.16. Cho X là một không gian Banach và T ∈ L(X), khi đó
số thực
r(T ) := max{|λ| : λ ∈ σ(T )}
gọi là bán kính phổ của toán tử T.
Định lý 1.1.17. Nếu X là một không gian Banach phức và T ∈ L(X) thì
r(T ) = lim
n→∞
T
n

1
n
.
Hệ quả 1.1.18. Nếu X là một không gian Hilbert phức và T : X −→ X là
một toán tử chuẩn tắc thì r(T ) = T .
1.2 Một số định lý

Định lý 1.2.1. Giả sử toán tử A ∈ L(X, Y ) có toán tử ngược A
−1
: Y −→ X
liên tục. Khi đó
(∀x ∈ X)Ax ≥ mx với mọi m ≤ A
−1

−1
. (1.2.1)
Ngược lại, giả sử A là toàn ánh và tồn tại m > 0 để (1.2.1) thỏa mãn thì A
−1
tồn tại, liên tục và A
−1
 ≤ m
−1
.
Định lý 1.2.2 (Nguyên lý bị chặn đều). Giả sử X là một không gian
Banach, Y là một không gian định chuẩn. Cho (A
α
)
α∈I
là một họ các toán tử
tuyến tính liên tục từ X vào Y . Nếu họ (A
α
)
α∈I
bị chặn điểm trên X thì sẽ bị
chặn đều.
Định lý 1.2.3 (Định lý Banach). Giả sử X, Y là hai không gian Banach và
A : X → Y là một song ánh tuyến tính liên tục. Khi đó A là một phép đồng

phôi tuyến tính.
Định lý 1.2.4 (Suy rộng hàm liên tục ). Cho X là một không gian định
chuẩn và Y là một không gian Banach. Cho X
o
là không gian con trù mật của
7
X và cho T
o
: X
o
→ Y là toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó có duy nhất một
toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho T
|X
o
= T
o
. Toán tử này thu
được từ T
o
được gọi là "suy rộng của T
o
bởi tính liên tục".
Định nghĩa 1.2.5 (Đại số). Một đại số X trên trường K (gọi tắt là đại số
X) là một không gian vectơ trên trường K, mà trên đó tồn tại một phép toán
hai ngôi, kí hiệu là (·) gọi là phép nhân, thoả mãn các điều kiện sau đây:
(i) x(y + z) = xy + xz,
(ii) (x + y)z = xz + yz,
(iii) λ(xy) = (λx)y = x(λy),
với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ K.
Định nghĩa 1.2.6 (Đại số con). Một tập con của đại số X được gọi là đại

số con của đại số X nếu nó là một không gian vectơ con đóng kín đối với phép
nhân trên X.
Định nghĩa 1.2.7 (Đồng cấu đại số). Một đồng cấu đại số từ đại số X vào
đại số Y là một ánh xạ h : X −→ Y sao cho
(i) h(x + y) = h(x) + h(y),
(ii) h(x)h(y) = h(xy),
(iii) h(rx) = rh(x),
với mọi x, y ∈ X, r ∈ K.
Định lý 1.2.8. Cho X là một không gian tôpô compact. Ta kí hiệu
C(X) := {f : X −→ C : f liên tục}.
Khi đó C(X) là một không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi
f := sup
x∈X
|f(x)|.
Định nghĩa 1.2.9. Cho X là một không gian Banach và một hàm f : X −→ C.
Ta kí hiệu f là hàm đi từ X vào C thỏa mãn f(x) = f(x), với mọi x ∈ X.
8
Định lý 1.2.10 (Stone-Weierstrass, xem [2], Định lý 8.1, tr 145).
Cho Ω là một không gian tôpô compact. Giả sử rằng A là một đại số con của
C(Ω) sao cho:
(i) Hàm hằng 1
A
∈ A,
(ii) A tách các điểm của Ω, nghĩa là nếu ω
1
và ω
2
là những phần tử khác nhau
thuộc Ω thì tồn tại hàm f ∈ A sao cho f(ω
1

) = f(ω
2
),
(iii) Với mọi f ∈ A thì f ∈ A.
Khi đó A trù mật trong C(Ω).
9
CHƯƠNG 2
TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG
GIAN HILBERT
Trong phần còn lại, ta luôn xét các không gian trên trường K = C.
2.1 Định nghĩa toán tử dương
Định nghĩa 2.1.1. Cho X là một không gian Hilbert, toán tử A ∈ L(X) được
gọi là dương nếu
Ax, x ≥ 0 với mọi x ∈ X.
Khi đó ta kí hiệu: A ≥ 0.
Nhận xét: Theo Định lý 1.1.3 ta suy ra nếu A là một toán tử dương thì A là
tự liên hợp.
Ví dụ 2.1.2. Giả sử K(t, s) là hàm thuộc không gian L
2
([a, b] × [a, b]) và
K(t, s) ≥ 0 hầu khắp nơi trên hình vuông {a ≤ t, s ≤ b}. Khi đó toán tử tích
phân A trong L
2
[a, b] xác định bởi K(t, s) là dương
Ax(t) =

[a,b]
K(t, s)x(s)ds, x ∈ L
2
[a, b]

