phương trình với toán tử loại đơn điệu

Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A(x) = f,
A : X −→ X
∗
X X
∗
X
H
x
h,δ
α
F
h,δ
α
(x) = A
h
(x) − f
δ

2
+ αx − x
∗

2
α > 0 h δ x
∗
(A
h

, f
δ
) (A, f)
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α = α(h, δ)
x
h,δ
α(h,δ)
h δ
A : X → X
∗
M : X → X
∗
h
J
s
X
A
h
(x) + αJ
s
(x − x
∗
) = f
δ
A
h
: X → X
∗

α = α(δ)
A
h
≡ A
ρ(α) =
˜
Kδ
p
, 0 < p < 1,
˜
K ≥ 1,
ρ(α) = αx
δ
α

α = α(δ)
ρ(α) = δ
p
α
−q
, 0 < p ≤ q
A
h
≡ A
A : X → X
A
h
(x) + αx = f
δ
,

Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
h
: X −→ X D(A
h
) = D(A)
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
X
X
∗
X
R
n
n
∅
x := y x y
∀x x
∃x x
inf
x∈X
F (x) {F (x) : x ∈ X}
I
A
T
A
a ∼ b a b
A

∗
A
D(A) A
R(A) A
x
k
→ x {x
k
} x
x
k
 x {x
k
} x
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X A : X → X
∗
D(A) = X R(A) X
∗
A
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
(1.1)
x = y
δ(t) t ≥ 0, δ(0) = 0
A(x) − A(y), x − y ≥ δ

x − y

, ∀x, y ∈ D(A);

δ(t) = c
A
t
2
c
A
A
A(x) − A(y) ≤ x − y.
A
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A : R
M
→ R
M
A = B
T
B,
B M
A h X
A(x + ty)  A(x) t → 0 x, y ∈ X d
X x
n
→ x A(x
n
)  A(x) n → ∞
ϕ(x, y) =






xy
(x
2
+ y
2
)
(x, y) = (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
h
A
lim
||x||→+∞

A(x), x

||x||
= +∞, ∀x ∈ X.
X
X X
(x
n
 x) (x
n
 → x)
(x
n
− x → 0)
s ≥ 2 J

s
: X −→ 2
X
∗
J
s
(x) = {x
∗
∈ X
∗
: x
∗
, x = x
∗
x; x
∗
 = x
s−1
},
X s = 2 J
s
J X
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X
J(x) J(λx) = λJ(x), λ > 0
J X
∗
X J = I X
X

∗
J : X → X
∗
d
X J
Gr(A)
A X × X
∗
Gr(A) = {(x, A(x)) : x ∈ X}.
A
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x
∗
∈ A(x), y
∗
∈ A(y).
Gr(A)
Gr(A)
X × X
∗
A
A : X → X
∗
g − f, y − x
0
 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A),
x

0
∈ D(A) f ∈ A(x
0
)
F : X → R
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X x, y ∈ X
F (tx + (1 − t)y) ≤ tF(x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1];
X
x = y
X
lim inf
y→x
F (y) ≥ F(x), ∀x ∈ X;
X {x
n
} : x
n
 x
lim inf
n→∞
F (x
n
) ≥ F (x), ∀x ∈ X.
X F : X → R
X ∂F (x)
∂F (x) =

x

∗
∈ X
∗
: F (x) − F (y) ≤ x − y, x
∗
, ∀y ∈ X

, ∀x ∈ X,
x
∗
∈ X
∗
F x ∂F (x)
F x
X X
∗
X F : X → R
X ∂F
X X
∗
A A + λJ
X
∗
X X
∗
J : X → X
∗
X A : X → X
∗
A

λ > 0 R(A + λJ) X
∗
h
X X
∗
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X B :
X → X
∗
h A : X → X
∗
A + B
A
X
X A :
X → X
∗
h D(A) ≡ X A
A R(A) = X
∗
A(x) = f,
A : X → X
∗
f ∈ X
∗
A h
X X
∗
D(A) = X

A(x) = f f ∈ X
∗
A
x
α
∈ D(A)
y
α
+ αJx
α
= f, y
α
∈ A(x
α
).
fx
α
 ≥ f, x
α
 = y
α
, x
α
 + αx
α

2
≥ y
α
, x

α
.
y
α
, x
α

x
α

≤ f, y
α
∈ A(x
α
).
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A {x
α
}
x
α
 ¯x ∈ X α → 0 y
α
= f − αJ(x
α
)
A
f − αJ(x
α

) − y, x
α
− x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Gr(A)
α → 0
f − y, ¯x − x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Gr(A).
A
f ∈ A(¯x)
✷
S
0
A : X −→ X
∗
S
0
X.
f
1
, f
2
∈ A(x) A
f
1
− g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A),
f
2
− g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A).
f = tf
1
+ (1 − t)f
2

t ∈ [0, 1] t (1 − t)
tf
1
− g, x − y + (1 − t)f
2
− g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA
⇔ f − g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA.
f ∈ A(x) S
0
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
n
∈ Ax, f
n
→ f
∗
f
∗
∈ A(x)
f
n
− g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA.
n → ∞ f
∗
− g, x − y ≥ 0 f
∗
∈ A(x) S
0
✷

