rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit cho học sinh lớp 12 thpt (ban cơ bản)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
…………………..

LÊ ANH QUÂN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN “HÀM SỐ LŨY THỪA,
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT” CHO HỌC SINH LỚP 12
THPT (BAN CƠ BẢN)

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS - TS. TÔN THÂN

THÁI NGUYÊN - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




LỜI CẢM ƠN!
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo: Phó Giáo sư - Tiến
sĩ Tơn Thân, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi trong suốt q trình
thực hiện đề tài.

Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phương pháp dạy
Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các thầy cơ giáo trong khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Ngun đã tận tình giúp đỡ tơi trong
suốt q trình học tập và nghiên cứu.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, khoa Sau đại học Trường Đại
học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tơi
hồn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Giang,
Lãnh đạo trường THCS & THPT Minh Ngọc, trường THPT Lê Hồng Phong ,
trương THPT Ngọc Hà của tỉnh Hà Giang cũng như toàn thể các đồng nghiệp
ơ trường THCS & THPT Minh Ngọc, trường THPT Lê Hồng Phong, trường
THPT Ngọc Hà của tỉnh Hà Giang đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn các học viên trong lớp Cao học Tốn Khóa 17
và các bạn đồng nghiệp xa gần về sự động viên, khích lệ cũng như trao đổi về
chun mơn trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2010

Lê Anh Quân

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mục lục
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 4
Chƣơng I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................ 9
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán. .......................................................................... 9
1.1.1. Kĩ năng. .................................................................................................... 9
1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng – Sự hình thành và phát triển kĩ năng. ............... 10

1.1.3. Kĩ năng giải toán. .................................................................................. 12
1.1.4. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS trung học phổ thơng.. 14
1.1.5. Con đường hình thành, rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS trung học
phổ thơng. ......................................................................................................... 15
1.2. Bài tốn và phương pháp chung để giải bài toán. ......................................... 18
1.2.1. Bài toán và phân loại bài tốn. ............................................................... 18
1.2.2. Vai trị của bài tập tốn trong quá trình dạy học......................................... 20
1.2.3. Những yêu cầu của một lời giải bài toán. .............................................. 21
1.2.4. Phương pháp chung để giải bài toán. ..................................................... 21
1.3. Chương “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit” trong chương
trình giải tích lớp 12 THPT. ................................................................................. 23
1.3.1 Nội dung chương “hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit” ...... 23
1.3.2 Yêu cầu của chương “hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit” . 24
1.4. Sơ bộ thực trạng dạy và học chương “hàm số lũy thừa, hàm số mũ và
hàm số logarit” ở trường THPT. .......................................................................... 24
Kết luận chương I. ................................................................................................ 31
Chƣơng II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÀM SỐ LŨY THỪA,
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT THƠNG QUA TỪNG DẠNG
TỐN CỤ THỂ. ................................................................................................. 32
2.1. Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán sử dụng định nghĩa, định lý. ......... 33
2.1.1. Dạng 1: Tìm tập xác định các hàm số mũ và hàm số logarit: ................ 33
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1




2.1.2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức ..................................................................... 36
2.1.3. Dạng 3: So sánh .................................................................................... 39

2.1.4. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức ................................. 42
2.1.5. Dạng 5: Toán về logarit có nội dung thực tế. ........................................ 46
2.2.Rèn luyện kĩ năng giải bài tốn tìm đạo hàm, cực trị liên quan tới hàm số
mũ, logarit ............................................................................................................ 49
2.2.1: Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số mũ, logarit. ..................................... 49
2.2.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ, logarit. . 51
2.3. Rèn luyện kĩ năng giải bài tốn phương trình mũ và logarit ...................... 53
2.3.1. Kiến thức cơ bản. ................................................................................... 53
2.3.2. Kĩ năng cơ bản. ...................................................................................... 53
2.3.3. Dạng 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương........................... 53
2.3.4.Dạng 2: phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số ......................... 57
2.3.5. Dạng 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ .......................................................... 60
2.3.6. Dạng 4 : Sử dụng tính chất liên tục của hàm số..................................... 62
2.3.7. Dạng 5: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số ................................... 64
2.3.8. Dạng 6: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ .............................. 66
2.3.9. Dạng 7: Sử dụng phương pháp đánh giá ................................................ 68
2.4. Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình mũ và logarit. ............................... 69
2.4.1. Kiến thức cơ bản. ................................................................................... 69
2.4.2. Kĩ năng cơ bản. ...................................................................................... 69
2.4.3. Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương: ....................................... 70
2.4.4. Dạng 2: Phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số ....................... 74
2.4.5. Dạng 3: Sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ ........................................... 75
2.4.6. Dạng 4: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ. ............................ 77
2.4.7. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đánh giá. ............................................... 79
2.5. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình mũ và logarit. ................................ 81
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2