Ta có thể kiểm chứng A là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác với mọi
x ∈ L
2
[a, b], ta có
Ax, x =

[a,b]

[a,b]
K(t, s)x(s)x(s)dsdt
=

[a,b]

[a,b]
K(t, s)|x(s)|
2
dsdt ≥ 0.
10
Vậy A là một toán tử dương.
Ví dụ 2.1.3. Phép chiếu trực giao P lên không gian con đóng M của không
gian Hilbert X là một toán tử dương.
Ta có P là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác với mỗi x ∈ X thì x = x
1
+x
2
với x
1
∈ M và x
2

∈ M
⊥
, khi đó
P x, x = x
1
, x
1
+ x
2
 = x
1
, x
1
 = x
1

2
≥ 0,
do đó P là một toán tử dương.
Ví dụ 2.1.4. Giả sử X là một không gian Hilbert n chiều, {e
1
, e
2
, , e
n
} là
một cơ sở trực chuẩn của X và toán tử tự liên hợp A được xác định bởi ma
trận cấp n.
A = (a
ki

) = (a
ik
) k, i = 1, 2, · · ·, n
Giả sử x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ + x
n
e
n
, khi đó
Ax, x = 
n

k=1
n

i=1
a
ki
x
i
e
k
,

n

i=1
x
i
e
i
 =
n

k=1
n

i=1
a
ki
x
i
x
k
.
Như vậy theo ngôn ngữ đại số tuyến tính, Ax, x là một dạng toàn phương
của (x
1
, x
2
, x
n
). Vậy để toán tử A là toán tử dương thì điều kiện cần và
đủ là:

a
11
≥ 0,






a
11
a
12
a
21
a
22






≥ 0, ···,
















a
11
a
12
a
1n
a
21
. . . a
2n
. . . . .
. . . . .
a
n1
. . . a
nn
















≥ 0.
Ví dụ 2.1.5. Trong không gian 
2
= {x = (x
n
)
n
| x
n
∈ C,
∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞}.
Cho a = (a
n

)
n
là một dãy số thực dương bị chặn, khi đó toán tử
A : 
2
 x = (ξ
n
)
n
−→ Ax := (a
n
ξ
n
)
n
∈ 
2
là tuyến tính. Mặt khác, vì (a
n
)
n
bị chặn nên M := sup
n∈N
∗
|a
n
| < +∞, khi đó với
mọi x = (ξ
n
)

n
∈ 
2
ta có
Ax
2
=
∞

n=1
|a
n
ξ
n
|
2
≤
∞

n=1
|a
n
|
2
|ξ
n
|
2
≤ M
2

∞

n=1
|ξ
n
|
2
= M
2
x
2
.
11
Do đó A là toán tử tuyến tính liên tục.
Mặt khác, ta luôn có
Ax, x =
∞

n=1
a
n
|ξ
n
|
2
≥ 0 với mọi x ∈ 
2
nên A là một toán tử dương trong 
2
.

2.2 Các tính chất của toán tử dương
Trong mục này ta xét các toán tử trong không gian Hilbert X.
Định lý 2.2.1. Nếu A ∈ L(X) thì các toán tử A
∗
A và AA
∗
là dương.
Chứng minh. Ta có A và A
∗
là các toán tử tuyến tính liên tục nên các toán
tử A
∗
A và AA
∗
cũng là các toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác, với mọi
x ∈ X, A ∈ L(X) ta có
A
∗
Ax, x = Ax, Ax = Ax
2
≥ 0
AA
∗
x, x = A
∗
x, A
∗
x = A
∗
x

2
≥ 0.
Do đó A
∗
A và AA
∗
là các toán tử dương.
Định lý 2.2.2. Nếu A là toán tử dương và B ∈ L(X) thì toán tử B
∗
AB là
dương.
Chứng minh. Ta có B
∗
AB là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác với mọi
x ∈ X, ta có
B
∗
ABx, x = ABx, Bx = Ay, y ≥ 0 (với y = Bx).
Do đó B
∗
AB là toán tử dương.
Tính chất 2.2.3. Nếu A là toán tử dương thì với mọi x, y ∈ X
|Ax, y|
2
≤ Ax, xAy, y. (2.2.1)
Chứng minh.
• Nếu Ax, y = 0 thì (2.2.1) hiển nhiên đúng.
• Giả sử Ax, y = 0. Với mọi λ ∈ C, ta có
Ax + λAy, x + λy ≥ 0
⇐⇒Ax, x+ λAy, x + λAx, y + |λ|

2
Ay, y ≥ 0
12
do đó nếu chọn λ = tAx, y với t là một số thực tùy ý thì
Ax, x + 2t|Ax, y|
2
+ t
2
|Ax, y|
2
Ay, y ≥ 0. (2.2.2)
Vì (2.2.2) phải đúng với mọi t ∈ R nên Ay, y > 0. Do đó vế phải của (2.2.2)
là một tam thức bậc hai đối với t và không âm với mọi t, vậy biệt số của nó
không dương, tức là
|Ax, y|
4
≤ Ax, xAy, y|Ax, y|
2
.
Từ đó suy ra
Ax, xAy, y ≥ |Ax, y|
2
.
Hệ quả 2.2.4. Nếu A là toán tử dương thì
Ax
2
≤ AAx, x với mọi x ∈ X.
Chứng minh.
• Nếu Ax = 0 thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.
• Giả sử Ax = 0. Với mọi x ∈ X, từ (2.2.1) chọn y = Ax, ta có

|Ax, Ax|
2
≤ Ax, xA(Ax), Ax ⇐⇒ Ax
4
≤ Ax, xA(Ax), Ax.
Mặt khác theo bất đẳng thức Schwarz ta có
|A(Ax), Ax| ≤ A(Ax)Ax ≤ AAx
2
.
Vì A là toán tử dương nên A(Ax), Ax = |A(Ax), Ax|. Do đó
Ax
4
≤ Ax, xAAx
2
⇔ Ax
2
≤ Ax, xA.
Hệ quả 2.2.5. Nếu A là một toán tử dương và (x
n
)
n
là một dãy các phần tử
trong X sao cho lim
n→∞
Ax
n
, x
n
 = 0 thì lim
n→∞

Ax
n
= 0.
Chứng minh. Giả sử (x
n
)
n
⊂ X sao cho lim
n→∞
Ax
n
, x
n
 = 0. Khi đó theo Hệ
quả 2.2.4 ta có
0 ≤ Ax
n

2
≤ AAx
n
, x
n
 −→ 0 khi n → ∞
nên lim
n→∞
Ax
n
= 0.
13

Một trường hợp đặc biệt của hệ quả trên là:
Cho A là một toán tử dương. Khi đó, nếu Ax, x = 0, với mọi x ∈ X thì
Ax = 0 hay A = 0.
Theo hệ quả 2.2.4 và giả thiết ta có Ax
2
≤ AAx, x = 0 với mọi x ∈ X.
Nên Ax = 0, với mọi x ∈ X. Vậy Ax = 0, với mọi x ∈ X hay A = 0.
Tính chất 2.2.6. Cho A là một toán tử dương. Đặt
m = inf
x∈X,x=1
Ax, x, M = sup
x∈X,x=1
Ax, x
Lúc đó m ∈ σ(A), M ∈ σ(A) và σ(A) ⊂ [m, M].
Chứng minh. Trước hết ta có A là toán tử dương nên Ax, x ≥ 0 với mọi
x ∈ X, do đó ta có thể định nghĩa được các số m và M.
Đặt A
m
= A − mI. Vì A, I là các toán tử tuyến tính liên tục nên A
m
cũng là
toán tử tuyến tính liên tục. Ta có
A
m
x, x = Ax −mx, x = Ax, x − mx
2
≥ 0 với mọi x ∈ X.
Vậy A
m
là một toán tử dương. Mặt khác

inf
x∈X,x=1
A
m
x, x = inf
x∈X,x=1
Ax, x − m = 0.
Từ đó suy ra sẽ tồn tại một dãy (x
n
)
n
⊂ X với x
n
 = 1 và lim
n→∞
A
m
x
n
, x
n
 = 0.
Theo Hệ quả 2.2.5 thì lim
n→∞
A
m
x
n
= 0. Giả sử A
m

có toán tử ngược A
−1
m
liên
tục. Khi đó theo (1.2.1) ta có
A
m
x
n
 ≥ cx
n
 = c, ∀c ≤ A
−1
m

−1
• Nếu A
m
 = 0 thì m = M hay A = mI. Suy ra σ(A) = m.
• Giả sử A
m
 = 0 suy ra c > 0. Vậy A
m
x
n
 ≥ c > 0 (mâu thuẫn vì
A
m
x
n

→ 0). Suy ra toán tử A
m
= A −mI không có toán tử ngược liên tục. Do
đó m ∈ σ(A).
Bây giờ ta chứng minh m −  /∈ σ(A), với mọi  > 0. Với mọi  > 0, ta xét
toán tử A
m−
= A −(m −)I = (A −mI) + I = A
m
+ I. Ta có A
m−
là toán
tử tuyến tính liên tục. Mặt khác, inf
x∈X,x=1
A
m
x, x = 0 nên
(A
m
+ I)x, x = A
m
x, x + x, x ≥ 0
14
do đó A
m−
là một toán tử dương. Mặt khác với mọi x ∈ X ta có
A
m−
x
2

= A
m
x + x, A
m
x + x
= A
m
x
2
+ 2A
m
x, x + 
2
x
2
≥ 
2
x
2
. (2.2.3)
Suy ra A
m−
là đơn ánh. Vậy N(A
m−
) = 0. Ta lại có A
m−
tự liên hợp nên
X = N(A
m−
) ⊕ R(A

m−
) = R(A
m−
).
Do đó với mọi x ∈ X tồn tại (x
n
)
n
⊂ R(A
m−
) hội tụ đến x. Vì (x
n
)
n
⊂
R(A
m−
) nên tồn tại (y
n
)
n
⊂ X sao cho x
n
= A
m−
y
n
(n = 1, 2, ).
Từ (2.2.3) suy ra
x

n
− x
p
 = A
m−
y
n
− A
m−
y
p
 = A
m−
(y
n
− y
p
) ≥ y
n
− y
p

Do đó (y
n
)
n
là dãy Cauchy trong không gian Hilbert X. Vậy tồn tại lim
n→∞
y
n

= y,
khi đó
A
m−
y = lim
n→∞
A
m−
y
n
= lim
n→∞
x
n
= x
Do đó x ∈ R(A
m−
). Vậy X = R(A
m−
) hay A
m−
là toàn ánh. Vậy từ (2.2.3)
và Định lý 1.2.1 ta suy ra tồn tại toán tử A
−1
m−
liên tục. Do đó m − /∈ σ(A),
với mọi  > 0.
Xét toán tử B = MI −A. Ta có các toán tử I và A là các toán tử tuyến tính
liên tục nên toán tử B cũng là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác,
Bx, x = Mx − Ax, x = Mx

2
− Ax, x ≥ 0
với mọi x ∈ X, vì vậy B là toán tử dương.
inf
x=1
Bx, x = inf
x=1
(M −Ax, x) = M − sup
x=1
Ax, x = 0.
Vì vậy theo chứng minh ở trên thay toán tử A
m
bằng toán tử B ta suy ra toán
tử B không có toán tử ngược liên tục. Mà B = −(A − MI) nên M ∈ σ(A).
Cũng theo chứng minh ở trên ta suy ra với mọi  > 0 thì toán tử B + I có
toán tử ngược liên tục với
(B + I)
−1
= ((M + )I − A)
−1
= −(A − (M + )I)
−1
vì vậy M + /∈ σ(A) với mọi  > 0. Mà σ(A) ⊂ R, m− /∈ σ(A) và M + /∈ σ(A)
với mọi  > 0 nên σ(A) ⊂ [m, M].
15
Định lý 2.2.7. Cho A ∈ L(X) là một toán tử tự liên hợp. Đặt
m = inf
x∈X,x=1
Ax, x, M = sup
x∈X,x=1

Ax, x
Lúc đó m ∈ σ(A), M ∈ σ(A) và σ(A) ⊂ [m, M].
Chứng minh. Trước hết ta có A là toán tử tự liên hợp nên Ax, x luôn là
một số thực với mọi x ∈ X, do đó ta có thể định nghĩa được các số m và M.
Xét toán tử tự liên hợp A
m
= A − mI. Ta có
inf
x∈X,x=1
A
m
x, x = 0, sup
x∈X,x=1
A
m
x, x = M −m.
Vậy A
m
là một toán tử dương. Do đó theo Định lý 2.2.6 ta có
0 ∈ σ(A
m
), M −m ∈ σ(A
m
), σ(A
m
) ⊂ [0, M −m]
Vì 0 ∈ σ(A
m
) nên toán tử A − mI không tồn tại toán tử ngược liên tục. Vậy
m ∈ σ(A). Vì M −m ∈ σ(A

m
) nên toán tử A−mI −(M −m)I = A−MI không
tồn tại toán tử ngược liên tục. Vậy M ∈ σ(A). Mặt khác, vì σ(A
m
) ⊂ [0, M −m]
và σ(A
m
) ⊂ R nên
− /∈ σ(A
m
), M −m +  /∈ σ(A
m
), ∀ > 0.
Do đó các toán tử
A − mI − (−I) = A − (m − )I,
A − mI − (M − m + )I = A −(M + )I
có toán tử ngược liên tục, hay m −  /∈ σ(A) và M +  /∈ σ(A), với mọi  > 0.
Mà σ(A) ⊂ R nên σ(A) ⊂ [m, M].
Nhận xét 2.2.8. Gọi K là tập hợp tất cả các toán tử tự liên hợp trong không
gian Hilbert X. Nếu A, B ∈ K và A − B là một toán tử dương (tức là ta có
Ax, x ≥ Bx, x, với mọi x ∈ X) thì ta kí hiệu A ≥ B. Khi đó ” ≥ ” là một
quan hệ thứ tự bộ phận trong K vì
1. Rõ ràng A ≥ A, ∀A ∈ K.
16
2. Nếu A ≥ B và B ≥ C thì A ≥ C. Điều này có được do
Ax, x − Cx, x = Ax, x − Bx, x + Bx, x − Cx, x ≥ 0
với mọi x ∈ X.
3. Giả sử A ≥ B và B ≥ A, tức là Ax, x = Bx, x với mọi x ∈ X, suy ra
(A − B)x, x = 0 với mọi x ∈ X. Theo Hệ quả 2.2.5 suy ra A − B = 0
hay A = B.

4. Nếu A ≥ B và C ≥ D thì A + C ≥ B + D.
5. Nếu A ≥ B thì λA ≥ λB với mọi λ ≥ 0. Vì
λAx, x = λAx, x ≥ λBx, x = λBx, x với mọi x ∈ X.
6. Nếu A ≥ 0 và tồn tại toán tử ngược liên tục A
−1
thì A
−1
≥ 0. Vì với mọi
y ∈ X, tồn tại x ∈ X để Ax = y, lúc đó
A
−1
y, y = A
−1
Ax, Ax = x, Ax ≥ 0.
Các tính chất nêu trên gợi ý rằng các toán tử tự liên hợp có một số tính
chất giống với các số thực và các toán tử dương có một số tính chất giống với
các số thực dương. Sự tương tự ấy càng được làm nổi bật bởi những kết quả
sau đây.
Tính chất 2.2.9. Nếu A, B ∈ L(X), A, B ≥ 0 và A + B = 0 thì A = B = 0.
Chứng minh. Từ (A + B)x, x = 0 ta suy ra Ax, x = −Bx, x ≤ 0 với
mọi x ∈ X. Mà Ax, x ≥ 0 nên Ax, x = 0, do đó A = 0. Tương tự ta cũng
chứng minh được B = 0. Vậy A = B = 0.
Định lý 2.2.10. Giả sử B và A
n
(n ∈ N
∗
) là các toán tử tự liên hợp trong
không gian Hilbert X thỏa mãn điều kiện
A
1

≤ A
2
≤ A
3
≤ ≤ A
n
≤ ≤ B.
Lúc đó dãy (A
n
)
n
hội tụ điểm trên X đến một toán tử tự liên hợp A với A ≤ B.
Hơn nữa, nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục giao hoán với các A
n
(n ∈ N
∗
)
thì T cũng giao hoán với A.
17
Chứng minh. Với mỗi n ∈ N
∗
đặt C
n
= B −A
n
thì C
n
là toán tử dương và
C
1

≥ C
2
≥ C
3
≥ C
n
≥ ≥ 0.
Ta có
C
1
 = sup
x∈X,x=1
C
1
x, x ≥ sup
x∈X,x=1
C
n
x, x = C
n

với mọi n ∈ N
∗
, vì vậy các toán tử C
n
n ∈ N
∗
có chuẩn bị chặn trên bởi C
1
.

Với mỗi x ∈ X ta có dãy bất đẳng thức
C
1
x, x ≥ C
2
x, x ≥ ≥ C
n
x, x ≥ ≥ 0.
Suy ra dãy (C
n
x, x)
n∈N
∗
hội tụ. Khi p ≥ 1 thì C
n
− C
n+p
là một toán tử
dương, do đó theo Hệ quả 2.2.4 ta có
C
n
x − C
n+p
x
2
≤ C
n
− C
n+p
(C

n
x, x − C
n+p
x, x)
≤ (C
n
 + C
n+p
)(C
n
x, x − C
n+p
x, x)
≤ 2C
1
(C
n
x, x − C
n+p
x, x) → 0.
Như vậy với mỗi x ∈ X, (C
n
x)
n
là một dãy Cauchy trong không gian Hilbert X
do đó hội tụ trong X, khi đó theo nguyên lý bị chặn đều thì tồn tại C ∈ L(X)
sao cho lim
n→∞
C
n

x = Cx với mọi x ∈ X, suy ra dãy (A
n
)
n
hội tụ điểm đến toán tử
tuyến tính liên tục A. Mặt khác, ta có ánh xạ ϕ(·) : L(X)  S −→ S
∗
∈ L(X)
là tuyến tính, và với mọi S, S

∈ L(X) ta có
ϕ(S) − ϕ(S

) = S
∗
− S
∗
 = (S − S

)
∗
 ≤ S − S


nên ϕ liên tục. Do đó với mọi x ∈ X ta có A
∗
x = ( lim
n→∞
A
n

x)
∗
= lim
n→∞
A
∗
n
x = Ax.
Vậy A là một toán tử tự liên hợp. Mặt khác, ta có Bx, x ≥ A
n
x, x với mọi
n ∈ N
∗
. Do đó
Bx, x ≥ lim
n→∞
A
n
x, x =  lim
n→∞
A
n
x, x = Ax, x.
Vậy B ≥ A. Bây giờ giả sử T là một toán tử tuyến tính liên tục giao hoán với
mọi A
n
n ∈ N
∗
, khi đó với mọi x ∈ X ta có
AT x = lim

n→∞
A
n
T x = lim
n→∞
T A
n
x = T ( lim
n→∞
A
n
x) = T Ax.
Vậy AT = T A.
18
Định lý 2.2.11. Cho A, B là các toán tử dương và A, B giao hoán với nhau.
Lúc đó AB là một toán tử dương.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh hai điều nhận xét sau
1) Nếu A, B là hai toán tử dương trong không gian Hilbert X và AB = BA
thì
A
k
B = BA
k
, (k ∈ Z
∗
). (2.2.4)
Từ đó suy ra rằng B giao hoán với mọi đa thức của A, tức là với mọi toán tử
có dạng a
0
I + a

1
A + a
2
A
2
+ + a
m
A
m
, (a
i
∈ K).
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (2.2.4) bằng phương pháp quy nạp.
Với k = 1 theo giả thiết thì (2.2.4) đúng.
Giả sử (2.2.4) đúng với k = n tức là A
n
B = BA
n
. Khi đó
BA
n+1
= (BA
n
)A = (A
n
B)A = A
n
(BA) = A
n+1
B.

Do đó (2.2.4) đúng với k = n + 1. Vậy nguyên lý quy nạp ta có A
k
B = BA
k
,
với mọi k ∈ Z
∗
.
2) Nếu C là một toán tử dương trong không gian Hilbert X và C ≤ 1
thì C − C
2
cũng là một toán tử dương và C − C
2
 ≤ 1.
Chứng minh. Vì C ≥ 0 nên theo hệ quả 2.2.4 ta có
C
2
x, x = Cx, Cx = Cx
2
≤ CCx, x ≤ Cx, x
với mọi x ∈ X, do đó (C −C
2
)x, x ≥ 0 với mọi x ∈ X. Hơn nữa, ta có
C − C
2
 = sup
x=1
(C − C
2
)x, x ≤ sup

x=1
Cx, x = C ≤ 1.
Để chứng minh định lý ta có thể giả thiết rằng A ≤ 1 (vì nếu A = 1 ta
xét toán tử B =
A
A
khi đó B = 1).
19
Đặt




























A
0
= A
A
1
= A
0
− A
2
0
A
2
= A
1
− A
2
1
= A
0
− A
2
0
− (A
0

− A
2
0
)
2

A
n+1
= A
n
− A
2
n
, (2.2.5)
khi đó các toán tử A
n
(n = 0, 1, ) là các đa thức của A
0
= A. Do đó A
n
giao
hoán với B. Từ nhận xét 2) ta suy rằng toán tử A
1
dương và A
1
 ≤ 1. Nên
toán tử A
2
cũng dương và A
2

 ≤ 1. Giả sử toán tử A
n
dương và A
n
 ≤ 1.
Khi đó A
n+1
= A
n
− A
2
n
. Do đó toán tử A
n+1
dương và A
n+1
 ≤ 1, với mọi
n ∈ N. Cộng (n+1) đẳng thức đầu tiên của (2.2.5) ta được
A
n+1
= A −
n

k=0
A
2
k
(2.2.6)
Do đó với mọi x ∈ X, ta có
Ax, x =

n

k=0
A
2
k
x, x+A
n+1
x, x ≥
n

k=0
A
2
k
x, x =
n

k=0
A
k
x, A
k
x =
n

k=0
A
k
x

2
.
Bất đẳng thức trên đúng với mọi n ∈ N nên chuỗi
∞

k=0
A
k
x
2
hội tụ với mọi
x ∈ X. Do đó lim
k→∞
A
k
x
2
= 0. Kết hợp đẳng thức này với (2.2.6) ta có
Ax = lim
n→∞
n

k=0
A
2
k
x, với mọi x ∈ X.
Do đó
ABx, x = lim
n→∞

n

k=0
A
2
k
Bx, x = lim
n→∞
n

k=0
A
k
Bx, A
k
x
= lim
n→∞
n

k=0
BA
k
x, A
k
x ≥ 0.
Vậy AB là một toán tử dương.
Nhận xét 2.2.12. Tích của hai toán tử dương không nhất thiết là dương.
Xét hai toán tử A, B : C
2

→ C
2
được xác định như sau
A(x, y) = (5x + 2y, 2x + y), B(x, y) = (2x + y, x + y), với mọi x, y ∈ C.
20
Ta có C
2
là một không gian định chuẩn hữu hạn chiều mà A, B là các toán
tử tuyến tính đi từ C
2
vào C
2
nên A, B liên tục. Mặt khác, ma trận A, B biểu
diễn của toán tử A, B là
A =


5 2
2 1


B =


2 1
1 1


Ta có A = A
t

, B = B
t
, det A = 1, det B = 1. Vậy A, B là các toán tử
dương trong C
2
. Nhưng lại ta có ma trận biểu diễn của toán tử AB là AB =


12 7
5 3


. Vậy AB = (AB)
t
. Do đó AB không phải là toán tử dương.
Hệ quả 2.2.13. Cho A, B là các toán tử tự liên hợp và A ≤ B. Nếu C là toán
tử dương giao hoán với cả A và B thì AC ≤ BC.
Chứng minh. Ta có B ≥ A suy ra B − A ≥ 0. Mà C ≥ 0 và C giao hoán
với cả A và B. Vậy theo Định lý 2.2.11 thì (B − A)C ≥ 0 hay AC ≤ BC.
Định lý 2.2.14. Cho A là một toán tử dương thỏa mãn αI ≤ A ≤ βI với
0 < α < β. Khi đó
(a) A là song ánh.
(b)
1
β
I ≤ A
−1
≤
1
α

I.
Chứng minh.
a) Trước hết ta có
αI ≤ A ≤ βI ⇔ αx
2
≤ Ax, x ≤ βx
2
(2.2.7)
với mọi x ∈ X, do đó nếu Ax = 0 thì x = 0. Vậy toán tử A là đơn ánh.Ta
chứng minh R(A) đóng. Xét dãy (y
n
)
n
⊂ R(A) sao cho y := lim
n→∞
y
n
. Khi đó
tồn tại (x
n
)
n
⊂ X, sao cho y
n
= Ax
n
. Ta có
αx
n
− x

m

2
≤ A(x
n
− x
m
), x
n
− x
m
 = Ax
n
− Ax
m
), x
n
− x
m

= y
n
− y
m
, x
n
− x
m
 ≤ y
n

− y
m
x
n
− x
m

suy ra αx
n
−x
m
 ≤ y
n
−y
m
. Vậy (x
n
)
n
là dãy Cauchy trong X nên tồn tại
lim
n→∞
x
n
= x ∈ X và vì A liên tục nên y = Ax, do đó R(A) là một tập đóng
21
trong X. Ngoài ra mọi y ∈ R(A)
⊥
ta có Ay, y = 0, và từ (2.2.7) ta suy ra
y = 0. Vậy R(A)

⊥
= {0}, do đó
X = R(A) ⊕R(A)
⊥
= R(A) ⊕ R(A)
⊥
= R(A).
Vậy A là song ánh, do đó A khả nghịch.
b) Ta có A là một song ánh tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
X nên theo Định lý Banach thì A là một phép đồng phôi tuyến tính. Vậy
A
−1
liên tục mà A là toán tử dương nên theo Nhận xét 2.2.8 A
−1
cũng là một
toán tử dương. Mặt khác A
−1
cũng giao hoán với A và I nên theo Hệ quả
2.2.13 và bất đẳng thức αI ≤ A ≤ βI ta suy ra αA
−1
≤ AA
−1
≤ βA
−1
. Vậy
1
β
I ≤ A
−1
≤

1
α
I.
Định nghĩa 2.2.15 (Căn bậc hai của một toán tử dương). Căn bậc hai
của toán tử dương A là toán tử tự liên hợp B thỏa mãn B
2
= A.
Định lý 2.2.16. Cho A là một toán tử dương trong không gian Hilbert X. Khi
đó, A có một căn bậc hai dương duy nhất. Hơn nữa, B giao hoán với bất kỳ
toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với A.
Chú ý: Toán tử B được gọi là căn bậc hai dương của toán tử dương A và
thường được kí hiệu là A
1
2
hay
√
A.
Chứng minh. Cũng như chứng minh trong Định lý 2.2.11 ở đây ta có thể
giả thiết A ≤ 1. Do đó
Ax, x ≤ Axx ≤ Axx ≤ x
2
= x, x.
Vậy 0 ≤ A ≤ I và C = I − A là một toán tử dương. Để thấy bản chất quá
trình đi tìm toán tử B = A
1
2
ta tạm giả thiết rằng B tồn tại. Đặt S = I − B
thì B = I − S. Do đó A = B
2
= (I −S)

2
= I −2S + S
2
. Vậy S là nghiệm của
phương trình toán tử
S =
1
2
(I − A) +
1
2
S
2
=
1
2
C + S
2
(2.2.8)
Đặt:
S
0
= I
S
1
=
1
2
C +
1

2
S
2
0
22

S
n+1
=
1
2
C +
1
2
S
2
n
.
Vì C ≥ 0 nên S
n
≥ 0 (n = 1, 2, ). Ta có S
n
biểu diễn được qua C và S
n−1
với
n ≥ 1 và S
0
= I. Suy ra S
n
biểu diễn được qua C và I. Vậy S

n
là những đa
thức của A (vì C = I − A). Do đó các toán tử S
n
giao hoán với nhau.
Bây giờ ta chứng minh
I = S
0
≥ S
1
≥ S
2
≥ ≥ S
n
≥ ≥ 0. (2.2.9)
Tức là S
n
− S
n+1
≥ 0 với mọi (n = 0, 1, 2, ). Khi n = 0 ta có
S
0
− S
1
= I − (
1
2
C +
1
2

I) =
1
2
I −
1
2
(I − A) =
A
2
≥ 0.
Giả sử S
n−1
− S
n
≥ 0. Khi đó
S
n
− S
n+1
= (
1
2
C +
1
2
S
2
n−1
) − (
1

2
C +
1
2
S
2
n
) =
1
2
(S
2
n−1
− S
2
n
)
=
1
2
(S
n−1
−S
n
)(S
n−1
+S
n
) (do các S
n

giao hoán với nhau).
Theo giả thiết quy nạp ta có S
n−1
−S
n
≥ 0 mà S
n
≥ 0, với mọi n = 0, 1, 2, và
các toán tử này giao hoán với nhau nên theo Định lý 2.2.11 thì S
n
−S
n+1
≥ 0.
Từ (2.2.9) và Định lý 2.2.10 ta suy ra dãy (S
n
)
n
hội tụ theo điểm đến một
toán tử dương S. Lấy x ∈ X tùy ý. Trong đẳng thức S
n+1
x =
1
2
Cx +
1
2
S
2
n
x

cho n → ∞ ta được Sx =
1
2
Cx +
1
2
S
2
, với mọi x ∈ X. Vậy S là nghiệm của
phương trình (2.2.8). Do đó B = I − S là toán tử phải tìm. Mặt khác giả sử
T ∈ L(X) giao hoán với A. Vì S
n
(n = 0, 1, 2, ) là các đa thức của A nên T
giao hoán với S
n
.Tức là T S
n
x = S
n
T x, với mọi x ∈ X cho n → ∞ ta được
T Sx = ST x, với mọi x ∈ X. Vậy T giao hoán với S. Ta có
T (I − S) = T −TS = T −ST = (I − S)T.
Do đó T cũng giao hoán với I −S = B.
Bây giờ giả sử B
1
là một toán tử dương trong không gian Hilbert X thỏa
mãn điều kiện B
2
1
= A. Khi đó B

1
A = B
1
B
2
1
= B
2
1
B
1
= AB
1
. Vậy B
1
và A giao
hoán với nhau. Với mọi x ∈ X, ta có
0 = (A − A)x = (B
2
− B
2
1
)x = (B + B
1
)(B −B
1
)x = (B + B
1
)y,
23

trong đó y = Bx − B
1
x. Vì vậy 0 = (B + B
1
)y, y = By, y + B
1
y, y. Vì
B
1
và B là các toán tử dương nên ta suy ra rằng By, y = B
1
y, y = 0 hay
(B −B
1
)y, y = 0. Vì B
1
và B là các toán tử dương nên ta có thể giả sử toán
tử (B − B
1
) là dương. Vậy theo Hệ quả 2.2.4 ta có
(B −B
1
)y
2
≤ B − B
1
(B −B
1
)y, y.
Do đó (B −B

1
)y = 0 hay By = B
1
y = 0 (nếu toán tử (B
1
−B) dương ta cũng
chứng minh tương tự). Vậy với mọi x ∈ X, ta có
B(B −B
1
)x = By = B
1
y = B
1
(B −B
1
)x = 0,
suy ra (B − B
1
)(B −B
1
)x = 0. Do đó
(B −B
1
)x
2
= (B −B
1
)x, (B −B
1
)x = (B − B

1
)(B −B
1
)x, x = 0.
Tức là Bx = B
1
x, với mọi x ∈ X. Do đó B = B
1
. Vậy B là căn bậc hai dương
duy nhất của A.
Ví dụ 2.2.17. Trong không gian 
2
= {x = (x
n
)
n
| x
n
∈ C,
∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞}.
Cho a = (a
n
)

n
là một dãy số thực dương bị chặn, toán tử A : 
2
−→ 
2
xác
định như sau:
x = (ξ
n
)
n
∈ 
2
, Ax = (a
n
ξ
n
)
n
.
Theo ví dụ 1.1.5 ta chứng minh được A là một toán tử dương. Đặt T x =
(
√
a
n
ξ
n
)
n
, với x = (ξ

n
)
n
∈ 
2
. Khi đó T là cũng là một toán tử dương trong 
2
.
Với mọi x = (ξ
n
)
n
∈ 
2
ta có
T
2
(x) = T (T (x)) = (
√
a
n
.
√
a
n
ξ
n
)
n
= Ax.

Do đó T
2
= A. Vậy T là căn bậc hai dương duy nhất của A.
Ví dụ 2.2.18. Tìm toán tử căn bậc hai của toán tử A được cho như sau:
A : C
2
→ C
2
(x
1
, x
2
) −→ (10x
1
+ 5x
2
, 5x
1
+ 5x
2
) với mọi x
1
, x
2
∈ C
Tương tự ví dụ 2.2.12 ta có A là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác ta có
ma trận biểu diễn của toán tử A là


10 5

5 5


. Ta có A = A
t
và det A = 25.
24
Vậy A là toán tử dương.
Giả sử toán tử tự liên hợp B là toán tử căn bậc hai của toán tử A. Và gọi
B =


a b
b c


(a, b, c ∈ C) là ma trận biểu diễn của toán tử B. Khi đó ta có
B
2
= A hay


a b
b c


.


a b

b c


=


10 5
5 5


⇔









a
2
+ b
2
= 10
b
2
+ c
2
= 5

ab + bc = 5
, (2.2.10)
Vì b = 0 không phải là nghiệm của (2.2.10) nên ta đặt a = αb, c = βb, khi đó
(2.2.10) trở thành:









b
2
(1 + α
2
) = 10
b
2
(1 + β
2
) = 5
b
2
(α + β) = 5
⇒




1 + α
2
= 2(1 + β
2
)
1 + β
2
= α + β
, (2.2.11)
Cộng vế theo vế hai phương trình trên ta được
2 + α
2
+ β
2
= 2 + 2β
2
+ α + β
⇔ (α + β)(α − β − 1) = 0
Thay vào (2.2.11) ta được: α = 3, β = 2. Từ đó suy ra a = 3, b = 1, c = 2
Vậy toán tử A có một căn bậc hai là B =


3 1
1 2


.
Ví dụ 2.2.19. Tìm toán tử căn bậc hai dương của toán tử A ∈ L
2
([a, b]) được

xác định (Af)(t) = g(t)f(t), trong đó g là một hàm dương, liên tục trên [a, b].
Đặt B =

g(t)f(t). Ta có thể kiểm tra được B là toán tử dương trong không
gian L
2
([a, b]). Mặt khác ta có
B
2
(f(t)) = B(

g(t)f(t)) =

g(t)

g(t)f(t), với mọi t ∈ [a, b], f ∈ L
2
([a, b]).
Vậy B
2
= A. Theo Định lý 2.2.16 ta suy ra căn bậc hai dương của toán tử A
là B.
Hệ quả 2.2.20. Cho A, B là các toán tử dương trong không gian Hilbert X.
Lúc đó nếu A
2
= B
2
thì A = B.
25