X X
∗
X, f ∈ X
∗
A : X −→ X
∗
h
x
0
∈ X
A(x) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X
x
0
A(x) = f
A X
A(x
0
) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
x
0
A(x) = f
A(x
0
) = f z = 0
A(x
0

) − f, z >
1
2
zA(x
0
) − f > 0.
A h t > 0



A(x
0
− tz) − A(x
0
), z



≤
1
3
z.A(x
0
) − f.
x x
0
− tz
A(x
0
− tz) − f, (x

0
− tz) − x
0
 ≥ 0.
A(x
0
− tz) − Ax
0
, −tz + A(x
0
) − f, −tz ≥ 0.
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A(x
0
− tz) − A(x
0
), −z ≥ A(x
0
) − f, z.



A(x
0
− tz) − A(x
0
), z




>
1
2
.z.A(x
0
) − f > 0.
x
0
A(x) = f
A
A(x) − A(x
0
), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X, x
0
∈ X.
0 ≤ A(x) − A(x
0
), x − x
0
 = (A(x) − f) − (A(x
0
) − f), x − x
0

A(x) − f, x − x
0
 ≥ A(x

0
) − f, x − x
0
.
t ∈ (0, 1)
A[(1 − t)x
0
+ tx] − f, (1 − t)x
0
+ tx − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X,
tA[(1 − t)x
0
+ tx] − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
t t → 0
h A
✷
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X
∗
X X X
∗
A : D(A) = X → X
A
J(x − y), A(x) − A(y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
x = y;

γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0,
J(x − y), A(x) − A(y ≥ γ(||x − y||), ∀x, y ∈ D(A);
γ(t) = ct
2
, c > 0;
A
J(x), A(x) ≥ c(||x||).||x||, ∀x ∈ D(A),
c(t) → +∞ t → +∞.
A m R(A + αI) = X,
α > 0, I X
Gr(A)
X × X
∗
A
J(x
1
− x
2
), y
1
− y
2
 ≥ 0,
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
1
, x
2
∈ D(A), y

1
∈ A(x
1
), y
2
∈ A(x
2
).
A : X −→ X
A
λ > 0 ∀x
1
, x
2
∈ D(A)
||x
1
− x
2
|| ≤ ||x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))||.
i) ⇒ ii) A λ > 0, ∀x
1

, x
2
∈ D(A)
J(x
1
− x
2
), x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))
= J(x
1
− x
2
), x
1
− x
2
 + λJ(x
1
− x
2
), A(x
1

) − A(x
2
)
≥ ||x
1
− x
2
||
2
.
J
ii) ⇒ i) ||x||
2
||x
1
− x
2
||
2
≥ ||x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))||
2
− 2λJ(x

1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))), A(x
1
) − A(x
2
).
J(x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))), A(x
1
) − A(x
2
) ≥ 0.
λ → 0 h J A
✷
A : X → X
X X
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
A
⇒ λ > 0, ∀x
1
, x
2
∈ D(A)
||(x
1
− x
2
) + λ(A(x
1
) − A(x
2
))||
2
= ||x
1
− x
2
||
2
+ 2λA(x
1
) − A(x
2
), x
1

− x
2

+ λ
2
||A(x
1
) − A(x
2
)||
2
.
A
A(x
1
) − A(x
2
), x
1
− x
2
 ≥ 0.
||(x
1
− x
2
) + λ(A(x
1
) − A(x
2

))||
2
≥ ||x
1
− x
2
||
2
, ∀x
1
, x
2
∈ D(A).
A
⇒ A
2λA(x
1
) − A(x
2
), x
1
− x
2
 + λ
2
||A(x
1
) − A(x
2
)||

2
≥ 0.
λ λ → 0
+
A(x
1
) − A(x
2
), x
1
− x
2
 ≥ 0, ∀x
1
, x
2
∈ D(A).
A
✷
T : X → X A = I − T
x, y ∈ D(A)
J(x − y), A(x) − A(y) = −J(x − y), T (x) − T (y) + J(x − y), x − y
≥ x − y
2
− T (x) − T (y)x − y
≥ x − y
2
− x − y
2
= 0.