2.5.1. Kiến thức cơ bản. ................................................................................... 81
2.5.2. Kĩ năng cơ bản. ...................................................................................... 81
2.5.3. Dạng 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương........................... 82
2.5.4. Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ ............................................. 83
2.5.5. Dạng 3: Sử dụng phương pháp hàm số .................................................. 85
2.5.6. Dạng 4: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ .............................. 87
2.5.7. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đánh giá ................................................ 89
Kết luận chương II ............................................................................................... 91
Chƣơng III. THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM ......................................................... 92
3.1. Mục đích thử nghiệm. ................................................................................... 92
3.2. Nội dung thử nghiệm. ................................................................................... 92
3.3. Đối tượng thử nghiệm. .................................................................................. 92
3.4. Thiết kế bài soạn thử nghiệm. ....................................................................... 93
Bài soạn số 1: Phương trình mũ và phương trình logarit ( tiết 1) .................... 93
Bài soạn số 2: Luyện tập phương trình mũ và phương trình logarit ............... 98
Bài soạn số 3: Ơn tập chương II ..................................................................... 102
3.5. Kết quả kiểm tra. ......................................................................................... 107
ĐỀ KIỂM TRA (Thời gian 45 phút) .............................................................. 107
Kết quả kiểm tra (Bảng 2): ............................................................................. 109
Nhận xét chung: ............................................................................................. 110
Kết luận chương III. ........................................................................................... 110
KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN ....................................................................... 111
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................... 112

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chon đề tài:
Tốn học là mơn khoa học có vị trí quan trọng trong trường phổ thơng. Nó
là cơng cụ để học các mơn học khác, đặc biệt là những môn khoa học tự
nhiên, kỹ thuật và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn hàng ngày. Trong nội
dung chương trình Tốn lớp 12 THPT, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số
logarit có vai trò rất quan trọng, chiếm một khối lượng lớn kiến thức và thời
gian học của chương trình, thường xun có mặt ở các đề thi tốt nghiệp và đề
thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng. Vì vậy việc rèn luyện kĩ năng giải toán
hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit là điều cần thiết và bổ ích đối
với HS lớp 12 THPT.
Qua thực tiễn dạy học Tốn ở trường phổ thơng, chúng tơi thấy HS cịn rất
lúng túng, khó khăn khi giải các bài tốn hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm
số logarit. Nhiều em giải bài tốn nào thì biết bài tốn đó, chưa có kĩ năng vận
dụng, phát huy kiến thức đã học và trong nhiều trường hợp chưa biết phân
loại và nhận dạng bài toán, chưa đưa ra được phương pháp giải với từng dạng
cụ thể (đặc biệt là bài tốn khảo sát hàm số, việc tính đạo hàm, giải BPT và
chứng minh BĐT liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số
logarit, ...).
- Một số kiến thức Toán học (các kiến thức về hàm số, phương trình, bất
phương trình...) được HS áp dụng có phần tùy tiện vào nội dung này gây
những sai lầm nghiêm trọng trong khi làm bài.
- Thêm vào đó việc giảng dạy của giáo viên cịn có nhiều điều bất cập. Trong
quá trình giảng dạy, giáo viên chưa gắn những kiến thức cần xây dựng, củng
cố cho HS với các bài toán cụ thể, do vậy khi gặp các bài toán tương tự các
em có rất nhiều khó khăn khi tiếp cận phương pháp giải quyết bài toán. Lối
dạy học làm cho người học thụ động trong nhận thức dẫn đến tình trạng chưa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4




phát huy được khả năng tự tìm tịi, tự khám phá và sáng tạo của HS, giảm
hứng thú đối với mơn học.
Vấn đề dạy học giải tốn nói chung và rèn luyện kĩ năng giải toán cho
HS ở các cấp học nói riêng đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu:
G.Polya (Cách giải BT mang ý nghĩa sáng tạo ), Đỗ Trung Hiệu, Phạm Văn
Hoàn, Vũ Dương Thụy (Các phương pháp giải toán ở tiểu học), Lê Văn Hùng
(Rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS khá, giỏi lớp 12 thơng qua việc sử dụng
một hệ thống bài tập có sử dụng công cụ đạo hàm), Phạm Thị Hồng (Một số
biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng giải toán hình học thơng qua dạy học
chương phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12)... Trong bối cảnh đổi
mới PPDH, chúng tôi cũng muốn nghiên cứu vấn đề này với mục đích tổ chức
hướng dẫn HS hình thành và phát triển các kĩ năng giải bài toán hàm số lũy
thừa, hàm số mũ và hàm số logarit ở lớp 12 THPT, góp phần thực hiện định
hướng đổi mới PPDH đã được thể chế hóa trong Luật Giáo dục, điều 24.2:
“Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động sáng tạo của HS, phù hợp với đặc điểm từng lớp, từng môn học, bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn, tác động đến tình cảm, mang lại niềm vui, hứng thú cho HS”.
Việc dạy và học mơn Tốn ở trường phổ thơng có mục đích truyền thụ
kiến thức và rèn luyện kĩ năng cho HS, vì thế việc rèn luyện kĩ năng giải toán
hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit cũng góp phần thực hiện nhiệm
vụ này.
Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài

Rèn luyện kĩ năng giải toán “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số
logarit” cho HS lớp 12 THPT (ban cơ bản)
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5




Xác định các kĩ năng cơ bản và đề xuất các dạng toán cụ thể để rèn luyện
kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit cho HS lớp
12 THPT(ban cơ bản).
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu:
2.2.1. Tìm hiểu: Khái niệm kĩ năng, rèn luyện kĩ năng, phương pháp dạy
học giải bài tập Toán học.
2.2.2. Xác định các kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm
số logarit.
2.2.3. Tìm hiểu thực trạng rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa,
hàm số mũ và hàm số logarit cho HS ở trường THPT.
2.2.4. Đề xuất một số dạng toán cụ thể nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán
hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit cho HS.
2.2.5. Thử nghiệm sư phạm.
3. Phương pháp nghiên cứu:
3.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục, tìm hiểu một số tạp chí, báo cáo
khoa học, luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ về các vấn đề liên quan đến đề
tài; nội dung chương trình SGK mơn Tốn THPT mà trọng tâm là chủ đề
hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit .

3.2. Phương pháp quan sát, điều tra:
Quan sát, điều tra việc giảng dạy của giáo viên và việc học tập của HS
trong quá trình sử dụng bài tập để rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy
thừa, hàm số mũ và hàm số logarit cho HS THPT thông qua phỏng vấn,
trao đổi dự giờ đồng nghiệp.
3.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6




Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đã đề
xuất.
3.4. Phương pháp thống kê Toán học:
Xử lý các số liệu thu được để phục vụ cho đề tài.
4. Giả thuyết khoa học:
Nếu chỉ ra được các kĩ năng cơ bản, phân loại từng dạng toán cụ thể và
thực hiện tốt giải pháp đã đề xuất thì có thể rèn luyện được các kĩ năng
giải tốn hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit, góp phần nâng
cao chất lượng học tốn cho HS lớp 12 THPT.
5. Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu:
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là việc rèn luyện kĩ năng giải bài toán hàm số lũy
thừa, hàm số mũ và hàm số logarit cho HS lớp 12 THPT (ban cơ bản).
5.2. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học giải bài tập Tốn cho HS.
6. Đóng góp của đề tài:

6.1. Về mặt lý luận:
- Làm rõ thêm một số vần đề cơ bản về KN, rèn luyện KN, KN giải toán, KN
giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit.
- Đề xuất được cách dạy học nội dung hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số
logarit cho HS lớp 12 trường THPT ( ban cơ bản ).
6.2. Về mặt thực tiễn:
- Chỉ rõ các KN cơ bản thuộc nội dung hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm
số logarit cho HS lớp 12 trường THPT ( ban cơ bản ).
- Đề xuất các giải pháp để có thể góp phần RLKN giải toán hàm số lũy thừa,
hàm số mũ và hàm số logarit cho HS thơng qua từng dạng tốn cụ thể.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7




- Các ví dụ và các bài dạy thử nghiệm sư phạm là tài liệu tham khảo cho GV,
HS,sinh viên các trường sư phạm, các cán bộ nghiên cứu giáo dục khi dạy và
học nội dung hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit cho HS lớp 12,
theo định hướng RLKN giải toán cho HS.
7. Cấu trúc luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn gồm ba chương.
Chƣơng I: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng II: Rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ,
hàm số logarit thơng qua từng dạng tốn cụ thể.
Chƣơng III: Thử nghiệm sư phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8




Chƣơng I
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán.
1.1.1. Kĩ năng.
Trong tâm lý học, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành
động nào đó nhằm đạt một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu
tạm thời tách kiến thức và kĩ năng để xem xét riêng thì kiến thức thuộc phạm
vi nhận thức, thuộc khả năng “ biết ”, còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động,
thuộc khả năng “ biết làm”.
Theo [1, Tr. 548]: “KN là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào
thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để
thực hiện một việc gì”
Các nhà giáo dục học cho rằng: mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần túy và một phần là KN
KN là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được
để đạt được mục đích , KN cịn có thể đặc trưng như tồn bộ các thói quen
nhất định; KN là khả năng làm việc có phương pháp ”. G.Polya đã khẳng định
rằng: “ Trong Toán học, KN là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh cũng như các phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh
nhận được KN trong toán học quan trọng hơn nhiều những kiến thức thuần
túy, so với thông tin trơn ” [3. Tr. 99]
Như vậy ta thấy: có nhiều cách phát biểu khác nhau về KN, do đó khó
có thể đi đến một khái niệm chung về KN. Tuy nhiên trong các cách phát biểu

về KN, vẫn có thể tìm ra những điểm chung, đó là nói đến cách thức, thủ
thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9




định. Khi nói đến khả năng là nói đến triển vọng và kết quả khi hành động sẽ
diễn ra. Khi nói đến KN là nói đến sự nắm vững cách thức thực hiện các thao
tác, trình tự thực hiện các thao tác. Vậy ta có thể hiểu về KN như sau:
KN là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có một
cách hợp lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết quả
một hành động hay một hoạt động nào đó. Nói đến KN là nói đến cách thức,
thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích
đã định. KN được hình thành và phát triển dựa trên kiến thức, nó tiếp tục
giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển thành kĩ năng mới phù hợp với sự
phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống. KN
chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát triển trong hoạt
động và bằng hoạt động.
1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng – Sự hình thành và phát triển kĩ năng.
1.1.2.1. Đặc điểm:
Theo [18, Tr. 13] thì trong vận dụng ta thường chú ý tới các đặc điểm
của KN:
- Bất cứ KN nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi
vì cấu trúc của KN bao gồm: hiểu mục đích _ biết cách thức đi đến kết quả _
hiểu các điều kiện để triển khai các cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của KN khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại

trong ý thức với tư cách của hành động.
Vậy muốn có KN về một hành động nào đó thì cần phải:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10




+ Có kiến thức:để hiểu được mục đích của hành động, biết được mục
đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực
hiện hành động.
+ Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
+ Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành KN nhưng phải trải
qua thời gian đủ dài.
1.1.2.2. Sự hình thành kĩ năng:
Để hình thành được KN trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc
hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được một
hành động theo đúng mục đích, u cầu... Có những KN hình thành không
cần qua luyện tập, nếu biết tận dụng hiểu biết và KN tương tự đã có để
chuyển sang thực hiện các hành động, hoạt động mới.
Theo [20, Tr.100]:
a) Thực chất của sự hình thành KN là hình thành cho HS khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các
thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ.
Khi hình thành KN cho HS cần tiến hành:
- Giúp HS biết cách tìm tịi để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và

mối quan hệ giữa chúng.
- Xác lập được mối quan hệ giữa bài tập mơ hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11




- Giúp HS hình thành một mơ hình khái qt để giải quyết các bài tập
các đối tượng cùng loại.
b) Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành KN.
- Nội dung bài tập: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che
phủ bởi những yếu tố làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành
KN.
- Khả năng khái quát nhìn đối tượng một cách tồn thể ở mức độ cao
hay thấp.
c) Cơ chế hình thành KN: Theo I.Ia Lecne đó là cơ chế tái hiện lặp đi
lặp lại nhiều lần trong nhiều tình huống khác nhau.
VD: Để hình thành cho HS KN giải phương trình mũ và logarít có thể
thực hiện liên tiếp các biện pháp sau: Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập có
phân bậc hoạt động về việc rèn luyện các KN: nhận dạng phương trình, xác
định các dạng phương trình cơ bản, biến đổi tốn học để đưa các phương trình
về dạng phương trình cơ bản.
1.1.2.3. Sự phát triển kĩ năng:
Rõ ràng KN được phát triển qua việc thực hành. Để thơng thạo một KN
địi hỏi phải thực hành có trọng điểm với một thời lượng nhất định. Trong quá
trình thực hành cần thay đổi và định hình những gì mình đã học được.

1.1.3. Kĩ năng giải tốn.
KN giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải các
bài tập Tốn học(tìm tịi, suy đốn, suy luận, chứng minh...).
KN giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kĩ
năng, phương pháp. HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong q trình luyện tập,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12




củng cố, đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển, đồng thời
nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Tốn học.
Kĩ năng tốn học được hình thành và phát triển thơng qua việc thực
hiện các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong mơn Tốn. Kĩ
năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Sự trừu tượng hóa trong Tốn học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn
luyện cho HS nhừng kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
+) Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn Tốn: Là sự thể hiện
mức độ thơng hiểu tri thức Tốn học. Một người hiểu những tri thức Toán học
sẽ vận dụng được để làm toán.
+) Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào các mơn học khác : Kĩ
năng trên bình diện này thể hiện vai trị cơng cụ của Tốn học đối với những
mơn học khác, điều này thể hiện tính liên mơn giữa các mơn học trong nhà
trường, địi hỏi người GV dạy Tốn cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy
học bộ mơn.
+) Kĩ năng vận dụng Tốn học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan
trọng của môn Tốn, nó cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Tốn học và đời
sống.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13




1.1.4. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS trung học phổ
thơng.
Mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thơng là mơn Tốn trong
trường phổ thơng trang bị cho HS những kiến thức tốn học phổ thơng, cơ
bản, hiện đại, rèn luyện các kĩ năng tính tốn và phát triển tư duy tốn học,
góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và các năng lực trí tuệ chung,
đặc biệt là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa ”
Những kiến thức, kĩ năng và phương pháp toán học là cơ sở để tiếp thu
những kiến thức về khoa học công nghệ góp phần học tập các mơn học khác
trong trường phổ thơng và vận dụng vào đời sống.
Trên cơ sở đó, việc truyền thụ tri thức, RLKN là nhiệm vụ quan trọng
hàng đầu của bộ mơn Tốn học. RLKN tốn học nói chung và KN vận dụng
tốn học vào thực tiễn nói riêng nhằm vào các yêu cầu sau:
- Giúp HS hình thành và nắm vững mạch kiến thức cơ bản xun suốt
chương trình.
- Giúp HS phát triển năng lực trí tuệ, cụ thể là rèn luyện và phát triển:
+ Tư duy logic và ngơn ngữ chính xác trong đó có tư duy thuật toán.
+ Những năng lực tư duy như: phân tích, tổng hợp, khái qt hóa.
+ Các phẩm chất trí tuệ như: Tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng
tạo.
- Coi trọng việc rèn luyện kĩ năng trong tất cả các giờ học của HS, phát
triển trí tuệ cho HS bằng nhiều hoạt động thực hành(kĩ năng tính tốn, kẻ vẽ,

đo đạc...)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14




- Giúp HS rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ: Tính cẩn thận,
chính xác, kiên trì, vượt khó, thói quen tự kiểm tra, đánh giá những sai lầm có
thể gặp.
1.1.5. Con đƣờng hình thành, rèn luyện kĩ năng giải tốn cho HS trung
học phổ thơng.
" Giải tốn là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt
tuyết hay chơi đàn vậy. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo
những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành ”
Descartes – Leibnitz
Theo các tác giả V.A.Krutetski, N.D. Levitop, AV. Petropxki, Nguyễn
Ngọc Quang thì việc hình thành một KN nào đó gồm ba bước:
- Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động.
- Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu.
- Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó
nhằm đạt được mục đích đề ra.
Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành KN ở HS, khó có thể phân chia
được rạch rịi theo các giai đoạn nói trên. Chẳng hạn khi khai triển hành động
giải toán, HS chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành động đó, mà chính trong
q trình thực hiện hành động, các em dần dần nắm vững các tri thức cần
thiết. Chứng tỏ giữa tri thức và KN là hai mặt không thể tách rời của hành
động học. Lí luận dạy học cũng xác định cách dạy của GV sẽ ảnh hưởng sâu

sắc đến cách học của HS. Như vậy cách học của HS chịu ảnh hưởng sâu sắc
bởi cách dạy của GV. Cũng như các KN khác, KN giải tốn cũng được hình
thành qua bắt chước và tập luyện. Để KN giải toán được rèn luyện và vận
dụng trong quá trình nhận thức, trước hết HS phải thấy rõ tác dụng của những
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15




KN thành phần, mối quan hệ giữa chúng trong việc giải quyết một bài tốn
cũng như qui trình thực hiện. Theo Phạm Thị Hồng (Một số biện pháp sư
phạm RLKN giải tốn hình học thơng qua dạy học chương phương pháp tọa
độ trong không gian ỏ lớp 12, Tr 19): Học là một KN cụ thể đòi hỏi phải thỏa
mãn những nhu cầu sau:
- Giải thích: HS cần phải hiểu vì sao thực hiện KN đó như vậy, cùng
với các thông tin cơ bản khác.
- Làm chi tiết: HS cần phát hiện một cách chính xác cái mà ta trơng chờ
các em phải làm và phải làm như thế nào, đây là cách làm chi tiết mà HS
thường học tốt nhất khi được xem giới thiệu như qua trình diễn hoặc nghiên
cứu tình huống. Cách đó cung cấp mơ hình thức hành tốt để bắt chước hoặc
tiếp thu một cách cụ thể.
- Sử dụng: HS cần sử dụng, thực hành KN đó.
- Kiểm tra và tự hiệu chỉnh: Tất nhiên việc thực hành của HS cần được
tự các em hiệu chỉnh và cũng thường được GV kiểm tra và hiệu chỉnh.
- Ghi nhớ: HS cần có cái hỗ trợ để ghi nhớ, VD: Phiếu ghi, sách, băng
ghi âm...
- Ôn lại và sử dụng lại: Đây là việc cần thiết để đảm bảo nội dung học
tập không bị quên.

- Đánh giá: Việc học phải được kiểm tra trong điều kiện thực tế nếu
muốn để cả người học và người dạy yên tâm về nội dung học.
- Thắc mắc: Người học luôn địi hỏi có cơ hội để thắc mắc, nêu câu hỏi.
Dù ta đang học một KN thực hành cụ thể hay một KN trí tuệ (kể cả một KN
ngơn ngữ) thì gần như phải trải qua những thành phần trên, nếu muốn việc
học thành cơng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16




VD: Khi dạy học RLKN giải phương trình mũ, logarit thì các thành phần kể
trên có thể hiểu như sau:
- Giải thích: KN này được thực hiện dựa trên các kiến thức về hàm số
mũ, logarít, các kiến thức về phương trình đại số thơng thường.
- Làm chi tiết: HS cần phải tìm ra dạng của phương trình rồi mới có
được phương pháp giải thích hợp.
- Sử dụng: HS cần đọc dạng phương trình, sử dụng KN biến đổi tốn
học (mũ hóa, logarít, đặt ẩn phụ) để giải phương trình .
- Kiểm tra và tự hiệu chỉnh: HS phải tự biết kiểm tra đánh giá trong quá
trình biến đổi phương trình và trình bày lời giải .
- Ghi nhớ: Để hỗ trợ ghi nhớ thường phải dùng phiếu học tập, vở ghi,
dụng cụ học tập.
- Ôn lại và sử dụng lại: Q trình RLKN giải phương trình mũ, logarít
trên đã giúp HS ôn lại các KN cũ, RLKN mới, củng cố, khắc sâu kiến thức.
- Đánh giá: Kết quả đúng sai giúp HS đánh giá việc học.
- Thắc mắc: HS có thể thắc mắc khi chưa hiểu tường minh các bước
thực hiện giải phương trình.

Khi dạy các KN, điều quan trọng là không dạy quá nhiều cùng một lúc.
Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp được chia thành một chuỗi các bước đi,
các bước đó được học một cách tách biệt nhau. Rồi mỗi bước đó được thực
hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết, sau đó
các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp.
Để học được một KN, HS cần biết chúng ta trông chờ ở các em phải có
khả năng làm gì và làm như thế nào cho tốt, làm thế nào sẽ tốt nhất; các em
phải biết tại sao cách làm này chưa hiệu quả, cách làm kia sẽ tốt nhất. Các em
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17




phải có cơ hội thực hành (sử dụng), được kiểm tra và hiệu chỉnh việc thực
hành đó. Thực tế, bộ nhớ có thể xảy ra hiện tượng quên, do đó người học cần
có phương tiện để ghi nhớ và cơ hội ôn lại nội dung đã học, sử dụng lại khi
cần. Tất nhiên việc học của các em cần được đành giá và các em cần được
nêu câu hỏi, nêu những thắc mắc.
1.2. Bài toán và phƣơng pháp chung để giải bài toán.
1.2.1. Bài toán và phân loại bài toán.
a) Khái niệm bài toán.
G.Polya cho rằng: “ Trong toán học, nắm vững bộ mơn Tốn quan
trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ
một cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như
trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho HS những kiến
thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào
đó nắm vững mơn học. Vậy thế nào là nắm vững mơn Tốn? Đó là biết giải
toán” [3, Tr. 82].

G.Polya cũng cho rằng: “ Bài tốn đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một
cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng
khơng thể đạt được ngay”.
Giải bài tốn tức là tìm ra phương tiện đó.
Có thể hiểu rằng: Nội dung bài toán là mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái
cần tìm, và cái này sẽ được tìm ra nhờ một hệ thống các hành động trí óc hay
thực hành. Khái niệm bài tốn được gắn liền với hành động của chủ thể,
không thể nghiên cứu bài toán mà tách rời hành động của chủ thể, hành động
giải tốn địi hỏi chủ thể phải: phân tích bài tốn; mơ hình hóa và cụ thể hóa
các mối quan hệ bản chất trong bài toán; phát hiện ra hướng giải và xây dựng
kế hoạch cụ thể để giải bài toán; thực hiện giải bài toán; kiểm tra, đánh giá
q trình giải bài tốn; rút ra những kiến thức mới bài tốn đem lại.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18




b) Phân loại bài toán.
Một sự phân loại tốt phải chia các bài toán thành những loại (kiểu,
dạng) sao cho mỗi loại xác định được một phương pháp giải”. Dựa vào mục
đích của bài tốn, G.Polya chia bài tốn thành hai loại: Các bài tốn về tìm tịi
và các bài tốn về chứng minh. Trong đó cần lưu ý đến các phần chính của
từng loại và mối quan hệ giữa chúng để giải tốn.
- Bài tốn tìm tịi: Bao gồm tốn dựng hình, tốn tính tốn, tốn tập hợp
điểm, tốn giải phương trình, giải bất phương trình,… Trong đó, u cầu của
bài tốn thường thể hiện bằng các từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng,…Các
phần chính của bài tốn bao gồm: cái phải tìm (cịn gọi là ẩn), cái đã cho (còn
gọi là dữ kiện và điều kiện ràng buộc ẩn với dữ kiện). Giải bài tốn loại này là

tìm ra một hoặc một số ẩn thỏa mãn các điều kiện ràng buộc ẩn với các dữ
kiện của bài toán đó.
- Bài tốn chứng minh: Là bài tốn mà u cầu của nó thường thể hiện
bằng các cụm từ: Chứng minh rằng, chứng tỏ rằng, tại sao, chỉ ra rằng,…Các
phần chính của bài tốn gồm: Cái đã cho (cịn gọi là giả thiết) và cái phải tìm
(cịn gọi là kết luận). Giải bài toán này là khám phá ra mối liên hệ logic giữa
cái đã cho và cái phải tìm. Cấu trúc của bài tốn chứng minh thường có dạng
A => B hay: giả thiết => kết luận.
- Tuy nhiên, trong thực tế vẫn gặp bài tốn mà trong đó có phần là bài
tốn tìm tịi, có phần là bài tốn chứng minh. Muốn tìm một đối tượng nào đó
ta phải làm các thao tác chứng minh và ngược lại. Những bài toán như vậy
thường được gọi là bài toán hỗn hợp hay bài toán tổng hợp.
Dựa vào nội dung, bài tốn cịn phân chia thành các loại: bài tốn số
học, bài tốn đại số, bài tốn hình học, bài tốn rời rạc.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19




Cũng có khi người ta phân loại bài tốn một cách cụ thể hơn: bài tốn
giải phương trình đại số, bài tốn giải phương trình lượng giác, bài tốn dựng
hình, bài tốn tìm quỹ tích,…
1.2.2. Vai trị của bài tập tốn trong q trình dạy học.
Mơn Tốn có vai trị quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung
của giáo dục phổ thơng. Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, phát triển
những phẩm chất trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái
qt hóa,..rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như

tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm
mỹ. Hơn nữa mơn Tốn cịn là công cụ giúp cho việc dạy và học các mơn học
khác.
Bài tập tốn học có vai trị quan trọng trong mơn Tốn, là “giá mang” hoạt
động của HS. Thơng qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất
định, bao gồm cả nhận dạng, thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc, phương pháp,
những hoạt động tốn học phức hợp, những hoạt động phổ biến trong toán học,
những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngơn ngữ. Vai trị của bài tập thể hiện
ở ba bình diện:
a) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập tốn ở nhà trường phổ thơng là
“giá mang” những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện múc độ
đạt mục đích. Bài tập tốn học góp phần:
- Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau
của quá trình dạy học, kể cá kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành và
phát triển những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành và phát triển
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20




b) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là “giá mang”
những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở
thành một phương tiện để gieo mầm nội dung dưới dạng những tri thức hoàn
chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong

phần lý thuyết.
c) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là “giá mang”
những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó
thực hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp
phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực
và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về
phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội
dung mới, củng cố kiến thức, ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của HS, giúp
GV nắm được thơng tin hai chiều trong q trình dạy học.
1.2.3. Những yêu cầu của một lời giải bài toán.
Lời giải một bài toán cần đạt được các yêu cầu sau:
- Lời giải đầy đủ.
- Lập luận chặt chẽ.
- Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian.
- Ngôn ngữ chính xác, khoa học.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mĩ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý.
1.2.4. Phƣơng pháp chung để giải bài toán.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những cách thức giải bài
toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu phương pháp
chung để giải bài tốn như sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (hay hiểu bài tốn):
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21

- Phát biểu đề bài với những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài
toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả
bài tốn.
Bƣớc 2: Tìm cách giải (hay xây dựng chương trình giải):
Tìm tịi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài tốn nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù
với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp tốn học, tốn dựng
hình, tốn quỹ tích…Chẳng hạn với bài tốn chứng minh ta có thể hướng
dẫn, gợi ý HS tìm lời giải bằng phân tích suy xuôi hay suy ngược…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được hay đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên
quan…
Tìm tịi cách giải khác, so sánh chúng để chọn được kết quả hợp lí nhất.
Trả lời cho các câu hỏi hướng dẫn như: đã gặp bài toán này lần nào
chưa? Xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài tốn quen thuộc có cùng cái
chưa biết hay có cái biết tương tự? Có thể áp dụng một định lý nào đó? Có thể
phát biểu bài tốn bằng cách khác hay khơng? Nếu khơng giải được hãy thử
giải một bài toán liên quan dễ hơn hay không? Hãy chọn một lời giải ngắn
gọn hợp lý nhất?...
Bƣớc 3: Trình bày lời giải (hay thực hiện chương trình giải):

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22

Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành
một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực
hiện các bước đó.
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải:
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải các bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề, từ đó có thể phát sinh những bài tốn mới hay những lời giải khác.
1.3. Chƣơng “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit” trong chƣơng
trình giải tích lớp 12 THPT.

1.3.1 Nội dung chƣơng “hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit”
Chương trình giải tích lớp 12 qui định nội dung chương II gồm :
- Lũy thừa
- Logarit
- Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
- Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit
Với nội dung trên SGK được trình bày thành 7 mục với 19 tiết cụ thể như sau:
Nội dung

Stt

Số tiết

Từ tiết đến tiết

1

Lũy thừa

3 tiết

21 - 23

2

Hàm số lũy thừa

2 tiết

24 - 25

3

Logarit

3 tiết

26 - 28

4

Hàm số mũ, hàm số logarit

3 tiết

29 - 31

5

Phương trình mũ. phương trình

3 tiết

32 - 34

3 tiết

35 - 37

2 tiết

38 - 39

logarit

6
7

Bất phương trình mũ và logarit
Ơn tập

*) Nội dung chƣơng II hiện nay so với chƣơng trình SGK cũ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23