✷
A : X −→ X h
D(A) = X A
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
J : X −→ X
∗
x
n
⊂ D(J) x
n
 x
0
J(x
n
)  J(x
0
)
X
X X
X
n
n P
n
: X −→
X
n
X X
n
X P

n
 = 1
P
∗
n
: X
∗
−→ X
∗
n
P
n
P
∗
n
J(x) = J(x)
x ∈ X
n
∀x ∈ X
n
P
∗
n
J(x), x = J(x), P
n
(x) = J(x), x
= Jxx = x
2
.
P

∗
n
 = P
n
 = 1
P
∗
n
J(x) ≤ P
∗
n
.J(x) = J(x) = x.
(1.15) x
2
≤ P
∗
n
J(x)x x ≤ P
∗
n
J(x)
(1.16) x = P
∗
n
J(x) J P
∗
n
J
X P
∗

n
J(x) = J(x), ∀x ∈ X
n
✷
X X
∗
X
A : X −→ X D(A) = X,
J r > 0 x ||x|| = r
y = A(x)
J(x), A(x) − f ≥ 0,
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x ||x|| ≤ r.
X = l
p
p > 1
A
A : X → Y
X Y f Y
A X Y
A(x) = f f ∈ Y
A X Y
(1.5)
x f x = R(f)
(X, Y ) ε > 0
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
δ(ε) > 0 ρ
Y

(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε
x
i
= R(f
i
), x
i
∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2.
f f
δ
f
δ
− f ≤ δ x
δ
f f
δ
δ → 0 f
δ

→ f
x
δ
x
A M = 8
A =


















1 1 1 1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1 1 1 1
1 1 1.0001 1 1 1 1 1
1 1 1 1.0001 1 1 1 1
1 1 1 1 1.0001 1 1 1
1 1 1 1 1 1.0001 1 1

1 1 1 1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1 1 1 1.0001


















f =

8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001

T
∈ R
8
.
x =


1 1 1 1 1 1 1 1

T
∈ R
8
.
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A = A
h1
=


















1 1 1 1 1 1 1 1

1 1.0001 1 1 1 1 1 1
1 1 1.0001 1 1 1 1 1
1 1 1 1.0001 1 1 1 1
1 1 1 1 1.0001 1 1 1
1 1 1 1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1 1 1 1


















f = f
δ1
=

8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8


T
∈ R
8
,
A = A
h1
=


















1 1 1 1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1 1 1 1
1 1 1.0001 1 1 1 1 1
1 1 1 1.0001 1 1 1 1

1 1 1 1 1.0001 1 1 1
1 1 1 1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1 1 1 1


















f = f
δ2
=

8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001

T
,

Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
x
∗
A(x
0
) = f,
x
0
− x
∗
 = min{x − x
∗
 : A(x) = f}.
x
∗
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X
∗
X
A(x) = f,
f ∈ X
∗
A : X → X
∗
h D(A) = X
X X X

∗
A
S
0
S
0
X
A
h
(x) + αJ
s
(x − x
∗
) = f
δ
,
(A
h
, f
δ
) (A, f)
f − f
δ
 ≤ δ, δ → 0,
A
h
(x) − A(x) ≤ hg(x), h → 0,
g(t) A
h
h

X X
∗
x
∗
X
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
J
s

J
s
(x) − J
s
(y), x − y

≥ m
J
x − y
s
, m
J
> 0,
A
h
: X → X
∗
h
h > 0 J
s

: X → X
∗
X
(2.5) f
δ
∈ X
∗
δ > 0 (2.3) (2.4)
α > 0 (2.2) x
τ
α
τ = (h, δ)
h + δ
α
→ 0 α → 0,
{x
τ
α
} x
0
∈ S
0
x
0
− x
∗
 = min
x∈S
0
x − x

∗
.
X
∗
J
s
h
A + αJ
s
h X X
∗
J
s
α > 0 A + αJ
s

(A + αJ
s
)(x), x

=

A(x) + αJ
s
(x), x

=

A(x) − A(θ) + A(θ) + αJ
s

(x), x − θ

=

A(x) − A(θ), x − θ

+

A(θ), x − θ

+ α

J
s
(x), x − θ

.
A

A(x) − A(θ), x − θ

≥ 0, ∀x ∈ X.
X
α

J
s
(x), x − θ

= α


J
s
(x), x

= αx
s
.
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(A + αJ
s
)(x), x

≥ αx
s
− A(θ)x.

(A + αJ
s
)(x), x

x
≥
αx
s
− A(θ)x
x
= αx

s−1
− A(θ).
s ≥ 2
lim
x→+∞

(A + αJ
s
)(x), x

x
= +∞.
A + αJ
s
A J
s
(A + αJ
s
)(x) − (A + αJ
s
)(y), x − y
= A(x) − A(y), x − y + αJ
s
(x) − J
s
(y), x − y
≥ αm
J
x − y
s

, s ≥ 2.
α > 0 x
τ
α
A
h
(x
τ
α
) + αJ
s
(x
τ
α
− x
∗
) = f
δ
,
{x
τ
α
} x
0
∈ S
0
A
h
(x
τ

α
) − A(x) + f − f
δ
, x
τ
α
− x
+ αJ
s
(x
τ
α
− x
∗
) − J
s
(x − x
∗
), x
τ
α
− x
= αJ
s
(x − x
∗
), x − x
τ
α
, ∀x ∈ S

0
.
A J
s
αm
J
x
τ
α
− x
s
≤ αJ
s
(x − x
∗
), x − x
τ
α

+ A
h
(x
τ
α
) − A
h
(x) + A
h
(x)
− A(x) + f

0
− f
δ
, x − x
τ
α
.
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên